Funktionen n

Skript zum Fach
Mathematik:
Grundlagen
Lineare Funktionen
Quadratische Funtionen
Ganzrationale Funktionen 3. Grades
Lars Juchhoff
Version 1.0/C/2015
Inhalt
Definitionen von Funktionen .................................................................................... 2
Definition von linearen Funktionen .......................................................................... 6
Liegt der Punkt Pi auf dem Graphen der Funktion f? .............................................. 8
Definition Schnittpunkt von Funktionen ................................................................. 10
Konstruktion einer linearen Funktion mit zwei gegebenen Punkten ...................... 11
Damit ergibt sich die Funktionsgleichung .............................................................. 11
Ökonomische Anwendungen zu linearen Funktionen ........................................... 14
Umkehrfunktionen ................................................................................................. 15
Aufgabe Hundeauslauf............................................. Error! Bookmark not defined.
Definition quadratische Funktionen ....................................................................... 19
Die Scheitelpunktform ........................................................................................... 21
Achsenschnittpunkte von quadratischen Funktionen ............................................ 22
Berechnen der Nullstellen der Funktion f(x) = x² +a1x + a0 ................................... 26
Ergänzung :Diskriminante und Vieta ..................................................................... 27
Ökonomische Anwendungen ................................................................................ 29
Exkurs: Lineare Gleichungssysteme (LGS) .......................................................... 30
Extremwertaufgabe: Das Volumen der Schokoladenschachtel ............................. 34
Definition ganzrationale Funktionen ...................................................................... 35
Berechnen der Nullstellen einer Funktion 3. Grades ............................................. 36
Horner-Schema ..................................................................................................... 37
Lösen von Gleichungen 3. Grades ohne absolutes Glied ..................................... 37
Lösen von Gleichungen 4. und höheren Grades ................................................... 38
Lösen von Gleichungen 4. Grades mit Substitution .............................................. 39
Achsenschnittpunkte von Funktionen 3. & 4. Grades ........................................... 39
Linearfaktorzerlegung ........................................................................................... 40
Ökonomische Anwendung .................................................................................... 41
Ökonomische Anwendung zu gebrochen-rationalen Funktionen .......................... 41
Gebrochen-rationale Funktionen ........................................................................... 42
Lars Juchhoff
Lineare Funktionen
Arbeitsauftrag:
Setzen Sie sich in 4-er Gruppen zusammen und
bearbeiten folgenden Auftrag:
„Ordnen Sie Ihre Lebensqualität von Jahr zu Jahr
in einer Rangskala von –5 (sehr schlecht) bis 5
(sehr gut) ein und stellen Sie dies graphisch dar.
Beginnen Sie mit der Vergangenheit und schätzen
Sie die nächste Zukunft ab.“
Sie haben hierfür
20 Minuten Zeit!
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Lars Juchhoff
Lineare Funktionen
Definitionen von Funktionen
Wird jeder reellen Zahl x einer Menge D durch eine Vorschrift f genau eine reelle
Zahl y zugeordnet, dann ist f eine FUNKTION. [ Man spricht auch von ABBILDUNG].
Schreibweisen:
Funktions-/Zuordnungsvorschrift
f : DW
x f (x)
Funktionsgleichung
y  f (x)
Funktionswert
f (x) heißt dabei der „Wert von f an der Stelle x“
Die Menge D aller reellen Zahlen x für die die Funktion erklärt ist, heißt
Definitionsmenge.
Die Menge W aller reellen Zahlen, die y als Wert annehmen kann, wird der
Wertebereich genannt.
Funktionsgraph
Die zeichnerische Darstellung der
Elemente des Definitionsbereichs und
ihrer zugeordneten Werte nennt man den
Funktionsgraph von f.
1
Der Verrat der Bilder
Funktionsbezeichnung
Üblicherweise wird jeder Funktion eine Bezeichnung zugewiesen. Für allgemeine
Funktionen wird meist ein Kleinbuchstabe verwendet, häufig wird f aber auch g oder
h benutzt.
1
René Magritte: Der Verrat der Bilder, 1929, Los Angeles Museum of Art
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Lineare Funktionen
Seite 3
Lars Juchhoff
Lineare Funktionen
Aufgabe:
Bei welchen Abbildungen handelt es sich um Funktionen: (Mit kurzer Begründung)
a)
d)
D
W
b)
D
W
c)
W
x1
y1
x1
y1
x1
y1
x2
y2
x2
y2
x2
y2
x3
y3
x3
y3
x3
y3
x4
y4
x4
y4
x4
y4
D
W
e)
D
W
f)
D
W
x1
y1
x1
y1
x1
y1
x2
y2
x2
y2
x2
y2
x3
y3
x3
y3
x3
y3
x4
y4
x4
y4
x4
y4
g)
h)
i)
j)
k)
m)
n)
D
o)
p)
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Lars Juchhoff
Lineare Funktionen
Don't drink and drive
Im Jahr 2009 gab es über 17.000 Unfälle mit
Personenschaden, bei denen Alkohol die
Ursache war. Nicht mit gezählt die Unfälle, bei
denen niemand verletzt wurde.
Das Fahren unter Alkoholeinfluss hat auch
andere Konsequenzen: 2008 verloren über
91.000 Fahrer ihren Führerschein wegen
Alkohol oder Drogen am Steuer.
Für Fahranfänger gilt in Deutschland die 0,0 ‰
-Grenze. Auch ältere Fahrer müssen ab 0,3 ‰
mit einer Geldstrafe und Führerscheinentzug rechnen, wenn Anzeichen von
Fahrunsicherheit vorliegen, bei 0,5 ‰ drohen neben einem Bußgeld bis 1.500 Euro
auch 4 Punkte und bis zu drei Monaten Fahrverbot, wer noch tiefer ins Glas geschaut
hat und mit 1,6 ‰ erwischt wird, muss mit strafrechtlichen Konsequenzen und einer
MPU rechnen.
Was dabei oft vergessen wird: Auch am nächsten
Morgen ist der Alkohol nicht gänzlich verschwunden.
Bestenfalls werden pro Stunde 0,15 ‰ abgebaut. Weder
Schlaf noch Kaffee kann dieses beschleunigen. Wer sich
also am Abend einen Alkoholspiegel von 1,5 ‰ antrinkt,
Quizfrage:
Nach wie viel
Stunden sind Sie bei
einer Ausgangslage
von 1,5 ‰ wieder
restlos nüchtern,
wann fahrtüchtig?
kann ausrechnen wann er wieder fahrtüchtig ist.
Deshalb: Schon bei geringsten Zweifeln an der Fahrtüchtigkeit das Auto stehen
lassen. Ein Taxi kann niemals so teuer sein wie ein Unfall, eine Bus- und Bahnfahrt
nie so beschwerlich wie die Folgen einer Alkoholfahrt – selbst wenn nichts passiert,
kann nach einer Kontrolle der Führerschein weg sein.
Geben Sie eine Gleichung an, mit der man den Restalkohol zu einem beliebigen
Zeitpunkt berechnen kann.
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Lineare Funktionen
Definition von linearen Funktionen
f : DWmit
f(x)a
a0, D  IR , a1 , a0  IR
1x
Eine Funktion
heißt LINEARE FUNKTION.
