Kapitel 1. Grundlagen 1.1 Das Rechnen mit Zahlen

Kapitel 1.
Grundlagen
1.1 Das Rechnen mit Zahlen
Wenn wir uns auf die positiven (negativen) Zahlen beschränken wollen, setzen
wir ein hochgestelltes + (−) Zeichen hinter unser Symbol, also Z+, Q+ und R+
sowie Z−, Q− und R−. Beachte Z+ = N. Wenn wir in unsere Zahlbereiche auch
noch die 0 einschließen wollen, schreiben wir eine tiefergestellte 0 hinter unser
Symbol, also bezeichnet z.B. N0 die Zahlen 0, 1, 2, 3, . . .. Diese Menge bezeichnet
man auch als die Menge der nicht negativen ganzen Zahlen!
Wir gehen in dieser Vorlesung mit folgenden Zahlbereichen um:
N:
natürliche Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, . . .
Z:
ganze Zahlen . . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .
Q:
rationale Zahlen: das sind die Zahlen,
die man als Quotient pq zweier ganzer
Zahlen p und q schreiben kann.
Es gibt auch nicht rationale (irrationale) Zahlen, z.B.
√
reelle Zahlen:
rationale und irrationale Zahlen.
R:
Es folgen nun einige einfache Rechenregeln:
2 oder π.
Mathematik I – WiSe 2004/2005
1
Binomische Formeln
Mathematik I – WiSe 2004/2005
2
Potenzen
[B1]
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
[B2]
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
Wir schreiben für das n-fache Produkt von a auch an:
a · a · a · · · a = an .
[B3] (a + b)(a − b) = a2 − b2
Beispiel 1.1 Wir können die binomischen Formeln nutzen, um Produkte effizient
auszurechnen:
a Basis, n Exponent oder Potenz. Für das Rechnen mit Potenzen gelten
folgende wichtige Rechenregeln. Dabei erklärt die Regel [P1], wie man mit
ganzzahligen Exponenten umgehen muss, [P9] erklärt rationale Exponenten.
• 19 · 21 = (20 − 1) · (20 + 1) = 202 − 12 = 400 − 1 = 399
• 1012 = (100 + 1)2 = 1002 + 2 · 100 · 1 + 12 = 10201
Mathematik I – WiSe 2004/2005
3
a−n =
[P2]
a n am
[P3]
ana−m = an−m für n, m ∈ Z
[P4]
[P5]
[P6]
[P7]
[P8]
[P9]
Der Ausdruck 00 ist nicht definiert.
√
Die
Zahl n b heißt die n-te Wurzel von b. Wir setzen hier b ≥ 0 voraus sowie
√
n
b ≥ 0. Die n-te Wurzel aus b ist diejenige nichtnegative Zahl x mit xn = b.
Dazu später noch mehr.
anbn = (ab)n
a n a n
=
für b 6= 0, n ∈ N.
bn
b
n m
(nm)
(a ) = a
für n, m ∈ Z
Beispiel 1.2
• 23 · 24 = (2 · 2 · 2) · (2 · 2 · 2 · 2) = 23+4 = 27 = 128.
a0 = 1 für a 6= 0
√
1
n
b = bn , b ≥ 0
√
√
m
n
n m
b = ( b)m = b n , b ≥ 0
Mathematik I – WiSe 2004/2005
4
Beachte, dass es keine Möglichkeit gibt, anbm zu vereinfachen.
1
für a 6= 0, n ∈ N
an
n+m
=a
für n, m ∈ Z
[P1]
Mathematik I – WiSe 2004/2005
• 23 · 63 = (2 · 2 · 2) · (6 · 6 · 6) = (2 · 6)3 = 123 = 1728
• a2b−3a4c−2b−1c = a6b−4c−1 =
5
a6
cb4
Mathematik I – WiSe 2004/2005
6
p
√
4
2
3
5
11
1 2 2 3
1 2
1
x 5 y2
√ 10
p
p = x 4 y 5 x− 3 y − 2 = x 4 − 3 y 5 − 2 = x− 12 y − 10 = 12
• √
.
3 2
x y3
x5 y 1 1
Einige Exponentialfunktionen a^x mit a>1
25
• 2n − 2n−1 = 2n−1(2 − 1) = 2n−1.
20
√
√
4
3
1 √
4+1+9−5−6
1
1
3
5
1
aa1/12 a3
=a 4 = 4 a.
12
√
= a 3 + 12 + 4 − 12 − 2 = a
•
5/12
a
a
3^x
15
Man macht sich das Verhalten der Exponentialfunktion am Besten an den
zugehörigen Funktionsgraphen klar. Wir zeigen Ihnen hier einige Beispiele a x mit
a > 1 sowie 0 < a < 1. Beachten Sie den Unterschied: Ist a > 1, so ist die
Funktion wachsend, ist 0 < a < 1, so ist sie fallend. Es gilt stets a0 = 1,
d.h. die Funktionsgraphen von ax gehen stets durch den Punkt x = 0, y = 1,
unabhängig davon, wie a gewählt ist.
10
5
2^x
1.1^x
–3
–2
–1
0
1
2
3
x
Mathematik I – WiSe 2004/2005
7
Mathematik I – WiSe 2004/2005
8
Hier müssen wir etwas aufpassen. Der Graph der Funktion 1.1x sieht sehr flach
aus. Dem ist aber nicht so, wenn wir x groß wählen. Dann zeigt auch der Graph
von 1.1x exponentielles Wachstum:
Einige Exponentialfunktionen a^x mit a<1
25
20
1.1^x
0.2^x
100
15
80
10
60
40
0.5^x
5
20
0.9^x
–10
10
30
20
40
50
–2
x
–1.5
–1
0
–0.5
0.5
1
x
Mathematik I – WiSe 2004/2005
9
Mathematik I – WiSe 2004/2005
Beispiel 1.3 Im Jahre 1990 wurde das BSP Chinas auf 1.2 · 1012 US-Dollar
geschätzt und die Wachstumsrate auf 9% jährlich. Das BSP für die USA wurde
mit 5.6 · 1012 US-Dollar und einer Wachstumsrate von 2% angegeben. Das
folgende Bild skizziert den Verlauf des BSP (auf der y-Achse) im zeitlichen
Verlauf (rot: China; blau: USA). Die Funktionen, die hier aufgetragen wurden
sind
10
1.6e+13
1.4e+13
1.2e+13
1e+13
8e+12
BSP CHIN A(t) = 1.2 · 1012 · 1.09t
BSP U SA(t) = 5.6 · 1012 · 1.02t
6e+12
4e+12
Man erkennt, dass nach etwa 23 Jahren China die USA eingeholt haben wird.
