Lernzirkel zum Integral(schwer)

Übungszirkel zum Integral
 bei Christian Altmann
Integralrechnung
Fläche zwischen zwei Graphen
3A
Gegeben sind die Funktionen f(x) = -x² + 4x und g(x) = mx
Für welchen Wert von m sind die beiden markierten Flächen gleich groß!
Die Lösungen finden Sie auf der Rückseite!
Lösung
Die Integrationsgrenzen sind die x-Werte der Schnittpunkte!
 x ²  4x  mx
 x ²  4x  mx  0
 x ( x  4  m)  0
x1  0 ; x  4  m  0
x2  4  m
4 m

0
4
(f ( x )  g ( x ))dx 
 f (x )  g(x )dx
4 m
4m


0
4
( x ²  4 x  mx )dx 
 ( x ²  4x  mx )dx
4m
4
3
Beide Seiten integrieren, einsetzen und ausrechnen ergibt für m den Wert m  !
Integralrechnung
Fläche zwischen zwei Graphen
3B
Gegeben sind die Funktionen f(x) = -(x+2)² + 2 und g(x) = x + 2
Überlegen Sie sich einen geeigneten Ansatz, um den markierten Flächeninhalt
zu berechnen!
Die Lösungen finden Sie auf der Rückseite!
Lösung
1. Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse bestimmen. Ein Schnittpunkt ist x  2  2 !
2. Dann von -4 bis -2 die Fläche zwischen den beiden Graphen bestimmen.
3. Nun noch die Fläche bestimmen, welche die Parabel mit der x-Achse von  2  2 bis -2
einschließt und von der ersten Fläche subtrahieren. Im Klartext:
2
2
4
2 2
 (f (x)  g(x))dx   f (x)dx  1,45(FE)
Integralrechnung
Fläche zwischen zwei Graphen
3C
Gegeben sind die Funktionen f(x) = -(x+2)² + 2 und g(x) = x + 2
Überlegen Sie sich einen geeigneten Ansatz, um den markierten Flächeninhalt
zu berechnen!
Die Lösungen finden Sie auf der Rückseite!
Lösung
1. Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse bestimmen. Ein Schnittpunkt ist x  2  2 !
2. Dann von  2  2 bis -2 die Fläche zwischen Parabel und x-Achse bestimmen.
3. Nun noch die Fläche bestimmen, welche die beiden Graphen von -2 bis -1 miteinander
einschließen und zu der ersten Fläche addieren. Im Klartext:
2

2 2
1
f ( x )dx   (f ( x )  g( x ))dx  3,05(FE)
2
Integralrechnung
Fläche zwischen zwei Graphen
3D
Gegeben ist die Normalparabel f(x) = x² und das gezeichnete Rechteck mit
den Randpunkten A(0/0), B(2/0), C(2/4) und D(0/4)
In welchem Verhältnis teilt die Normalparabel die Fläche des Rechtecks?
Die Lösungen finden Sie auf der Rückseite!
Lösung
Fläche, welche die Parabel mit der x-Achse einschließt:
2
8
1 
A p   x ²dx   x ³  (FE)
3 0 3
0
2
Fläche des Rechtecks:
AR  8
Für das Verhältnis ergibt sich:
Ap
AR

8
3
8

1
3
Das Rechteck wird im Verhältnis 1 zu 3 geteilt!
Integralrechnung
Fläche zwischen zwei Graphen
3E
Gegeben ist die Normalparabel f(x) = 0,25x² und das gezeichnete Rechteck
mit den Randpunkten A(0/0), B(2/0), C(2/2) und D(0/2).
In welchem Verhältnis teilt die Parabel die Fläche des Quadrates?
Die Lösungen finden Sie auf der Rückseite!
Lösung
Fläche, welche die Parabel mit der x-Achse einschließt:
2
1
8 2
1 
A p   x ²dx   x ³ 
 (FE)
4
12
12
3

