Inhalt der Vorlesung

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Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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I
Grundlagen aus Mengenlehre und Logik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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II
Von den ganzen Zahlen bis zu den reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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III
Mittelungleichung, Babylonisches Verfahren und geometrische Reihe
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IV
Folgen und Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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V
Reellwertige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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VI
Stetige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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VII
Differenzierbare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Reellwertige Funktionen
V
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Reellwertige Funktionen
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Einleitung
Bisher haben wir Folgen der Form (an ) kennengelernt. Diese können wir auch als eine
Art Zurodnung betrachten, die jeder natürlichen Zahl n genau eine rationale (bzw.
reelle) Zahl an zuordnet. Natürlich kann es passieren, dass zwei Folgenglieder gleich
sind, also zwei verschiedenen natürlichen Zahlen n und m derselbe Wert an = am
zugeordnet wird.
Beispiel 1.1
Wir betrachten noch ein weiteres Beispiel: Eine Bakterienpopullation.
Beispiel 1.2
Eine Bakterienpopulation verdoppelt sich pro Stunde. Sie habe zum Zeitpunkt t = 0
eine Größe von 106 Bakterien. Des Weiteren wachse die Population bei gleichem
Zeitraum jeweils um den Faktor b. Wir erhalten also
•
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Reellwertige Funktionen
• Für volle Stunden Abstände:
• Für 1/2-stündliche Abstände
• Für 20-Minuten Abstände
Allgemein ergibt sich also:
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Reellwertige Funktionen
Analog erhält man für einen Vorgang, bei dem sich der Wert y bei Betrachtung
gleicher Zeiträume jeweils um den gleichen Faktor verändert, dass die Abhängigkeit
von der Zeit t beschrieben werden kann als
y = (y(t)) = Kat
für gewisse Konstanten K und a > 0. Wie berechnet man in diesem Fall den Zuwachsfaktor?
y(t + ∆t) = by(t) = bKat
y(t + ∆t) = Kat+∆t = aDeltat Kat
und folglich gilt b = a∆t . Beispiele sind etwa die Zinsrechnung oder aber Zerfallsgesetze.
Allgemein sehen wir also, dass das Abhängigkeitsgesetz meist nicht direkt gegeben
ist, sondern oft erst aus empirische Daten hergeleitet werden muss.
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Definition einer Funktion
Wir kommen nun zur Definition einer Funktion.
Definition 2.1
Sei D eine Menge und f eine Zuordnung, die jedem Element x ∈ D genau eine
reelle Zahl f (x) ∈ R zuordnet. Dann nenne wir f eine reellwertige Funktion mit
Definitionsbereich D und Zielbereich R und schreiben
f : D −→ R mit x 7→ f (x)
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Reellwertige Funktionen
Die Variable x heißt Argument und f (x) der Funktionswert von f an der Stelle
x.
Wie bei den Folgen interessieren uns nun die Verhaltensweisen von Funktionen. Insbesondere wollen wir auf
• eine graphische Darstellung
• Berechnung der Funktionswerte f (x)
• Berechnung der Nullstellen von f (das sind Argumente x, so dass f (x) = 0)
• Steigungsverhalten (Wachstum)
• Konvergenzverhalten (Grenzwerte)
eingehen. Zunächst aber ein einführendes Beispiel - die Polynome.
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Polynome
Polynome gehören zu den einfachsten Funktionen, die Sie kennenlernen werden.
Definition 3.1
Ein Polynom ist eine Funktion p : R → R der Form
p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn
wobei n eine natürliche Zahl n ∈ N0 ist. Die reellen Zahlen a0 , · · · , an R heißen
Koeffizienten von p. Ist an 6= 0, so heißt n := deg(p) der Grad von p und an der
Leitkoeffizient von p.
Zunächst ein paar Beispiele, die Sie bereits kennen. Polynome vom Grad kleiner
gleich 1 kennen Sie als Geraden.