Mathematik I – WiSe 2004/2005
2e+12
11
0
Mathematik I – WiSe 2004/2005
5
10
15
20
25
30
12
x
Wir haben in diesen Bildern den Exponenten als Variable aufgefasst. Wir sprechen
dann von Exponentialfunktionen. Anders sieht es aus, wenn wir den Exponenten
festlassen und die Basis als Variable auffassen, wir also Funktionen der Form xn
anschauen. Wir beginnen mit einigen Beispielen n ∈ N. Beachten Sie dabei
bitte, dass die x-Achse (manchmal auch Abszisse genannt) und die y-Achse
(Ordinate) nicht maßstäblich sind!
Einige Potenzfunktionen x^n
x^4
15
10
x^2
–2
5
–1
0
1
2
x
x^1
–5
x^3
Mathematik I – WiSe 2004/2005
13
Wenn wir Potenzfunktionen xn betrachten mit n ∈ Z, n < 0, so sehen die
Funktionsgraphen etwas anders aus. Wir beschränken uns hierbei auf den Bereich
x > 0:
Mathematik I – WiSe 2004/2005
14
Hier sind einige Funktionsgraphen von Potenzfunktionen mit rationalen
Exponenten. √
Wir müssen uns auf den Fall x > 0 beschränken, weil z.B. Ausdrücke
wie −11/2 = −1 gar nicht erklärt sind. Alle Graphen von Potenzfunktionen xn
gehen durch den Punkt x = 1 und y = 1, weil stets 1n = 1 gilt.
Einige Potenzfunktionen x^n, n<0
120
x^(–4)
100
80
x^(–3)
60
40
x^(–2)
20
x^(–1)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
x
Mathematik I – WiSe 2004/2005
15
Mathematik I – WiSe 2004/2005
16
Mit Hilfe der binomischen Formeln und den Regeln für das Rechnen mit
Potenzen kann man bereits viele Umformungen und Vereinfachungen komplizierter
Ausdrücke durchführen:
Einige Potenzfunktionen x^n
4
3
Beispiel 1.4
x^2
2
x^(–1/2)
•
x(x + y)
x
x2 + xy
=
=
x2 − y 2
(x + y)(x − y) x − y
•
P 3 − P Q2 P (P 2 − Q2) P (P + Q)(P − Q) P (P − Q)
=
=
=
.
(P + Q)2
(P + Q)2
(P + Q)2
P +Q
x^(–1/5)
1
x^(1/5)
x^(1/2)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
x
Mathematik I – WiSe 2004/2005
17
• (Nenner rational machen)
√
1− x+1
√
1+ x+1
Mathematik I – WiSe 2004/2005
18
Gilt ax = b, a, b > 0, a 6= 1, so heißt x der
Logarithmus von b zur Basis a. Bezeichnung:
x = loga(b).
√
√
(1 − x + 1)(1 − x + 1)
√
√
(1 + x + 1)(1 − x + 1)
√
1 − 2 x + 1 + (x + 1)
=
1 − (x + 1)
√
x+2−2 x+1
= −
x
=
Manchmal lassen wir die Angabe der Basis auch weg. Ist die Basis 10, sprechen
wir vom dekadischen Logarithmus. Ist a die Eulersche Zahl e ≈ 2, 7182 . . .,
heißt der Logarithmus natürlich. Der natürliche Logarithmus wird meistens mit
ln bezeichnet, der dekadische Logarithmus mit lg.
Wir halten noch einmal explizit fest:
aloga(b) = b
Logarithmus
Die Umkehrung des Potenzierens ist das Logarithmieren.
Mathematik I – WiSe 2004/2005
19
Mathematik I – WiSe 2004/2005
Für das Logarithmieren gelten folgende Rechenregeln:
[L1]
[L2]
[L3]
[L4]
[L5]
[L6]
Seien a, b > 0 und a, b 6= 1. Dann gilt
logb(x)
[L7] loga(x) =
.
logb(a)
log(x · y) = log(x) + log(y)
x
= log(x) − log(y)
log
y
log(xn) = n · log(x)
√
1
log( n x) = log(x)
n
log(x−1) = − log(x).
Wir können uns dies wie folgt klarmachen. Wir schreiben [L7] etwas um:
loga(x) · logb(a) = logb(x).
Nenne die linke Seite y. Wir müssen uns überzeugen, dass by = x gilt, denn dann
ist ja y = logb(x):
log(1) = 0
by
Für die konkrete Berechnung von Logarithmen benötigt man eigentlich nur die
Kenntnis der Logarithmen zu einer bestimmten Basis:
Mathematik I – WiSe 2004/2005
21
Beispiel 1.5
= blogb(a)·loga(x)
loga x
=
blogb(a)
= aloga x = x.
Mathematik I – WiSe 2004/2005
22
Üblicherweise haben Studierende mit dem Logarithmieren etwas mehr
Schwierigkeiten als mit den anderen Rechenregeln. Ähnlich wie im Fall von
Exponential- und Potenzfunktionen zeigen wir Ihnen hier die Funktionsgraphen
einiger Logarithmusfunktionen. Man beachte, dass log a(x) nur für a, x > 0 sowie
a 6= 1 definiert sind. Es fällt auf (siehe [L6]): log a(1) = 0.
• log2(16) = 4.
• log10(1000) = 3.
• log100(1000) =
20
log10(1000) 3
=
log10(100)
2
Probe: 100(3/2) = 1001 · 100(1/2) = 100 · 10 = 1000.
Mathematik I – WiSe 2004/2005
23
Mathematik I – WiSe 2004/2005
24
Beispiel 1.6 Wir wollen die Gleichung
Einige Logarithmusfunktionen
2
2 log x = log 125 − log 5
log_0.5(x)
log_1.5(x)
lösen. Dazu formen wir die linke und rechte Seite um, indem wir die Grundregeln
für das Logarithmieren benutzen:
1
log_3(x)
log_0.2(x)
0
125
= log 25,
5
2 log x = log(x2) = log
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
x
also x2 = 25, also x = 5 oder x = −5.
–1
–2
Mathematik I – WiSe 2004/2005
25
Beispiel 1.7 Wir wollen
log
√
ab −
also
log
√
√
26
Beispiel 1.8 Sie haben ein Kapital von 1000 ¤, das Sie mit 5 Prozent jährlich
verzinsen. Wie lange dauert es, bis sich Ihr Kapital verdoppelt?
1
log b
2
vereinfachen. Es gilt
log
Mathematik I – WiSe 2004/2005
Lösung: Wir müssen die Gleichung
ab = log[(ab)1/2] =
1
1
1
log ab = log a + log b,
2
2
2
1.05x · 1000 = 2000
nach x auflösen. Wir erhalten
1.05x = 2
1
1
1
1
1
ab − log b = log a + log b − log b = log a.
2
2
2
2
2
also
x=
log 2
≈ 14.2067.
log 1.05
Es dauert also etwas mehr als 14 Jahre.
Beispiel 1.9 Wir kommen noch einmal zu dem Beispiel 1.3 zurück. Um den
Mathematik I – WiSe 2004/2005
27
Mathematik I – WiSe 2004/2005
und hätten dann mit einem guten Rechner z.B.
