Grundlagen der Mathematik C: Geometrie, Algebra und

FB 3: Mathematik/Naturwissenschaften
Mathematisches Institut
Prof. Dr. R. Frank / Dr. D. Habeck
Modulprüfung BA 04 Mathematik:
Grundlagen der Mathematik C:
Geometrie, Algebra und Zahlentheorie
08.02.2012
Name:
Vorname:
Matrikel-Nr.:
Studiengang:
Übungsgruppe:
Aufgabe
Punkte
Erz. Punkte
Frau Hupp (Di., 10-12)
Frau Hupp (Di., 12-14)
Herr Rockenfeller (Di., 12-14)
Herr Frank (Do., 10-12)
Herr Habeck (Do., 10-12)
Herr Rockenfeller (Fr., 12-14)
1
2+2+3
2
2+2+1
Erreichte Punktzahl:
Die Modulprüfung ist bestanden
3
2+5
4
2+2
5
2+5
6
2+2+6
P
40
von max. 40 Punkten
ja / nein
Note:
Technische Hinweise:
1. Taschenrechner sind nicht zugelassen!
2. Handys bitte ausschalten.
3. Eigenes Papier ist nicht zugelassen, bitte verwenden Sie zum Ausprobieren das Blatt
am Ende der Arbeit oder die Rückseiten.
4. Steht eine Lösung nicht unmittelbar unter der Aufgabe, ist ein Querverweis unbedingt
erforderlich.
5. Die Heftklammer darf nicht entfernt werden, auch das Notizblatt darf nicht von der
Arbeit getrennt werden.
Aufgabe 1:
a) Wie ist die Euler-Funktion ϕ(n) definiert?
Lösung:
ϕ(n) ist die Anzahl der zu n ∈ N teilerfremden Zahlen, die kleiner gleich n sind.
b) Berechnen Sie ϕ(225).
Lösung:
ϕ(225) = ϕ(52 · 32 ) = ϕ(52 ) · ϕ(32 ) = 4 · 5 · 2 · 3 = 120
c) Bestimmen Sie drei Zahlen n ∈ N mit ϕ(n) = 40.
Lösung:
1.Zahl: n = 41
2.Zahl: n = 82
3.Zahl: n = 88
Insgesamt erfüllen alle n ∈ {41, 55, 75, 82, 88, 100, 110, 132, 150} die Gleichung
ϕ(n) = 40, denn es gilt:
ϕ(41)
ϕ(55)
ϕ(75)
ϕ(82)
ϕ(88)
ϕ(100)
ϕ(110)
ϕ(132)
ϕ(150)
=
=
=
=
=
=
=
=
=
41 − 1 = 40
ϕ(5 · 11) = ϕ(5) · ϕ(11) = 4 · 10 = 40
ϕ(52 · 3) = ϕ(52 ) · ϕ(3) = 4 · 5 · 2 = 40
ϕ(2 · 41) = ϕ(2) · ϕ(41) = 1 · 40 = 40
ϕ(23 · 11) = ϕ(23 ) · ϕ(11) = 22 · 10 = 40
ϕ(22 · 52 ) = ϕ(22 ) · ϕ(52 ) = 2 · 4 · 5 = 40
ϕ(2 · 5 · 11) = ϕ(2) · ϕ(5) · ϕ(11) = 4 · 10 = 40
ϕ(22 · 3 · 11) = ϕ(22 ) · ϕ(3) · ϕ(11) = 2 · 2 · 10 = 40
ϕ(2 · 3 · 52 ) = ϕ(2) · ϕ(3) · ϕ(52 ) = 2 ·4 ·5 = 40
2
Aufgabe 2:
In allen drei Teilaufgaben ist die Lösung zu begründen.
a) Finden Sie ein x ∈ Z mit x ≡ 10040 .
41
Lösung: x = 1
Begründung: Da ggt (100, 41)=1 und ϕ(41) = 40 (da 41 eine Primzahl ist), folgt
mit dem Satz von Euler-Fermat
100ϕ(41) = 10040 ≡ 1 .
