H¨OHERE MATHEMATIK 2, ¨Ubungen, Sommersemester 2008 1

HÖHERE MATHEMATIK 2, Übungen, Sommersemester 2008
1. Übungsblatt für den 4. 3. 2008
1. Übungsbeispiele
(1) Die Gerade g sei durch die Gleichung 2x − y = 3 gegeben. Bestimmen sie Gleichungen der
beiden Geraden, die parallel zu g sind und den Abstand 2 von g haben.
Bestimmen sie alle Punkte, die von den beiden Geraden g1 und g1 gegeben durch die
Gleichungen g1 : 2x − y = 0 und g2 : x + y = 2 jeweils den Abstand 1 haben.
(2) Gegeben sind die komplexen Zahlen z1 = 2 + 3ı und z2 = 2 − ı. Berechnen sie z1 z2 , z12 , z22 z1
und zz12 in der komplexen Standardform a + ib und in komplexen Polarkoordinaten r eiϕ mit
r ≥ 0 und ϕ ∈ [0, 2π).
(3) E sei die Menge aller komplexen Zahlen mit Betrag 1, das heißt E = {a + ıb : a, b ∈
R mit a2 + b2 = 1}. Zeigen sie: Falls z ∈ E dann gilt auch −z ∈ E, z ∈ E und z1 ∈ E. Falls
y ∈ E und z ∈ E, dann gilt auch yz ∈ E.
(4) Skizzieren sie die folgenden Mengen in der komplexen Ebene
M1 = {z ∈ C : |z − 1| = 1},
M2 = {w ∈ C : ww > 1},
M3 = {u ∈ C : <(iu) > 0}.
(5) Zeigen sie, dass für jede beliebige Komplexe Zahl z 6= 0 sich eine reelle Zahl a finden läßt so
dass z1 = az. (Das heißt, 0, z und z1 liegen auf einer Geraden.)
2. Trainingsbeispiele zur Selbstkontrolle
T1. Berechnen sie z + w, |z| und |w| für z = −ı + 3, w = −2 + 4ı.
T2. Berechnen sie den Cosinus des Winkels zwischen den Vektoren v1 = (1, 2, 1)t und v2 =
(2, 0, 2)t . Für welche Winkel wird dieser Wert der Cosinusfunktion angenommen?
T3. Bestimmen sie eine Gleichung welche die Kreislinie mit Mittelpunkt (1, −2) und Radius 2 in
der (x, y)-Ebene definiert.
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2. Übungsblatt für den 11. 3. 2008
1. Übungsbeispiele
(6) Die drei komplexen Zahlen z1 = 1 + ı, z2 = 2 + 3ı und z3 = −1 + 2ı sind Eckpunkte eines
Dreieckes in der komplexen Ebene. Berechnen sie die Innenwinkel und die Seitenlängen des
Dreieckes. Für die beiden komplexen Zahlen u = ı und v = 1 + ı seien 4u und 4v die
Dreiecke mit den Ecken (uz1 , uz2 , uz3 ) bzw. (vz1 , vz2 , vz3 ). Berechnen sie die Seitenlängen
und Innenwinkel der Dreiecke 4u und 4v . Berechnen sie die Winkel zwischen zk und uzk
und zwischen zk und vzk für k = 1, 2, 3. Fertigen sie eine Skizze mit der drei Dreiecke in der
komplexen Ebene an.
(7) Berechnen sie die beiden komplexen Wurzeln von v = 2 + 3ı (d.h. die beiden Lösungen von
z 2 = 2 + 3ı in C). Skizzieren sie v und die beiden Wurzeln in der komplexen Ebene.
(8) Lösen sie die quadratische Gleichung z 2 + (2 + ı)z + 1 = 0 in C.
(9) Beweisen sie: Falls die Zahl z ∈ C \ R Lösung der quadratischen Gleichung aw2 + bw + c = 0
mit a, b, c ∈ R ist, dann ist auch die konjugiert komplexe Zahl z eine Lösung der quadratischen
Gleichung.
(10) Stellen sie den Ausdruck cos4 (θ) als Linearkombination von Winkelfunktionen mit Vielfachen
