¨Ubungsaufgaben vom 8.11.2016

Vorlesung Diff. und Integralrechnung I
Wintersemester 2016/17
Übungsaufgaben vom 8.11.2016
Aufgabe 1: Beweisen Sie die folgenden beiden Varianten der Bernoullischen Ungleichung.
Dazu sei x > −1 eine reelle Zahl und a eine rationale Zahl.
a) Es gilt (1 + x)a ≥ 1 + ax für a ≥ 1.
b) Es gilt (1 + x)a ≤ 1 + ax für 0 < a < 1.
Bemerkung: In der Vorlesung wurde a) für natürliches a gezeigt.
Aufgabe 2: Einem gegebenen a-Bruch (z1 z2 . . . zh , zh+1 . . .)a wurde in der Vorlesung die
Intervallschachtelung In = [an , bn ], n = 1, 2, . . . mit
an =
n
X
zi ah−i ,
bn := an + ah−n
(∗)
i=1
zugeordnet.
a) Bestimmen Sie für den Dualbruch (1010, 101010 . . .)2 diese Intervallschachtelung und
die eindeutig bestimmte reelle Zahl, die allen diesen Intervallen angehört.
b) In der Vorlesung wurde gezeigt, daß zu jeder reellen Zahl x > 0 ein a-Bruch existiert,
so daß x ∈ [an , bn ), n ∈ N mit an , bn entsprechend (∗) gilt. Zeigen Sie, daß für die Ziffern
zn dann auch die folgende Beziehung gilt:
zn = xan−h − a xan−h−1 .
(Hierbei bezeichnet [y] den ganzen Anteil einer reellen Zahl y.)
c) Bestimmen Sie die (periodischen) a-Bruchentwicklungen der Zahlen 1/(a − 1)2 für
a = 3, 4, 5, 6, 7. Welche Vermutung ergibt sich für den Fall eines beliebigen a ∈ N, a ≥ 2?
Versuchen Sie, Ihre Vermutung zu beweisen.
Aufgabe 3: Beweisen Sie: Die Menger aller endlichen Teilmengen von N ist abzählbar.
Gilt das auch für die Menge aller Teilmengen von N?
Aufgabe 4: Berechnen Sie die folgenden Ausdrücke mit komplexen Zahlen, d.h. geben
Sie Ihre Darstellungen in der Form a + b i mit a, b ∈ R an:
3
(3 − 2i) ,
10
5
+
,
3 − 4i 4 + 3i
1−i
1+i
10
,
k
7 X
1−i
√
.
2
k=1