Reellwertige Funktionen
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Beispiel 3.2
Definition 3.3
• Polynome p(x) = a0 +a1 x+a2 x2 vom Grad 2 heißen quadratische Polynome
• Polynome p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 vom Grad 3 heißen kubische Polynome
• Polynome p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + a4 x4 vom Grad 4 heißen quartische
Polynome
Gerade bei quadratischen Polynomen fällt Ihnen sicher sofort die bekannt pq-Formel
zur Nullstellenberechnung ein. Nullstellen von Polynomen sind zum Beispiel bei Ihren
Bankgeschäften wichtig !
Beispiel 3.4
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Reellwertige Funktionen
Definition 3.5
Ist f : D −→ R eine Funktion, so heißt ein x ∈ D mit f (x) = 0 Nullstelle von f .
Wie berechnet man nun die Nullstellen von Polynomen? Konstante Polynome p(x) =
a0 vom Grad 0 haben keine Nullstellen, es ei denn a0 = 0 und das Polynom ist das
}bf Nullpolynom p : R −→ R mit x 7→ 0. Ist p(x) = a0 + a1 x ein Polynom vom
Grad 1, so gilt offensichtlich p(x) = 0 genau dann, wenn x = − aa10 . Allgemein gibt es
jedoch keine Formel für die Nullstellen eines Polynoms vom Grad ≥ 5. Für kleinere
Grade existieren Formeln wie etwa die Formel von Cardano oder die pq-Formel, die
man durch quadratische Ergänzung erhält.:
• Ist a0 + a1 x + a2 x2 = 0 eine quadratische Gleichung mit a2 6= 0, so gilt
p
2
x1,2 = − p2 + / − ( p2 )2 − q, wobei p = aa12 und q = aa20 , falls p4 − q ≥ 0
ist.
Beweis:
Betrachten wir jedoch Polynome über den komplexen Zahlen, so gilt der folgende
Fundamentalsatz der Algebra
Theorem 3.6
Jedes nicht konstante Polynome p hat eine Nullstele in den komplexen Zahlen.
Wir werden später noch das Newtonverfahren zur Berechnung von reellen Nullstellen
kennenlernen.
Reellwertige Funktionen
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Graphische Darstellung von Funktionen und Umkehrfunktion
Funktionen f : D −→ R lassen sich graphisch in einem Schuabild darstellen durch
einzeichnen der Punkte (x, f (x)) für x ∈ D.
Definition 4.1
Ist f : D −→ R eine Funktion, so heißt G = G(f ) = {(x, f (x)) : x ∈ D} der Graph
von f .
Hier sind einige Beispiele:
Wie Sie sehen kann es passieren, dass zwei x-Werten eventuell derselbe y − W ert
zugeordnet wird (zum Beispiel ist p(2) = p(−2) für p(x) = x2 ). Ist dies nicht der
Fall, so können wir den Graphen an der Winkelhalbierenden spiegeln und erhalten
wieder eine Funktion, die sogenannte Umkehrfunktion von f . Funktionen, die obige
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Reellwertige Funktionen
Eigenschaft haben nennt man injektiv. Eine injektive Funktion erfüllt also, dass
f (x1 ) 6= f (x2 ), falls x1 6= x2 gilt.
Definition 4.2 (Umkehrfunktion)
Ist f : D −→ R eine injektive Funktion, so existiert ihre Umkehrfunktion f −1 und
ist definiert als
f −1 : W (f ) −→ D mit y 7→ f −1 (y) := x falls f (x) = y
Hierbei heißt W (f ) := {y ∈ R : es gibt ein x ∈ R mitf (x) = y} der Wertebereich
von f .
Beachten Sie, dass der Wertebereich natürlich auch für Funktionen definiert ist, die
nicht injektiv sind. In diesem Fall existiert jedoch keine Umkehrfunktion.
Beispiel 4.3
Reellwertige Funktionen
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Das Hornerschema
6
Die Exponentialfunktion
7
Die Logarithmusfunktion
8
Trigonometrische Funktionen
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