A 2-12_Systeme von Ungleichungen

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang & Lehrer/innenTeam
2. Semester
ARBEITSBLATT 2-12
Systeme linearer Ungleichungen in einer Variablen
Zunächst einmal können wir die Lösungen einer Ungleichung auf mehrere Arten angeben. Man kann wählen zwischen einer Ungleichungskette, einem
logischen System von Ungleichungen und der so genannten Intervallschreibweise.
Beispiel: Wir wollen alle Zahlen x zwischen 3 und 6 angeben.
Lösung:
a) Als Ungleichungskette: müssen die Zahlen also zwischen 3 und 6 liegen.
Man schreibt:
3 < x < 6 (sprich: 3 kleiner x kleiner 6)
Kleinere
Grenze
Größere
Grenze
b) logisches System von Ungleichungen: Wir können uns obige Behauptung
verbal auch so zerlegen, dass wir sagen, x muss kleiner als 6 und größer
als 3 sein.
Entscheidend ist hier das Wort „und“. „Und“ ist ein so genannter logischer Operator. Er verknüpft hier zwei Ungleichungen. Noch einmal genau aufgeschrieben, sind dies:
x kleiner als 6
1.Ungleichung
und
Logischer
Operator
x größer als 3
2.Ungleichung
„Und“ ist nicht der einzige logische Operator. „Oder“ ist der zweite
Operator, den wir benötigen.
Für diese logischen Operatoren hat man nun eigene Zeichen eingeführt:
Definition: Der logische Operator „und“ wird gekennzeichnet durch:
Der logische Operator „oder“ wird gekennzeichnet durch: ∨
1
∧
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Wir können also unsere Ungleichungskette folgendermaßen schreiben:
x kleiner als 6
(x < 6 )
und
x größer als 3
(x > 3 )
∧
Die Bedeutung dieser logischen Operatoren wollen wir uns noch etwas
näher betrachten.
Was bedeutet also (x < 6 ) ∧ (x > 3 ) genau. Die Erklärung dazu liefert ein
mathematisches Teilgebiet: die Mengenlehre.
Stellen wir uns alle x, die kleiner als 6 sind als Menge A vor. Alle x, die
größer als 3 sind, als Menge B. Nun veranschaulichen wir diese Mengen:
-1000
-0,8
5,1
3
2,7
A
0
1,7
5
4,11
76,8
4
3,2
3000
6
80,99
8,6
B
9,3
Durchschnittsmenge
A∧B
Wir erkennen also, dass der logische Operator „und“ immer die Durchschnittsmenge von Bedingungen (bzw. Mengen) bildet.
Satz: Der logische Operator „UND“ bildet stets die Durchschnittsmenge.
Nun schauen wir uns noch den logischen Operator „oder“ an. Nehmen
wir als Beispiel die Ungleichungskette (x < 5) ∨ (x > 2) .
Die Frage ist also, welche x sind größer als 2 und größer als 5?
Zunächst einmal müssen wir die Bedeutung von „oder“ noch etwas
klarstellen. Während in der Sprache „oder“ ausschließend benutzt wird,
ist es in der Mathematik einschließend. Wenn wir also sprachlich „oder“
verwenden, meinen wir eigentlich „entweder ... oder“. Dies bedeutet,
es kann nur einer der beiden Aussagen richtig sein. In der Mathematik
können hingegen auch beide Aussagen richtig sein.
Ein kleines Beispiel: Die Frage „Willst du ein Cola oder einen Saft?“, bedeutet sprachlich: Ich kann ein Cola nehmen oder einen Saft aber
nicht beides. Mathematisch könnte ich ein Cola, einen Saft oder aber
beides nehmen.
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Nachdem dies geklärt ist, stellen wir wieder unsere Ungleichungskette
(x < 5) ∨ (x > 2) als Mengen dar. A seien alle Zahlen kleiner 5. B seien alle
Zahlen größer als 2. Einfachheit halber lassen wir hier nur ganze Zahlen
zu.
-5
-2
2
0
5
-3
1
A
-1
-4
4
3
10
6
7
B
8
9
11
Da jeder Wert Lösung ist, der zumindest Element von einer der Mengen
ist, sind also beide Mengen zusammen, das Ergebnis von A ∨ B . Man
nennt dies die Vereinigungsmenge.
Bei uns würde dies also alle ganzen Zahlen ergeben: (x < 5 ) ∨ (x > 2) = Z
Satz: Der logische Operator „ODER“ bildet stets die Vereinigungsmenge.
c) Intervallschreibweise
Diese müssen wir zunächst einmal kurz erklären.