Der Schnittpunkt der Funktion f mit der y-Achse heißt auch
Achsenabschnitt Sy. Für die Funktion f(x) = a1 x + a0 ist Sy (0/a0).
Die Steigung m einer Funktion f ist das Verhältnis von der Veränderung
des y-Wertes zur Veränderung des x-Wertes. Bei der Funktion f(x) = a1 x
+ a0 ist m = a1.
Nullstelle:
Schnittpunkte mit der x-Achse heißen Nullstellen, weil die Funktion hier
den Wert 0 annimmt:
f(x) = 0.
Wie viele Schnittpunkte mit der x-Achse kann eine lineare Funktion
(Funktion 1.Grades) haben?
y
y
x
Übung:
Geben Sie für folgende Funktionen i bis vi
a) den Definitionsbereich,
b) den Wertebereich,
c) die Steigung,
d) den Achsenabschnitt,
e) die Nullstelle an:
y
x
i)
ii)
iii)
iv)
v)
vi)
x
f(x) = 3x + 2
g(x) = -2x + 5
h(x) = x - 0,75
i(x) = -0,8 x + 0,8
j(x) = -3
k(x) = -3x
Zeichnen Sie die Funktionen anschließend in ein Koordinatensystem.
Wieso hat die Funktion f(x) = a1 x + a0 den Achsenabschnitt Sy (0/a0).?
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Lineare Funktionen
Lars Juchhoff
Lineare Funktionen
Liegt der Punkt Pi auf dem Graphen der Funktion f?
f(x) = 2 x + 1
P1(1/2)
P2 (0/1)
P3(3/7)
P4 (1/3)
P5 (-1/2)
Satz:
Der Punkt P(x0 /y0 ) liegt auf dem Graphen der Funktion f
genau dann wenn /
P die Funktionsgleichung erfüllt, d. h.

f(x0 ) = y0
Übungen:
Prüfen Sie ob obige Punkte Pi auf den Graphen der Funktionen f liegen:
a)
b)
c)
d)
f(x)
f(x)
f(x)
f(x)
=x+1
=2x+1
=0,25 x + 2,75
= -0,15 x + 2,15
Lars Juchhoff
Lineare Funktionen
Mobiles Internet
Auszüge aus zwei Angeboten im
Internet für den mobilen
Internetzugang:
Anbieter A.:
„Rund um die Uhr ein Tarif!“
...
Grundgebühr
Minutenpreis
...
...
9,95 €
0,4 Cent / Min
...
Anbieter S:
„Der Tarif für Einsteiger.“
...
Grundgebühr
Minutenpreis
...
...
5,95 €
1 Cent / Min
...
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Lineare Funktionen
Definition Schnittpunkt von Funktionen
Der Punkt S(xs /ys ) ist Schnittpunkt der Funktionen f und g

f(xs) = g(xs)  f(xs) = y0
Frage:
Wie viele gemeinsame Punkte können zwei lineare Funktionen
besitzen?
y
y
x
y
x
Übungen:
Berechnen Sie die Schnittpunkte der Funktionen f und g:
a) f(x) = x + 1
b) f(x) = 0,25x + 0,75
g(x) = 2x – 1
g(x) = -0,25x + 0,75
x
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Lineare Funktionen
Konstruktion einer linearen Funktion mit zwei gegebenen Punkten
Der Graph welcher linearen Funktion verläuft durch die Punkte P1
(3/7) und P2(1/3)
Die allgemeine Form einer linearen Funktion lautet
f(x) = a1x + a0
Die Punkte erfüllen die Funktionsgleichung, d.h.
P1 (3/7)
P2(1/3)
=>
=>
I – II
Also
a1 in I:
I
II
a1 3 +a0 = 7
a1 1 +a0 = 3
a1 2
a1
= 4 :2
Anwenden des Additionsbzw. Subtraktionsverfahrens, um a0 zu
eleminieren
= 2
2·3 +a0 = 7 -6
a0 = 1
Einsetzen des Wertes für
a1 in eine der oberen
Gleichungen, um a0
herauszubekommen
Damit ergibt sich die Funktionsgleichung
f(x) = 2x + 1
Zur Probe kann der Punkt P2 in die Gleichung eingesetzt werden.
Übungen:
Konstruieren Sie die Funktionsgleichungen aus:
a) P1 und P2
mit den Punkten
b) P3 und P4
P1(1/2)
c) P1 und P3
P2(0/1)
e) P3 und P5
P3(3/7)
f) P1 und P4
P4(1/3)
e) P1 und P5
P5(-1/2)
Lars Juchhoff
Lineare Funktionen
Lars Juchhoff
Lineare Funktionen
Alternatives Verfahren (Zwei-Punkte-Form)
Die Steigung m einer linearen Funktion ist das Verhältnis von Höhenund Horizontaltunterschied zwischen zwei Punkten einer Geraden
(vgl. Steigungsdreieck)
P2(x2/y2)
P(x/y)
P1(x1/y1)
f
P1P:
P2P1:
Da
m1 =
m2 =
m2 =m1
gilt
(Zwei-Punkte-Form)
Lars Juchhoff
Lineare Funktionen
Ökonomische Anwendungen zu linearen Funktionen
Break-Even-Point:
Bei der Produktion eines Schmierstoffs in einem Betrieb der chemischen Industrie
fallen monatlich 15.000,00 € fixe Kosten an. Die proportionalen Kosten pro Liter
betragen 5,00 Euro, der angestrebte Verkaufspreis beträgt 9,00 € pro Liter.
a) Stellen Sie die Erlösfunktion E, die Kostenfunktion K und die Gewinnfunktion
G auf.
b) Stellen Sie fest, bei welcher Produktionsmenge die Kosten und Erlöse gleich
groß sind. (Nutzenschwelle/Break-Even-Point).
c) Schraffieren Sie den Gewinn- und Verlustbereich.
Angebot und Nachfrage
Im volkswirtschaftlichen Modell bildet sich der Preis eines Guts durch Angebot und
Nachfrage. Vielen kleinen Anbietern stehen dabei viele kleine Nachfrager gegenüber.
Gleichen sich Angebot und Nachfrage aus, so erhält man den Gleichgewichtspreis.
Grafisch wird dieser Preis durch den Schnittpunkt von Angebotskurve A und
Nachfragekurve N dargestellt. Dabei unterstellt man, dass der Verlauf der Kurven
linear ist.
Zur Preisbildung eines neu einzuführenden Produktes werden folgende Daten
ermittelt:
Angebot
Nachfrage
Bei einem Preis von 20 GE je ME:
Bei einem Preis von 50 GE je ME:
40 ME
80 ME
90 ME
30 ME
a) Legen Sie den Definitions- und den Wertebereich für beide Funktionen fest.
b) Stellen Sie die Funktionsgleichungen (y GE für x ME) der Angebots- und
Nachfragegeraden auf!
c) Interpretieren Sie die gefundenen Funktionen
d) Bestimmen Sie rechnerisch und grafisch den Gleichgewichtspreis! Wie groß
ist die dazugehörige Gleichgewichtsmenge? (10 ME /GE je 1cm)
e) Wie verändert sich der Gleichgewichtspreis, wenn sich die Nachfrage um je 10
ME erhöht?
Wie können Sie die gefundenen Ergebnisse auf ihre Richtigkeit überprüfen?
