Vertiefungsfach Mathematik Ganzrationale Funktionen

Modul G
Ganzrationale Funktionen
Grundlagen
1
Vertiefungsfach Mathematik – Textverständnis im Sachzusammenhang
Modul G – Schwerpunkt „Ganzrationale Funktionen“
„Grundlegendes und Sachzusammenhänge“
Stundenvolumen
2
Fachbezogene
Kompetenzen
Modelle erstellen und nutzen
Sie lernen die grundsätzliche Zielsetzung
des Vertiefungsfaches sowie erste Methoden
zur Selbsteinschätzung, Fremdeinschätzung
und Evaluation des eigenen Lernprozesses
kennen.
Beziehungen und Veränderungen
beschreiben
Die Schülerinnen und Schüler nehmen
anknüpfend an ihr Vorwissen eine Einteilung
der Funktionen in unterschiedliche Klassen
vor.
Inhaltlicher
Schwerpunkt
Wiederholung zu
Funktionenklassen
Arbeitsformen
und Materialien
Arbeitsschritte
Die Schülerinnen und Schüler
erstellen gemeinsam eine
Mindmap über die bisher
kennengelernten
„Funktionenklassen in der
Mathematik“.

Erstellen einer Mindmap
mittels Mindjet
(kostenlos für Schulen)