41
b) Finden Sie ein y ∈ Z mit 3y ≡ 7.
41
Lösung: y = 16
Begründung: Man rechnet nach 3 · 16 = 48 ≡ 7
41
c) Finden Sie ein z ∈ Z mit 3z ≡ 7 · 10040 .
41
Lösung: z = 16
Begründung: Kongruenzen zum gleichen Modul darf man multiplizieren. Daher
gilt mit den Bezeichnungen der vorherigen Teilaufgaben für z = x · y = 1 · 16 = 16
dann
3z = 3x · y ≡ 10040 · 7 .
41
3
Aufgabe 3:
Für alle x, y ∈ R sei a ? b := 21 (a + b).
a) Begründen Sie kurz, warum (Q, ?) ein Verknüpfungsgebilde ist, aber (Z, ?) keines.
Begründung:
(Q, ?) ist ein Verknüpfungsgebilde, da für alle a, b ∈ Q auch a ? b = 12 (a + b) ∈ Q
/ Z für a = 1 und
(Z, ?) ist kein Verknüpfungsgebilde, da a ? b = 12 (1 + 2) = 32 ∈
b = 2.
b) Beweisen oder widerlegen Sie:
(1) (Q, ?) ist kommutativ.
Lösung: Die Aussage ist WAHR
Beweis: Für alle a, b ∈ Q gilt
1
1
a ? b = (a + b) = (b + a) = b ? a
2
2
(2) (Q, ?) ist assoziativ.
Lösung: Die Aussage ist FALSCH
Beweis durch Gegenbeispiel: Für a = 1, b = 2 und c = 3 erhält man
(a ? b) ? c = (1 ? 2) ? 3 =
9
3
?3= ,
2
4
aber andererseits
a ? (b ? c) = 1 ? (2 ? 3) = 1 ?
5
7
= .
2
4
(3) (Q, ?) besitzt ein neutrales Element.
Lösung: Die Aussage ist FALSCH
Beweis: Angenommen, e ist neutrales Element. Dann muss mit a = 0 gelten
e
1
0 = a = a ? e = (a + e) = ,
2
2
also muss e = 0 sein. Für a = 1 gilt dann aber
1
1
a ? e = 1 ? 0 = (1 + 0) = 6= 1 = a .
2
2
Dies ist ein Widerspruch, daher gibt es kein neutrales Element.
4
Aufgabe 4:
Beweisen oder widerlegen Sie, dass die folgenden Abbildungen verknüpfungstreu sind.
a) f1 : (Z, +) −→ (Z, +), f1 (x) = −x
Lösung: Die Abbildung ist verknüpfungstreu
Beweis: Für alle x, y ∈ Z gilt
f1 (x + y) = −(x + y) = −x + (−y) = f1 (x) + f1 (y) .
b) f2 : (Z, ·) −→ (Z, ·), f2 (x) = −x
Lösung: Die Abbildung ist nicht verknüpfungstreu
Beweis durch Gegenbeispiel: Für x = 1 und y = −1 erhält man
f2 (x) = f2 (1) = −1,
f2 (y) = f2 (−1) = −(−1) = 1 ,
und damit f2 (1) · f2 (−1) = −1. Andererseits gilt aber
f2 (x · y) = f2 (1 · (−1)) = f2 (−1) = −(−1) = 1 6= −1 = f2 (x) · f2 (y) .
5
Aufgabe 5:
x
0 1
x
a) Welche Kongruenzabbildung f der Ebene ist durch f (
)=
gegeben?
y
1 0
y
Begründen Sie Ihre Aussage.
Lösung: f ist eine Spiegelung
Begründung: Als Kongruenzabbildung in der Ebene ist f durch dei Bilder der nicht
kolinearen Punkte A = (0, 0), B = (1, 0) und C = (0, 1) eindeutig bestimmt. Da A
ein Fixpunkt ist und f (B) = C bzw. f (C) = B gilt, ist f die Spiegelung an der 1.
