Probeklausur

=0.05, falls nichts anderes erwähnt. WS1999/2000
Alexander Felk / Claudius Wagemann
Probeklausur „Einführung in die Statistik“
1. Nach Angaben von Wissenschaftlern liegt die Wahrscheinlichkeit eines Wolfkontaktes im
Bayerischen Wald bei 40 %. Anwohner hingegen behaupten alternativ dazu, dass die
Wahrscheinlichkeit bei 75 % liege. Daraufhin begaben sich unabhängige Forscher 50 mal
in den Bayerischen Wald um diese Hypothesen zu testen. Als Teststatistik diente die
Anzahl der Wolfkontakte.
a) Welche Verteilung hat diese Teststatistik?
b) Berechnen Sie beide Fehler
c) Zeichnen Sie eine Kreuztabelle unter Berücksichtigung der oben berechneten Werte.
Beachten Sie die richtige Zuordnung.
Angenommen man unterteilt die Wolfkontakte in drei Tageszeiten und zwar morgens,
mittags und abends. Die Anwohner behaupten nun, dass die Wahrscheinlichkeit eines
Wolfkontakts immer gleich sei, während die Wissenschaftler sich darauf berufen, dass man
in der Realität feststellte, dass Wölfe zu 80 % nachtaktiv, d.h. abends unterwegs sind. Die
restliche Zeit des Tages seien die Wölfe zu gleichen Teilen anzutreffen.
d) Berechnen Sie mit einem der beiden Ihnen bekannten Abweichungsmaßen diese Angaben
und interpretieren Sie das Ergebnis.
2. In einem Nachrichtenmagazin wurde der Versuch unternommen einen Zusammenhang
zwischen dem Alter der Leser und deren durchschnittlich gelesenen Seiten herzustellen. Zu
diesem Zweck wurden sieben verschiedene Personen untersucht, wobei man zu folgendem
Ergebnis kam:
Alter (=x)
Seiten (=y)
a)
b)
c)
d)
e)
21
80
49
62
63
35
34
36
43
80
29
47
34
52
Welches PRE-Maß muss hier verwendet werden?
Berechnen Sie das PRE-Maß.
Berechne Sie die Fehler (ohne) und Fehler (mit).
Stellen Sie die allgemeine Prädiktionsgleichung auf.
Welchen Wert würde man für x=50 prädizieren?
3. Eine psychologische Untersuchung beschäftigt sich mit der Nervosität und der
Anspannung von Studenten vor einer anstehenden Klausur. Dazu wurde beobachtet wie
lange vor dem offiziellen Beginn der Klausur die Studenten vor den Hörsälen eintreffen.
Die Beobachtungen ergaben folgendes Ergebnis:
Minuten vor der Klausur
0 bis
1 Minute
1 bis
5 Minuten
5 bis 10 Minuten
10 bis 20 Minuten
20 bis 30 Minuten
a)
b)
c)
d)
Anzahl der Studenten
2
10
55
38
15
Berechnen Sie das 1.Dezil.
Berechnen Sie den Median und das arithmetische Mittel.
Berechnen Sie die Quintilsdistanz.
Wieviele Prozent kommen in den letzten 10 Minuten vor der Klausur?
-1-
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e) Zeichnen Sie ein Histogramm und ein Summenpolygon.
4. Bei einer Untersuchung des Kultusministeriums wurden die Fakultäten von Jura,
Verwaltung und Biologie untersucht. Dabei wurde ein Hauptaugenmerk auf die Dauer des
Studiums in Fachsemester gelegt. Bei einer 12-köpfigen Stichprobe wurden folgende
Semesterzahlen festgestellt.
Jura
Verwaltung
Biologie
a)
b)
c)
d)
8
7
9
10
9
10
9
9
11
12
14
12
Welche Skalenniveaus liegen vor?
Zeichnen Sie ein Pfaddiagramm.
Welches PRE-Maß liegt vor? Berechne PRE-Maß.
Welche Aussage hat das PRE-Maß?
Ein Mitarbeiter des Ministeriums stellt die Hypothese auf, dass zwischen den einzelnen
Mittelwerten kein Unterschied besteht.
e) Testen Sie diese Hypothese anhand eines geeigneten Tests. Wird die Hypothese akzeptiert?
Begründung.
5. Untersucht werden soll, ob die Mitgliedschaft in einem Sportverein mit der
Lebenseinstellung zu tun hat. Folgende Kreuztabelle kann erstellt werden:
Mitglied im Sportvereins
nicht Mitglied im Sportverein
Lebenseinstellung
positiv
mittel
30
10
0
20
negativ
0
20
a) Testen Sie die Hypothese:
H0: Die Merkmale sind unabhängig
unter Berücksichtigung der entsprechenden Alternativhypothese.
b) Berechnen Sie zur Prädiktion von Lebenseinstellung ein tau.
c) Erstellen Sie eine Tabelle mit spaltenbedingten Anteilen.
6. Ein Unternehmen erhebt, wieviel Praktikumsmonate ihre Stellenbewerber aufweisen
können. Für 6 Bewerber ergeben sich folgende Ergebnisse:
12
0
36
12
6
12
a)
b)
c)
d)
Berechnen Sie die Entropie.
Berechnen Sie das vierte Quintil.
Zeichnen Sie einen Boxplot.
