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Begleitdokument
zum „Chinese Remainder Theorem“ - Applet
für die Lehrperson
1.
Einleitung
1.1
Der chinesische Restsatz
Der chinesische Restsatz besagt folgendes:
Gegeben seien positive ganze Zahlen n1, ..., nr, welche paarweise relativ prim
sind. Dann hat das Gleichungssystem
x  a1 (mod n1 ) 



x  ar (mod nr )

eine ganzzahlige Lösung x, welche eindeutig ist modulo (n1...nr). Dabei sind
a1, ..., ar beliebige ganze Zahlen.
Beispiel:
Das Gleichungssystem
x  2 (mod 3) 

x  3 (mod 5) 
x  2 (mod 7)

ist für x = 23 erfüllt. Diese Lösung ist die einzige modulo 105.
1.2
Ziel des „Chinese Remainder Theorem“ - Applets
Das Applet visualisiert den chinesischen Restsatz für zwei Gleichungen, resp.
zwei Moduli (r = 2). Der Benutzer kann selber zwei Moduli n 1 und n2 wählen
und sowohl für verschiedene Gleichungssysteme die entsprechende Lösung
wie auch umgekehrt für eine Zahl x ihr Abbild (mod n1, mod n2) bestimmen.
Mit dieser einfachen Lernumgebung werden die wesentlichen Aspekte des
Theorems veranschaulicht. Das Theorem kann an verschiedenen Beispielen
überprüft werden und der Benutzer erfährt auch, weshalb die Moduli relativ
prim sein müssen.
1
2.
Anwendung des Applets
2.1
Aufbau des Applets
Das Applet besteht aus fünf vertikal angeordneten Bereichen.
Bereich 1:
Der oberste Bereich dient der Eingabe zweier Moduli n1 und n2.
Bereich 2:
Dieser Bereich stellt die Zahlen von 0 bis (n1n2 -1) dar.
Bereich 3:
Hier befinden sich die wichtigsten Elemente zur Steuerung der
Lernumgebung.
Bereich 4:
Dieser Bereich stellt die Zahlen mod n1 und mod n2 dar. Im
folgenden wird dieser Bereich teilweise mit „CRT-Raum“
bezeichnet.
Bereich 5:
Der unterste Bereich schliesslich ist reserviert für das Werkzeug
(„Tool“).
2
2.2
Abbildungen in den „CRT-Raum“
In diesem Modus soll der Benutzer für eine Zahl mod (n1n2) die Entsprechung
(mod n1, mod n2) finden.
Dazu ist wie folgt vorzugehen:
1. Eingabe der Moduli (hier z.B. 8 und 6) und dann Klick auf „Apply“. Die
Moduli müssen dabei nicht relativ prim sein.
2. Klick auf den Pfeil nach unten (falls nicht schon aktiviert).
3. Nun wird eine Zahl aus Bereich 2 durch Klicken angewählt (hier z.B.
die Zahl „19“).
4. Als nächstes muss die entsprechende Zahl (mod n 1, mod n2) gefunden
werden. Dazu wird auf ein Element in Bereich 4 geklickt. Wenn sich die
beiden Elemente entsprechen, blinken sie zweimal grün auf und die
Zahl aus Bereich 2 wird abgehakt und unten eingetragen. Andernfalls
blinken die beiden Elemente rot auf, und der Benutzer muss seine
Berechnungen nochmals überprüfen.
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2.3
Lösen von Kongruenzsystemen
In diesem Modus soll der Benutzer für eine Zahl, deren Wert (mod n1, mod n2)
er kennt, eine entsprechende Zahl mod (n1n2) finden. Dies entspricht dem
Lösen eines Gleichungssystems bestehend aus zwei Kongruenzen.
Aufbauend auf obigem Beispiel ist wie folgt vorzugehen:
1. Klick auf den Pfeil nach oben.
2. Wählen einer Zahl aus Bereich 4, z.B. (2, 4).
3. Nun muss die entsprechende Zahl in Bereich 2 gefunden werden. Bei
korrekter Abbildung blinken die beiden Elemente wieder grün, und die
Zahl in Bereich 2 wird abgehakt.
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2.4
Das Werkzeug
Zum Lösen von Gleichungssystemen steht dem Benutzer ein Hilfsmittel zur
Verfügung.
Angenommen der Benutzer möchte folgendes Gleichungssystem lösen:
x  4 (mod 6)