Ich möchte zunächst einmal alle Zahlen von -2 bis 6 angeben, wobei -2
und 6 inkludiert sind.
In der Intervallschreibweise schreiben wir einfach die untere und die
obere Grenze durch einen Strichpunkt getrennt in eckige Klammern. Also: [-2;6]
Von Bedeutung ist dabei, dass die Klammern nach innen gehen. Dies
bedeutet, dass sowohl -2 als auch 6 Lösungen sind.
Falls eine Grenze nicht mehr Lösung sein soll, lassen wir die Klammer
nach außen gehen:
Beispiel: Alle Zahlen größer als 3 und kleiner gleich 5.
Lösung:
3 ist nun keine Lösung mehr. Jede Zahl, die aber unendlich wenig
größer als 3 ist, ist bereits Lösung. Bei 3 müssen wir also die Klammer nach außen gehen lassen. Die obere Grenze 5 ist hingegen
eine Lösung, bei ihr muss die Klammer folglich nach innen gehen.
Also: ]3;5]
Beispiel: Alle Zahlen, die größer gleich 0 und kleiner als 7 sind:
Lösung: In diesem Fall ist 0 eingeschlossen, 7 hingegen ausgeschlossen.
Also: [0;7[
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Beispiel: Zurück zu unserem ursprünglichen Beispiel: Alle Zahlen zwischen
3 und 6.
Lösung: In diesem Falle sind beide Grenzen ausgeschlossen. Also: ]3;6[
So, nun noch weitere Beispiele:
Beispiel: x soll größer gleich 2 und kleiner als 8 sein. Schreiben Sie dies als Ungleichheitskette, Ungleichung mit logischen Operatoren und in Intervallschreibweise an.
Lösung:
Ungleichheitskette: 2 ≤ x < 8
Ungleichung mit logischen Operatoren: (x ≥ 2) ∧ (x < 8)
Intervallschreibweise: [2;8[
Beispiel: x soll größer als 5 oder kleiner gleich 0 sein. Schreiben Sie, wenn möglich, auf alle Arten an.
Lösung:
Stellen wir uns die Lösung zunächst einmal auf der Zahlengeraden dar:
Kleiner 0
Größer 5
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
Da bei „oder“ ja stets nach der Vereinigungsmenge gefragt wird, sind
also beide Pfeile zusammen Lösungen.
Ungleichungskette: Da es sich hier bei der Lösung nicht um einen
durchgehenden Zahlenbereich handelt, ist es nicht möglich die
Lösung in dieser Art anzugeben.
Ungleichungskette: (x < −2) ∨ (x > 5 )
Intervallschreibweise: So, hier müssen wir noch eine Kleinigkeit dazulernen. Zunächst einmal besteht die Lösung ja aus zwei Mengen.
Dieses Problem regeln wir aber einfach dadurch, dass wir beide
Mengen mit „oder“ verknüpft hintereinander schreiben. Schwieriger werden schon die beiden Mengen selbst. Beim ersten Teil der
Lösung sind alle Zahlen kleiner als 0 Lösung, d.h. jede beliebig
kleine Zahl ist eine Lösung. Beim zweiten Teil sind alle Zahlen größer 5 Lösungen, also beliebig große Zahlen.
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Diese „beliebig groß“ oder „beliebig klein“ können wir aber nicht
direkt durch Zahlen anschreiben. Wir müssen uns also dafür einen
neuen Begriff einfallen lassen. Dass Werte beliebig groß werden
können, bezeichnet man in der Mathematik als „unendlich groß“.
Man schreibt dafür das Zeichen ∞ . Entsprechend schreibt man
für „unendlich klein“ − ∞ .
Auf der Zahlengerade dargestellt sieht dies also folgendermaßen
aus:
−∞
∞
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
Beachten Sie dabei, dass „Unendlich“ kein konkreter Zahlenwert
ist, was bedeutet, dass ∞ oder − ∞ nie Lösungen sein können. Die
Intervallklammern müssen bei diesen Zeichen also stets nach außen gerichtet sein.