des Winkels θ im Argument der Winkelfunktionen dar. Das heißt, finden sie eine Darstellung
4
cos (θ) =
?
X
αk sin(kθ) + βk cos(kθ).
k=0
Verwenden sie zur Herleitung die Eulersche Darstellung der Cosinusfunktion durch komplexe
Exponentialfunktionen.
(11) Es sei l eine Gerade in der komplexen Ebene, die mit der (positiv orientierten) reellen Achse
den Winkel ϕ einschließt. Ein beliebiger Punkt z ∈ l auf der Geraden wird ausgewählt. Mit
d bezeichnen wir den Normalabstand des Koordinatenursprungs von der Geraden. Zeigen sie
dass die Formel
d = Im(e−ıϕ z)
gilt.
(12) Skizzieren sie die Menge M = z ∈ C : Re (1 − 2ı)z = 0 in der komplexen Ebene. Geben
sie eine geometrische Charakterisierung der Punktmenge M an.
2. Trainingsbeispiele zur Selbstkontrolle
T4. Berechnen
sie die Polarkoordinatendarstellungen der folgenden komplexen Zahlen: −1 − ı,
√
3 − ı, 3 − 2ı.
π
π
T5. Berechnen sie die (kartesische) Standardform a + ıb der Zahlen eiπ , 2ei 4 , −e−ı 3 .
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3. Übungsblatt für den 1. 4. 2008
1. Übungsbeispiele
(13) Bestimmen sie alle Lösungen z ∈ C (z = reıϕ ) der folgenden Gleichungen:
(a) z 3 = 1 + ı,
(14)
(15)
(16)
(17)
(b) ı z 5 = 1,
(c) z 3 = −1.
Skizzieren sie die Lage der Lösungen in der komplexen Ebene.
Geben sie alle Lösungen z ∈ C der Gleichung z 5 − z 2 = 0 an. Skizzieren sie die Lage der
Lösungen in der komplexen Ebene.
Bestimmen sie drei verschiedene Lösungen z ∈ C der Gleichung ez = 3 + 2ı in der komplexen
Standardform z = a + ıb. Können sie eine Lösung mit ganzzahligem Real- und Immaginärteil
finden?
Es sei A = ıı . Schreiben sie A in der Form A = a + ıb. (Hinweis: xy = ey ln x .)
Lösen sie die folgenden linearen Gleichungssysteme über C:
(a)
3x + 6y = 1
,
2x + 3y = 0
(c)
(3 + 4ı)x + ıy = 1
,
(3ı − 4)x − y = 1
(b)
ıx +
y = 0
,
x + (1 + ı)y = 2ı
(d)
ıx + 2y = 4
.
2ıx + 4y = 8
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4. Übungsblatt für den 8. 4. 2008
1. Übungsbeispiele
(18) Schreiben sie f (z) := 3z 2 + 1 in der Form f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) und zeigen sie, dass u
und v die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllen. Berechnen sie die komplexe
(z)
Ableitung f 0 (2 + i3) gemäß Definition als f 0 (z) = limh→0 f (z+h)−f
.
h
z
(19) Schreiben sie f (z) := e in der Form f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) und zeigen sie, dass u und
zn −ez
v die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllen. Berechnen sie limzn →z ezn −z
,
indem sie für zn eine gegen z konvergierende Folge von komplexen Zahlen wählen, die auf
einer durch z gehenden Geraden geeigneter Neigung liegen. Warum ist es nach obigem erlaubt
zu sagen, dass der auf diese spezielle Weise erhaltene Grenzwert die Ableitung von ez ist?

