Übungen zur Vorlesung “Theoretische Physik fürs

Übungen zur Vorlesung
“Theoretische Physik fürs Lehramt 2”
Fakultät für Physik, Universität Wien, SS15
Ingrid Beck, Eva Kilian, Beatrix C. Hiesmayr
Bitte arbeiten Sie die folgenden Beispiele gut leserlich und nachvollziehbar aus und geben Sie schriftlich bis spätestens 29. Oktober
2015 in der VO ab (Name und Matrikelnummer nicht vergessen).
Diese Beispiele decken einen Stoff ab, den Sie schon können sollten, beinhalten aber auch solche Beispiele, die die Beispiele aus den
Präsenzübungen festigen b.z.w. vertiefen sollen. Viel Spaß!
1. Wiederholung “komplexe Zahlen”.
Wandeln Sie die komplexe Zahl
z =1+i
in die Polardarstellung z = r · ei ϕ mit r ∈ R+ und ϕ ∈ R um. Dabei kann r als
Radialkoordinate aufgefasst werden und ϕ ist der Winkel, der mit der reellen Achse (x–
Achse) eingeschlossen wird (das so genannte Argument Arg).
2. Wiederholung “komplexe Zahlen”.
Für die komplexe Zahl z = 3 + 2i berechnen Sie
z 2 , z ∗ , z −1 , zz ∗ , |z|, Re{z 2 }, Im{(z ∗ )2 }, Arg[z]
und stellen Sie die Resultate graphisch dar, indem Sie den Realteil als x–Koordinate und
den Imaginärteil als y–Koordinate eines Vektors vom Ursprung auffassen.
3. Multiplikation zweier komplexer Zahlen.
Multiplizieren Sie zwei beliebige komplexe Zahlen z1 und z2 in ihrer Polardarstellung und
interpretieren Sie das Ergebnis der Multiplikation komplexer Zahlen geometrisch.
4. Eulersche Formel.
Benutzen Sie die Eulersche Formel eiϕ = cos ϕ+i sin ϕ um die trigonometrischen Formeln
cos α cos β − sin α sin β = cos(α + β)
cos α sin β + sin α cos β = sin(α + β)
zu zeigen.
1
5. Komplexwertige Funktionen.
Betrachten Sie die komplexwertige Funktion
1
f (x, y) = √ (x + i y)
2
und berechnen und skizzieren Sie |f (x, y)|2 , Re{f (x, y)}, Im{f (x, y)}, Arg{f (x, y)}.
6. Ein häufige komplexwertige Funktion in der Physik.
Betrachten Sie die komplexwertige Funktion
ψ(r) = A · e− ~ p·r ,
i
wobei A ∈ R und p, r ∈ R+ . Berechnen Sie |ψ(r)|2 . Wie hängt |ψ(r)|2 von r ab? Welche
Physik steckt hinter dieser Funktion?
7. Eine andere Art die Kreiszahl π zu berechnen.
Max hat von seiner Tante einen Zufallsgenerator geschenkt bekommen. Dieser erzeugt
eine reele Zahl zwischen 0 und 1. Max fasst immer zwei Zufallszahlen zu einem 2-Tupel
zusammen, das er in einem Koordinatensystem einträgt, indem er einen Kreis zentriert
hat (siehe Abbildung):
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
(a) Wie kann er für ein 2-Tupel an Zufallszahlen überprüfen, ob sie im Kreis liegen?
(b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit p ist ein 2-Tupel innerhalb des Kreises?
(c) Wie kann man π durch dieses Verfahren bestimmen? Betrachten Sie dazu die Abbildung: hier hat Max 200 2-Tupel erzeugt, davon sind 33 außerhalb des Kreises
(rote Punkte) und 166 innerhalb bzw. am Kreis (grüne Punkte). Welchen Wert für
π erhält er?
2
(d*) Sie haben vielleicht Lust sich selbst ein Programm zu schreiben, das π auf diese Art
berechnet. [freiwillig]
C
8. Rechnen mit Elementen aus komplexen Vektorräumen n .
Gegen sind die folgenden komplexwertigen Vektoren aus 5




1+i
3 + 2i
 2 + 5i 
 0 + 4i 




 , v =  2 + 2i 
6
+
0i
u=
√ 
√ 


 3 + 2i 
 1 + 2i 
4 + √i3
2 − √i3
C
(a) Berechnen Sie das innere Produkt ⟨u|v⟩ und ⟨v|u⟩ (wie hängen die Ergebnisse zusammen?). Hinweis: Das innere Produkt wird für Vektoren aus reelen Vektorräumen auch
als Skalarprodukt bezeichnet. Die üblichste Schreibweise, die Sie aus der Schule kennen, ist #»
u · #»
v . Andere Schreibweisen für das innere Produkt sind ⟨u, v⟩, (u, v), (u|v).
Überlegen Sie, warum #»
u · #»
v für komplexe Vektoren zu Missverständnissen führen
kann (siehe auch (d)).
(b) Berechnen Sie das Quadrat des Betrages (die Norm) ∥u∥2 := ⟨u|u⟩ und ∥v∥2 .
(c) Berechnen Sie |u⟩ + |v⟩ und ⟨u| + ⟨v|.
π
(d) Berechnen Sie ⟨λu|v⟩ und λ⟨u|v⟩ mit λ = ei 4 .
9. Multiplizieren von Matrizen.
Berechnen Sie händisch