Lars Juchhoff
Lineare Funktionen
Umkehrfunktionen
Aus der Definition für Funktionen:
Eine Funktion f bildet die Elemente x einer
Definitionsmenge D auf Elemente y einer
Wertemenge W ab,
oder anders: jedem x wird genau ein y zugeordnet.
1. Auftrag zur Erarbeitung:
X1
Y1
X2
Y2
X3
Y3
D
W
Stellen Sie als Beispiel die Funktionsgleichung einer linearen Funktion auf, erstellen Sie
eine Wertetabelle (mindestens 3 Werte) und zeichnen Sie den Graphen.
Ermitteln Sie die
i)
Steigung,
ii)
den Achsenabschnitt und
iii)
die Nullstelle Ihrer Funktion.
Oft sucht man jedoch auch eine Funktion, die die
Elemente y wieder zurück auf die x-Werte abbildet,
um die Ursprungswerte zu ermitteln.
Diese Funktion bezeichnet man als
UMKEHRFUNKTION f –1 zu f.
X1
Y1
X2
Y2
X3
Y3
2. Auftrag zur Erarbeitung:
Erstellen Sie zur angefertigten Wertetabelle die Wertetabelle der zugehörigen
Umkehrfunktion (Vertauschen Sie dazu die Werte von x und y). Zeichnen Sie die
Umkehrfunktion in das gleiche Koordinatensystem und berechnen Sie die
Funktionsgleichung. Ermitteln Sie ebenfalls die
i)
Steigung,
ii)
den Achsenabschnitt und
iii)
die Nullstelle Ihrer Umkehrfunktion.
Fragen:
 Betrachten Sie die beiden Graphen und deren Eigenschaften; welche
Beziehung besteht?
 Wo liegt der Schnittpunkt der beiden Funktionen?
 Gibt es zu jeder (linearen) Funktion eine Umkehrfunktion? Wenn nein,
finden Sie ein Gegenbeispiel!
Definition:
f*: D* W* heißt Umkehrfunktion einer Funktion f:D W 
D* = W und W* = D und  x  D f*(f(x)) = x und  y  D* f(f*(y)) = y
Lars Juchhoff
Übungen
Lineare Funktionen
1. Übung:
Handelt es sich bei folgenden Abbildungen um Funktionen:
a)
D
W b)
D
W c)
D
g)
W
x1
y1
x1
y1
x1
y1
x2
y2
x2
y2
x2
y2
x3
y3
x3
y3
x3
y3
x4
y4
x4
y4
x4
y4
h)
2. Übung:
Geben Sie für folgende Funktionen i bis vi
f) den Definitionsbereich,
g) den Wertebereich,
h) die Steigung,
i) den Achsenabschnitt,
j) die Nullstelle an:
i)
vii)
viii)
ix)
x)
xi)
f(x) = 2x + 3
g(x) = -5x - 4
i(x) = -0,3 x + 0,3
j(x) = -1
k(x) = -2x
3. Übung:
Geben Sie eine lineare Funktionen an für:
a) Eine Taxifahrt, Anfahrtspauschale: 3,00 €, je km 50 Cent.
b) Die Heizöllieferung: Pauschal 50 €, je Liter Heizöl weitere 40 Cent.
c) Heizöllieferung keine Pauschale, 45 Cent pro Liter.
d) Stoffkosten je m 3,50 € im Fachgeschäft.
e) Jede Milchpackung kostet im Supermarkt 99Cent.
Gibt es Einschränkungen für den Definitionsbereich?
4. Übung:
Überprüfen Sie welcher Punkt P auf einem Graph der Funktionen liegt:
5. Übung:
Finden Sie alle Schnittpunkte der Funktionen f, g, h und i aus Übung 4.
6. Übung:
Finden Sie alle Funktionen, auf deren Graphen je zwei der Punkte P aus Übung 4
liegen.
Lars Juchhoff
Übungen
Lineare Funktionen
6. Übung:
A(-1,5/-2) bildet die linke untere Ecke, C(4/1) die rechte obere eines Parallelogramms
ABCD.Die Seite AB verläuft parallel zur x Achse, ihre Länge beträgt 4 Einheiten.
Bestimmen Sie den Punkt D, die Gleichung der Seiten und der Diagonalen, sowie
deren Schnittpunkt.
7. Übung:
Ein Stromversorger bietet verschiedene Tarife an:
1. Grundgebühr 15,00 €, Preis pro kWh 0,20 €
2. Grundgebühr 25,00 €, Preis pro kWh 0,15 €
3. Keine Grundgebühr; Preis pro kWh 0,35 €.
a) Geben Sie die Verbrauchsgrenzen an, in denen der jeweilige Tarif der
günstigste ist.
b) Wie hoch sind an den jeweiligen Punkte die Stromkosten.
8. Übung:
Bei der Produktion eines Gutes W in einem Betrieb B der Industrie C fallen monatlich
145.000,00 € fixe Kosten an. Die proportionalen Kosten pro Liter betragen
15,00 Euro, der angestrebte Verkaufspreis beträgt 23,00 € pro Stück.
c) Stellen Sie die Erlösfunktion E, die Kostenfunktion K und die Gewinnfunktion
G auf.
d) Stellen Sie fest, bei welcher Produktionsmenge die Kosten und Erlöse gleich
groß sind. Geben Sie den Break-Even-Point BEP (auf der Kostenfunktion) an.
e) Wie hoch sind die gesamten Stückkosten beim BEP?
9. Übung:
Zur Preisbildung eines neu einzuführenden Produktes W werden folgende Daten
ermittelt:
Angebot
Nachfrage
Bei einem Preis von 30 GE je ME:
Bei einem Preis von 60 GE je ME:
50 ME
90 ME
100 ME
40 ME
a) Legen Sie den Definitions- und den Wertebereich für beide Funktionen fest.
b) Stellen Sie die Funktionsgleichungen (y GE für x ME) der Angebots- und
Nachfragegeraden auf!
c) Interpretieren Sie die gefundenen Funktionen
d) Bestimmen Sie rechnerisch und grafisch den Gleichgewichtspreis! Wie groß
ist die dazugehörige Gleichgewichtsmenge? (10 ME /GE je 1cm)
e) Wie verändert sich der Gleichgewichtspreis, wenn sich die Nachfrage um je 10
ME veringert?
10. Übung:
Bilden Sie die Umkehrfunktion für alle Funktionen aus Aufgabe 2.
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Quadratische Funktionen
Aufgabe „Umzäunen eines Außenlagers“
Die Hohenwalder Brauerei möchte an einer Gebäudeseite ein umzäuntes
Außenlager errichten, um dort wetterfeste Waren zu lagern. Hierfür stehen 38 m
Zaun inklusive Pfosten zu Verfügung. Das Lager soll rechteckig werden.
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Quadratische Funktionen
Definition quadratische Funktionen
f : DWmit
f ( x)  a2 x 2  a1 x  a0 ,
D  IR , a0 , a1 , a2  IR
Eine Funktion
heißt quadratische Funktion oder Funktion 2. Grades.
Welche Punkte zeichnen den Graphen einer quadratischen Funktion insbesondere
aus?
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Lars Juchhoff
Quadratische Funktionen
Beantworten Sie folgenden Fragen zu quadratischen Funktionen:
Was ist eine quadratische Funktion?