Zeitpunkt t zu finden, an dem BSPCHINA(t) = BSPUSA(t) gilt, müssen wir
1.2 · 1012 · (1.09)t = 5.6 · 1012 · (1.02)t
lösen, also
28
log1.09/1.02(5.6/1.2) = 23.20818743 . . .
erhalten. Wir hätten das dann in 23 Jahre und (ungefähr) 76 Tage umrechnen
können. Aber eine solche Angabe ist natürlich sinnlos, weil alle Eingabedaten in
dieser Aufgabe nur grob geschätzt sind, bzw. nur Prognosen sind.
1.09 t 5.6
=
≈ 4.667.
1.02
1.2
Das liefert
Das Endergebnis einer Rechnung soll höchstens so
genau angegeben werden wie die am ungenauesten
angegebene Eingabegröße.
t ≈ log1.069(4.667) ≈ 23.
Bemerkungen zur Genauigkeit
Schauen wir uns das obige Beipiel noch einmal an, so fällt auf, dass nur
mit gerundeten Werten gerechnet wurde und das Ergebnis auch nur ungefähr
angegeben wurde. Wir hätten, rein numerisch, auch viel genauer rechnen können
Mathematik I – WiSe 2004/2005
29
Die Größe 1.2·1012 US-Dollar meint nur, dass das BSP in der Nähe von 1.2·1012
liegt, es könnte aber auch 1.24·1012 oder 1.16·1012 US-Dollar betragen. Ähnliches
gilt für die Wachstumsraten. Schauen wir uns also zwei Szenarien an, bei denen
wir im ersten Fall die Daten immer zu Gunsten Chinas, im zweiten Fall zu
Gunsten der USA verändert haben, aber immer nur in dem Bereich, der durch die
geschätzten, gerundeten Daten auch abgedeckt wird.
In unserem Fall sind die Eingabegrößen bis auf zwei gültige Ziffern
(1.2, 5.6, 0.09, 0.02) angegeben, entsprechend sollte das Ergebnis auch nur in
so einer Größenordnung angegeben werden.
Mathematik I – WiSe 2004/2005
30
Fall 1.
BSP der USA
5.56 · 1012
BSP Chinas
1.24 · 1012
Wachstum China
0.094
Wachstum USA
0.016
Wir erhalten dann einen Überholzeitpunkt von ungefähr 20 Jahren.
Mathematik I – WiSe 2004/2005
31
Mathematik I – WiSe 2004/2005
32
Fall 2.
BSP der USA
5.64 · 1012
BSP Chinas
1.16 · 1012
Wachstum China
0.086
Wachstum USA
0.024
Das zeigt, dass unsere Angabe von ungefähr 23 Jahren schon eine Genauigkeit
vortäuscht, die nicht gerechtfertigt ist. Richtig wäre zu sagen: Nach 20 bis 30
Jahren wird China, nach jetzigen Prognosen, die USA überholt haben.
Wenn Sie bei einer Klausuraufgabe Ihre Ergebnisse mit einer zu großen
Genauigkeit angeben, werden wir Ihnen keine Punkte abziehen. Ich möchte
Sie aber nachdrücklich bitten, sich kritisch mit der Frage der Ungenauigkeit von
Eingabegrößen und damit verbundenen ungenauen Rechenergebnissen auseinander
zu setzen.
Wir erhalten dann einen Überholzeitpunkt von ungefähr 27 Jahren.
Mathematik I – WiSe 2004/2005
33
1.2 Gleichungen
34
Man beachte den Unterschied zur Exponentialgleichung
Ein zentrales Thema der Algebra ist das Lösen von Gleichungen. Ganz einfach ist
dies für sogenannte lineare Gleichungen
a·x=b
Wenn hier a 6= 0 ist, können wir beide Seiten der Gleichung durch a dividieren
und erhalten als Lösung x = ab .
Die positive Lösung einer Potenzgleichung der Form
xa = b, b > 0
ist x =
positiv.
Mathematik I – WiSe 2004/2005
√
√
1
a
b = b a . Beachte: Der Ausdruck a b ist vereinbarungsgemäß immer
ax = b, a, b > 0,
a 6= 1
Die Lösung der Exponentialgleichung ist x = log a(b).
Beispiel 1.10
• Die Lösung von x4 = 16 ist x = 2. Die Gleichung x4 = −16 hat keine Lösung
in R. Deshalb setzen wir für Potenzgleichungen über den reellen Zahlen stets
b > 0 voraus.
• Die Lösung der Exponentialgleichung 3x = 81 ist x = 4(= log3(81)).
Die Lösungen von quadratischen Gleichungen der Form
Mathematik I – WiSe 2004/2005
35
ax2 + bx + c = 0,
Mathematik I – WiSe 2004/2005
36
a 6= 0
ax2 + bx + c = 0
b
c
x2 + x = −
a
a
2
2
b
b
c
b
=− +
x2 + x +
a
2a
a
2a
2
b
b2
c
x+
=− + 2
2a
a 4a
√
b2 − 4ac
b
=±
x+
2a
2a
√
−b ± b2 − 4ac
x± =
.
2a
sollten aus der Schule bekannt sein. Die Lösungen für a 6= 0 sind
x± =
−b ±
√
b2 − 4ac
.
2a
Machen wir uns noch einmal klar, wie man auf diese Lösung kommt. Wir setzen
a 6= 0 voraus:
Mathematik I – WiSe 2004/2005
37
Weil es keine Wurzeln aus negativen Zahlen gibt, kann es passieren, dass eine
quadratische Gleichung keine oder nur eine oder zwei Lösungen hat:
Mathematik I – WiSe 2004/2005
die sogenannte p-q-Formel:
x± =
• Ist b2 − 4ac > 0, so gibt es zwei Lösungen.
• Ist b2 − 4ac = 0, so gibt es eine Lösung.
−p ±
p
p2 − 4q
2
Beispiel 1.11
• Ist b2 − 4ac < 0, so gibt es keine Lösungen.
2x2 + 5x = 3
2x2 + 5x − 3 = 0
√
−5 ± 25 + 24 −5 ± 7
x± =
=
4
4
1
x+ = , x− = −3
2
Beachten Sie, dass sich die Lösungsformel vereinfacht, wenn a = 1 ist. Wir
erhalten dann als Lösung der Gleichung
x2 + px + q = 0
Mathematik I – WiSe 2004/2005
38
39
Mathematik I – WiSe 2004/2005
40
Eine Probe zeigt
beiden Faktoren gleich Null ist. Wir erhalten als Lösungen also
1
2x2 + 5x − 3 = 2(x + 3)(x − ).
