HM1-Übungsaufgaben

1. Übung zur Höheren Mathematik 1
Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
Abgabe: KW 43
Aufgabe 1-1:
Es seien a,b 
mit a  0, b  0. Beweisen Sie
a)
ab  a  b
b)
a b 
ab
Aufgabe 1-2:
Beweisen Sie durch vollständig Induktion
n
a)
 (2k  1)  n
2
n  
k 1
n
b)
1
k 1
k n
n  n0 , n0  ?
c)
2n  n !, n  n0 , n0  ?
d)
2n  n 2 , n  n0 , n0  ?
Aufgabe 1-3:
Untersuchen Sie für welche x 
a)
3x  x 2  4  26  x
b)
x2 x3

und x  1
x 1 x 1
Aufgabe 1-4:
Untersuchen Sie für welche x 
gilt
gilt
x x4
 x  3 und x  1
x 1
a)
0
b)
x2  x  4
x 1
 x  1 und x  0
x
2. Übung zur Höheren Mathematik 1
Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
Abgabe: KW 44
Aufgabe 1-5:
Schreiben Sie folgende komplexe Zahlen in der Form z  x + jy
a)
 7 
z  exp   j

2 

b)
z  exp  2  j 6 
c)


z  exp  3  j 
3

Aufgabe 1-6:
Stellen Sie folgende komplexe Zahlen in der exponentiellen Form dar.
a)
1
3
z  j
2
2
b)
1  j2
z
2 j
c)
(1  j ) 2
z
1 j
Aufgabe 1-7:
Bestimmen Sie Real- Imaginärteil, Betrag und Argument von
a)
2  j 3 (1  j 2) 2
z

1  j2
2 j
b)
z  1  j 3 
12
Aufgabe 1-8:
Ermitteln Sie sämtliche Lösungen der Gleichungen (mit Skizze)
1
z 3  j8
b)
z4  1  j 3
a)
2


Aufgabe 1-9:
In welchen Bereichen der Gaußschen Zahlenebene liegen die komplexen Zahlen z , für die die
folgenden Beziehungen erfüllt sind.
a)
z j  2 z j
b)
0  Re  z 2   1
c)
0  arg  z 2  

2
3. Übung zur Höheren Mathematik 1
Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
Abgabe: KW 45
Aufgabe 1-10:

 




 

Gegeben seien a  e1  4 e2 , b  3 e1  2 e2 , c  2 e1  e2  3 e3 . Schreiben Sie die Vektoren
 
          
a , b , c , a  b , b  c , a  b  c , a  2b  3c als Spaltenvektoren und berechnen Sie deren Betrag.
Aufgabe 1-11:


Bestimmen sie den Winkel zwischen a und b .

 

 
a) a  e1  4 e2 ,
b  3 e1  e2


 

  
b  5 e1  e2  e3
b) a  2 e1  e2  3 e3 ,


 


 
c) a  4 e1  e2  2 e3 ,
b  e1  2 e2  e3
Aufgabe 1-12:
2
4
3
        
Gegeben seien die Vektoren a  2 , b  2 , c  0 . Berechnen Sie
 0
 3
 4 
 
 
 
 

a) a , b , c
     
b) a  b , b  c , a  c
      
c) a  c , b  c , a  b  c
 
 
   
d) (a  c )  (b  c ) , (a  c )  (b  c )
  
  
e) a  (b  c ) , (a  b )  c
  
f) [a , b , c ] Spatprodukt


Aufgabe 1-13:
Ermitteln Sie für




 
a) a  2 e1  3 e2  6 e3 die Richtungswinkel  (ei , a ), i  1, 2,3
 



 
b) a  5 e1  x2 e2  2 e3 , a  7 die Koordinate x2 und die Richtungswinkel  (ei , a ), i  1, 2,3



 
 
 
 
c) a  x1 e1  x2 e2  x3 e3 , a  4,  (e1 , a )  5 18, (e2 , a )   3,  2  (e3 , a )   den
 
Richtungswinkel (e3 , a ) und die Koordinaten x1, x2 und x3.
4. Übung zur Höheren Mathematik 1
Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
Abgabe: KW 46
Aufgabe 1-14:


 

  

  
Berechnen Sie für die Vektoren a  2 e1  e2  3 e3 , b  5 e1  e2  e3 , c  e1  e2  e3




a) die orthogonale Zerlegung von a längs b und a längs c .