 

3
i2
2
4
i
2
(20) Es seien ~a = 1 , ~b =  0  , ~c = 1 ∈ C4 .
0
1
1
(a) Bestimmen sie ~x ∈ C , so dass 3~x + 2~a − ~b = 6~x + 4~c.
4

3
2
(b) Bestimmen sie (falls möglich) s, t ∈ R, so dass s~a + t~c = 1.
1
(21) (a) Entnehmen sie durch möglichst genaue Konstruktion und Messung aus der Zeichnung
z
u
b
a
v
die Zahlen u1 , u2 , v1 , v2 , z1 , z2 , z10 , z20 in den Darstellungen
~u = u1~a + u2~b, ~v = v1~a + v2~b, ~z = z1~a + z2~b, ~z = z10 ~u + z20 ~v .
(b) Berechnen sie die Zahlen z1 , z2 aus den gemessenen Zahlen u1 , u2 , v1 , v2 , z10 , z20 und vergleichen sie ihr Messergebnis mit dem Rechenergebnis. Zeichnung auf Overheadfolie!.
(22) Es sei V ein Vektorraum über einem Körper K und ~a, ~b, ~c ∈ V \ {~o}. Ferner seien r, s, t ∈ K
mit r + s + t 6= 0 und r~a + s~b + t~c = ~o. Zeigen sie, dass sich dann mindestens einer der
Vektoren ~a, ~b, ~c als Linearkombination der restlichen beiden darstellen läßt. Gibt es r, s, t ∈ K
mit r + s + t 6= 0 und r~a + s~b + t~c = ~o, so dass sich nur genau einer der drei Vektoren als
Linearkombination der beiden restlichen darstellen läßt?
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5. Übungsblatt für den 15. 4. 2008
1. Übungsbeispiele
Im folgenden seien ~e1 , ~e2 , ~e3 ) eine Basis aus drei paarweise zueinander orthogonalen Einheitsvektoren, die ein Rechtssystem bilden.
(23) Es sei (~e1 , ~e2 ) eine Basis von R2 aus zwei zueinander orthogonalen Einheitsvektoren und
~n = n1~e1 + n2~e2 = (cos ϕ)~e1 + (sin ϕ)~e2 ein weiterer Einheitsvektor. Ferner sei S : R2 → R2
die Spiegelung an der durch den Ursprung gehenden Geraden g, die senkrecht auf ~n steht.
(a) Welche geometrische Abbildung wird durch ~x 7→ ~x − 2h~x, ~ni~n beschrieben?
b) Bestimmen sie die Matrix S der Spiegelung bzgl. der Basis (~e1 , ~e2 ), indem sie die Matrixelemente durch n1 = cos ϕ, n2 = sin ϕ ausdrücken.
(c) Zeigen sie, dass die Hintereinanderausführung zweier Spiegelungen S, S 0 an Geraden g, g 0
durch den Ursprung eine Drehung ergibt, indem sie das Produkt zweier Spiegelmatrizen bilden und dieses als Drehmatrix erkennen. Sind g, g 0 zwei durch ~o gehende Geraden, dann ist
der Winkel zwischen g und g 0 der kleinste auftretende Winkel α ∈ [0, π2 ] zwischen allen
möglichen Richtungsvektoren von g und g 0 . Wie hängt der Winkel zwischen den Spiegelgeraden mit dem Drehwinkel der beiden möglichen Hintereinanderausführungen S ◦ S 0 und S 0 ◦ S
zusammen?
(d) Zeigen sie, dass jede Spiegelung selbstinvers ist. Gibt es auch selbstinverse Drehungen von
R2 ?
(24) (a) Zeigen sie, dass für alle linearen Drehungen D1 , D2 : R2 → R2 die Gleichung D1 ◦ D2 =
D2 ◦ D1 gilt. D.h. die Drehungen der Ebene mit Drehpunkt ~o kommutieren. TIPP: Verwenden
sie die Matrizen der beiden Drehungen bzgl. einer Orthonormalbasis (~e1 , ~e2 ) von R2 .
Verwenden sie die Abkürzungen s := sin α, c := cos α, s0 := sin β, c0 := cos β.
(b) Zeigen sie, dass die Drehungen D1 , D2 : R3 → R3 mit
D1 (~e1 ) = ~e1 , D1 (~e2 ) = ~e3 , D1 (~e3 ) = −~e2
und D2 (~e1 ) = ~e2 , D2 (~e2 ) = −~e1 , D2 (~e3 ) = ~e3
nicht kommutieren. Geben sie die Matrizen von D1 und D2 bzgl. (~e1 , ~e2 , ~e3 ) an.
(25) Bestimmen sie, falls möglich, die Winkelmaßzahlen α und β so, dass die Drehmatrizen