Winkelhalbierenden.
Alternativ: Man berechnet, dass f 2 = id ist. Damit ist f eine Punktspiegelung
oder eine Spiegelung. Da A ein Fixpunkt ist, müsste A das Drehzentrum sein und
f (B) = −B. Daher ist f eine Spiegelung.
b) Beweisen
1
(1)
0
oder widerlegen Sie, dass im Ring der 2 × 2- Matrizen gilt:
0
ist das neutrale Element der Addidtion.
1
Lösung: Die Aussage ist FALSCH
Beweis durch Gegenbeispiel:
1 0
1 1
2 1
1 1
+
=
6=
0 1
1 1
1 2
1 1
1 0
(2)
ist das neutrale Element der Multiplikation.
0 1
Lösung: Die Aussage ist WAHR
Beweis: Für eine beliebige Matrix mitden Einträgen a, b, c, d ∈ R gilt
a b
1 0
a b
1 0
a b
·
=
=
·
c d
0 1
c d
0 1
c d
0 1
(3)
ist eine Einheit.
1 0
Lösung: Die Aussage ist WAHR
Beweis: Man berechnet
0 1
0 1
1 0
·
=
1 0
1 0
0 1
0 1
(4)
ist ein Nullteiler.
1 0
Lösung: Die Aussage ist FALSCH
Beweis: Nach (3) ist die gegebene Matrix eine Einheit, da aber Einheiten
niemals Nullteiler sind, ist die gegebene Matrix kein Nullteiler.
Alternativ: Mit dem Ansatz
a b
c d
0 0
0 1
=
·
=
0 0
1 0
c d
a b
erhält man a = b = c = d = 0. Somit ist die gegebene Matrix kein Nullteiler.
6
Aufgabe 6:
a) Wie lautet der Satz von Lagrange?
Lösung:
Sei G eine endliche Gruppe und U eine Untergruppe von G. Dann ist die Ordnung
von U ein Teiler der Ordnung von G.
b) Wie lautet der Satz von Leonardo da Vinci?
Lösung:
Die endlichen Untergruppen von K2 sind die Gruppen {id}, {id, σd }, Dn+ und Dn
(mit n ∈ N, n ≥ 2).
c) Eine endliche Untergruppe U von (K2 , ◦) enthält zwei Spiegelungen, deren Achsen
sich im Winkel von 20◦ schneiden.
(1) Wieviele Drehungen enthält U mindestens?
(2) Wieviele Spiegelungen enthält U mindestens?
(3) Welche Zahlen n ∈ N sind möglich für n = |U |?
Begründen Sie jeweils Ihre Antwort.
Lösung:
U enthält mindestens 9 Drehungen.
U enthält mindestens 9 Spiegelungen.
Mögliche Zahlen für n = |U | sind: n = 18k mit k ∈ N.
Begründungen: Da sich die beiden Spiegelungsgeraden im 20◦ Winkel schneiden,
ist die 40◦ Drehung um den Schnittpunkt in der Untergruppe U enthalten. Diese
Drehung hat die Ordnung 9, daher sind mindestens 9 Drehungen in U enthalten.
Da zwei Spiegelungen in U enthalten sind, muss nach dem Satz von Leonardo daVinci
die Untergruppe eine Dn mit n ≥ 9 sein, da die übrigen Gruppen aus der Liste nicht
die geforderten 9 Drehungen und 2 Spiegelungen enthalten. Daher müssen dann aber
wegen der 9 Drehungen auch mindestens 9 Spiegelungen enthalten sein.
Die Ordnung von U muss demnach nach dem Satz von Lagrange ein Vielfaches von
9 sein, da die von der 40◦ Drehung erzeugte Gruppe eine Untergruppe von U ist.
Da aber genauso viele Spiegelungen wie Drehungen enthalten sein müssen, ist die
Ordnung von U ein Vielfaches von 18.
7