Blatt 6 - Präsenzübungen

Prof. A. Grigorian, Funktionen
SS 2017
Blatt 6 - Präsenzübungen
31. Beweisen Sie die folgenden Identitäten für endliche Summen von reellen Zahlen:


P
P
 =
( )
() 
=1
()

P
=1
 +
=1
()
µ

P
=1

P
 =
=1

¶Ã

P
( +  )
=1

P

=1
!
=
Ã

P
=1

P
 
=1
!
32. Sei { }
=1=1 eine reellwertige Doppelfolge, d.h. eine Abbildung  : E × E → R. Beweisen
Sie die Identität:
Ã
!
µ
¶



P
P
P
P
(4)
 =

=1
=1
=1
=1
33. Beweisen Sie die folgende Identität für reellen Zahlen    :
µ

P
=1
2
¶µ

P
=1
2
¶
=
µ

P
 
=1
¶2
+
Erhalten Sie aus (5) die Cauchy-Schwarz-Ungleichung:
µ

P
=1
2
¶µ

P
=1
2
¶
≥
µ

 P
1 P
(  −   )2 
2 =1 =1

P
 
=1
¶2

(5)
(6)
Mit Hilfe von (6) beweisen Sie die Ungleichung vom arithmetischen und quadratischen Mittel:

1 P
2 ≥
 =1 
µ

1 P

 =1
¶2
(7)
34. Beweisen Sie die folgende Verallgemeinerung des Induktionsprinzips. Sei  () eine von  ∈ Z
abhängige Aussage, die für ein 0 ∈ Z die folgenden Bedingungen erfüllt:
()  (0 ) ist wahr;
() für jedes  ∈ Z mit  ≥ 0 gilt  () ⇒  ( + 1) 
Dann ist  () wahr für alle  ∈ Z mit  ≥ 0 
35. Sei { }= eine Folge von reellen Zahlen, wobei    ganze Zahlen sind. Beweisen Sie die
folgende Identität für alle ganze Zahlen  mit  ≤   :

P
=
 +

P
=+1
 =

P
 
=
Hinweis. Beweis per Induktion nach  mit Hilfe von Aufgabe 34.
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Blatt 7 - Abgabe bis 19.05.17
36. Seien 1 und 2 zwei Lösungen der Quadratgleichung
2 +  +  = 0
mit reellen Koeﬃzienten    wobei  6= 0. Beweisen Sie die folgende Identität für alle  ∈ R:
2 +  +  =  ( − 1 ) ( − 2 ) 
Hinweis. Beweisen Sie zuerst den Satz von Vieta.
37. Sei  eine nicht-leere endliche Teilmenge von R. Beweisen Sie, dass max  und min  existieren.
Hinweis. Beweis per Induktion nach  = card .
38. Beweisen Sie die folgende Identität für beliebige endliche Mengen   :
card ( ∪ ) = card  + card  − card ( ∩ ) 
Hinweis. Der Fall von disjunkten Mengen   wurde in der Vorlesung betrachtet.
39. Für jede Menge  bezeichnen wir mit P () die Potenzmenge von , d.h. die Menge von allen
Teilmengen von . Sei  eine endliche Menge mit card  = . Beweisen Sie, dass
card P () = 2 
Hinweis. Beweis per Induktion nach .
Bemerkung. Die Potenzmenge P () wird häufig auch mit 2 bezeichnet, so dass
card 2 = 2card  
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