cos α − sin α 0
1
0
0
D1 =  sin α cos α 0 und D2 = 0 cos β − sin β 
0
0
1
0 sin β cos β
kommutieren.
Verwenden sie die Abkürzungen s := sin α, c := cos α, s0 := sin β, c0 := cos β.
(26) Es sei D : R3 → R3 eine Drehung mit ~e1 000 := D(~e1 ), ~e2 000 := D(~e2 ), ~e3 000 := D(~e3 ).
(a) Bestimmen sie eine Rechtsdrehung D1 um die ~e3 -Achse, so dass D1 (~e2 ) in der Ebene von
~e3 und ~e3 000 liegt. Setze ~e1 0 := D1 (~e1 ), ~e2 0 := D1 (~e2 ), ~e3 0 := D1 (~e3 ). Geben sie die Matrix D1
von D1 bzgl. (~e1 , ~e2 , ~e3 ) an. Bezeichnen sie dabei den Drehwinkel mit Φ.
(b) Bestimmen sie eine Rechtsdrehung D2 um die ~e1 0 -Achse, so dass D2 (~e3 0 ) = ~e3 000 . Setze
~e1 00 := D2 (~e1 0 ), ~e2 00 := D2 (~e2 0 ), ~e3 00 := D2 (~e3 0 ) = ~e3 000 . Geben sie die Matrix D2 von D2 bzgl.
(~e1 0 , ~e2 0 , ~e3 0 ) an. Bezeichnen sie dabei den Drehwinkel mit Θ.
(c) Bestimmen sie eine Rechtsdrehung D3 um die ~e3 000 -Achse, so dass D3 (~e1 00 ) = ~e1 000 und
mithin automatisch D3 (~e2 00 ) = ~e2 000 ist. Jetzt ist ~e1 000 = D3 (~e1 00 ), ~e2 000 = D2 (~e2 00 ), ~e3 000 =
D2 (~e3 00 ). Geben sie die Matrix D3 von D3 bzgl. (~e1 00 , ~e2 00 , ~e3 00 ) an. Bezeichnen sie dabei den
Drehwinkel mit Ψ.
(d) Wie läßt sich die Matrix D der Drehung D bzgl. (~e1 , ~e2 , ~e3 ) durch die drei Drehmatrizen
~e3 = ~e3 0
~e3 00 = ~e3 000
Θ
~e2 00
~e2 0
~e2
Φ
~e1
~e1 0 = ~e1 00
Abbildung 1. Die beiden Drehungen D1 , D2 und die Eulerwinkel Φ und Θ
D1 , D2 , D3 darstellen? Die Drehwinkelmaßzahlen Φ, Θ, Ψ in den drei Matrizen heißen Eulersche Winkel der Drehung D bzgl. (~e1 , ~e2 , ~e3 ).
(e) Drücken sie die Matrixelemente von D durch die Eulerschen Winkel aus. Es sollte sich


cos Ψ cos Φ − cos Θ sin Φ sin Ψ − sin Ψ cos Φ − cos Θ sin Φ cos Ψ sin Θ sin Φ
D = cos Ψ sin Φ + cos Θ cos Φ sin Ψ − sin Ψ sin Φ + cos Θ cos Φ cos Ψ − sin Θ cos Φ
sin Ψ sin Θ
cos Ψ sin Θ
cos Θ
ergeben. Durch geeignete Wahl von Φ, Ψ, Θ ∈ R läßt sich jede 3 × 3-Drehmatrix darstellen. D.h. die Gruppe der Drehungen um Achsen, die durch den Ursprung gehen, ist eine
dreiparametrige Gruppe. In der Physik benötigt man meist die Matrix T der Koordinatentransformation von den ungestrichenen zu den dreifach gestrichenen Koordinaten. Sie ist die
zu D inverse Matrix, die sich durch Transponieren von D ergibt, d.h. T = D> . Warum
ist die Inverse von D gleich der Transponierten von D? (Herbert Goldstein: Klassische
Mechanik, Seite 118 - 121)
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6. Übungsblatt für den 22. 4. 2008
1. Übungsbeispiele
(27) (a) Gegeben ist der Vektor v = √15 21 . Berechnen sie die Matrix M = v vT = 51 21 ( 2 1 ) indem sie
das Produkt der 2 × 1 Matrix mit der 1 × 2 nach den Matrixrechenregeln berechnen. Bestimmen
sie das Bild der linearen Abbildung, die durch M definiert wird, das heißt, charakterisieren sie
M (R2 ) = {y = M x : x ∈ R2 }. Berechnen sie (x − M x) · v für einen beliebigen Vektor x ∈ R2 .
(b) Berechnen sie A = I − M und das Bild von A. Berechnen sie Ax · v für einen beliebigen Vektor
x ∈ R2 . Fertigen sie eine Skizze an, die die geometrischen Eigenschaften der Abbilungen M und
A veranschaulicht.
(c) Versuchen sie, die obigen Berechnungen auf eine allgemeinere Situation zu übertragen. Welche
Eigenschaften muss ein Vektor v ∈ R2 haben, damit die Abbildungen M = v vT und A = I −M
die gleichen geometrischen Eigenschaften haben, wie in der obigen speziellen Situation? Was
passiert, wenn sie vom zweidimensionalen n
Raum
übergehen?
in
3den
dreidimensionalen
−5 o
1
−2
0 ,
(28) Begründen sie, dass die Menge von Vektoren
, 2
linear unabhängig ist. Welche
0
0
7
Bedingung muss erfüllt sein, damit die Vektoren
 a   a   a 
 a1,n 
1,3
1,2
1,1


a2,n
a2,3
a2,2


0
a3,3 
 a3,n 
 0 , 0 ,
,
·
·
·
,




..
..
..
..