Was ist eine Normalparabel?
Was ist der Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion?
Wie wird die Normalparabel
gestreckt oder gestaucht?
nach oben oder nach unten geöffnet?
nach unten oder oben verschoben?
nach rechts oder links verschoben?
Fertigen Sie zu 4. jeweils eine Zeichnung mit einem Beispiel an.
Eine quadratische Funktion ist
Die Normalparabel ist
Der Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion
Die Normalparabel f(x) =
wird gestreckt oder gestaucht
ist nach oben / nach unten geöffnet
wird nach unten oder oben verschoben
wird nach rechts oder links verschoben
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Quadratische Funktionen
Die Scheitelpunktform
Definition
Die Form f(x) = a(x – x0)² + y0 einer quadratischen Funktion heißt Scheitelpunktform.
Die zugehörige Parabel besitzt den Scheitelpunkt S(x0/y0).
Jede quadratische Funktion f hat einen Scheitelpunkt!

Jede quadratische Funktion f kann von der Normalform in die Scheitelpunktform
überführt werden.
Beispiel:








f(x) = 4 x² + 16 x + 8
f(x) = 4 (x² + 4 x + 2)
f(x) = 4 (x² + 4 x + 2² -2² + 2)
f(x) = 4 ((x +2)² -2²+ 2)
f(x) = 4 ((x +2)² - 2)
f(x) = 4 (x +2)² - 8
Scheitelpunkt S(-2/-8)
Rückführung in die Normalform:




f(x) = 4 (x +2)² - 8
f(x) = 4 (x² +4x + 4) - 8
f(x) = 4 x² + 16x + 16 - 8
f(x) = 4 x² + 16x + 8
Übungen:
Überführen Sie in die Scheitelpunktform:
a) f(x) = 0,5 x² + 4x -2
b) f(x) = 2 x² - 2x + 2
Bestimmen Sie die Normalform der quadratischen Funktion, deren Graph:
um den Faktor 2 gestreckt, nach oben geöffnet, um 3 Einheiten nach links und 2
Einheiten nach unten verschoben ist.
Mit dem Faktor 0,25 gestaucht, nach unten geöffnet, um 2 Einheiten nach rechts und
3 Einheiten nach oben verschoben ist.
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Quadratische Funktionen
Achsenschnittpunkte von quadratischen Funktionen
Wo schneidet der Graph die y-Achse?
Wo schneidet der Graph die x-Achse?
Beispiel 1:
f(x) = x² - 4
=> x² - 4 = 0
x² = 4
x1 = 2 und x2 = -2
Feststellung: Diese quadratische Funktion besitzt 2 Nullstellen!
Übung: Berechnen Sie die Nullstellen von
a) f(x) = x² - 2
b) f(x) =x²
c) f(x) = x² + 1
Satz:
Eine Gleichung der Form a2 x² + a1x + a0 = 0 besitzt eine, zwei oder null Lösungen!
Beispiel 2:
f(x) = x ² + 2x
=> x² +2x = 0
x(x +2) = 0
x = 0 oder
x1 = 0
Beispiel 3:
f(x) = x ² + 2x - 3
x² + 2x -3
=0
x² + 2x
=3
x² + 2x +1 = 4
(x+1)²
x+1
a·b=0 => a=0 oder b=0
x+2 = 0
x2 = -2
q.E. (1²)
=4
„Wurzel ziehen“
=±2
-1
x1 = 1 ; x2 = - 3
Übung:
Bestimmen Sie die Nullstellen von:
f(x) = x² -9
f(x) = -3x² - 76
f(x) = 3x² - 12
f(x) = x² - 9x
f(x) = 4x² - 8
f(x) = 2x² + 6x
f(x) = x² -9x + 6
f(x) = x² -5x + 1
f(x) = 3x²+ 12x -6
Warum ist der Begriff der Wurzel bei Beispiel 3 nicht exakt?
Was fällt auf, wenn man die Nullstellen einer Funktion mit dem Scheitelpunkt
vergleicht? Welche Vereinfachung ergibt sich daraus bei der Berechnung des
Scheitelpunktes? Stellen Sie eine Konstruktionsanleitung auf.
Seite 22
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Quadratische Funktionen
Berechnen der Nullstellen der Funktion f(x) = x² +a1x + a0
Beispielrechnung:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
f(x) = x² + 4 x – 5
x² + 4 x - 5 = 0
x² + 4 x
=5
2
x² + 4 x + 2
= 5 + 22
(x + 2)²
=9
(x + 2) = 3 oder (x + 2) =
x = 1 oder x = - 5
N1(1/0)
N2(-5/0)
Aufgaben:
1.
Schauen Sie sich die Beispielrechnung an und ergänzen Sie
jeweils die Operation die vorgenommen wurde. (In (2)
beispielsweise „+5“).
2.
Wie kommt man auf die 22 in Schritt (3)?
(Tipp: Denken Sie an die Scheitelpunktsform)
3.
Ergänzen Sie in (6) die zweite Lösung.
4.
Zeichnen Sie den Funktionsgraphen!
Die pq-Formel
(1)
x² + p x +q
(2)
x² + p x
(3)
x² + x +
(4)
(x +
)²
(5)
(x + )
(6)
(7)
x =
=0
= -q
=
=
=
oder x =
pq-Formel:
abc-Formel:
Seite 26
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Quadratische Funktionen
Ergänzung :Diskriminante und Vieta
Beispiel:
x² + 2x – 8 = 0
x1,2 =
x² +8 x + 16 = 0
x1,2 =
Definition
Für die Gleichung x² + px + q = 0 gilt:
2
 p
D     q heißt Diskriminante
2
Es gilt dann :
D > 0 zwei Lösungen
D = 0 eine Lösung
D< 0 keine Lösung
Lösen durch Zerlegen in Linearfaktoren
Was sind Lösungen von
x² + 2 x -3 = 0
x1 = 1
x2 = -3
Aufgabe multiplizieren Sie:
(x –1) (x +3) = x² + 2 x -3
Verallgemeinerung:
1. Eine quadratische Gleichung x² + p x +q = 0 mit den Lösungen x1 und x2 lässt
sich zerlegen in (x – x1)(x – x2) = 0
2. Es gilt x1 + x2 =
-p
und x1 • x2 = q
(Satz von Vieta)
Anwendungsmöglichkeiten:
Einfache Lösungen finden
Probe
etc.
Seite 27
Lars Juchhoff
Quadratische Funktionen
Übung:
Die Preisabsatzfunktion
Ein Unternehmen verkauft ein Produkt zu einem Preis von 25 €
Marktforschungen ergaben:
Es werden zur Zeit 10.000 Stück abgesetzt.
Bei einer Preissenkung von jeweils
0,50 € werden 1000 Stück mehr abgesetzt.
Fragen:
Bei welchen Preis wird am meisten eingenommen?
Wie lautet die Erlösfunktion?