Warum ist der Stichprobenmittelwert der sechs Stellenbewerber ein erwartungstreuer
Schätzer für den Mittelwert der Population ?
e) Konstruieren Sie einen Test mit dem Mittelwert als Teststatistik für die Nullhypothese: Die
durchschnittliche Anzahl an Praktikumsmonaten beträgt 12 (Alternative: mehr). Wird die
Nullhypothese abgelehnt ? (Begründung !) Wie groß ist der Fehler 1.Art ?
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7. Untersucht werden soll, wie sich die Zeit, die man zur Arbeitsstätte zurücklegen muss,
zwischen Köln und Konstanz unterscheidet. Unterstellt werden dabei gleiche
Populationsvarianzen für Köln und Konstanz. Folgendes Stichprobenergebnis wird erzielt:
Köln
Stichprobenmittelwert
45
Stichprobenstandardabweichung 10
Stichprobengröße
100
Konstanz
15
5
50
Untersucht werden soll die Hypothese: H0: Der Unterschied zwischen Köln und Konstanz
beträgt 15 Minuten (Erläuterung: In Köln braucht man im Durchschnitt 15 Mnuten länger
zur Arbeitsstätte). Alternativ: Der Unterschied beträgt mehr als 15 Minuten.
a)
b)
c)
d)
e)
Testwert
Kritischer Bereich
Welche Verteilung hat die Teststatistik ?
Wird die Nullhypothese angenommen ? (Begründung !)
eta²
8. Eine Wohngemeinschaft mit zwei Personen erfasst, wie viel Telefoneinheiten seit
Semesterbeginn pro Monat von welchem der beiden Bewohner telefoniert worden sind. Es
ergeben sich (Unabhängigkeit der Monatswerte werde vorausgesetzt) folgende Ergebnisse:
Person 1
Person 2
10/1999
11/1999
12/1999
1/2000
2/2000
400
100
500
200
300
100
300
100
400
100
a) Berechnen Sie eta².
b) Kann bei dieser Datenkonstellation die Behauptung, dass der Anteil der Monate, in denen
Person 1 mehr telefoniert als Person 2, bei 0.5 liegt, gegenüber die Alternativhypothese,
wonach dieser Anteil größer ist, auf 1 %-Signifikanzniveau aufrechterhalten werden ?
(Begründung unter Angabe des Kritischen Bereichs.)
c) Geben Sie ein 95 %-Konfidenzintervall für den Unterschied in den telefonierten Einheiten
zwischen Person 1 und Person 2 an.
Lösungen: (alle Angaben ohne Gewähr !)
1.
a)
b)
c)
d)
binomial
Fehler 1.Art: 1 - 0.9686 = 0.0314; Fehler 2.Art: 0.0001
Zeichnung
Pearsons ² = 66.70625; Likelihood ² = 49.56
2.
a)
b)
c)
d)
Determinationskoeffizient 2.Art
r² = 0.1310653; Var (x) = 1166/6; Var (y) = 2126/6; Cov (x,y) = -570/6
Fehler (Ohne) = 2126; Fehler (Mit) =
b = -0.2681; a = 66.4559; y = 66.4559 - 0.2681*x
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e) y (Dach) = 66.4559 - 0,2681 * 50 = 53.050
3.
a)
b)
c)
d)
e)
5
Median = 9.3636; Mittelwert = 11.570833;
Quintilsdistanz = 11.5406; 4.Quintil = 17.631604; 1.Quintil = 6.0909
55.833 %
Zeichnung
4.
a)
b)
c)
d)
e)
nominal - intervall
1 = -0.933; 2 = -0.133; 3 = 1.0667; = 9.933
Determinationskoeffizient 1.Art; ²= 0.1714
Durch Hinzunahme/Berücksichtigung der zusätzlichen Information reduziert sich der Fehler um 17.14 %
F-Test; F = 0.931; Hypothese wird akzeptiert
5.
a)
b)
c)
0
chi² (Pearson) = 53.33, df = 2, kritischer Wert: 5.99, Nullhypothese ablehnen
Fehler (ohne) = 0.65625, Fehler (mit) = 0.4375, tau = 0.3333
1
1/3
0
2/3 1
6.
a)
b)
c)
d)
e)
7.
a)
b)
c)
d)
e)
1.79
12
Zeichnung
Weil der Erwartungswert über den Stichprobenmittelwert gleich dem Mittelwert der Population ist.
Testwert -0.2, kritischer Wert (für df = 5): 2.02, daher tw nicht im kritischen Bereich, Nullhypothese
angenommen. Begründung: weil tw nicht im kritischen Bereich; Fehler 1.Art: 0.05
Zwischenergebnisse: df = 148, SE = 1.5016, Endergebnis: tw = [(45 - 15) - 15]/1.5016 = 9.9893
1.66 und größer
student-t
Nein, weil tw im kritischen Bereich
SSQ(between) = 30000; SSQ(within) = 11125; SSQ(total) = 41125, d.h. eta² = 0.7294
8.
a) Bitte beachten: Zu verwenden ist die Sonderformel für verbundene Stichproben !! eta² = 0.9657
b) rechtsseitiger Binomialtest: kein kritischer Bereich für Signifikanzniveau 0.01 vorhanden; folglich immer
Entscheidung für die Nullhypothese
c) X(quer) = 260; Standardfehler der Differenzen: 54.77/5 = 24.49, d.h. Konfidenzintervall: +/- 2.78 * 24.49 +
260; untere Grenze daher: 191.9178, obere Grenze: 328.0822
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