TU Darmstadt FB Mathematik, AG 9 WS 2004/2005 Jakob Creutzig

TU Darmstadt
FB Mathematik, AG 9
Jakob Creutzig
WS 2004/2005
28.10.04
Lösungen zum 1. Aufgabenblatt
,,Einführung in die Finanzmathematik”
Gruppenübungen
Aufgabe 1: Es sei (S0 , S1 ) ein arbitragefreies Ein-Perioden-Modell mit einem risikofreien Portfolio x. Zeigen Sie: Ist y ein weiteres risikofreies Portfolio, so ist B1 (x) = B1 (y) (d.h., der Diskontierungsfaktor ist eindeutig
bestimmt).
Lösungsvorschlag: Wir nehmen indirekt an, daß es zwei risikofreie Portfolios x, y gebe mit Diskontierungsfaktoren B1 (x) < B1 (y). Dann ergibt das
Portfolio
z = B2 (y)x − B1 (x)y
eine Arbitrage.
Aufgabe 2: Der Großschlachter Bernd Beil befürchtet, daß im nächsten
Jahr aufgrund von Subventionsstreichungen der Preis für Mastschweine auf
120% des momentanen Preises steigen wird. Falls die Subventionen doch
nicht gestrichen werden, wird der Preis aufgrund von Überproduktion vermutlich auf 90% des momentanen Preises fallen. Welches Derivat kann Herrn
Beil helfen, sein Einkaufsrisiko zu kompensieren? Herr Beil kann von seiner
Hausbank einen Kredit zu 9% p.A. erhalten, und will sicherstellen, daß er
nicht mehr als 105% des momentanen Preises für die Schweine zahlen muß,
und nicht mehr als den Marktwert; welchen Preis sollte er für das passende Derivat pro Schwein höchstens zahlen, wenn ein Schwein momentan 300
Euro kostet?
Lösungsvorschlag: Herr beil wäre mit einer europäischen Calloption zum
strike price K = 1.05 · 300 Euro gut beraten. Aus der in der Vorlesung (Bsp.
2) hergeleiteten Formel lesen wir für die Zinsrate ρ = 0.09 ab, daß folgendes
Portfolio einen Hedge hierfür darstellt:
x1 = 300 ·
0 − 0.9 · 0.15
,
1.09 · 0.3
0.15
.
0.3
Damit ergibt sich nach Satz 2.3.1, daß
x2 =
a = x0 · S0 = 300 · (
0.15 0.9 · 0.15
−
) ≈ 26.1468
0.3
1.09 · 0.3
1
Euro in einem Markt mit gleichem Guthaben– wie Darlehenszins ein fairer
Preis wäre. Mehr sollte Herr Beil nicht zahlen.
Aufgabe 3: Wir betrachten den Wahrscheinlichkeitsraum (N, P(N), P ).
(a) Es sei zunächst P die Gleichverteilung auf {1, . . . , n} (also P ({i}) =
1/n, falls i ≤ n, und P ({i}) = 0 für i > n). Charakterisieren Sie alle
Wahrscheinlichkeitsmaße Q, die
1) absolutstetig sind bzgl. P ,
2) äquivalent sind zu P .
(b) Welche Eigenschaft muß allgemein ein Wahrscheinlichkeitsmaß P besitzen, damit jedes Wahrscheinlichkeitsmaß Q absolutstetig bezüglich
P ist?
Lösungsvorschlag:
(a) Da Ω diskret ist, haben wir Q P ⇔ ∀i [P ({i}) = 0 ⇒ Q({i}) = 0],
also Q P ⇔ Q({i}) = 0 ∀i > n. Analog gilt Q ∼ P ⇔ [Q({i}) =
0 ⇔ i > n].
(b) Da nicht Q({i}) = 0 garantiert werden kann, muss P ({i}) > 0 gelten
für alle i.
Hausübungen:
Aufgabe 1: An welchen Punkten der Modellierung gehen die Annahmen,
die im Kapitel 1 gemacht wurden, ein?