(
)
1 2
2
1
4
1

−3 
2
−1 −4 2
3 1
10. Normieren von Zustandsvektoren.
Gegeben sei der Zustandsvektor |ψ⟩ = a|0⟩ + b|1⟩ im Hilbertraum
normierte Basiszustände sind, also den 2 aufspannen.
C
C2, wobei |0, 1⟩ ortho-
(a) Welche Bedingung müssen die allgemein komplexen Zahlen a, b erfüllen, damit der
Zustandsvektor normiert ist?
(b) Zeigen Sie, dass durch die Wahl von a = cos 2θ und b = sin 2θ · eiϕ mit θ, ϕ ∈ R der
Zustandsvektor |ψ⟩ immer normiert ist.
(c) Zeigen Sie, dass durch die Wahl von a = eiξ ·cos 2θ und b = eiξ ·sin 2θ ·eiϕ mit θ, ϕ, ξ ∈ R
der Zustandsvektor |ψ⟩ immer noch normiert ist.
(d) Wie viele reele Parameter braucht man, um einen normierten Zustandsvektor im
zu beschreiben?
3
C2
11. Lösungen von Differentialgleichungen können als Elemente eines komplexen
Vektorraumes aufgefasst werden.
Sei M die Menge aller (komplexen) Lösungen der Differentialgleichung f ′′ (x) = −f (x).
Da jede Lösung von der Form f (x) = c1 eix + c2 e−ix ist, kann M mittels
(
)
c1
ix
−ix
f (x) = c1 e + c2 e
⇔
c2
mit dem
C2 identifiziert werden. Ergänzen Sie
M
ix
2e − 5e−ix
sin x
cos x
tanh x
C2
(
2
i
)
12. Multiplizieren von Matrizen (1).
Berechnen Sie händisch


(
)
1 2
2
1
4
1

−3 
2
−1 −4 2
3 1
13. Multiplizieren von
(2).
)
)
(
( Matrizen
1 0
1 1
. Berechnen Sie AB, BA, [A, B] :=
und B =
Gegen sein A =
0 −1
−1 1
AB − BA, {A, B} := AB + BA, A2 , B 2 , A2 + AB + BA + B 2 , (A + B)2 . Was fällt Ihnen
hinsichtlich der letzten beiden Resultate auf?
14. Objekte der Form |u⟩⟨v|.
Gegen seien die folgenden Basivektoren im Hilbertraum 2 durch
( )
( )
1
0
|0⟩ =
, |1⟩ =
0
1
C
(a) Zeigen Sie, dass |0⟩, |1⟩ normiert und auf einander normal stehen.
(b) Stellen Sie |0⟩⟨0|, |0⟩⟨1|, |1⟩⟨0|, |1⟩⟨1| als Matrizen dar.
(c) Berechnen Sie die Eigenvektoren und Eigenwerte von den Matrizen |0⟩⟨0|−|1⟩⟨1|, |0⟩⟨1|+
|1⟩⟨0|, −i|0⟩⟨1| + i|1⟩⟨0|.
(d) Stellen Sie die Eigenvektoren aus (c) in der Ket-Bra Schreibweise dar.
4
15. Wichtige Eigenschafen von Matizen.
Welche der folgenden Matrizen sind diagonalisierbar, normal, symmetrisch, hermitisch
oder stellen eine Projektion bzw. Normalprojektion dar?
(
A=
1 −i
i 1
)
1
,B =
2
(
1 i
−i 1
(
)
,C =
2 3
3 1
16. Spektraldarstellung.
)
(
,D =
0 −i
−i 0
)
(
,E =
0 3
2 1
)
.
(
)
3 1
Geben Sie die Spektraldarstellung der Matrix A =
an. Schreiben Sie das Ergeb1 3
nis auch in der Bra-Ket Schreibweise an (Sie können Ihr eigenes Basissystem definieren,
aber bitte zur Überprüfung angeben!).
17. Funktionen von Matrizen (1).
Berechnen Sie sin( π2 A) für die obige Matrix A.
18. Projektoren P = |u⟩⟨u|.
(a) Zeigen Sie, dass P ein Projektionsoperator ist, also P 2 = P .
(b) Berechnen Sie die Eigenwerte und die Eigenvektoren, falls P =
(
1
2
1 1
1 1
)
.
(c) Zeigen Sie, dass die Eigenvektoren aufeinader normal stehen.
(d) Geben Sie die Spektraldarstellung von P an.
(e) Veranschaulichen Sie graphisch, dass der Eigenvektor zum Eigenwert 0, die Richtung
darstellt, in die projiziert wird und der Eigenvektor zum Eigenwert 1 den Teilraum
aufspannt, auf den projiziert wird (Vergleichen Sie mit einem Polarisator für Photonen).
19. Funktionen von Matrizen (2).
#» #»
Berechnen Sie die Exponentialfunktion der Matrix iϕ #»
n · #»
σ , also eiϕ n · σ . Hierbei ist
#»
n · #»
σ := nx σx + ny σy + nz σz und σi sind die Pauli-Matrizen. Nehmen Sie an, #»
n ist ein
Einheitsvektor.
5