Als Lösung erhalten wir also: ]− ∞;0[ ∨ ]5; ∞[
Beispiel: Schreiben Sie alle Zahlen kleiner gleich 2 auf alle drei Arten an:
Lösung:
Ungleichungskette: − ∞ < x ≤ 2
Ungleichungssystem mit logischen Operatoren: (x > −∞ ) ∧ (x ≤ 2)
Intervallschreibweise: ]− ∞;2]
So nun sehen wir uns einmal an, wie man solche Ungleichungssysteme aber
praktisch löst:
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Beispiel: Löse das Ungleichungssystem in R: (2x − 5 < 9) ∧ (3 x + 1 > 10)
Lösung:
Wir rechnen uns zunächst einmal für jede Ungleichung extra die Lösung
aus:
Rechnung
Anmerkungen
(2x − 5 < 9) ∧ (3x + 1 > 10)
1.Ungleichung: +5
2.Ungleichung: -1
2x < 14 ∧
3x > 9
1.Ungleichung: : 2
2.Ungleichung: : 3
x<7
∧
x >3
Die Lösungen der ersten und der zweiten Ungleichung sind durch ein „UND“
verbunden. Wir suchen also x, die sowohl die erste als auch die zweite Ungleichung erfüllen. Wir müssen also
den Durchschnitt bilden. Dazu stellen
wir uns die beiden Lösungen und den
Durchschnitt auf der Zahlengerade
dar.
x <7∧x >3
x>3
x<7
0
3
7
Wir erkennen also, dass alle x zwischen 3 und 7 Lösungen sind, wobei 3
und 7 selbst keine Lösungen sind. Wir können die Lösungsmenge als Ungleichungskette oder in Intervallschreibweise angeben.
L = {x ∈ R | 3 < x < 7} oder L = ]3;7[
Anmerkung: Sie müssen bitte nicht immer beide Möglichkeiten angeben.
Wählen Sie jene Art der Lösungsangabe, die ihnen sympathischer ist.
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Beispiel: Löse die Ungleichungskette 3 x − 5 ≤ 5 x + 3 ≤ x − 1 in R.
Lösung:
Wir müssen uns die Ungleichungskette zunächst einmal logisch aufspalten. Die Ungleichungskette besteht aus drei Bedingungen:
3x − 5
≤
1. Bedingung
5x + 3
≤
x −1
2. Bedingung
3. Bedingung
Es muss ja nun verbal ausgedrückt gelten:
(1. Bedingung ≤ 2. Bedingung) und (2. Bedingung ≤ 3. Bedingung)
Dies schreiben wir nun mathematisch an:
(3 x − 5 ≤ 5 x + 3) ∧ (5 x + 3 ≤ x − 1)
Nun haben wir wieder ein Ungleichungssystem wie wir es bereits kennen.
Rechnung
Anmerkungen
(3 x − 5 ≤ 5 x + 3) ∧ (5 x + 3 ≤ x − 1)
1.Ungleichung: -5x
2.Ungleichung: -x
− 2x − 5 ≤ 3
∧ 4 x + 3 ≤ −1
1.Ungleichung: +5
2.Ungleichung: -3
− 2x ≤ 8
∧
4 x ≤ −4
1.Ungleichung: : (-2)
2.Ungleichung: : 4
x ≥ −4
∧
x ≤ −1
Die beiden Lösungen sind durch
„und“ verbunden. Folglich benötigen
wir wieder die Durchschnittsmenge.
Wir stellen dies wieder auf der Zahlengerade dar.
x ≥ −4 ∧ x ≤ −1
x ≤ −1
x ≥ −4
-4
-1
0
Beachten Sie bitte, dass diesmal -1 und -4 in der Lösungsmenge enthalten sind.
Wir erhalten also als Lösungsmenge:
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L = {x ∈ R | −4 ≤ x ≤ −1} oder L = [− 4;−1]
So, nun noch ein letztes Beispiel:
3x > 7
Beispiel: Löse das Ungleichungssystem in R: x − 4 < 8
3 x − 2 < 20
Lösung:
Wir suchen Werte für x, die alle drei Ungleichungen erfüllen. Sie sollen also die 1. und die 2. und die 3. Ungleichung erfüllen. Wir merken schon,
die einzelnen Ungleichungen sind logisch also mit „UND“ verknüpft. Wir
schreiben dies formal an:
(3x > 7) ∧ (x − 4 < 8) ∧ (3 x − 2 < 20)
Nun lösen wir wieder jede Ungleichung für sich:
(3x > 7) ∧ (x − 4 < 8) ∧ (3 x − 2 < 20)
x>
7
3
∧ x < 12
∧ x<
22
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Da die einzelnen Lösungen mit „UND“ verknüpft sind, brauchen wir wieder die Durchschnittsmenge. Wir veranschaulichen uns dies auf der
Zahlengerade:
x > 7 / 3 ∧ x < 22 / 3 ∧ x < 12
x<12
x<22/3
x>7/3
0
7
3
22
3
12
Die Grenzen der Lösungsmenge 7/3 und 22/3 sind selbst wiederum keine Lösung.
Die Lösungsmenge lautet also:
7
22 

 7 22 
L = x ∈ R | < x <
 oder L =  ; 
3
3

3 3 
8