1. Preissenkung
2. Preissenkung
Preis in €
25
25 – 0,5
25 – 0,5 · 2
25 – 0,5 · x
Menge in Stück
10.000
10.000 + 1000
10.000 + 1000 · 2
10.000 + 1000 · x
Erlöse: E(x)
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Lars Juchhoff
Quadratische Funktionen
Ökonomische Anwendungen
Erlös- und Gewinnfunktion im Monopol
1.) Eine Preis-Absatzfunktion p ordnet jeder nachgefragten Menge x einen
Nachfragepreis p(x) zu. p(x) gibt also den Preis p zu einer Absatzmenge x an.
2.) Die Erlösfunktion ordnet jeder Absatzmenge einen Erlös zu. Dieser ergibt sich
aus dem Preis p (der von der Menge x abhängt, siehe 1.)
E(x) = p(x) ·
x
Für einen Monopolisten ergaben Marktforschungen folgende
Funktionsgleichungen:
Preisabsatzfunktion
Kostenfunktion
p(x) = -0,2 x + 10
K(x) = 1,2 x + 68
Aufgaben:
1. Geben Sie Beispiele für eine Monopolstellung eines Unternehmens.
2. Legen Sie einen sinnvollen Definitionsbereich fest (IDök)
Tipp: Die Menge und der Preis sollten nicht negativ sein!
3. Geben Sie die Erlös- und Gewinnfunktion an.
4. Berechnen Sie
a. die Schnittpunkte der Erlös- und der Kostenfunktion.
b. die Nullstellen der Gewinnfunktion.
Zur Bezeichnung: Der Beginn der Gewinnzone (1. Nullstelle) heißt Gewinn(Nutzen-) schwelle, das Ende (2. Null-stelle) Gewinn(Nutzen-) grenze.
5. Berechnen Sie das Gewinn- (Nutzen-)maximum.
6. Berechnen Sie den Preis (mit Hilfe der Preisabsatzfunktion) für den der
maximale Gewinn erzielt wird.
Der Punkt auf der Preisabsatzfunktion, bei dem der höchste Gewinn erzielt
wird, heißt Cournotscher Punkt nach Augustin Cournot (1801 – 1877).
7. Geben Sie den Cournotchen Punkt an.
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Quadratische Funktionen
Lineare Gleichungssysteme (LGS)
Allgemeines
Ein LGS besteht aus mehreren Gleichungen mit ebenso vielen Unbekannten. Ziel ist
es dann, die Unbekannten zu bestimmen!
Beispiel LGS mit 2 Gleichungen und 2 Unbekannten:
(1)
(2)
2x+3y=8
3 x – 4 y = -5
Die (einzige) Lösung wäre x = 1 und y = 2
(andere Schreibweise
IL = {1;2})
Setzt man diese in die Ausgangsgleichung ein, so erhält man eine wahre Aussage!
Probieren Sie es aus!
Ändert sich die Lösung, wenn man die Gleichungen
a) mit einem Faktor multipliziert?
b) miteinander addiert (subtrahiert)?
c) vertauscht?
Aufgabe:
Testen Sie dieses einmal, indem Sie das LGS wie oben beschrieben verändern und
die Lösung einsetzen!
Antwort:
II. Wie erhält man jetzt die Lösung eines LGS?
Vorüberlegung: Welches LGS ist einfach zu lösen?
1.)
1 x1 + 2 x2 - 2 x3 = -1
1 x1 + 3 x2 - 4 x3 = 0
2 x1 + 3 x2 - 3 x3 = -7
2.)
4 x1 + 2 x2 + 3 x3 = 20
6 x2 + 2 x3 = 10
4 x3 = 8
Geben Sie die Lösung an:
Berechnung:
x1=
x2 =
x3=
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Quadratische Funktionen
Ein LGS, welches sich in der Dreiecksform (wie LGS 2) befindet, lässt sich leicht
auflösen!
Wie löst man das 1. LGS? Durch Umformen in die Dreiecksgestalt. In der zweiten
Zeile muss also die erste Variable eliminiert werden, in der dritten Zeile die erste und
zweite.
Hierzu nutzt man die Erkenntnis aus I folgendermaßen:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
1 x1 + 2 x2 - 2 x3
1 x1 + 3 x2 - 4 x3
2 x1 + 3 x2 - 3 x3
1 x1 + 2 x2 - 2 x3
1 x2 -2 x3
-1x2 + 1x3
= -1
=0
= -7
= -1
=1
= -5
(7)
(8)
(9)
1 x1 + 2 x2 - 2 x3 = -1
-1 x2 +2 x3 = -1
- x3 = - 4
Aufschreiben und nummerieren der
Zeilen!
(4) = (1)
(5) = (2) – (1)
(6) = (3) – 2·(1)
Die oberste Zeile übernehmen als neue
Zeile 4 !
Die nächsten Zeilen sollen die Variable
x1 nicht mehr enthalten. Dazu
subtrahiert man die erste Zeile von der
zweiten.
Für Zeile (6) funktioniert die einfache
Subtraktion nicht, da die Variable x1
nicht wegfallen würde! Also muss man
zunächst die erste Zeile mit 2
multiplizieren, bevor man die Zeilen
subtrahiert! Das Ergebnis wird dann
notiert.
(7) = (4)
Nun sind die ersten beiden Zeilen fertig
(8) = (5)
und werden als Zeilen (7) und (8)
(9) = (6) – (-1) ·(5) übernommen!
In Zeile (9) darf jetzt nur noch x3
auftauchen.
Dazu wird von Zeile (6) die Zeile (5)
subtrahiert, aber vorher wird die Zeile 5
noch mit -1 multipliziert, einfacher
können die Zeilen auch addiert werden.
Jetzt können auch x2 und x1 durch Rückeinsetzen berechnet werden.
Was passiert, wenn man beispielsweise in den Zeilen
(5)
(6)
2 x2 + 3 x3 = 8
3 x2 – 4 x3 = -5
das x2 in Zeile (6) eliminieren muss?
Hierzu muss man nicht nur eine, sondern beide Zeilen entsprechend multiplizieren,
bevor man subtrahiert. Man erhält die entsprechende Zeile, indem man vom 3fachen der Zeile (5) das 2-fache der Zeile (6) subtrahiert.
Wie lautet das entsprechende Ergebnis?
Aufgaben: Lösen Sie:
a)
2 x1 + 3 x2 - 1 x3
= -6
4 x1 – 2 x2 + 1 x3
= 15
1 x1 + 3 x2 - 2 x3
= -9
b)
3 x1 + 1 x2 + 4 x3
6 x1 – 1 x2 + 3 x3
4 x1 - 2 x2 - 5 x3
=4
= -2
= -1
Seite 31
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Quadratische Funktionen
Machen Sie aus Ihrem Kühl- und Gefriergerät
keinen Iglu
Sowohl Kühl- als auch Gefriergeräte sollten nur kurzzeitig zur
Entnahme der Speisen geöffnet werden, um sie gleich darauf wieder
zu schließen. Damit wird verhindert, dass zu viel wärmere Außenluft
in die Kühl- und Gefrierfächer eindringt und sich Kondenswasser
bildet, das sich als Vereisung niederschlägt.
"Diese Vereisung sollten Sie besonders im Auge behalten. Denn sie kühlt nicht
etwa zusätzlich, sondern bewirkt genau das Gegenteil. Die Eisschicht bildet
eine Isolierung, die den Kühl-, bzw.- Gefriervorgang behindert. Sie bewirkt also
genau das, was Eskimos durch den Bau von Eishütten (Iglus) erreichen,
nämlich Schutz vor Kälte. Tauen Sie daher regelmäßig Ihre Kühl- und
Gefriergeräte ab, das spart Stromkosten." (Bundesministerium für Wirtschaft.