Hinweis auf Matheass und
geogebra
Sie nehmen anhand dieser eine
Selbsteinschätzung zu den damit
verbundenen Kompetenzen vor.
Weiterhin erfolgen Informationen
und Verständigungen
insbesondere über selbständige
Arbeitsformen, wie z.B. der
Ausblick:
- Erstellung eines
Lernwegportfolios
- Verweis auf freie Software zur
grafischen Darstellung von
Funktionen
2
Vertiefungsfach Mathematik – Textverständnis im Sachzusammenhang
Modul G – Schwerpunkt „Ganzrationale Funktionen“
„Grundlegendes und Sachzusammenhänge“
Stundenvolumen
10 Stunden
Fachbezogene
Kompetenzen
Argumentieren und Kommunizieren
Sie argumentieren bei der Lösungsfindung in
Kleingruppen oder dem Plenum. Ihre
Arbeiten und Ergebnisse stellen sie immer in
verschiedenen Präsentationsformen dar.
Probleme erfassen, erkunden und
lösen
Sie wenden ihre Kenntnisse auf ihnen mehr
oder minder bekannte Probleme aus dem
Alltag an und lösen eigene dazu formulierte
Fragen.
Modelle erstellen und nutzen
Sie entwerfen mathematische Modelle, die
ein gegebenes Problem möglichst gut
beschreibt.
Beziehungen und Veränderungen
beschreiben
Die Schülerinnen und Schüler kennen die
grundlegenden Eigenschaften der linearen
und quadratischen Funktionen hinsichtlich
Lage und Nullstellen.
Inhaltlicher
Schwerpunkt
 Schnittpunkt von Graphen
linearer Funktionen
 Diskussion von
zusammengesetzten
Funktionen
 Nullstellen von quadratischen
Funktionen
 Schnittpunkt von Funktionen
Arbeitsschritte
 Zunächst werden mittels der
zur Verfügung gestellten
Arbeitsblätter die
grundlegenden Eigenschaften
der unterschiedlichen
Funktionen genannt
 Individuelle Bearbeitung der
Ergebnisse z.B. der
Kompetenztestaufgaben
Jg.10 (GY) „Das kann ich
noch“, individuelle Nutzung
der Testauswertungsdaten,
kooperatives Arbeiten,
Schüler-Experten,
Lehrerinformation,
Unterrichtsgespräch,
Schülerinfo-Vorlage zur
selbständigen Weiterarbeit.
 Die Schülerinnen und Schüler
arbeiten verstärkt mit
Funktionsplottern wie
MatheAss, GeoGebra oder
KL-Soft. Sie haben alle einen
PC mit entsprechender
Software zur Verfügung.
 Sie orientieren sich bei der
Diskussion und Lösung an
den grundlegenden
Arbeitsblättern.
Arbeitsformen
und Materialien
 Arbeitsblatt
Potenzfunktionen
 Lineare Funktionen
- Vergleich von Glühlampen
- Steuerfunktion
 Quadratische Funktionen
- Kugelstoß
- Hängebrücke
- Häuserjumping
 Beispiel einer kubischen
Funktion als Ausblick
(ggf. als Ergänzung und
Vertiefung)
- Heißluftballon
(graphische Bestimmung von
Schnittpunkten mittels
Funktionsplottern)
3
4 Vertiefungsfach Mathematik
Modul G
4.1 Rahmenbedingungen
anfangs12 TN (6 w + 6 m)
Teilnahme freiwillig
Vorwiegend Seiteneinsteiger aus RS (9) und HS (1)
4.2 Einschätzung der vorhandenen Kompetenzen und Defizite
Argumentieren/Kommunizieren
kommunizieren, präsentieren und argumentieren
- TN kommunizieren zwanglos und relativ ungehemmt miteinander
- Sie präsentieren ihre Ergebnisse zunehmend selbstbewusst im Vortrag und
an der Tafel
- Sie argumentieren eher unbeholfen
Problemlösen
Probleme erfassen, erkunden und lösen
- TN erfassen bekannte Probleme schnell, diskutieren diese
- Modellierung und somit Lösung fällt anfangs sehr schwer
Modellieren
Modelle erstellen und nutzen
- Erst nach der Vorstellung möglicher Modelle wird eine Lösung erreicht
Werkzeuge
Medien und Werkzeuge verwenden
- Der Umgang mit dem TR ist prinzipiell bekannt
- komplexere Tastenkombinationen (Speichernutzung, exp-Taste etc.) sind
weitestgehend unbekannt
- Der Einsatz von einfachen Funktionenplottern ist unbekannt
- Lehr- und Lernprogramme sind unbekannt
Arithmetik/Algebra
mit Zahlen und Symbolen umgehen
- Der Umgang mit Zahlen ist geläufig
- Das Rechnen mit Symbolen wird auch bei allgemeinen Lösungsansätzen
möglichst vermieden
Funktionen
Beziehungen und Veränderungen beschreiben und erkunden
- Ganzrationale Funktionen vom Grad 1 und 2 sind bekannt
- Nullstellen- und Funktionswertberechnungen sind bekannt
- Schnittpunktsbestimmungen liefern eher Probleme
4
Modul G:
Textverständnisaufgaben im Sachzusammenhang mit Schwerpunkt
Schnittpunkte von Funktionen
(1) Stundenvolumen
5 Doppelstunden
(2) Kompetenzerwartung
Die TN kennen am Ende der Reihe verschiedene Möglichkeiten der
Bestimmung von Schnittpunkten und wenden sie an (grafisch und
rechnerisch).
Dazu erfassen sie an Hand verschiedener Alltagsprobleme in der
Diskussion mit den anderen TN das Problem, erstellen ein mathematisches
Modell dafür (Geradengleichung und Parabelgleichung erstellen), kommen
mittels der Werkzeuge „Lösen linearer Gleichungen“ oder „Lösen
quadratischer Gleichungen“ bzw. mittels Funktionsplottern zu realen