x  3 (mod 5) 
Er kann dazu zwei Faktoren s und t suchen, für die gilt:
4 + 6s = 3 + 5t
Durch Anklicken von „Use Tool“ erscheint im Bereich 5 eine Hilfe, um genau
diese beiden Faktoren zu bestimmen.
Die Zahl zwischen den gelben resp. grünen Buttons entspricht dabei s resp. t.
Kann man die beiden „Läufer“ zum Überlagern bringen, hat man eine Lösung
für das Gleichungssystem gefunden.
In unserem Beispiel ist das für s=4, t=5 der Fall. Die Lösung lautet also x=28.
Nun kann das gefundene x wie normal in Bereich 2 angeklickt werden.
5
2.5
„Clear“ und „Solution“
Der Button „Clear“ setzt alle gefundenen Lösungen zurück.
Ein Klick auf den „Solution“-Button zeigt alle Entsprechungen an:
2.6
Animation mehrer Lösungen
Im Falle nicht relativ primer Moduli haben gewisse Gleichungssysteme
mehrere Lösungen im Bereich 0 bis n1n2-1, andere dafür gar keine. Das
Applet stellt mehrere Lösungen durch ein zeitliches Nacheinander animiert
dar.
Untenstehende Abbildung zeigt anhand der Lösung für die Moduli 8 und 6 die
beiden Screenshots, welche sich ca. jede Sekunde abwechseln.
Der Benutzer hat über die Steuerungselemente
die Möglichkeit, die Animation zu stoppen und wieder zu starten.
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3.
Vorschläge für Aufgaben
Das Applet eignet sich gut zum selbstständigen Experimentieren mit den
verschiedenen Eigenschaften des „Chinese Remainder Theorem“. Die
Lehrperson kann aber auch konkrete Aufgaben vorgeben, welche die
Schülerinnen dann mit Hilfe des Applets zu lösen haben.
In diesem Kapitel werden ein paar Anregungen für mögliche Aufgabentypen
gegeben.
3.1
Relativ prime Moduli
Ein erster Typ von Aufgaben übt das modulare Rechnen und veranschaulicht
den chinesischen Restsatz in seiner ursprünglichen Form. Dabei werden nur
relativ prime Moduli verwendet.
Die folgenden drei Beispiele können als Grundlage dienen.
Aufgabentyp 1
Berechne 19 mod 8 und 19 mod 7. Kontrolliere Dein Ergebnis, indem Du das
entsprechende Element im CRT-Raum anklickst.
Aufgabentyp 2
Finde ein ganzzahliges x<15, welches das folgende Gleichungssystem erfüllt:
x  2 (mod 5)