2
x0 = 0
Manchmal kann man kompliziertere Gleichungen auf quadratische Gleichungen
zurückführen.
x1 =
Wir wollen beispielsweise die Gleichung
x2 =
axn + bxn−1 + cxn−2 = 0
√
b2 − 4ac
2a
√
−b − b2 − 4ac
2a
−b +
lösen (n > 2). Wir klammern dazu xn−2 aus und erhalten die Gleichung
Beispiel 1.12 Finde alle x mit
xn−2(ax2 + bx + c) = 0.
x+2=
Nun ist ein Produkt von zwei Zahlen genau dann gleich Null, wenn einer der
Mathematik I – WiSe 2004/2005
41
Mathematik I – WiSe 2004/2005
(1.1)
42
also x = ±3, aber x = 3 war keine Lösung der ursprünglichen Gleichung! Wir
müssen also, wenn wir beim Lösen von Gleichungen quadrieren, mit den erhaltenen
Lösungen immer eine Probe machen, d.h. in die ursprüngliche Gleichung einsetzen.
Wir quadrieren beide Seiten und erhalten so
(x + 2)2 = 4 − x.
Wir machen
√ ein, so erhalten
√ also die Probe: Setzen wir 0 in die Gleichung (1.1)
wir 2 = 4, richtig. Beim Einsetzen von −5 ergibt sich −3 = 9, was falsch ist,
da die Wurzel stets positiv ist!
also
(x + 2)2 = x2 + 4x + 4 = 4 − x
oder
√
4 − x.
Ungleichungen
x2 + 5x = 0
x(5 + x) = 0.
Das geht aber nur für x = 0 oder x = −5. Wir müssen jetzt aber aufpassen!
Durch das Quadrieren der Gleichung haben wir vielleicht unerwünschte neue
Lösungen erhalten. Beispiel: x = −3, Quadrieren liefert x2 = 9, als Lösungen
Mathematik I – WiSe 2004/2005
43
Wir schreiben a < b falls a echt kleiner als b ist, also insbesondere a 6= b. Wenn
wir den Fall a = b auch zulassen wollen, schreiben wir a ≤ b. Wenn wir a < b < c
schreiben meinen wir a < b und b < c (und damit natürlich auch a < c. Sinnlos
ist ein Ausdruck der Form a < b > c!!
In den beiden folgenden Tabellen sind die wesentlichen Regeln für das Rechnen
mit Ungleichungen zusammengefasst:
Mathematik I – WiSe 2004/2005
[SU1]
Aus a < b und b < c folgt a < c.
[U1]
[SU2]
Aus a < b folgt a + c < b + c.
[U2]
[SU3]
Aus a < b und c < d folgt a + c < b + d.
[U3]
[SU4]
Aus a < b und c > 0 folgt ac < bc.
[U4]
[SU5]
Aus a < b folgt −a > −b.
[U5]
[SU6]
[SU7]
[SU8]
[SU9]
Aus a < b, b > 0 und 0 < c < d folgt ac < bd.
1 1
Aus 0 < a < b folgt > .
a b
1 1
Aus a < 0 < b folgt < .
a b
Aus 0 < a < b folgt a2 < b2.
[U6]
[U7]
[U8]
[U9]
[U10]
[U11]
Mathematik I – WiSe 2004/2005
45
Lernen Sie diese Regeln bitte nicht stur auswendig!
Der Umgang mit
Ungleichungen ist weitgehend selbsterklärend, wenn man nur beachtet, dass
sich das Ungleichungszeichen “umdreht” wenn man mit einer negativen Zahl
multipliziert (siehe [SU5] und [U7] sowie [SU8]). Es sei auch noch einmal auf
[SU6] hingewiesen:
Aus a ≤ b und b < c folgt a < c.
Aus a ≤ b und b ≤ c folgt a ≤ c.
Aus a ≤ b folgt a + c ≤ b + c.
Aus a ≤ b und c < d folgt a + c < b + d.
Aus a ≤ b und c ≤ d folgt a + c ≤ b + d.
Aus a ≤ b und c > 0 folgt ac ≤ bc.
Aus a ≤ b folgt −a ≥ −b.
Aus a ≤ b, b > 0 und 0 < c < d folgt ac < bd.
Aus a ≤ b, b > 0 und 0 < c ≤ d folgt ac ≤ bd.
1 1
Aus 0 < a ≤ b folgt ≥ .
a b
Aus 0 < a ≤ b folgt a2 ≤ b2.
Mathematik I – WiSe 2004/2005
46
den Betrag von a:
|a| :=
Beachte: −a > 0 falls a < 0.
(
a
falls a ≥ 0
−a falls a < 0.
Beispiel 1.13 | − 4| = 4, |4| = 4, |0| = 0,
Aus a < b, b > 0 und 0 < c < d folgt ac < bd
√
2
x2 = |x|
Wir erhalten die beiden folgenden einfachen Regeln
Diese Aussage ist falsch für b ≤ 0: Setze a = −2, b = −1, c = 1, d = 3: Dann
ist ac = −2 nicht kleiner als bd = −3.
Der Absolutbetrag
| − a| = |a|
|a · b| = |a| · |b|.
Von großer Bedeutung ist die Dreiecksungleichung
Sei a eine reelle Zahl. Manchmal interessiert man sich nur für den Abstand von
a zur 0, gleichgültig, ob a positiv oder negativ ist. Diesen Abstand nennt man
Mathematik I – WiSe 2004/2005
44
47
|a + b| ≤ |a| + |b|
Mathematik I – WiSe 2004/2005
48
Wir formen diese Ungleichung um:
21 + x
< 4.
2x
Beispiel 1.14 • |3 + (−5)| = 2 ≤ |3| + | − 5| = 8
• | − 2 − 6| = 8 ≤ | − 2| + | − 6| = 8 (hier haben wir Gleichheit in der
Dreiecksungleichung).
Nun müssen wir aufpassen und zwei Fälle unterscheiden:
Fall 1: x > 0
21 + x < 8x
21 < 7x
x > 3
Beispiel 1.15 Bestimme die Lösungsmenge der Ungleichung
21 + x
+ 1 < 5.
2x
Mathematik I – WiSe 2004/2005
(1.2)
49
Mathematik I – WiSe 2004/2005
50
Fall 2: x < 0
21 + x > 8x
(weil x negativ ist!)
Beispiel 1.16 Bestimme die Lösungsmenge der Ungleichung
21 > 7x
x−2 x+1
<
x−1 x+2
3 > x
Wir können jetzt aber nicht sagen, die Lösungsmenge besteht aus allen x mit
x < 3, weil wir die Ungleichung x < 3 ja nur unter der Voraussetzung x < 0
erhalten haben. Die Lösungsmenge besteht in diesem Fall also aus allen x < 0.
(1.3)
Wir multiplizieren beide Seiten mit (x − 1)(x + 2), um die Brüche zu beseitigen.
Wir können das aber nur dann sorglos tun, wenn dieser Ausdruck positiv ist. Das
ist der Fall für x > 1 sowie für x < −2.