Haushalten im Haushalt - Energiespartipps)
Ein loser Reifansatz an den Innenwänden von Tiefkühltruhen und -schränken
ist unvermeidlich. Völlig luftdicht kann auch das beste Gerät nicht
abgeschlossen werden. Von Zeit zu Zeit muss es deshalb enteist werden.
Dies empfiehlt sich - ja, wird sogar dringend nötig - wenn die Eisbildung etwa 5
mm dick ist, da sonst wesentlich mehr Strom verbraucht wird: bei 2 mm
Reifansatz 10 Prozent mehr Strom, bei 5 mm Reifansatz 30 Prozent mehr
Strom, bei 10 mm Reifansatz 75 Prozent mehr Strom. Der zusätzliche
Energieverbrauch ist dadurch bedingt, dass die Eisschicht isolierend wirkt wie
der Iglu der Eskimos.
Wie dick ist die Eisschicht in Ihrem Kühlfach? Wissen Sie, um wie viel Prozent
dadurch Ihr Stromverbrauch steigt?!
Öfter mal abtauen: 1cm Eis kostet 75% mehr Strom.
Auftrag:
Zu Hause nachsehen, wie dick das Eis bereits ist.
Funktion aufstellen und Strommehrverbrauch berechnen, z.B. Wie viel
verbraucht man bei 2 cm Eisdicke mehr?
Zeit messen, wie lange der Kompressor vor dem Abtauen in einer Stunde läuft.
Abtauen, dabei die gesamte Wassermenge auffangen und wägen, um die
mittlere Eisdicke zu ermitteln, erneut die Zeit messen und die berechnete
Funktion überprüfen.
Vgl. Böer, H, S. 21 und Grafe, W, S, 5f.
Seite 32
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Übungen
Quadratische Funktionen
Übungen
1.
Übung:
Berechnen Sie den Scheitelpunkt von
a) f(x) = 0,5 x² + 4x -2
b) f(x) = 2 x² - 2x + 2
2.
Übung:
Bestimmen Sie die Normalform der quadratischen Funktion, deren Graph:
a) um den Faktor 1,5 gestreckt, nach oben geöffnet, um 2 Einheiten nach links und 3 Einheiten
nach unten verschoben ist.
b) Mit dem Faktor 0,5 gestaucht, nach unten geöffnet, um 3 Einheiten nach rechts und 4
Einheiten nach oben verschoben ist.
3.
Übung:
Bestimmen Sie die Nullstellen: f(x) = x² - 4
a) f(x) = x² + 3
b) f(x) = 4x² - 12
c) f(x) = 4x² + 8
d) f(x) = -0,5x² - 6
e) f(x) = x² - 5x
f) f(x) = 3x² + 9x
g)
h)
i)
j)
k)
f(x) = x² -9x + 6
f(x) = x² -5x + 1
f(x) = 2x²+ 8x –4
f(x) = 0,5 x² + 4x -2
f(x) = 2 x² - 2x +
4.
Übung:
Bestimmen Sie die den Scheitelpunkt der Funktionen aus Übung 3.
5.
Übung:
Bestimmen Sie die Linearfaktorzerlegung der Funktionen aus Übung 3.
6.
Übung:
Bestimmen Sie eine Funktion mit den Nullstellen
a) x = -1 und x = 1 und x= 2
b) x = 1 und x = 2 und x= 3
7.
Übung:
Bestimmen Sie eine Funktion mit keiner, einer, zwei Nullstelle(n).
8.
Übung:
Ein Unternehmen verkauft ein Produkt zu einem Preis von 18 €
Marktforschungen ergaben:
Es werden zur Zeit 7.800 Stück abgesetzt.
Bei einer Preissenkung von jeweils
0,20 € werden 100 Stück mehr abgesetzt.
a)
b)
9.
Wie lautet die Erlösfunktion?
Bei welchen Preis wird am meisten eingenommen?
Übung:
Für einen Monopolisten ergaben Marktforschungen folgende Funktionsgleichungen:
Preisabsatzfunktion
Kostenfunktion
a)
b)
c)
d)
e)
p(x) = -6 x + 60
K(x) = 10 x + 50
Legen Sie einen sinnvollen Definitionsbereich fest (ID ök)
Geben Sie die Erlös- und Gewinnfunktion an.
Berechnen Sie die Nutzenschwelle- und grenze
Berechnen Sie das Nutzenmaximum.
Berechnen Sie den Preis für den der maximale Gewinn erzielt wird. Geben Sie den
Cournotchen Punkt an
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Ganzrationale Funktionen
Extremwertaufgabe: Das Volumen der Schokoladenschachtel
Aufgabe:
Eine Schachtel aus einem quadratischen Bogen Pappe mit der
Seitenlänge l = 26 cm basteln
Ziel:
möglichst viele Schokostücke in die Schachtel zu bekommen,
d.h. das Volumen der Schachtel soll maximal werden.
Skizze:
h
a
a
a
Zielfunktion:
V(h,a) =h·a·a
soll maximal sein!
Nebenbedingung:
a + 2h = 26  a = 26 - 2h
Umgeformte Nebenbedingung in Zielfunktion einsetzen
Funktionsgleichung:
V(h) = (26-2h)² ·h
V(h) = 26²h-104h²+ 4h³
V(h) = 676h – 104 h² + 4 h³
oder wenn man h durch x ersetzt und V durch f und nach Exponenten sortiert
f(x) = 4 x³ - 104 x² +676 x
1.400,00
1.200,00
1.000,00
800,00
600,00
400,00
200,00
0,00
0,
00
1,
00
2,
00
3,
00
4,
00
5,
00
6,
00
7,
00
8,
00
9,
0
10 0
,0
11 0
,0
12 0
,0
13 0
,0
14 0
,0
15 0
,0
0
Skizze des Graphen:
Seite 34
Lars Juchhoff
Ganzrationale Funktionen
Definition ganzrationale Funktionen
f : DW D  IR mit
f ( x)  an x n  an1 x n1  ...  a2 x 2  a1 x  a0 , ai  IR, n  IN
Eine Funktion
heißt (ganzrationale) Funktion n. Grades.
Aufgaben zum typischen Verlauf einer Funktion 3. Grades:
Zeichnen Sie die Funktion
f(x) = 0,4x³ - 1,2 x² -2,4x +3,2
y
5
1
-5
O
1
5
x
-5
Beschreiben Sie den Graphen.
Beobachtung und Vermutung:
Eine Funktion n. Grades hat maximal
n Nullstellen,
n-1 lokale Extremwerte,
n-2 Wendepunkte.
Seite 35
Lars Juchhoff
Ganzrationale Funktionen
Berechnen der Nullstellen einer Funktion 3. Grades
Um die Nullstellen einer Funktion f(x) = a3x³ + a2x² + a1x + a0 führt auf den Ansatz:
f(x) = 0  a3x³ + a2x² + a1x + a0 = 0
Das Berechnen der Nullstellen lässt sich also wie gehabt zurückführen auf das Lösen
von Gleichungen n. Grades!