.
.
.
.
0
0
an,n
0
eine Menge von linear unabhängigen Vektoren im
Rn
bilden?
Erklärung: Betrachten sie die zwei linearen Gleichungen für die zwei Unbekannten x, y:
a1 x + b1 y = r1
a2 x + b2 y = r2 .
(1)
(2)
Wenn wir nicht wissen, welche der Koeffizienten a1 , a2 , b1 , b2 , r1 , r2 ungleich Null sind, müssen wir so lange
wie möglich Divisionen beim Eliminieren von Unbekannten vermeiden. Um x zu eliminieren multiplizieren
wir (1) mit −a2 , (2) mit a1 und addieren die so erhaltenen Gleichungen. Dies liefert (a1 b2 − a2 b1 )y =
a1 r2 − a2 r1 . Wenn wir jetzt wissen (oder voraussetzen), dass a1 b2 − a2 b1 6= 0 ist, dann können wir die
−a2 r1
Lösung y durch die Koeffizienten ausdrücken y = aa11rb22 −a
.
2 b1
(29) Drücken sie auch
x durch die Koeffizienten von (1) und (2) aus. Was fällt dabei auf? Mit der
a1 b1 Bezeichnung a2 b2 := a1 b2 − a2 b1 schreibt sich die CRAMERsche REGEL wie folgt
r1 b 1 r2 b 2 | aa12 rr12 |
a1 b1 y=
x= ,
, falls a2 b2 6= 0.
aa12 bb12 aa12 bb12 (30) Gehen sie bei dem System
a1 x + b1 y + c1 z = r1
a2 x + b2 y + c2 z = r2 .
a3 x + b3 y + c3 z = r3 .
(3)
(4)
(5)
wie im Bsp. 29 vor und drücken sie die Unbekannten, falls möglich wieder durch die Koeffizienten
aus. Wie läßt sich x mit Hilfe von
a1 b1 c1 a2 b2 c2 := a1 ab2 cc2 − a2 b1 c3 + a3 b1 c2 b 2 c1
b 3 c1
3 3
a3 b3 c3 schreiben?
(31) Determinante und lineare Unabhängigkeit. Zeigen Sie:
(a) ( aa12 ) , bb12 sind linear unabhängig genau dann, wenn aa12 bb12 6= 0.
a1 c1 a1
b1
(b) aa2 , b2 , cc2 sind linear unabhängig genau dann, wenn a2
3
b3
3
b 1 c1 b 2 c2 a3 b3 c3 6= 0.
(32) Lösbarkeit und Unlösbarkeit von Systemen linearer Gleichungen.
(a) Geben Sie eine einzige Gleichung mit 100 Unbekannten an, die unlösbar ist.
(b) Zeigen Sie: Wenn eine einzige lineare Gleichung mit 100 Unbekannten eine spezielle Lösung
besitzt, so besitzt sie unendlich viel weitere Lösungen.
(c) Geben Sie ein System von 100 linearen Gleichungen für eine Unbekannte an, das lösbar ist.
(d) Zeigen Sie, dass die wichtige FAUSTREGEL “Jedes System von n Gleichungen mit n Unbekannten ist eindeutig lösbar” falsch ist.
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7. Übungsblatt für den 29. 4. 2008
1. Übungsbeispiele
(33) Sei {a, b, c} eine Menge linear unabhängiger Vektoren in Rn (mit n ≥ 3). Zeigen sie:
(a) Die Menge der Vektoren {a + 5b, a + b + 3c, 6c} ist ebenfalls linear unabhängig.
(b) Die Menge der Vektoren {a + b + c, 2a + 4b + c, 2a + 6b} ist ebenfalls linear unabhängig.
(34) Es sei A eine n × n Matrix über R. Beweisen sie:
(a) L = {x ∈ Rn : Ax = 0} ist ein Unterraum des Rn , das heißt, u, v ∈ L ⇒ u + v ∈ L
und λ ∈ R, v ∈ L ⇒ λv ∈ L.
(b) Die lineare Abbildung x 7→ Ax ist genau dann bijektiv wenn L = {0}.
(35) Es sei


3 2 3 4 2
4 2 2 3 2 

A=
1 1 1 1 1  .
1 0 1 0 1
(a) Bestimmen sie die größte Anzahl linear unabhängiger Spalten von A.
(b) Geben sie für ϕ : R5 → R4 mit ϕ(x) = Ax die Menge Im(ϕ) = {ϕ(x) : x ∈ R5 } in der
Form Im(ϕ) = L(v1 , v2 , . . . , vk ) an, wobei die Anzahl k der benötigten Vektoren so klein
wie möglich (minimal) sein soll,
(36) Lösen sie das inhomogene lineare Gleichungssystem Ax = b mit


