Übungen zur Algebra I, Blatt 11

Übungen zur Algebra I, Blatt 11
*-Aufgaben sind Zusatzaufgaben und bringen Bonuspunkte.
Aufgabe 41: (Punkte 4+4+4+4+2+6=24)
(i) Sei K ⊂ L eine endliche Körpererweiterung vom Grad [L : K] = 2k . Sei f ∈ K[X]
ein Polynom vom Grad 3, das in L eine Nullstelle besitzt. Zeige, dass f eine
Nullstelle in K hat.
(ii) Sei K ein Körper und sei K(X) = Quot(K[X]). Zeige: [K(X) : K(X n )] = n für
alle n ≥ 1.
√
√
(iii) Seien p1 , ..., pn paarweise verschiedene Primzahlen und sei K := Q( p1 , ..., pn ).
Bestimme den Grad der Erweiterung Q ⊂ K.
(iv) Seien K ⊂ L eine Körpererweiterung und α, β ∈ L zwei Elemente. Setze [K(α) :
K] = n und [K(β) : K] = m. Angenommen n und m sind teilerfremd, zeige, dass
[K(α, β) : K] = nm gilt.
√ √
(v) Bestimme den Grad von Q( 3 2, 2) über Q.
(vi) Zeige: Für alle n ≥ 1 existiert eine Erweiterung Q ⊂ K vom Grad n. Hinweis:
Benutze Aufgabe 34.
Aufgabe 42: (Punkte 3+2+4+3=12)
(i) Sei K ⊂ L eine Köpererweiterung und sei α ∈ L transzendent über K. Zeige,
dass der Körper K(α) isomorph zu K(X) ist. Hinweis: Betrachte die natürliche
Abbildung K[X] → K(α), P 7→ P (α) und benutze die universelle Eigenschaft des
Quotientenkörpers.
(ii) Seien K ⊂ L eine Körpererweiterung und P ∈ K[X] ein irreduzibles Polynom.
Zeige: Sind α, β ∈ L zwei Nullstellen von P , so sind die Körper K(α) und K(β)
isomorph.
(iii) Sei P ∈ Q[X] ein irreduzibles Polynom. Zeige, dass P nur einfache Nullstellen in
C hat (siehe Aufgabe 39 für die Definition). Hinweis: Zeige zunächst dass P und
P 0 (die Ableitung von P ) teilerfremd sind. Dann benutze Aufgabe 27 (Lemma
von Bezout).
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(iv) Sei K ein Körper mit Char(K) = p eine Primzahl. Sei K(X) = Quot(K[X]) und
setze y = X p . Zeige, dass P = X p − y das Minimalpolynom von X über K(y) ist.
Was sind die Nullstellen von P in K(X) ?
*Aufgabe 43: (Punkte 3+4+4+1+3+5+3+1=24)
Eine Menge X heißt abzählbar, falls eine surjektive Abbildung N → X existiert.
(i) Zeige, dass N2 abzählbar ist.
S
(ii) Seien X eine Menge und Xn ⊂ X eine Teilmenge für alle n ∈ N mit n∈N Xn =
X. Zeige: Ist Xn abzählbar für alle n ∈ N, so ist X abzählbar. Folgere: Eine
abzählbare Vereinigung abzählbarer Mengen ist abzählbar. Hinweis: Sei fn : N →
Xn eine Surjektion. Konstruiere eine Surjektion N2 → X und benutze (i).
(iii) Sei X eine Menge. Zeige, dass es keine surjektive Abbildung X → P(X) gibt,
wobei P(X) die Potenzmenge von X ist. Hinweis: Für eine Abbildung f : X →
P(X), betrachte die Menge
A := {x ∈ X, x ∈
/ f (x)}.
(iv) Folgere, dass P(N) nicht abzählbar ist.
(v) Sei X eine Menge. Konstruiere eine Bijektion {0, 1}X → P(X).
(vi) Zeige, dass R nicht abzählbar ist. Hinweis: Sei x ∈ [0, 1[ eine reelle Zahl und
sei x = 0, a1 a2 a3 ... ihre Dezimalbruchentwicklung. Dies liefert eine Abbildung
f : [0, 1[→ {0, 1, ..., 9}N . Bestimme das Bild von f und zeige, dass es unabzählbar
ist (benutze (iv) und (v)).
(vii) Sei A die Menge der komplexen Zahlen, die algebraisch über Q sind. Zeige, dass
A abzählbar ist. Hinweis:S Für alle P ∈ Q[X] sei N (P ) die Menge der Nullstellen
von P in C. Zeige: A = P ∈Q[X] N (P ) und benutze (ii).
(viii) Folgere: Die Menge der komplexen Zahlen, die transzendent über Q sind, ist
unabzählbar.
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