Problem:
Eine Gleichung 2. Grades lässt sich lösen, für eine Gleichung 3. Grades kennen wir
keine Formel ähnlich der pq-Formel!
Annahme:
a3x³ + a2x² + a1x + a0 = 0 lässt sich zerlegen in (b2x² + b1x + b0) · p = 0
dann bliebe zu Lösen b2x² + b1x + b0 = 0 und p = 0
Sei xi eine Lösung der Gleichung a3x³ + a2x² + a1x + a0 = 0 Dann gilt (x – x1) = 0
Also lässt sich der Linearfaktor (x – x1) abspalten und damit die
Gleichung 3. Grades zurückführen auf eine Gleichung 2. Grades.
Ein Verfahren zu Abspalten eines Linearfaktors nennt man Polynomdivision. Es
funktioniert ähnlich wie die schriftliche Division zweier mehrstelliger natürlicher
Zahlen:
Beispiel: Dividieren Sie schriftlich:
289104 : 24 = 12046
24
49
48
11
0
110
96
144
144
0
(0,4x³ - 1,2 x² -2,4x +3,2) : (x - 4) = 0,4x² + 0,4 x – 0,8
(0,4x³ - 1,6x²)
+0,4x² -2,4x
+0,4x² -1,6x
-0,8x + 3,2
-0,8x + 3,2
0
Nach der Polynomdivision kann für das Restpolynom z. B. die pq-Formel (Normieren!)
angewendet werden.
Die Lösungen für 0,4x² + 0,4 x – 0,8 = 0 sind x1 = -2 und x2 = 1
Dementsprechend ergeben sich für 0,4x³ - 1,2 x² -2,4x +3,2 = 0 die Lösungen
x1 = -2, x2 = 1und x3 = 4 (diese muss für die Polynomdivision z. B. durch Probieren
gefunden werden)
Seite 36
Lars Juchhoff
Ganzrationale Funktionen
Anmerkung:
Das Normieren der Ausgangsgleichung (NICHT der Funktionsgleichung!) führt
zu einer Vereinfachung der Polynomdivision.
Aufgaben:
Bestimmen Sie eine Lösung durch Probieren, führen Sie dann die Polynomdivision
mit dem entsprechenden Linearfaktor durch und bestimmen Sie alle Lösungen für:
a)
b)
c)
d)
x³ + x² - 10x + 8 = 0
x³ - 3 x² - 10 x = 0
x³ - x² - x + 1 = 0
0,5 x³ - x² - 5,5x + 6 = 0
e)
f)
g)
h)
0,25x³ +0,25x² - 2,5x + 2 = 0
-2x³ + 6x² + 10x = 0
x³ - 3x² + 2 = 0
2x³ - 6x + 4 = 0
Horner-Schema
Eine Verkürzte Durchführung der Polynomdivision ist mit dem Horner-Schema durch
die Verwendung einer tabellarischen Kurzschreibweise möglich:
(0,4x³ - 1,2 x² -2,4x +3,2) : (x-4) = 0,4x² + 0,4 x – 0,8
(0,4x³ - 1,6x²)
x=4
+0,4x² -2,4x
+0,4x² -1,6x
+
-0,8x + 3,2
-0,8x + 3,2
0
x³
0,4
0,4
x²
x
-1,2 -2,4
1,6 1,6
0,4 -0,8
a0
3,2
-3,2
0
Lösen von Gleichungen 3. Grades ohne absolutes Glied
Liegt eine Gleichung 3. Grades ohne absolutes Element vor,
so kann die Gleichung auch durch ausklammern von x gelöst werden.
Beispiel:
x³ - 3 x² - 10 x = 0
x · (x² - 3 x - 10) = 0
| x ausklammern
Aus a · b = 0 folgt:
a = 0 oder b = 0
Es gilt:
x=0
oder
Nebenüberlegung:
x² -3 x - 10 =0
Bleibt zu lösen
Mit anderen Worten:
Es gibt keine zwei von Null
verschiedenen Zahlen a und b,
deren Produkt Null ergibt.
x² -3 x + 10 =0
pq-Formel ergibt mit p = -3 und q = -10
x1 = -2
x2 = 5
Seite 37
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Ganzrationale Funktionen
Lösen von Gleichungen 4. und höheren Grades
Hierbei ist das Ziel die Gleichung auf eine Gleichung mit einem niedrigeren Grad
zurückzuführen. Dazu ist ebenfalls erst eine Lösung zu bestimmen und dann die
Polynomdivision (bzw. das Horner-Schema) anzuwenden oder bei Gleichungen ohne
absolutes Glied auszuklammern.
Beispiel:
x4 – 4 x³ - x² + 16 x – 12 = 0
Eine Lösung finden im Bereich von –3 bis 3:
x=1
Ansatz:
(x4
– 4 x³ - x² + 16 x – 12) : (x –1 ) = x³ - 3 x² - 4x + 12
x=1
1
1
-4
1
-3
-1
-3
-4
16
4
12
-12
12
0
Zu lösen bleibt
x³ - 3 x² - 4x + 12 = 0
Hier liegt nun eine Funktion 3. Grades vor, die wie vorher gelöst werden kann.
Eine Lösung finden im Bereich von –3 bis 3:
(x³
x=2
- 3x² - 4 x + 12) : (x –2 ) = x² - 1x -6
x=2
1
1
-3
2
-1
-4
-2
-6
12
-12
0
Zu lösen bleibt
x² - 1x –6 = 0
pq-Formel ergibt mit p = -1 und q = -6
x1 = -2
x2 = 3
Die Lösungen sind also:
x1 = -2
x2 = 3
x3 = 1
x4 = 2
Die Reihenfolge, in der die Lösungen abgespaltet werden, verändert zwar den
Lösungsweg, aber nicht die Lösungsmenge. So kann im oben aufgeführten Bespiel
auch zuerst die Lösung x = 2 genutzt werden, die Lösung x = 1 erhält man dann im
weiteren Verlauf.
Beachte: Eine Gleichung 4. Grades (n-ten Grades) hat dabei höchstens 4 (n) Lösungen!
Seite 38
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Ganzrationale Funktionen
Lösen von Gleichungen 4. Grades mit Substitution
Liegt bei einer Gleichung der Spezialfall vor, dass die Variablen nur mit geradem
Exponenten auftauchen, so kann auch eine Substitution der Variablen durchgeführt
werden. x² wird dabei durch die Variable z ersetzt.
x4 – 5 x² + 4 = 0
z² – 5 z + 4 = 0
| Setze x² = z
pq-Formel liefert mit p = -5 und q = 4
z1 = 1
z2 = 4
Rückeinsetzen liefert dann die Lösungen xi


z1 = x² = 1
z2 = x² = 4
x1 = -1
x3 = -2
x2 = 1
x4 = 2
Achsenschnittpunkte von Funktionen 3. & 4. Grades
Beispiel:
f(x) = 0,5 x³ - x² - 2,5 x + 3
Aufgabe: Skizzieren Sie den typischen Verlauf einer Funktion 3. Grades in dem
Koordinatensystem auf der rechten Seite.