x 1 (mod 3) 
Verwende dabei das Werkzeug, und versuche zu verstehen, wie es
funktioniert.
Aufgabentyp 3
Bei dieser Aufgabe kann der Schüler anhand eines Beispiels verifizieren,
dass für relativ prime Moduli tatsächlich jedes Gleichungssystem von
Kongruenzen eine eindeutige Lösung hat.
a) Gebe die Moduli 5 und 3 ein und bilde dann die Zahlen von 0 bis 14 der
Reihe nach in den CRT-Raum ab. Wo erscheint jeweils die nachfolgende Zahl
bezüglich der vorhergehenden? Beschreibe das Prinzip kurz.
b) Bleiben gewisse Felder im CRT-Raum leer? Gibt es Doppelbelegungen?
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Lösung 3
a) Die Zahlen kommen der „Diagonale“ entlang zu liegen, wobei sie an den
Rändern jeweils zyklisch am anderen Ende wieder hineinkommen
(„modular“). Das sieht man auch dem Farbverlauf des Screenshots der
Lösung an:
b) Jede Zahl von 0 bis 14 hat ihren eigenen Platz im CRT-Raum.
3.2
Nicht relativ prime Moduli
Eine andere Kategorie von Aufgaben geht der Frage nach, weshalb im
chinesischen Restsatz nur relativ prime Moduli zugelassen sind. Die Schülerin
erkennt, was passiert, wenn diese Voraussetzung verletzt wird.
Aufgabentyp 1
Bilde für die Modulo-Paare (3,5), (2,6) und (4,5) jeweils einige Zahlen in den
CRT-Raum ab (oder in die entgegengesetzte Richtung).
a) Bei welchen dieser Modulo-Paare kommen nie zwei Zahlen auf das gleiche
Feld im CRT-Raum zu liegen?
b) Finde die schwächste Anforderung an die beiden Moduli, damit nie zwei
Zahlen auf das gleiche Feld zu liegen kommen. Findest Du mit diesen
Modulo-Paaren noch keine Gesetzmässigkeit, dann nehme eigene ModuloPaare hinzu!
Lösung 1
a) Bei (3,5) und (4,5) kommen nie zwei Zahlen auf das gleiche Feld zu liegen.
b) Die schwächste Anforderung ist, dass die beiden Moduli relativ prim sind.
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Aufgabentyp 2
Benutze das Modulo-Paar (4,4) und beginne die Zahlen von 0 bis 15 der
Reihe nach abzubilden.
a) Welche Zahl ist die erste, die auf ein bereits besetztes Feld zu liegen
kommt?
b) Wie lautet das Resultat allgemein bei zwei Moduli n1 und n2?
Lösung 2
Die Zahl 4 kommt auf das gleiche Feld zu liegen wie die Zahl 0. Allgemein ist
die Abbildung nur eindeutig bis zum kleinsten gemeinsamen Vielfachen der
beiden Moduli.
Aufgabentyp 3
Benutze das Modulo-Paar (8,6). Welche Zahl(en) werden auf das gleiche Feld
abgebildet wie die Zahl 2?
Tipp: Benutze das Tool!
Lösung 3
Der Schüler kann hier einfach die „2“ abbilden und dann für dieses Element
das Tool öffnen. Jede Kollision der „Läufer“ wird auf das selbe Element
abgebildet.
Hier ist das neben der Zahl 2 nur noch für die Zahl 26 der Fall:
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3.3
Entdeckungen mit dem CRT-Applet
Dieser Typ Aufgaben richtet sich an fortgeschrittenere Schülerinnen. Das
ganze CRT-Applet dient dabei nur noch als Werkzeug, um gewisse
Vermutungen schnell zu testen. Dabei wird meistens direkt der "Solution"Button benutzt, um sich die Lösungsbilder verschiedener Modulo-Paare
anzusehen.
Aufgabentyp 1
Wie viele Elemente aus dem Bereich 0 bis (n1n2-1) werden allgemein auf das
gleiche Element (mod n1, mod n2) abgebildet?
Tipp: Probiere verschiedene Modulo-Paare aus und lasse Dir jeweils die
Lösung anzeigen.
Lösung 1
(n1n2-1) / lcm(n1,n2), wobei lcm(.,.) das kleinste gemeinsame Vielfache zweier
Zahlen ist.
Aufgabentyp 2
Welche Elemente kommen bei einem allgemeinen Modulo-Paar (n1, n2) auf
das gleiche Feld zu liegen wie eine gegebene Zahl i?
Überprüfe Deine Vermutung, in dem Du für einige Modulo-Paare jeweils ein
Element wählst und mit dem Tool alle seine Kollisionspartner bestimmst.
Lösung 2
Alle Zahlen {i+klcm(n1,n2)| (k  0)  (-1 < i+klcm(n1,n2) < n1n2)} kommen auf
das selbe Feld wie i zu liegen.
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4.
Literaturhinweise
Eine sehr ausführliche Einführung in den chinesischen Restsatz mit einem
historischem Überblick und vielen Anwendungen gibt das folgende Buch:
„Chinese Remainder Theorem – Applications in Computing, Coding,
Cryptography“ (1996) von C. Ding, D. Pei & A. Salomaa; Singapore, New
Jersey, London, Hong Kong: World Scientific.
SwissEduc bietet im Bereich der Modulararithmetik weitere Materialien für
den Unterricht an. Speziell hinzuweisen ist auf die Werkstatt „ModularMultiplikation“ (http://www.swisseduc.ch/informatik/werkstatt/multiplik/modulo/).
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