Beachte, dass der Fall x = 0 nicht auftreten kann.
Wir erhalten:
Die Ungleichung (1.2) ist für alle x mit x < 0 sowie für alle x mit x > 3 gültig.
Mathematik I – WiSe 2004/2005
51
Fall 1: x > 1 oder x < −2
Mathematik I – WiSe 2004/2005
52
Fall 2: −2 < x < 1
Nun gilt
x+1
x−2
<
x−1
x+2
(x − 2)(x + 2) < (x − 1)(x + 1)
x+1
x−2
<
x−1
x+2
(x − 2)(x + 2) > (x − 1)(x + 1)
x2 − 4 < x 2 − 1
x2 − 4 > x 2 − 1
−4 < −1
−4 > −1
Das bedeutet, dass die Ungleichung (1.3) für alle x mit x > 1 oder x < −2 gültig
ist.
und das ist ganz offensichtlich nie erfüllt.
Beachte auch hier wieder, dass die Fälle x = −2 sowie x = 1 nicht behandelt
werden müssen, da die in der Ungleichung auftretenden Ausdrücke in den Fällen
gar nicht erklärt sind.
Wir halten fest: Die Ungleichung (1.3) ist gültig für alle x ∈ R mit x < −2 oder
Mathematik I – WiSe 2004/2005
53
Mathematik I – WiSe 2004/2005
54
x > 1.
6
Wenn Sie wollen, können Sie durch Einsetzen von Werten dieses Ergebnis erhärten:
4
17
x = 0.3: Berechne zunächst die linke Seite −1.7
−0.7 = 7 , dann die rechte Seite von
13
(1.3): 1.3
=
.
Offensichtlich
ist
die
linke
Seite
größer
als die rechte Seite, die
2.3
23
Ungleichung gilt also für x = 0.3 nicht.
y
2
x = −2.1: Wir erhalten
–6
−4.1 41 −1.1
=
<
= 11.
−3.1 31 −0.1
–4
–2
2
x
4
6
–2
Die folgende Skizze illustriert das noch einmal: der durchgezogene Graph
beschreibt die linke Seite, der gestrichelte Graph die rechte Seite der Ungleichung.
–4
–6
Mathematik I – WiSe 2004/2005
55
Mathematik I – WiSe 2004/2005
56
wenn nur eine Zahl > 0 ist, die anderen beiden < 0. Alle Zahlen sind größer als
0 wenn x > 2 ist. Zwei Zahlen sind < 0 für −1 < x < 0. Also: Die Ungleichung
(1.4) ist für x > 2 sowie für −1 < x < 0 gültig. Auch dies wird durch eine Skizze
verdeutlicht:
Beispiel 1.17 Bestimme alle x mit
x3 − x2 − 2x> 0.
(1.4)
Um dieses Problem zu lösen, versuchen wir, die linke Seite der Ungleichung zu
faktorisieren. Wir können zunächst x ausklammern und bekommen
x(x2 − x − 2) > 0.
Nun faktorisieren wir x2 −x−2. Wir können das machen, indem wir die Nullstellen
bestimmen. Die Nullstellen sind 2 und −1, also x2 − x − 2 = (x − 2)(x + 1).
Wir müssen also alle x bestimmen mit x(x − 2)(x + 1) > 0. Das Produkt von 3
Zahlen (hier x, x − 2 und x + 1) ist größer als 0 wenn alle Zahlen > 0 sind oder
Mathematik I – WiSe 2004/2005
57
Mathematik I – WiSe 2004/2005
58
Summen- und Produktzeichen
Ein großer Vorteil der sehr formalen mathematischen Sprache ist es, komplizierte
Zusammenhänge einfach und klar ausdrücken zu können. Gerade auch diese
Eigenschaft der Mathematik macht sie zu einer geeigneten Hilfswissenschaft der
Wirtschaftswissenschaften.
10
5
Seien a1, . . . , an reelle Zahlen. Dann schreiben wir statt
–2
–1
0
1
2
a1 + a 2 + · · · + a n
3
auch
x
n
X
–5
ai
i=1
(gelesen: Summe der ai mit i von 1 bis n).
Der Laufindex i heisst
Summationsindex, 1 und n sind die untere und obere Schranke. Die untere
Mathematik I – WiSe 2004/2005
59
Mathematik I – WiSe 2004/2005
Schranke muss nicht 1 sein:
5
X
60
n
X
i=k
n
X
a = (n − k + 1)a
cai = c
i2 = 32 + 42 + 52 = 9 + 16 + 25 = 50.
n
X
ai +
(ai + bi) =
i=k
m
X
i=k
n
X
ai
i=k
n
X
i=k
i=3
n
X
ai =
ai +
(ausklammern!)
n
X
bi
i=k
n
X
ai
i=m+1
i=k
i=k
(a ist konstant!)
für k ≤ m < n.
Folgende einfachen Regeln gelten für den Umgang mit dem Summenzeichen:
Mathematik I – WiSe 2004/2005
61
Beispiel 1.18 Eine Unternehmensgruppe produziert n Güter. Sei ui,j der Umsatz,
den das Unternehmen mit dem Gut i im Monat j macht. Der Index j bezeichne
einen Monat und laufe von 1 bis m. Wir erhalten so eine Matrix oder ein
Rechteckschema mit n Zeilen und m Spalten. Die Spalten bezeichnen die
Monate, die Zeilen die Güter. Dann gilt
m
X
ui,j
Mathematik I – WiSe 2004/2005
62
die Zahlen addieren.
n
X
i=1
oder
Gesamtumsatz von Gut i
j=1
Gesamtumsatz im Monat j.
n
X
i=1
Wenn wir den Gesamtumsatz über alle Monate ausrechnen wollen, müssen wir
Mathematik I – WiSe 2004/2005
m
X
j=1

(1.5)
!
(1.6)
ui,j 
ui,j
i=1
Solche Summen nennt man Doppelsummen. Natürlich muss in beiden Fällen
(1.5) und (1.6) dasselbe herauskommen, also
und
ui,j

n
m
X
X
j=1
n
X

63
i=1
Mathematik I – WiSe 2004/2005


!
n
m
m
X
X
X

ui,j
ui,j  =
j=1
j=1
i=1
64
Wenn die Summationsgrenzen bekannt sind, schreibt man auch einfach
X
i=1
2
4
ai
bi
ui,j
i=2
3
1
i,j
Wir halten fest:
Wir haben


!
n
m
m
n
X
X
X
X

ui,j  =
ui,j
i=1
j=1
j=1
Es gilt im allgemeinen nicht ( i=1 ai) ( i=1 bi) =
einfach die in folgender Tabelle enthaltenen Werte ein:
aber
Pn
i=1 ai bi .
Mathematik I – WiSe 2004/2005
i=k
2
X
Setze dazu
!
2
X
bi
i=1
(aibi) = 8 + 3 = 11.