Ergebnissen und übertragen diese auf die vorgestellten Problemsituationen.
Dabei stehen die prozessbezogenen Kompetenzen zunächst durchaus im
Vordergrund. Textverständnis und daraus abgeleitet Argumentieren,
Modellieren und Lösen sind wesentliche Ziele dieses (wie auch jedes
anderen) Moduls.
Abschließend präsentieren sie ihre Ergebnisse an der Tafel oder dem
Bildschirm und zeigen gegebenenfalls die Grenzen des Modells auf.
(3) Inhaltlicher Schwerpunkt
Sicherer Umgang mit Funktionen und Lösen quadratischer Gleichungen.
Einüben von Transformationen auch an Beispielen unbekannter
Funktionenklassen (z. B. kubische Funktion). Hierbei geht es nicht in erster
Linie um eine Potenzfunktion höheren Grades als vielmehr um die
Verschiebung und Streckung.
(4) Arbeitsformen und Materialien
Materialien für selbstständiges Lernen
Diskussion - Expertenrunde –
Stationenlernen – Präsentation
Der Lehrer hält sich bis auf die wenigen Phasen der gemeinsamen
Erarbeitung und Wiederholung weitestgehend zurück und beschränkt sich
auf Mitarbeit in Kleingruppen.
Die abschließenden Präsentationen bilden eine wichtige Basis für weiteres
Textverständnis, da sich die TN immer auf den jeweiligen Kontext beziehen
müssen, woraus vernetztes Denken und Argumentieren resultiert.
5
(5) Arbeitsschritte
Zunächst
werden
im
Unterrichtsgespräch
Funktionsklassen mittels einer Mindmap erfasst.
die
verschiedenen
Man einigt sich auf eine bestimmte Reihenfolge, die durch den Grad der
Funktion gegeben ist.
Wesentliche Eigenschaften
Arbeitsblätter erfasst.
einer
linearen
Funktion
werden
durch
Im Gespräch wird eine Aufgabe (Telefontarif mit unterschiedlichen
Basisgebühren und verschiedenen Minutenpreisen, vgl Modul L) erörtert
und gelöst.
Das Glühlampenproblem wird in Einzelarbeit angegangen und dann in sich
selbst bildenden Kleingruppen gelöst und abschließend vorgestellt.
In der Folgestunde werden die Funktionsgraphen mittels MatheAss
gezeichnet und interpretiert.
Diskussion der Einkommensteuerfunktion (Binnendifferenzierung) bei
unterschiedlicher Lerngeschwindigkeit in Kleingruppen mit Präsentation der
bisherigen Ergebnisse nach jeweils einer U-Stunde in Gruppen ähnlicher
Lerngeschwindigkeit. (sehr große Inhomogenität in der Bearbeitungsgeschwindigkeit)
(6) Transparenz/Reflexion der Zielerreichung
Die TN sind aufgeschlossen. Die kleine Gruppengröße führt zu vertiefter
aktiver Auseinandersetzung mit dem Problem und dadurch bedingt zu
verbesserter Motivation und daraus resultierend auch zu Erfolg bei den
inhaltlichen Kompetenzen.
Es erfolgt keine das Regelfach begleitende Bearbeitung einzelner Themen.
Die Arbeit eines Schülers / einer Schülerin im Vertiefungsfach wird in einem
Portfolio dokumentiert. Alle schon angesprochenen Materialien werden in
dieses Portfolio (Ordner) abgeheftet. Dies sind zur Verfügung gestellte
Materialien der Lehrkraft, Kursergebnisse, individuell Erarbeitetes
(Fachinhaltliches, Dokumentation des eigenen Lernprozesses).
Eine Fortschreibung des Portfolios in der Sekundarstufe II über das
Vertiefungsfach hinaus ist möglich
(7) Lernprozess- und Ergebnisevaluation
Es macht den TN Freude, sich mit den Materialien zu beschäftigen, da sie
zur Erarbeitung, Diskussion, Lösung und Präsentation im Vergleich zum
normalen Unterricht sehr viel Zeit haben.
Die Evaluation bezieht Portfolio, Feedbackbogen, Feedbackgespräche mit
Schülerinnen und Schülern sowie den Lehrerinnen und Lehrern des
Regelkurses ein.
6
(8) Kursevaluation
Die Kursevaluation gründet sich auf Ergebnisse von Schülerbefragungen,
Einschätzungen durch die beteiligten Lehrkräfte und ggf. Einschätzungen
der Schulleitung.
Die Erwartungshaltung der Schülerinnen und Schüler gegenüber dem Fach
ist durchgängig von der Hoffnung auf schnell messbaren Erfolg geprägt.
Dies ist allerdings nicht vorrangiges Ziel des Faches.
Anhang: Materialien
G 1 Potenzfunktionen (lineare, quadratische, ggfs. kubische Funktion)
G 2 Glühlampen
G 3 Steuerfunktion
G 4 Kugelstoß
G 5 Hängebrücke
G 6 Häuserjumping
G 7 Heißluftballon
7
Material Modul G
Ganzrationale Funktionen
8
Potenzfunktionen
Grad 1
Lineare Funktionen
Nullstellen:
ax b  0
a  x  b
b
x
a
9
Grad 2
Quadratische Funktionen
Nullstellen
a  x²  b  x  c  0
b
c
x²   x   0
a
a
b
c
Einsetzen liefert mit  p und  q
a
a
x²  p  x  q  0
2
p
p
x      q
2
 2
Für den Sonderfall c=0 ergibt sich einfacher:
a  x²  b  x  0
x  (a  x  b)  0
x  0 oder a  x  b  0  x=Ist der Radikant
positiv,
gibt
null,
gibt
negativ,
gibt
es
es
es
b
a
zwei Nullstellen,
eine Nullstelle,
keine Nullstellen
10
Scheitelpunktsform einer Parabelfunktion:
a  x²  b  x  c  0
b
c