Lösungsvorschlag: Annahme I geht ein, indem wir S1 als Zufallsvektor
modellieren. Annahme II geht nur insofern ein, als wir mit Hilfe des Argumentes der Arbitragefreiheit Preise festlegen. Die Annahmen III und IV
gehen ein, indem wir einen Preis für jedes Basisgut festlegen und einfach
positive wie negative Faktoren im Portfolio erlauben. Die Annahme V geht
ein, indem wir als Portfolios beliebige Vektoren aus Rg zulassen. Annahme
VI geht etwas indirekt ein, indem der Wert eines Portfolios als Linearkombination der einzelnen Werte nicht weiter modifiziert wird; man könnte eine
Bewertungsfunktion einführen, die subjektive Wahrnehmungsunterschiede
zwischen den Werten ermöglichen würde. Annahme VII ist ebenfalls implizit in der Definition des Wertes des Portfolios enthalten, da man annimmt,
das Portfolio ingsgesamt zu den momentanen Kursen verkaufen zu können.
Aufgabe 2: Betrachten Sie das folgende Modell für zwei gekoppelte Aktienkurse: S0 = (S1,0 , S2,0 ), und mit Wahrscheinlichkeit p ∈ (0, 1) seien die
Kurse zur Zeit 1 gegeben durch u1 · S1,0 und u2 · S2,0 . Mit Wahrscheinlichkeit
1 − p seien die Kurse gleich d1 · S1,0 bzw. d2 · S2,0 . Hierbei sei d1 < u1 und
d 2 < u2 .
2
a) Zeigen Sie: Das Modell besitzt ein risikofreies Portfolio und ist arbitragefrei genau dann, wenn
(u1 > u2 und d1 < d2 ) oder u2 > u1 und d2 < d1 ) .
(1)
Lösungsvorschlag: Es ist recht leicht zu sehen, daß (1) notwendig
ist; wäre etwa u1 ≤ u2 und d1 < d2 , so wäre das Portfolio x = (−1, 1)
eine Arbitrage, und wäre etwa u1 = u2 , d1 = d2 , so existierte kein
risikofreies Portfolio. Nehmen wir nun an, daß (1) gilt; wir können aus
Symmetriegründen oBdA u1 > u2 > d2 > d1 annehmen. Dann hat das
Gleichungssystem
x1 u1 + x2 u2 = 1
x1 d1 + x2 d2 = 1
laut Maple die Lösung
(x1 , x2 ) =
1
· (u2 − d2 , d1 − u1 ),
(d1 u2 − u1 d2 )
und
u1 − d1 − (u2 − d2 )
≥0.
u1 d2 − d1 u2
Also ist x ein risikofreies Portfolio. Falls das Modell nicht arbitragefrei
wäre, so gäbe es eine Arbitrage y mit y · S0 = 0, also y2 = −y1 ; und
x1 + x2 =
y1 (u1 − u2 ) ≥ 0
y1 (d1 − d2 ) ≥ 0 .
Daraus folgt 0 ≤ y1 ≤ 0, also y = (0, 0), Widerspruch
.
b) Bestimmen Sie ein äquivalentes risikoneutrales Martingalmaß, falls (1)
erfüllt ist.
Lösungsvorschlag: Wir suchen ein p ∈ (0, 1), sodaß
p · (u1 , u2 ) + (1 − p)(d1 , d2 ) = (1, 1) ·
u1 d2 − d1 u2
.
u1 − d1 − (u2 − d2 )
Auswertung der ersten Zeile ergibt
p=
d1
u1 d2 − u2 d1
−
.
(u1 − d1 )[(u1 − d1 ) − (u2 − d2 )] u1 − d1
Nun wäre noch nachzuprüfen, ob p ∈ (0, 1) und auch die zweite Zeile
des Gleichungssystems durch p gelöst wird; dies können wir uns aber
sparen, weil wir wissen, daß es nach Satz 2 eine Lösung geben muß,
und p der einzige Kandidat hierfür ist.
3
c) Ist das Modell im Falle (1) vollständig?
Lösungsvorschlag: Ja, denn das äquivalente risikoneutrale Wahrscheinlichkeitsmaß ist eindeutig bestimmt.
Aufgabe 3: – entfallen –
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