Mathematik I – WiSe 2004/2005
n
Y
i=k
n
Y
(ai · bi) =
n
Y
Mathematik I – WiSe 2004/2005
67
i=1
!2
≤(
n
X
i=1
ai2) · (
n
X
i=1
2
4
einführen:
66
ai ·
i=k
n
Y
n
Y
i=k
n
Y
ai
bi
i=k
a i )2
i=k
Die folgende Ungleichung (Cauchy-Schwarz-Ungleichung) ist manchmal sehr
nützlich:
Mathematik I – WiSe 2004/2005
68
ai
bi
bi2)
i=1
i=1
2
4
i=2
−1
−2
und erhalte
Beispiel 1.19 Setzen Sie die Zahlen
ai
bi
n
Y
ai2 = (
i=k
Das Produktzeichen ist etwas weniger gebräuchlich als das Summenzeichen. Hier
sind einfache Rechenregeln für den Umgang mit Π:
Q
a = an−k+1
i=k
n
Y
cai = cn−k+1
ai = ak · ak+1 · · · an.
ai b i
= 5 · 5 = 25
i=1
i=k
n
X
!
Ähnlich wie das Summenzeichen kann man das Produktzeichen
65
n
Y
ai
i=1
i=1
Pn
Pn
2
X
i=2
3
1
(8 + 2)2 = 100 = (22 + (−1)2) · (42 + (−2)2) = 5 · 20 = 100.
ein und Sie erhalten
(8 + 3)2 = 121 ≤ (22 + 32) · (42 + 12) = 13 · 17 = 221.
Man kann auch Gleichheit haben. Wähle
Mathematik I – WiSe 2004/2005
69
1.3 Aussagen und Mengen
Mathematik I – WiSe 2004/2005
70
Eine richtige Aussage wäre:
“Für alle natürlichen Zahlen x gilt, dass x nicht negativ ist.”
In der Mathematik geht es um Aussagen. Eine Aussage ist ein “statement”, das
entweder wahr oder falsch sein kann. Beides geht nicht! Äußerungen, die nicht
die Eigenschaft haben, wahr oder falsch zu sein, gelten nicht als Aussagen.
Ein anderes Beispiel einer Aussageform ist: “Unter allen Gütern gibt es mindestens
ein Gut x, dessen Preis sich verändert”.
Beispiel 1.20 • “Das Bruttosozialprodukt der Bundesrepublik Deutschland ist
höher als das der USA” ist eine offenbar falsche Aussage.
Für Aussageformen führen wir folgende Bezeichnungen ein:
A(x) gilt für alle x:
• “Gute Nacht, Freunde” ist keine Aussage.
^
A(x)
x
A(x) gilt für ein x:
Häufig hängen Aussagen auch von variablen Parametern x ab. Wir sprechen dann
von Aussageformen A(x).
_
A(x)
x
Beispiel 1.21 “Für alle natürlichen Zahlen x gilt: x ist Primzahl” ist eine offenbar
falsche Aussage.
Mathematik I – WiSe 2004/2005
71
Mathematik I – WiSe 2004/2005
72
Interessant wird es, wenn man Aussagen A und B miteinander verknüpft. Der
Wahrheitswert der verknüpften Aussage hängt vom Wahrheitswert von A und B
ab. Wir wollen das am Beispiel erläutern:
Konjunktion
Seien A und B zwei Aussagen. Dann ist die
Aussage A und B, geschrieben A ∧ B wahr,
wenn beide Aussagen wahr sind. Die Aussage
A und B ist falsch, wenn mindestens eine der
beiden Aussagen A, B falsch ist. Man nennt dies
auch die Konjunktion der Aussagen A und B.
Beispiel 1.22 Die Aussage “Franz studiert Wirtschaftswissenschaften oder
Mathematik” ist wahr, wenn Franz mindestens eines der beiden Fächer
Wirtschaft oder Mathematik studiert, eventuell auch beide. Die Aussage ist
Verknüpfung der beiden Aussagen “Franz studiert Wirtschaftswissenschaften”
sowie “Franz studiert Mathematik” durch ein oder.
Beachte:
Die Aussage “Franz studiert Wirtschaftswissenschaften oder
Mathematik” ist auch wahr, wenn Franz ganz fleißig ist und sowohl
Wirtschaftswissenschaften als auch Mathematik studiert. Es handelt sich beim
mathematischen oder nicht um ein entweder-oder.
Mathematik I – WiSe 2004/2005
73
Mathematik I – WiSe 2004/2005
74
Disjunktion
A B
Seien A und B zwei Aussagen. Dann ist die
Aussage A oder B, geschrieben A ∨ B wahr,
wenn mindestens eine der Aussagen A oder B
wahr ist. Die Aussage A oder B ist falsch, wenn
sowohl A als auch B falsch sind. Man nennt dies
auch die Disjunktion der Aussagen A und B.
Man stellt dies häufig auch durch sogenannte Wahrheitstafeln dar. Das ist eine
Tabelle, in die wir die möglichen Wahrheitswerte von A und B eintragen und
dann die entsprechenden Wahrheitswerte der verknüpften Aussagen auswerten.
Hier ist die Wahrheitstafel für die Konjunktion:
Mathematik I – WiSe 2004/2005
75
A B
w
w
f
w
f
w
w
f
f
f
77
_
A(x) =
^
x
f
w
f
f
f
f
f
und hier die für die Disjunktion:
Mathematik I – WiSe 2004/2005
76
A∨B =A∧B
Das Gleichheitszeichen soll hier bedeuten, dass die Aussagen auf den beiden
Seiten denselben Wahrheitswert haben (also wahr oder falsch sind), wenn für A
und B auf beiden Seiten die selben Aussagen eingesetzt werden.
Schwierigkeit bereitet manchmal die Negation einer “für alle” sowie “es gibt ein”
Aussage.
Mathematik I – WiSe 2004/2005
A(x)
^
A(x)
Die Preise aller Güter bleiben konstant.
A(x)
^
A(x)
Die Preise aller Güter verändern sich.
^
A(x)
Nicht für alle Güter bleiben die Preise konstant.
^
A(x)
Nicht für alle Güter verändern sich die Preise.
78
x
x
x
w
Ähnlich sieht es mit der Negation der Disjunktion aus:
Mathematik I – WiSe 2004/2005
A(x) =
f
A∧B =A∨B
Beispiel 1.23 Wir wollen die Aussage A “Deutschland ist Exportweltmeister und
Fussballvizeweltmeister” negieren, d.h. wir suchen die Aussage, die wahr ist
genau in den Fällen, in denen A falsch ist. A ist falsch, wenn eine der beiden
Teilaussagen falsch ist, wenn also Deutschland nicht Exportweltmeister oder nicht
_
w
Dieses Beispiel zeigt, wie wir eine Konjunktion negieren:
w
Kehrt man eine Aussage in ihr Gegenteil um, erhält man die Negation der
Aussage. Bezeichnung: A. Klar ist, das eine negierte wahre Aussage falsch wird
und umgekehrt.