a   x²   x    0
a
a

Mit obiger Substitution ergibt sich
a   x ²  p  x  q  0
2
2


p p
a   x²  p  x        q  0


 2  2


2
2


p p
a    x       q  0


2  2


2
  p 2

p

a   x    a       q  0
  2

2



Also handelt es sich um eine Parabel,
die um den Faktor a gestreckt ist
p
nach links verschoben ist
2
  p 2

und die um a       q  nach oben verschoben ist.
  2



Der Scheitelpunkt der Parabel liegt also bei
und die um
 p
  p 2

S=  - ; a       q  
  2

 2



Untersuche die Funktionen
f(x)
= x² - 8x + 16
g(x) = x² -8x + 10
h(x) = 4x² - 32x +40
i(x)
= 4x² - 32x -16
k(x) = -x² -4x + 4
hinsichtlich Scheitelpunkt, Nullstellen, Monotonie und Symmetrie.
Skizziere den Verlauf der Graphen in je ein neues KOS zusammen mit den
Umkehrfunktionen.
11
Grad 3
Kubische Funktionen (keine Obligatorik in der SI)
(gegebenenfalls als vertiefende Ergänzung)
Auf obige Funktion f(x)=x³ wurden auch die Verschiebungen in x- und in
y-Richtung angewendet.
12
Beschreibung der Graphen von Funktionen:
y
5
1
-5
O
1
5
x
-5
Die Funktionen unterscheiden sich durch (Bildbeschreibung):
Zu verwendende Begriffe können sein:
13
Symmetrie, Monotonie, Nullstellen …….
14
Glühlampen
Osram SUPER E SIL 60, 230V, 60W E27
Preis
1,03 €
Farbe
Transparent
Lebensdauer
1000h
Typ
Glühlampe
Leistung
60 W
Betriebsspannung 230 V
Tornado 12W 865 E27 PINPACK 8 Jahre
Preis
8,50 €
Farbe
865
Lebensdauer
8000h
Typ
Energiesparlampe
Leistung
12 W
Betriebsspannung 230 V
Lichtfarbe
6500 K
Lichtstrom
685 lm
Energieeffizienz
A
dimmbar
nein
Helligkeit
entspricht 60 W-Lampe
Fotos mit freundlicher Genehmigung von Philips und Osram
http://www.rwe.com/web/cms/de/45580/rwe/angebote-services/privatkunden/strom/rwe-privateclassic-grundversorgung/
Bewerten Sie den Austausch herkömmlicher Glühlampen durch
Energiesparlampen.
15
Bei der Bearbeitung der Aufgabe sind die folgenden Aspekte zu berücksichtigen:




Physik:
o Energie = Leistung x Zeit
Ergonomie
o Vergleich gleicher Lichtäquivalente
Kosten
o Nur auf Verrechnungspreis achten
o Gesamtkosten setzen sich aus Anschaffungskosten
und zeitabhängigen Energiekosten zusammen
Mögliche Fragestellungen:
o Kostenfunktion der einzelnen Lampen in Abhängigkeit von der
Brenndauer
o Einbeziehung des mehrfachen Nachkaufs einer Glühlampe
o Grafische Darstellung der Funktionen z.B. mit Funktionsplotter
o Berechnung des Schnittpunktes der einzelnen Grafen
o Berechnung des Einsparpotenzials einer ESL über ihre Nutzungsdauer
o Diskussion des sinnvollen Einsatzes einer ESL
16
Steuerfunktion
Beschreiben Sie den Verlauf
der Steuerkurve indem Sie
den
zu
entrichtenden
Steuerbetrag gegen das zu
versteuernde
Einkommen
auftragen.
Interpretieren Sie an Hand
dieser Kurve die Begriffe
 Steuersatz
 Grenzsteuer.
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/cf/Steuertabelle_2009_single_zve_55.jpg
17
18
Erste Zone (Grundfreibetrag):
Bis zu einem zvE von 7 834 € fällt keine Steuer an.
Zweite Zone: zvE von 7 835 € bis 13 139 €
Dabei ist y ein Zehntausendstel von (zvE - 7 834):
Dritte Zone: zvE von 13 140 € bis 52 551 €
Dabei ist z ein Zehntausendstel von (zvE - 13 139):
Die 1007 entspricht der Steuerlast der vorigen Zonen, die zur Belastung dieser Zone
hinzu addiert werden.
Vierte Zone: zvE von 52 552 € bis 250 400 €
Das zvE wird mit dem Grenzsteuersatz von 42 % multipliziert und es wird 8 064
subtrahiert.
Fünfte Zone: zvE ab 250 401 €
Das zvE wird mit dem Grenzsteuersatz von 45 % multipliziert und es wird 15 576
subtrahiert.
Bis zum 31. Dezember 2008 galten folgende Regelungen:
Erste Zone (Grundfreibetrag):
Bis zu einem zvE von 7 664 € fällt keine Steuer an.
Zweite Zone: zvE von 7 665 € bis 12 739 €
19
Dabei ist y ein Zehntausendstel von (zvE - 7 664).
Dritte Zone: zvE von 12 740 € bis 52 151 €
Dabei ist z ein Zehntausendstel von (zvE} - 12 739).
Die 989 entspricht der Steuerlast der vorigen Zonen, die zur Belastung dieser Zone
hinzu addiert werden.
Vierte Zone: zvE von 52 152 € bis 250 000 €
Das zvE wird mit dem Grenzsteuersatz von 42 % multipliziert und es wird 7 914
subtrahiert.
Fünfte Zone: zvE ab 250 001 €
Das zvE wird mit dem Grenzsteuersatz von 45 % multipliziert und es wird 15 414
subtrahiert.
http://de.wikipedia.org/wiki/Einkommensteuer_(Deutschland)
20
Tarifzone I (Nullzone)
Ist das zu versteuernde Einkommen (zvE) pro Jahr nicht höher als 7.834 €, fällt keine
Einkommensteuer an.
Tarifzone II (Progressionszonen 1 und 2)
Erst wenn das (abgerundete) zvE 7.834 € übersteigt, fällt Einkommensteuer an. Im
Eingangsbereich der Progressionszone 1 gilt ein Grenzsteuersatz von 14 % (=
Eingangsteuersatz); danach steigt der Grenzsteuersatz zunächst relativ rasch auf rd. 24 %, ab
einem zvE von 13.140 € dann gleichmäßig bis auf 42 % an (Progressionszone 2). Über beide
Progressionszonen betrachtet steigt der Grenzsteuersatz je 1.000 € zusätzliches Einkommen
um rd. 0,61 Prozentpunkte.
Tarifzone III (Proportionalzone 1)
Ab einem zvE von 52.552 € bleibt der Grenzsteuersatz konstant bei 42 %; d. h. von jedem
Euro, um das sich das zvE in dieser Zone erhöht, wird – ohne Berücksichtigung der
Rundungsregelung – eine Steuer von 0,42 € fällig. Dies gilt jedoch nur bis zum Betrag