 
3 2 1 4 6
4



und b = 1 .
A= 2 4 0 3 1
5 6 1 7 7
5
(37) Bestimmen sie L1 = {x ∈ R3 : 2x1 +x2 = 0, x1 +x2 +x3 = 0}, L2 = {x ∈ R3 : x1 +6x2 = 0},
L3 = {x ∈ R4 : x1 + x2 + x3 + x4 = 0} und L4 = {x ∈ R5 : 3x1 − 6x2 + 2x5 = 0} indem
sie Lk (für k = 1, 2, 3, 4) als Linearkombination der Form Lk = L(v1k , v2k , . . .) darstellen. Die
Anzahl der benötigten Vektoren soll jeweils minimal sein.
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8. Übungsblatt für den 6. 5. 2008
1. Übungsbeispiele
(38) Läßt sich der Vektor v = (4, 6, 3, −1)T als Linearkombination der Vektoren a1 = (2, 3, 0, 2)T ,
a2 = (1, −2, −2, 1)T und a3 = (9, 3, −3, 4)T darstellen? Wenn ja, geben sie die Koeffizienten
einer solchen Linearkombination an.
(39) Finden sie alle Linearkombinationen der Vektoren a1 a2 , a3 und v aus Beispiel 38 die den
Vektor (3, 1, −2, 3)T ergeben.
(40) Bestimmen sie einen Vektor x ∈ R4 , der orthogonal zu den Vektoren v1 = (1, 1, 0, 1)T ,
v2 = (2, 1, −1, −1)T und v3 = (1, −1, 1, 0)T ist. Wie viele solcher Vektoren gibt es?
(41) Betrachten sie die lineare Abbildung x 7→ A · x auf R3 mit


16
2
9
1 
−8 −1 18 .
A=
15 −5 −10 0
Gibt es einen Vektor x 6= 0, der sein eigener Bildvektor unter der linearen Abbildung ist, d.h.
für den x = Ax gilt. Wenn ja, bestimmen sie einen solchen Vektor. Gibt es auch einen Vektor
y 6= 0, der die Hälfte seines Bildvektors ist, das heißt für den 2y = Ay gilt?
(42) Gegeben ist die Matrix




−9
1 0 2 −2
 4 
2 3 0 1



M =
−2 1 0 1  und der Vektor y =  0  .
−10
−1 2 3 0
Finden sie x ∈ R4 so dass y der Bildvektor von x unter der linearen Abbildung f : R4 → R4
mit f (z) = M z ist. Seien m1 , m2 , m3 und m4 die Spalten der Matrix M . Finden sie einen
Vektor w ∈ R4 so dass w·mi = yi für i = 1, 2, 3, 4 gilt, wobei yi die Komponenten des Vektors
y bezeichnen.
(43) Bestimmen sie die inverse Matrix B −1 von


1 −2 1
B = 0 2 1  .
1 1 1
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9. Übungsblatt für den 20. 5. 2008
1. Übungsbeispiele
(45) Sei A eine obere Dreiecksmatrix mit n ≥ 1 Zeilen und Spalten. Zeigen sie
det A = a1,1 a2,2 · . . . · an,n .
TIPP: Entwickeln sie die Determinante nach den Elementen der ersten Spalte von A.
(46) Es sei A eine k × k-Matrix, B eine m × m-Matrix und
A 0
C :=
0 B
die Blockdiagonalmatrix, die links oben als Teilmatrix A, rechts daneben eine k × mNullmatrix, unterhalb von A eine m × k-Nullmatrix und rechts daneben als Teilmatrix B
enthält. Zeigen sie
det C = det A · det B.
TIPP: Entwickeln sie die Determinante von C nach der ersten Spalte von C.
(47) (a) Zeigen sie: Wenn in einer n × n-Matrix A die ersten beiden Zeilen übereinstimmen, dann
ist det A = 0.
TIPP: Entwickeln sie die Determinante auf zwei Arten: einmal nach der ersten Zeile und
einmal nach der zweiten Zeile.




a1,1 , . . . , a1,n
a1,1 + ca2,1 , . . . , a1,n + ca2,n
 a2,1 , . . . , a2,n 


a2,1 ,
...
, a2,n
.
 und à := 
(b) Seien c ∈ R, A = 
.
.
.
.
 ..