^
w
Vizeweltmeister ist.
A∨B
w
A∧B
w
x
x
Umgangssprachlich: Wenn eine Aussage A(x) nicht für alle x gilt, dann muss es
ein x geben, für das diese Aussage nicht gilt. Und wenn es kein x gibt für das
eine Aussage A(x) wahr ist, dann ist A(x) für alle x eine falsche Aussage.
x
x
Beispiel 1.24 Sei A(x) die Aussage
“Der Preis des Gutes x ist konstant”.
Wir
V wollen
W uns alle Aussagen anschauen, die wir mit A(x) mittels Negation sowie
und
bilden können:
Mathematik I – WiSe 2004/2005
79
Mathematik I – WiSe 2004/2005
80
_
A(x)
Der Preis mindestens eines Gutes bleibt konstant.
Implikation und Äquivalenz
_
A(x)
Der Preis mindestens eines Gutes verändert sich.
Die Implikation (geschrieben A
B) ist falsch, wenn A wahr ist, B aber falsch.
In allen anderen Fällen ist die Implikation wahr. Sprechweise: Wenn A, dann B.
_
A(x)
Der Preis keines Gutes bleibt konstant.
x
x
Wahrheitstabelle:
A B
x
_
A(x)
w
Der Preis keines Gutes verändert sich.
x
Beachten Sie, dass hier die erste und achte, die zweite und siebte, die dritte und
sechste sowie die vierte und fünfte Aussage jeweils gleich sind.
A
w
w
f
f
f
w
w
f
f
w
Das ist etwas gewöhnungsbedürftig, weil A
Mathematik I – WiSe 2004/2005
81
Wir nennen A eine hinreichende Bedingung für B und B eine notwendige
Bedingung für A.
B und B
A, so nennt man die beiden Aussagen äquivalent.
Gilt A
Bezeichnung: A ⇔ B. Die zugehörige Wahrheitstafel ist
w
w
B wahr ist wenn A falsch ist (Aus
Mathematik I – WiSe 2004/2005
82
Beispiel 1.25 Betrachte die Aussage
etwas Falschem darf man alles folgern).
A B
B
w
w
f
f
f
w
f
f
f
w
Wir überlegen uns, welche der folgenden Aussagen dazu äquivalent sind:
1. Damit die Arbeitslosenquote sinkt, muss die Inflation steigen.
2. Eine hinreichende Bedingung dafür, dass die Arbeitslosenquote sinkt, ist ein
Anstieg der Inflation.
A⇔B
w
“Wenn die Inflation steigt, dann sinkt die Arbeitslosenquote.”
3. Die Arbeitslosenquote kann nur fallen wenn die Inflation steigt.
4. Wenn die Arbeitslosenquote nicht sinkt, dann steigt die Inflation nicht.
Zwei Aussagen heißen also äquivalent, wenn sie beide wahr oder beide falsch sind.
Mathematik I – WiSe 2004/2005
83
5. Die Inflation kann nur steigen wenn die Arbeitslosenquote sinkt.
Mathematik I – WiSe 2004/2005
84
Offensichtlich bestehen alle diese Aussagen aus zwei Teilaussagen
A B
w w
w f
f w
f f
Die Arbeitslosenquote sinkt (Aussage A)
und
Die Inflation steigt. (Aussage B).
85
(1) (2) (3) (4) (5)
w
w
w
w
w
f
w
f
w
w
w
f
w
f
f
w
w
w
w
w
Wir wollen die Aussagen (1) bis (5) noch einmal analysieren:
Mathematik I – WiSe 2004/2005
86
(1)
A
B
Einige Bemerkungen zu mathematischen Beweisen
(2)
B
A
(3)
A
B
(4)
A
B
(5)
B
A
In der Mathematik hat man es stets mit Aussagen zu tun, die wahr oder falsch
sind. Beispielsweise gilt für alle reellen Zahlen (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. Woher
weiß man das? Man kann doch nicht alle reellen Zahlen einsetzen und schauen,
ob diese Gleichung immer richtig ist. Das ist auch nicht nötig, denn man kann
einen mathematischen Beweis für diese Aussage angeben. Ein Beweis für eine
Aussage A ist eine Folge logischer Schlüsse, beginnend mit einer wahren Aussage
B, an deren Ende A steht. Sie zeigen also die Gültigkeit der Aussage B
A,
wobei B aber eine wahre Aussage sein muss. Denn bedenken Sie: Aus einer
falschen Aussage kann man alles folgern, also auch etwas Falsches. Sie wollen
aber in einem Beweis ja gerade zeigen das etwas stimmt, also richtig ist.
Besonders interessant ist hier das vierte statement. Es zeigt, dass die Aussagen
B
A und A
B äquivalent sind. Wir wollen das noch einmal ganz deutlich
herausstellen:
(A
A
w
w
f
w
Also sind die Aussagen (2), (4) und (5) äquivalent zur ursprünglichen Aussage.
Diese Aussagen sind unterschiedlich verknüpft. Wir wollen die Wahrheitstafeln
A,
für diese Verknüpfungen aufstellen. Die ursprüngliche Aussage lautet B
und ihr Wahrheitswert wird zunächst bestimmt:
Mathematik I – WiSe 2004/2005
B
B) ist äquivalent zu (B
A)
Sie dürfen, um eine Aussage A zu beweisen, auch nicht einfach von der Gültigkeit
von A ausgehen und dann logisch auf die Gültigkeit einer wahren Aussage
Mathematik I – WiSe 2004/2005
87
Mathematik I – WiSe 2004/2005
88
schließen und das als einen Beweis ansehen.
Beispiel 1.27 Wir wollen die folgende Aussage beweisen:
Beispiel 1.26 Angenommen, jemand behauptet 3 = 4. Wenn wir die Gültigkeit
dieser Aussage annehmen, können wir ja beide Seiten der Gleichung mit 0
multiplizieren. Wir erhalten so die Gleichung 0 = 0, die offenbar wahr ist. Ist
deshalb aber 3 = 4 wahr? Natürlich nicht, weil wir von einer Aussage A auf
etwas Wahres (die Aussage 0 = 0) geschlossen haben. Aber aus der Gültigkeit
von 0 = 0 kann man natürlich nicht auf die Gültigkeit von A schlussfolgern.