250.400 Euro für Ledige bzw. 500.800 Euro für Verheiratete.
Tarifzone IV (Proportionalzone 2)
Diese zweite Proportionalzone wurde als so genannte "Reichensteuer" ab 2007 hinzugefügt.
Ab einem zvE von 250.401 € (Ledige) bzw. 500.802 € (Verheiratete) beträgt der
Grenzsteuersatz 45 %, d. h. von jedem Euro, um das sich das zvE in dieser Zone erhöht, wird
– ohne Berücksichtigung der Rundungsregelung – eine Steuer von 0,45 € fällig.
Eingangssteuersatz
Unmittelbar nach dem Grundfreibetrag setzt die Besteuerung mit einem anfänglichen
Steuersatz von 14 % ein (Eingangssteuersatz). Dieser Steuersatz gilt nur für den Anteil des zu
versteuernden Einkommens, der den Grundfreibetrag überschreitet.
Durchschnittsteuersatz
Wendet man den oben beschriebenen Einkommensteuertarif auf das zu versteuernde
Einkommen an, erhält man die tarifliche Einkommensteuer. Setzt man die tarifliche
Einkommensteuer (ggf. nach Abzug von Steuerermäßigungen) ins Verhältnis zum zu
versteuernden Einkommen, erhält man den Durchschnittsteuersatz (effektiver Steuersatz). So
zahlt ein Alleinstehender mit einem zu versteuernden Einkommen von 52.000 € eine
Einkommensteuer von 13.776 €, das sind 26,5 %. Ein Alleinstehender mit einem zu
versteuernden Einkommen von 104.000 € zahlt 35.615 € Einkommensteuer, das sind 34,2 %
(ab 1. Januar 2009).
21
Spitzensteuersatz (Grenzsteuersatz)
Ein Einkommensteuerpflichtiger mit einem zu versteuernden Einkommen von über 250.400 €
(Ausnahme: siehe Reichensteuer) zahlt also nur auf jenen Betrag 45 % Einkommensteuer, der
diese Grenze überschreitet.
Zum Vergleich: In den 70er Jahren betrug der Spitzensteuersatz noch 56 %. Im Vergleich
zum Jahr 1998 (53 %) zahlte ein Einkommensteuerpflichtiger mit einem zu versteuernden
Einkommen von 70.000 € im Jahre 2005 etwa 4.000 € weniger, ein Steuerpflichtiger mit
100.000 € etwa 7.000 € weniger und jemand mit einem zvE von 200.000 € etwa 18.000 €
weniger.
Zu beachten ist, dass zur Einkommensteuer ein Solidaritätszuschlag von 5,5 % (Tarif seit
1998) erhoben wird. Die Spitzenbelastung inkl. Solidaritätszuschlag beträgt dementsprechend
42 % + (5,5 % von 42 %) = 44,31 % (Stand 2006), 45 % + (5,5 % von 45 %) = 47,475 % (ab
2007)
Mittelstandsbauch
Verglichen mit einem linearen Einkommensteuertarif stellt der tatsächliche Tarif eine
konkave Kurve dar. Die Steuerprogression ist bei niedrigeren Einkünften höher als bei
höheren. In der politischen Diskussion wird dieser Verlauf kritisch als „Mittelstandsbauch“
bezeichnet.
http://de.wikipedia.org/wiki/Einkommensteuertarif
22
Kugelstoß
Die Flugbahn einer Kugel wird wie folgt mit einer Stroboskopkamera mit 10
Bildern pro Sekunde aufgenommen:
Kugelstoßen
4
3,5
Höhe in m
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
0
2
4
6
8
10
12
14
Weite in m
Die Höhe der Kugel (in Metern) in Abhängigkeit von der Zeit x (in Sekunden) wird
durch die Gleichung f(x) = -5x² +5x + 2 beschrieben.
a) Bestimmen Sie die Flugdauer der Kugel.
b) Berechnen Sie die Höhe der Kugel nach 1,2 s.
23
Die Flugbahn einer Kugel wird wie folgt mit einer Stroboskopkamera mit 10
Bildern pro Sekunde aufgenommen:
Kugelstoßen
4
3,5
Höhe in m
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
0
2
4
6
8
10
12
14
Weite in m