 

 
b) die Ausdrücke (a  b )c , (a  b )  (a  b ) und [a , b , c ] .
Aufgabe 1-15:
Für welches  werden die Vektoren
1
3
2
     
  
a  , b 4
und c  5
 2 
2
 4
 
 
 



linear abhängig? Bestimmen Sie für diesen Fall 1 , 2 , 3  0 so, dass 1 a  2 b  3 c  0 gilt.
Aufgabe 1-16:

 
 

  
 

Zeigen Sie, dass die Vektoren a  3 e1  e2  4 e3 , b  2 e1  6 e2  e3 , c  2 e1  e2  5 e3 linear




unabhängig sind und stellen Sie den Vektor d  e1  3 e2  6 e3 als Linearkombination von
  
a , b , c dar.
Aufgabe 1-17:
Gegeben seien die Matrizen
 1 1 2 
 2 1 
2


 0 2 
4
3
1
1
1
1
0


, B 

,

,

1  .
A  
C
D
0 3 1
3 1 



 1 2 0 2 




3
 1 1 4 
 1 3 
Berechnen Sie – falls möglich – AC, CA, AT C, BA, ABD, AT  3C, BT AT , DT DT , DDT .
5. Übung zur Höheren Mathematik 1
Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
Abgabe: KW 47
Aufgabe 1-18:
Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichungssysteme
0 0   x1   3 
0 1   x2   5 

1 1   x3   8 
   
1 1   x 4   1 
a)
1
1
1

2
c)
 2 1 3 1   x1   2 
 4  2  1 2   x 2   9 
  2 1 8  1   x    3 

 3   
10
5
25
5



  x4   0 
1
0
0
0
b)
 1 3 3   x1   4 
 2 1 1  x2    9 
 7 0 6   x   23 

 3  

und
mit Hilfe des Gauß-Algorithmus und geben Sie jeweils den Rang der Koeffizientenmatrix und
der erweiterten Matrix an.
Aufgabe 1-19: Es sei
 1 1 2

0 1 0
A   0 2 1

5 0 0
0 0 0

8 3 

3 2
0 2  .

0 5
0 1 
Berechnen Sie det(A), det(6AT), det(A6) und rang(ATA).
Aufgabe 1-20: Gegeben sei
1 1 0

 1 1 2
 0 2 1

A   0 0 3
 



0 0 0
0 0 0

Berechnen Sie det(A).
0
0
3
1

0
0







0
0 

0
0 
0
0 

0
0 .

 

n  1
1
(n  1)
1 
6. Übung zur Höheren Mathematik 1
Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
Abgabe: KW 48
Aufgabe 1-21:
Berechnen Sie die Inverse der Matrix von
a)
1 3 2
3  mit Hilfe des Gauß-Algorithmus.
A 2 5
  3  8 4 


b)
0 0
 2
A 6
3 5  mit Hilfe der Cramer-Regel.
 4 2 2 


Aufgabe 1-22: Bestimmen Sie die Eigenwerte von
1 0 1
A  0 2 0
1 0 1


sowie ein maximales System linear unabhängiger Eigenvektoren (Orthonormalsystem).
Aufgabe 1-23: Bestimmen Sie für die symmetrische Matrix
 2
A 0
 0

0
0 
1
2  3
2  3
1 
   so, dass a) A positiv definit, b) A positiv semidefinit, c) A negativ definit, d) A negative
semidefinit bzw. e) A indefinit wird.
Aufgabe 1-24: Bestimmen Sie für die quadratische Form
q( x )  4 x12  3x22  2 x32  2  x2 x3  x T Ax, x  ( x1 , x2 , x3 )T
   so, dass a) q(x) positiv definit, b) q(x) positiv semidefinit, c) q(x) negativ definit, d) q(x)
negative semidefinit bzw. e) q(x) indefinit wird.
7. Übung zur Höheren Mathematik 1
Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
Abgabe: KW 49
Aufgabe 1-25:
Berechnen Sie mithilfe des Horner-Schemas die Werte von f ( x ) an den angegebenen Stellen
und bestimmen Sie die Zerlegung von f ( x ) in reelle Elementarfaktoren.
a) f ( x )  x 3  2 x 2  14 x  5 , x  5
b) f ( x )  x 4  19 x 2  6 x  72 , x  3
c) f ( x )  2 x 5  6 x 3  20 x 2  8 x  80 , x  2, x1  2
Aufgabe 1-26:
Ermitteln Sie von den gebrochenrationalen Funktionen f ( x ) die Nullstellen und Polstellen.
Geben Sie die Asymptoten an und skizzieren Sie den Graphen f ( x ) und die Asymptoten.
a)
b)
c)
f ( x) 
x 3 ( x  4)
 x  2  x  4
2
 x  2  x3  7 x2  6 x 
f ( x) 
2
 x  1 x  3
f ( x) 
2
x 4 ( x  4)
 x  2
2
x
2
 16 
Aufgabe 1-27:
Geben Sie die Zerlegung in reelle Partialbrüche an für
2 x 2  5x  1
a) f ( x ) 
x  x 2  1
b)
f ( x) 
c)
f ( x) 
2 x 4  13x 3  15 x 2  23x  42
 x  1
3
x
2
 4
2 x 4  x 3  8 x 2  3x  3
 x  1  x 2  2 
2
8. Übung zur Höheren Mathematik 1
Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
Abgabe: KW 50
Aufgabe 1-28:
Drücken Sie mit Hilfe der Eulerschen Identität
a) cos6 x und sin7 x durch sin kx und cos kx , k  0
b) sin 6 x und cos 7 x durch sin k x und cosk x , k  
aus.
Aufgabe 1-29:
Zeigen Sie die Gültigkeit der folgenden Identitäten.
a) arctan x  arc cot x 