0
0
2
Fläche des Quadrats:
AR  4
Für das Verhältnis ergibt sich:
Ap
AR

2
3
4

1
6
Das Quadrat wird im Verhältnis 1 zu 6 geteilt!
Integralrechnung
Fläche zwischen zwei Graphen
Gegeben sind die Funktionen g(x) = x² - 4x + 5
f(x) = (x-4)² - 1
und h(x) = x² -12x + 37
Bestimmen Sie den markierten Flächeninhalt!
Die Lösungen finden Sie auf der Rückseite!
Lösung
1. Die Schnittpunkte der Parabeln sind:
g und h: x = 4
g und f: x = 2,5
h und f: x = 5,5
4
5, 5
2, 5
4
A   (g( x )  f ( x ))dx   (h ( x )  f ( x ))dx  4,5  4,5  9(FE)
3F
Integralrechnung
Allgemein
Falls gilt:
b
 f (x)dx  0
a
So kann dies drei verschiedene Ursachen haben. Welche sind dies?
Die Lösungen finden Sie auf der Rückseite!
Lösung
1. a = b
2. Es befindet sich im Intervall I = [a,b] ebenso viel Fläche des Graphen
unterhalb wie oberhalb der x-Achse!
3. f(x) = 0
3G
Integralrechnung
Abschlussprüfung 2004/AII
3H
Die folgende Skizze zeigt den Querschnitt durch einen ausgehobenen Graben und einen aufgeschütteten Erdwall.
Der Graph G g ist der Graph der
abschnittsweise definierten
Funktion
Erdwall
Gg
Graben
g: x
1 2
 x  x für 0  x  4
4

für 4  x  k
x  4
k
1.
Stellen Sie die Querschnittsfläche A(k) des Erdwalls in Abhängigkeit von k dar.
1
(Mögliches Ergebnis: A (k )  k 2  4k  8)
2
2.
Der Aushub, der bei der Erstellung des Grabens anfällt, soll vollständig als Erdwall
verwendet werden. Berechnen Sie k so, dass die Querschnittsfläche des Erdwalls
genau so groß ist wie die Querschnittsfläche des Grabens.
Lösung
1. A Erdwall 
1
1
1
1
g  h   (k  4)  g (k )   (k  4)  (k  4)  k ²  4k  8
2
2
2
2
4
1 
8
1

1
0 g(x )dx  0  4 x ²  x dx  12 x ³  2 x ² 0   3
8
 A Graben 
3
4
2.
4
Es soll gelten
A Erdwall  A Graben
1
8 8
k ²  4k  8  
2
3 3
1
16
k ²  4k 
 06
2
3
3k ²  24k  32  0  k  4 
4
3  6,31
3
Integralrechnung
Fläche zwischen zwei Graphen
Gegeben ist die Funktion f mit f ( x ) 
3I
1
x ³ und der Punkt P(4/4)
16
Berechnen Sie den Inhalt des Flächenstücks zwischen G f , der y-Achse und
dem Lot P auf die y-Achse.
Die Lösungen finden Sie auf der Rückseite!
Lösung
Das Flächenstück erhält man, wenn man von dem Quadrat mit Seitenlänge 4 die
Fläche subtrahiert, welche der Graph mit der x-Achse einschließt (siehe
Zeichnung).
4
1
1 
16   x ³dx  16   x 4   16  4  12
16
 64  0
0
4
 A  12(FE)
Integralrechnung
Fläche zwischen zwei Graphen
Gegeben ist die Funktion f mit f ( x ) 
3J
1
x ³ und der Punkt P(4/4)
16
Berechnen Sie den Inhalt des Flächenstücks zwischen G f und der
Ursprungsgeraden durch P im ersten Quadranten.
Die Lösungen finden Sie auf der Rückseite!
Lösung
Die Ursprungsgerade durch P ist die Winkelhalbierende des 1.Quadranten,
d.h. g(x) = x. Das Flächenstück erhält man, in dem man die Fläche zwischen
beiden Graphen bestimmt. (siehe Zeichnung).
4
1
1 4
1
(
g
(
x
)

f
(
x
))
dx

(
x

x
³)
dx

x
²

x
 8  4 4
0
0 16
 2
64  0
4
 A  4(FE)
4
Integralrechnung
Fläche zwischen zwei Graphen
Gegeben ist die Funktion f mit f ( x ) 
3K
1
x ³ und der Punkt P(4/4)
16
Berechnen Sie den Inhalt des Flächenstücks, welches begrenzt ist durch G f ,
der x-Achse und der Tangente durch den Punkt P!
Die Lösungen finden Sie auf der Rückseite!
Lösung
Aufstellen der Tangente im Punkt P:
Bestimmung von m:
3
3
m  f ' (4)   4²  3 (denn f ' ( x )  x ²)
16
16
Bestimmung von t:
4 = 3∙ 4 + t → t= - 8
Tangente: y = 3x – 8
Das Flächenstück erhält man, in dem von der Fläche, welche f mit der x-Achse einschließt,
die Fläche des Dreiecks subtrahiert (siehe Zeichung) .
4
1
1 
x ³dx   x 4   4(FE)
16
 64  0
0
4
A Parabel  
1
1 4
2
gh   4  2
2
2 3
3
2
1
 A  4  2  1 (FE)
3
3
A Dreieck 