Nach ca. 13 Bildern, also nach 1,3s landet die Kugel auf der Erde.
Die genaue Zeit ergibt sich durch Bestimmung der Nullstelle
(Höhe=0)
f(x) = -5x² +5x + 2
-5x² +5x + 2=0
2
x²-x-  0
5
2
x
1
1 2
   
2
2 5
1
13

2
20
1
  0,806
2
Sinnvoll ist nur die positive Lösung 1,306 s.

Die Höhe nach 1,2 s ergibt sich nach
f(x) = -5x² +5x + 2
f(1,2) = -5 1,2² +5 1,2 + 2
=0,8
zu 0,8m.
24
Hängebrücke
Seil
1. Hänger
Die Brücke über den Rhein bei Köln/Rodenkirchen wurde von 1938-1941 von Fritz
Leonhardt und Paul Bonatz errichtet. Nach ihrer Fertigstellung war sie mit einer
Spannweite von 378 Metern die am weitesten gespannte Brücke Europas. Die
stattlichen Pylone ragen bis in eine Höhe von 60 m über die Fahrbahn. Das Seil
hängt an der tiefsten Stelle 58 m durch.
a) Leiten Sie die Gleichung, die die Form des Seils zwischen den Pylonen
beschreibt,
her.
b) Berechnen Sie die Länge des ersten Hängers, der sich 10,5 m vom Pylon
befindet.
Quelle der Skizze:
de.wikipedia.org/wiki/Hängebrücke
Diese Datei wurde unter der GNU-Lizenz für freie Dokumentation veröffentlicht.
25
1. Hänger
Erste Lösung:
Man legt den Ursprung des KOS in die Mitte der Brücke.
Dann ist f(0)=2 und f(189)=60.
Allgemein ist f(x)=ax² + bx + c
Wegen der Symmetrie ist b=0
und wegen f(0)=2 ist c = 2
58
 0, 00162 , somit
189²
ist die Länge des Hängers gegeben durch f(x) = 0,00162 x² + 2
und wegen f(189)=60 ist 60 = a 189² + 2 , also a 
26
1. Hänger
Zweite Lösung:
Man legt in die Spitze eines Pylons, womit man eine Nullstelle verwendet. Die andere
Nullstelle liegt dann bei 378 und die Seilfunktion wird beschrieben durch
g(x)=a x (x-378). Für den tiefsten Punkt gilt dann f(198)= - 58:
58
 0, 00162 , somit
189²
ist die Länge des Hängers gegeben durch
h(x) = 60 + g(x) = 60 + 0,00162 x (x-378) )
-58 = a 189 (-189) => a 
Für den ersten Hänger ergibt sich die Länge in m zu
x=189-10,5=178,5:
f(178,5)
= 0,00162 *178,5² + 2 ≈ 53,62
h10,5)
= 60+0,00162*10,5*(10,5-378) ≈ 53,62
oder:
x=10,5
27
Häuserjumping
Stuntwoman Julia weiß, dass sie beim
Weitsprung normalerweise 6,40m weit und dass
sie dabei ca. 0,50 m hoch springt.
Sie steht auf dem linken Haus und soll für den
nächsten Actionfilm auf das rechte Haus
springen.
Die beiden Häuser sind 10m voneinander
entfernt, ferner ist das rechte Haus 2m niedriger
als das linke.
Was empfehlen Sie Julia?
28
Die Angaben zu Entfernungen sind alle in m.
Julia bewegt sich auf einer parabelförmigen Bahn.
Diese beschreibt man zum Beispiel mit der Nullstellenform:
f(x) = a (x-x1) (x-x2), hier ist x1=0 und x2=6,4.
Der Scheitelpunkt ergibt sich zu (6,4/2 ; 0,5 ) = (3,2 ; 0,5)
Also f(3,2) = a * 3,2 * (3,2 – 6,4) = 0,5  a = 0,5/3,2² = - 0,0488
 f(x) = - 0,0488 x (x-6,4)
f(10) = - 0,0488*10*(10-6,4) = -1,75
(3,2 ; 0,5)
Von der Höhe reicht es.
f(x) = - 0,0488 x (x-6,4) = -2 liefert x = 10,54
Der Aufsprung ist mit 0,54m ebenfalls ausreichend.
Von der Mathematik her wäre der Sprung also machbar, allerdings mit großem
Risiko behaftet.
29
Heißluftballon
Auf einen Heißluftballon wirkt neben der Auftriebskraft durch die heiße Luft noch die
Gewichtskraft der Hülle, des Korbes und der Insassen.
Die Auftriebskraft wird durch die Formel
Auftriebskraft =
Dichteunterschied zwischen kalter und heißer Luft x Ballonvolumen x Erdbeschleunigung:
Der Ballon sei im Beispiel kugelförmig gedacht.
FA  (  kalt   heiß )  V  g
4
 (  kalt   heiß )   r 3  g
3
beschrieben.
Die Gewichtkraft berechnet man mittels des Zusammenhangs
Kraft = Masse x Erdbeschleunigung: F = m g
Für die Ballonhülle mit der Massendichte  gilt
m   A
   4 r 2
Beispielwerte:
Dichte kalter Luft
kalt
1,25 kg/m³
Dichte heißer Luft
heiß
1,1 kg/m³
g
9,81 N/kg
Erdbeschleunigung
Masse Korb
Masse Personen
Massendichte Ballonstoff
Mkorb
100 kg
Mpersonen
250 kg