y-Achse (Achsenabschnitt)
f(0) = 0,5 0³ - 0² - 2,5 0 + 3 = 3
Sy(0/3)
x-Achse (Nullstellen)
f(x) = 0
0,5 x³ - x² - 2,5 x + 3 = 0
| :(0,5)
Normieren
x³ - 2x² - 5x + 6 = 0
| Eine Lösung durch Probieren finden und dann Horner-Schema
| oder Polynomdivision anwenden
Probieren liefert: x = 1 (1. Lösung)
(x³ - 2x² - 5x + 6) : (x – 1) = x² - 1x – 6
x³ - 1x²
-1x² -5x
-1x² +1x
-6x +6
-6x +6
0
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bleibt zu lösen x² -1x – 6 = 0
Ganzrationale Funktionen
| Bei der quadratischen Gleichung pq| Formel anwenden
p = -1 q = -6
x2 = 3
x3 = -2
Die Nullstellen angeben:
N1(-2/0)
N2(1/0)
N3(3/0)
Linearfaktorzerlegung
Bringen Sie die Funktion in die allgemeine Form:
f(x) = 0,5 (x – 1) · ( x + 3) · (x - 4)
(*)
| Die ersten beiden Terme multiplizieren
f(x) = 0,5 (x²- 1x + 3x – 3) · (x - 4)
| Die nächsten beiden Terme
multiplizieren
f(x) = 0,5 (x³- 1x² + 3x² – 3x – 4x² + 4x – 12x + 12)
| zusammenfassen
f(x) = 0,5 (x³– 2x²– 11x + 12)
| Klammern auflösen
f(x) = 0,5 x³ - x² - 5,5x + 6
(**)
Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion f:
0,5 x³ - x² - 5,5x + 6 = 0
|: (0,5)
Normieren
x³– 2x²– 11x + 12 = 0
Eine Lösung durch Probieren finden, z. B. x = 1
Polynomdivision liefert dann:
(x³– 2x²– 11x + 12) : (x-1) = x² - x - 12
x³ - x²
-x² -11 x
-x² + 1 x
-12 x + 12
-12 x + 12
0
Bleibt zu lösen
x² - x – 12 = 0
Die pq-Formel liefert mit p = -1 und q = -12
x2= -3 und x3= 4
Damit ergeben Sich die Nullstellen: N1(-3/0), N2(1/0), N3(4/0)
Seite 40
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Ganzrationale Funktionen
Definition Linearfaktorzerlegung (LFZ)
Die Zerlegung einer Funktion
f ( x)  a n x n  a n 1 x n 1 ...a 2 x 2  a1 x  a0
in einzelne lineare Bestandteile (x – xi) und den Faktor an in der Form
f(x) = an · (x – x1)· (x – x2)· .....·(x – xn)
heißt Linearfaktorzerlegung.
x1, x2, x3,...., xn sind dann die Nullstellen der Funktion f.
In obigem Beispiel ist (*) die LFZ von (**)
Ökonomische Anwendung
Das Controlling eines Industriebetriebs approximiert die Kosten für x ME durch die
Funktion
K( x )  1,25 x ³  7,5x ²  30 x  40
(x: Stückzahl in ME, K(x) in GE)
Die Erlösfunktion verläuft linear, pro Stück beträgt dieser 40 GE.
a) Bestimmen Sie die Erlös- und Gewinnfunktion.
b) Berechnen Sie die Nutzenschwelle und Nutzengrenze.
c) Geben Sie die Funktionsgleichungen für die variablen und die fixen
Stückkosten an.
d) Berechnen Sie das Betriebsminimum und die kurzfristige Preisuntergrenze.
e) Zeichnen Sie die Graphen der Funktionen in ein Koordinatensystem.
f) Geben Sie einen Näherungswert für das Nutzenmaximum an.
Ökonomische Anwendung zu gebrochen-rationalen Funktionen
In einem Industriebetrieb der Elektrobranche entstehen in einer Abteilung pro Schicht
1200,00 € fixe Kosten und 4,00 € proportional verlaufende variable Stückkosten. Die
Kapazitätsgrenze liegt bei 1000 Stück. Der Stückerlös beträgt 9,00 €.
a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichungen für die Stückkosten k und die
Stückerlöse e.
b) Berechnen Sie die Nutzenschwelle und geben Sie die zugehörigen Kosten an.
c) Bestimmen Sie Stückgewinnfunktion g.
d) Zeichnen Sie alle drei Funktionen in ein geeignetes Achsenkreuz.
Seite 41
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Ganzrationale Funktionen
Gebrochen-rationale Funktionen
Definition
f : DW D  IR mit
an x n  an 1 x n 1  ...  a2 x 2  a1 x  a0
f ( x) 
bm x m  bm 1 x m 1  ...  b2 x 2  b1 x  b0
ai , bi  IR, m, n  IN , bm  0 heißt gebrochen-rationale
Eine Funktion
mit
Funktion.
1
x
Erstellen Sie eine Wertetabelle und zeichnen Sie die Funktion.
f ( x) 
Beispiel:
x
f(x)
-5
-4
-3
-2
-1 -0,5 -0,25
0
0,25 0,5
1
2
3
4
5
y
5
1
-5
O
1
5
x
-5
Machen Sie eine Aussage zum Definitionsbereich und zum Wertebereich von f !
Seite 42
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Übungen
Ganzrationale Funktionen
Übungen
10.
Bestimmen Sie die Achsenschnittpunkte und die Linearfaktorzerlegung für folgende
Funktionen:
a) f(x) = x³ + 3x
b) f(x) = 2x³ + 2x² – 2x
c) f(x) = 4x³ - 24x²+44x-24
d) f(x) = 8x³ -12x² + 2x- 20
e) f(x) = x4 – 9x² - 0,91
f) f(x) = x³ - 1
g) f(x) = 0,5x³ - x² -2,5 +3
h) f(x) = x³+ 27
11.
Geben Sie eine Funktion mit den Nullstellen x = 1 und x = 2 und x = 3 an.
12.
Geben Sie eine Funktion mit den Nullstellen x = 1 und x = 2 und x = 3 und x = 4 an.
13.
Geben Sie eine Funktion 3. Grades (4. Grades) mit einer, zwei, drei (vier) Nullstellen an.
14.
Bestimmen Sie die Normalform der Funktion aus 4. und bestimmen Sie die Nullstellen und
den Achsenabschnitt.
15.
Das Controlling eines Industriebetriebs approximiert die Kosten für x ME durch die Funktion
K(x) = x³ - 10 x² + 35 x +18
Die Erlösfunktion verläuft linear, pro Stück beträgt dieser 20 GE.
g)
h)
i)
j)
k)
Bestimmen Sie die Erlös- und Gewinnfunktion.
Berechnen Sie die Nutzenschwelle und Nutzengrenze.
Geben Sie die Funktionsgleichungen für die variablen und die fixen Stückkosten an.
Berechnen Sie das Betriebsminimum und die kurzfristige Preisuntergrenze.
Zeichnen Sie die Graphen der Funktionen in ein Koordinatensystem.
16. Siehe 15. mit K(x) = 0,5x³ - 3x² +8x + 8 und E(x) = 8x
Preisabsatzfunktion in 15. einfügen
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Lars Juchhoff
Übungen
Ganzrationale Funktionen
Anhang: Zeichen und Zahlenbereiche:
Welche Zahlenbereiche sind im Laufe der Zeit verwendet worden?
Zeichenerklärung:
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