2
1
b) arctan x  arc cot
x
1 
c) arctan x  arctan 
x 2

d) ar cosh x  ln x  x 2  1
e) ar coth x 

x 1
1  x 1
ln 

2  x 1
x 1
Aufgabe 1-30:
Zeigen Sie mit der Grenzwertdefinition (, N - Definition)
n2
a) lim  0
n  n !
n
q
, wenn an   q k mit 0  q  1
b) lim an 
n 
1 q
k 1
c) lim  an bn   ab , wenn lim a n  a und lim bn  b
n 
n 
n 
9. Übung zur Höheren Mathematik 1
Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
Abgabe: KW 51
Aufgabe 1-31:
Untersuchen Sie die folgenden Zahlenfolgen auf Konvergenz und bestimmen Sie ggf. deren
Grenzwert.

a) an  n n  n 2  n
b) an 
3n3  2n 2  2n  4
4n 4  n 2  n
 2n  1  
9n 2  3  n 2  5

cos

2
2n  7
 n  5n 2 
c) an 
2n
e) a n 
f) a n

n
n 1
5
1  21n   0,999 n1
2

2n  1

3n
n 4  3n  5
Aufgabe 1-32:
Zeigen Sie

a)
1
1
  2k  1 2k  1  2
k 1
3  k 1

3
2 k 0 3k

k
c) 2    3
k 1 k !
b)
Aufgabe 1-33:
a) Zeigen Sie mit Hilfe der (,) – Definition lim x sin 1 x   0 .
x 0
b) Berechnen Sie mit Hilfe der Grenzwertsätze lim
x 
c) Untersuchen Sie, ob die Funktion f ( x ) 
7x  4
x3  5
x2  5  3
im Punkt x  2 stetig ergänzbar ist.
x2  2 x
10. Übung zur Höheren Mathematik 1
Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
Abgabe: KW 2
Aufgabe 1-34:
Bestimmen Sie durch Grenzübergang die Ableitung von
3 x
an der Stelle x  2 .
3 x
a)
f ( x) 
b)
f ( x)  x
x  0 .
Aufgabe 1-35:
Bestimmen Sie die Ableitung von
a)
f ( x )  x  sin x  e 2 x
b)
f ( x)  x exp  ln x 
c)
f ( x)  x  a x 2 e x ln x
d)
f ( x)  exp sin x 2  1
e)
f ( x)  x
f)
f ( x) 

1

1
3

x  1

x  0
x
 x
tan x
0  x   2 
Aufgabe 1-36:
Zeigen Sie mittels Induktion
 f ( x) g ( x)
(n)
n
n
    f ( n k ) ( x ) g ( k ) ( x ) .
k
k 0  
11. Übung zur Höheren Mathematik 1
Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
Abgabe: KW 3
Aufgabe 1-37:
Berechnen Sie die Grenzwerte der Funktionen
5x  4x  x 2
x 0 x  ln x 2  1
a) lim

b) lim
ln x x
ex
x 

1 
1
c) lim 

x 0 x
sin x 

d) lim (sin x) x
x 0
Aufgabe 1-38:
Bestimmen Sie Definitionsbereich, Nullstellen, Polstellen, relative und absolute Extremwerte,
Wendepunkte sowie das asymptotische Verhalten und skizzieren Sie die Graphen der folgenden Funktionen.
x3
a) f ( x) 
x  12
b)
f ( x)  x 2 e  x
2
Aufgabe 1-39:
a) Es sei ein rechtwinkliges Dreieck gegeben. Die Summe der Seitenlängen ist 1m. Wie Lang
sind die einzelnen Seiten, wenn die Fläche des Dreiecks maximal werden soll?
b) Der Querschnitt eines Tunnels bestehe aus einem
Rechteck mit aufgesetztem Halbkreis. Wie müssen die
Abmessungen gewählt werden, damit bei fest vorgegebenem Umfang U = const.= c die Querschnittsfläche
des Tunnels F maximal wird?
r
F
y
x
c) Einer Ellipse mit den Halbachsen a und b ist ein achsenparalleles Rechteck mit maximalem Flächeninhalt F
einzubeschreiben (s. Zeichnung). Bestimmen Sie Breite x, Höhe y und Fläche F des Rechtecks.
y’
b
y
x
a
x’