0,1 kg/m²
Info: Der Ballon steigt, wenn die Auftriebskraft größer als die gesamte Gewichtskraft ist.
Ermitteln Sie zum Beispiel mit einem Funktionsplotter die notwendige Größe des Ballons für obige
Werte.
Für Experten: Stellen Sie selber Untersuchungen zur Massendichte von Ballonseide und zur Dichte
von heißer Luft an und ermittle neu (Internet).
Überlegen Sie umgekehrt, welche Dichte die heiße Luft haben muss, damit der Ballon bei einem
gegebenen Radius von 7m die Last tragen kann (Probieren mit dem Funktionsplotter).
Begründe Sie, weshalb ein mit Helium oder Wasserstoff gefüllter Ballon viel kleiner sein darf. Welche
Nachteile sind jedoch zu berücksichtigen (Angaben zur Dichte von Helium oder Wasserstoff finden
Sie in der Formelsammlung, Chemiebuch oder …).
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Lösungsvorschlag
Mathe Ass liefert für die Funktionen
f1(x)=(1,25-1,1)*4/3*3,141*x^3*9,81
f2(x)= (100+250+0,1*4*3,141*x^2)* 9,81
einen Schnittpunkt bei einem Radius von ca. 9m.
Weitere Infos aus dem Netz hierzu:
http://leifi.physik.uni-muenchen.de/web_ph09/umwelt_technik/02ballon/index.htm
http://www.heinzelballons.de/html/huellen.htm
http://de.wikipedia.org/wiki/Auftrieb
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