.. 
..
..
an,1 , . . . , an,n
an,1 ,
...
, an,n
Zeigen sie det A = det Ã.
(48) Berechnen sie die Determinante von



2
3
8
0
−2
1
−1
1
5
−1
0
0
0
−2
1
−3
3
− 23
1
0
6
−6
3
7
1


,
indem sie die Erkenntnis aus dem vorigen Beispiel nützen.
 
 
a1
b1



(49) Zeigen sie: Die Spalten a2 und b2  sind genau dann linear unabhängig, wenn
a3
b3

  
a2 b 3 − a3 b 2
0
a3 b1 − a1 b3  6= 0 .
a1 b 2 − a2 b 1
0
Ohne geometrische Argumentation, rein algebraisch!
HÖHERE MATHEMATIK 2, Übungen, Sommersemester 2008
10. Übungsblatt für den 27. 5. 2008
1. Übungsbeispiele
(50) Sei P = {a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 | ai ∈ R} der Vektorraum aller Polynome vom Grad kleiner
gleich 3 über R.
(a) Zeigen sie: B = {3, 1 + x, x + x2 , 2x3 } ist eine Basis von P .
(b) Berechnen sie die Koordinaten des Vektors v = 1 + x + x2 + x3 ∈ P bezüglich der Basis
B. Warum bezeichnen wir das Polynom v als Vektor“?
”
(51) Es sei


1 1 2
A = 2 1 0 .
3 1 1
(a) Berechnen sie det(A) und geben sie ein Argument an, das belegt, dass die inverse Matrix
zu A existiert. Berechnen sie A−1 .
(b) Berechnen sie mit Hilfe von A−1 die Lösung des linearen Gleichungssystems


6
A · x =  3 .
−10
(c) Bestimmen
sie eine 
3 × 3-Matrix
C
die die Gleichung C · A = 4A2 + A erfüllt.


 
0
2
1





(52) Es seien a = 0 , b = −1 , c = 0 . Von einem Vektor x sind die Orthogonalprojek1
1
2
tionen auf die Vektoren a, b und c bekannt:
D
D
D
a E a
1 a
b E b
1 b
c E c
x,
=√
,
x,
= −√
,
x,
= o.
kak kak
kbk kbk
kck kck
5 kak
6 kbk
Bestimmen sie alle Vektoren x, falls es mehrere geben sollte, die obige Eigenschaft haben.
(53) Zeigen sie:
       
1
1
0 )
( 2
1 0 2 0
      
B= 
1 , 0 , 0 , 0
1
1
1
1
4
ist eine Basis des Vektorraums R und bestimmen sie die Koordinaten (α1 , α2 , α3 , α4 ) des
Vektors (4, 2, 1, 1)T bezüglich B.
Sei nun b ein beliebiger Vektor in R4 . Geben sie den Koordinatenvektor β = (β1 , β2 , β3 , β4 )T
des Vektors b bezüglich der Basis B in der Form β = A · b mit einer geeigneten Matrix A an.
HÖHERE MATHEMATIK 2, Übungen, Sommersemester 2008
11. Übungsblatt für den 3. 6. 2008
1. Übungsbeispiele
(54) Berechnen sie die Eigenwerte und zugehörige Eigenvektoren der Matrizen
5 10
1 2
1, 4 −1, 0
1 −1
A1 =
, A2 =
, A3 =
, A4 =
,
4 −1
0 3
0, 5 −0, 1
1 1


2 −2 3
cos ϕ − sin ϕ
1, 4
0, 5
A5 =
, A6 =
, A7 = −2 −1 6 ,
sin ϕ cos ϕ
−1, 0 −0, 1
1
2 0






3 1 4
−2 1
0
2 1 2
1
A8 = 0 2 6 , A9 =  1 −2 1  , A10 = −2 2 1  .
3
0 0 5
0
1 −2
1 2 −2
(55) Geben sie die Lösung des Anfangswertproblems
m x00 + kx = 0;
x(0) = 0, 05 [m],
x0 (0) = −0, 1 [m/sec]
an, wobei die Masse m = 0, 4[kg] und die Federkonstante k = 12[N/m] gegeben sind.
(56) Angenommen, in der Kraftbilanz, die zur Gleichung des harmonischen Oszillators führt, wird
ausser der Federkraft und der Beschleunigungskraft noch eine Reibungskraft berücksichtigt.
Wir nehmen an, die Reibungkraft wirkt der Bewegungsrichtung entgeben (das heißt entgegengesetzt zum Geschwindigkeitsvektor). Wir nehmen weiters an, die Stärke der Reibungskraft
ist direkt proportional zum Betrag der Geschwindigkeit, mit einem Proportionalitätsfaktor
c > 0. Finden sie eine Differentialgleichung zweiter Ordnung, welche die Bewegung eines
solchen (durch Reibung) gedämpften Oszillators beschreibt.
(57) Lösen sie das Anfangswertproblem
mx00 + cx0 + kx = 0;
x(0) = x0 ; x0 (0) = 0;
für einen beliebigen Anfangswert x0 ∈ R. Die Konstanten m und k seien wie in Beispiel
55. Berechnen sie die Lösung für c = 1 [N sec/m] und für c = 20 [N sec/m]. Schreiben sie
dazu die Differentialgleichung in ein 2 × 2 Differentialgleichungssystem um. (Setzen sie dazu
x = ( xx12 ) = ( xx0 )). Entkoppeln sie das System indem sie die Eigenwerte und Eigenvektoren
der Systemmatrix berechnen und den Anfangswert als Linearkombination der Eigenvektoren
darstellen. Gehen sie weiter, wie in der Vorlesung besprochen, vor.
Verwenden sie MatLab um die Lösungskurven in der (x1 , x2 )-Ebene
für die beiden Möglichkeiten von c zu skizzieren. Wählen sie als Anfangswert x0 = 0,1
0 .
(58) Betrachten sie die folgende Anordnung von Federn und Massen.
l
m
l/3
m
l/3
Die beiden Massen m sind gleich groß und alle drei Federkonstanten seien gleich k. Stellen
sie ein Differentialgleichungssystem vierter Ordnung auf, das die Bewegung der beiden schwingenden Massen beschreibt. Verwenden sie als Koordinaten die Auslenkungen der Massen aus
den jeweiligen Ruhelagen und die Geschwindigkeiten der beiden Massen.
Verwenden sie Matlab um die Eigenwerte und Eigenvektoren der Systemmatrix zu bestimmen. Für die konkrete Berechung können sie die Masse und Federkonstante aus Beispiel
55 verwenden. Geben sie die Lösungskurven des Differentialgleichungssystems an, wenn der
Anfangsvektor Real- bzw. Immaginärteil eines Eigenvektors ist. Verwenden sie MatLab um
die Projektionen der Lösungskurven auf die (x1 , x2 )-Ebene bzw. auf die (x3 , x4 )-Ebene zu
zeichnen.
(59) Skizzieren sie die Lösungskurven eines 2 × 2-Differentialgleichungssystems x0 = Ax in der
(x1 , x2 ) Ebene, wenn sie wissen, dass v1 = (2, 1)T und v2 = (−1, −1)T Eigenvektoren der
Matrix A zu den Eigenwerten λ1 = −2 und λ2 = 2 sind. Wie sieht die Skizze aus, wenn
λ2 = −1 gesetzt wird, und sonst alles gleich bleibt?
(60) Skizzieren sie die Lösungskurven eines 2 × 2-Differentialgleichungssystems x0 = Ax in der
(x1 , x2 ) Ebene, wenn sie wissen, dass a = (2, 1)T und b = (−1, −1)T Real- und Immaginärteil
eines Eigenvektors der Matrix A zum Eigenwert λ = −1 − i sind. Wie sieht die Skizze aus,
wenn λ = 1 + i gesetzt wird, und sonst alles gleich bleibt?
HÖHERE MATHEMATIK 2, Übungen, Sommersemester 2008
12. Übungsblatt für den 18. 6. 2008
1. Übungsbeispiele
(61) Zeigen Sie, dass die durch an :=
konvergent gegen 32 ist.
2n+1
3n+2
(62) Für welche a, b, c > 0 ist die durch fn :=
definierte Folge (an )n∈N monoton, beschränkt und
a·n+b
c·n
definierte Folge (fn )n∈N streng monoton fallend?
√
(63) (i) Es sei a ≥ 1. √
Zeigen Sie, dass limn→∞ n a = 1 ist.
TIPP: a − 1 = ( n a)n − 1n und xn + y n = (x − y)(xn−1 + . . . + y n−1 ).
√
(ii) Zeigen Sie mit Hilfe von (i), dass auch für 0 < a < 1 die Gleichung limn→∞ n a = 1 gilt.
(64) Welche der folgenden Behauptungen sind wahr, welche falsch?
(i) Die Summe divergenter Folgen ist divergent.
(ii) Die Summe divergenter Folgen kann konvergent sein.
(iii) Das Produkt divergenter Folgen ist divergent.
(iv) Es gibt divergente Folgen, deren Produktfolge konvergiert.
Belegen Sie die Ihre Antworten durch Beispiele oder Gegenbeispiele.
(65) Berechnen Sie:
3 · 5n + 2 · 6n
lim
,
n→∞
7 · 10n
−8n3 + 6n2 + 1
lim
,
n→∞
2n3 + 12n
∞
X
j=3
5·
3 j
4
lim 1 + q 2 + q 4 + . . . + q 2n für |q| < 1.
n→∞
,
∞ X
1 4j
j=2
2
,