Für alle reellen Zahlen x 6= 0 gilt
|x + 1| |x − 1|
>
.
x
x
Fall 1: x > 0
Dann ist x + 1 = |x + 1| > x − 1, aber auch x + 1 > −(x − 1) = 1 − x, weil
x > −x für x > 0, den Fall, den wir gerade betrachten. Weil x + 1 > x − 1 und
x + 1 > −(x − 1), gilt sogar |x + 1| = x + 1 > |x − 1|. Wir dürfen beide Seiten
dieser Ungleichung durch x dividieren, ohne dass sich das Ungleichungszeichen
ändert, weil x > 0. Das zeigt
|x + 1| |x − 1|
>
.
x
x
Mathematik I – WiSe 2004/2005
89
Fall 2: x < 0
Jetzt ist |x − 1| = 1 − x. Wir haben 1 − x > x + 1 (weil x < 0) und
1 − x > −1 − x = −(x + 1). Damit gilt also |x − 1| = 1 − x > |x + 1|. Teilen
wir die linke und rechte Seite dieser Ungleichung durch x, so dreht sich das
Ungleichungszeichen wegen x < 0 um und wir erhalten wie im Fall 1
Mathematik I – WiSe 2004/2005
90
so entstehende Brett nicht mit Dominosteinen überdeckt werden, wobei jeder
Dominostein genau zwei Felder des Schachbrettes überdeckt.
|x − 1| |x + 1|
<
.
x
x
Das nächste Beispiel zeigt deutlich die Aufgabe eines mathematischen Beweises:
Ein Beweis soll einen zweifelsfreien Grund angeben, warum eine Aussage richtig
ist.
Beispiel 1.28 Wir wollen die folgende Behauptung beweisen: Wenn in einem
Schachbrett die diagonal gegenüberliegenden Eckfelder entfernt werden, kann das
Mathematik I – WiSe 2004/2005
91
Beispiel 1.29 Angenommen, jemand behauptet n2 +n+41 sei für alle natürlichen
Zahlen n eine Primzahl. Wir setzen ein und erhalten, dass n2 + n + 41 eine
Primzahl für alle Zahlen n zwischen 0 und 39 ist. Ist das ein Beweis? Nein!
Außerdem ist die Aussage, dass n2 + n + 41 für alle natürlichen Zahlen eine
Primzahl ist, falsch: Setzen Sie einfach n = 40 ein! Wir haben somit ein
Gegenbeispiel gefunden.
Etwas formaler. Wir hatten die Aufgabe zu entscheiden, ob eine Aussage A(x)
für alle x gilt. Um zu beweisen, dass die Aussage stets gilt, benötigen wir
einen Beweis. Wenn wir aber zeigen wollen, dass die Aussage nicht immer gilt,
genügt es, ein x so anzugeben, dass A(x) falsch ist. Wir haben damit die
Allgemeingültigkeit widerlegt. Im obigen Beispiel können wir die Behauptung,
jede Zahl der Form n2 + n + 41 sei ein Primzahl, widerlegen, denn für n = 40 ist
n2 + n + 41 offensichtlich keine Primzahl!
Mathematik I – WiSe 2004/2005
93
Arbeitslosenquote und Inflation. Dieser Zusammenhang ist heutzutage eindeutig
durch etliche Gegenbeispiele widerlegt. Bis in die 80’er Jahre hinein wurde ein
solcher Zusammenhang aber vermutet!
Der Beweis ist ganz einfach: Jeder Dominostein überdeckt genau ein weißes und
ein schwarzes Feld. Aber das Schachbrett, bei dem die Eckfelder entfernt wurden,
hat nicht die gleiche Zahl weißer und schwarzer Felder!
Manche Nicht-MathematikerInnen sind versucht, die Gültigkeit einer Aussageform
A(x) zu beweisen, indem die Gültigkeit von A(x) für einige wenige Werte von x
nachgerechnet wird. Das ist natürlich kein Beweis!
Mathematik I – WiSe 2004/2005
92
Halten wir fest:
Die Gültigkeit einer Aussage A(x) kann man nicht
beweisen, indem man die Gültigkeit für einige
Werte von x überprüft. Man kann aber zeigen,
dass die Aussage A(x) nicht allgemeingültig ist,
wenn man nur ein Gegenbeispiel angibt, also ein
xg , für das A(xg ) falsch ist.
In den Wirtschaftswissenschaften werden Sie selten Beweise im mathematisch
strengen Sinne finden. Der mathematische Beweis benötigt exakt angegebene
Voraussetzungen, unter denen er funktioniert. Diese Voraussetzungen sind in den
Wirtschaftswissenschaften häufig nicht so klar formulierbar.
Viel häufiger tritt das Phänomen auf, dass man Aussagen widerlegt! Kehren
wir zurück zu unserem Beispiel 1.25 über den Zusammenhang zwischen
Mathematik I – WiSe 2004/2005
94
a∈M
andernfalls
Mengen
a∈
/M
Ein zentrales Konzept für die Mathematik ist der Begriff der Menge.
Die Elemente einer Menge sind alle verschieden.
Es gibt unterschiedliche Möglichkeiten, Mengen zu beschreiben. Wir wollen die
Menge M aller geraden ganzen Zahlen zwischen 2 und 15 beschreiben:
Eine Menge ist eine Zusammenfassung
bestimmter, wohlunterschiedener Objekte . Von
jedem dieser Objekte muss eindeutig feststehen,
ob das Objekt zur Menge gehört oder nicht. Die
Objekte heißen Elemente der Menge
1. Aufzählung
M = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}.
Ist a ein Element der Menge M , schreiben wir auch
Mathematik I – WiSe 2004/2005
95
Mathematik I – WiSe 2004/2005
96
2. teilweise Aufzählung
M = {2, 4, 6, . . . , 12, 14} Hierbei muss man aufpassen, dass es nicht zu
Missverständnissen kommt.
Schreibweise: |M | = Anzahl der Elemente in M .
Falls M unendlich viele Elemente hat, schreiben wir |M | = ∞ (∞: unendlich).
Beziehungen zwischen Mengen
3. Beschreibung durch charakteristische Eigenschaften
M := {x : x ∈ Z und x ≥ 2 und x ≤ 15 und x gerade}.
Wir nennen A eine Teilmenge von B, wenn jedes Element aus A auch ein Element
von B ist. Dabei darf auch A = B gelten.
Die leere Menge ∅ ist die Menge, die kein Element enthält.
A ⊆ B: A Teilmenge von B
Beispiel 1.30 ∅ = {x : x wohnt in der Bundesrepublik Deutschland und x ist im
Jahre 1700 geboren}
Die Mächtigkeit oder Ordnung einer Menge ist die Anzahl der Elemente in der
Menge. Unsere oben betrachtete Menge M = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} hat also die
Mächtigkeit 7.
Mathematik I – WiSe 2004/2005
97
A ( B: A Teilmenge von B und A 6= B
Beachte, dass stets A ⊆ A gilt. Ferner gilt für alle Mengen ∅ ⊆ A.
Beispiel 1.31 • N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R
Mathematik I – WiSe 2004/2005
• Die Menge aller Einwohner Magdeburgs ist eine Teilmenge der Menge aller
Einwohner Deutschlands .
98
B
A
A∩B
Verknüpfung von Mengen
Wir können Mengen schneiden oder vereinigen.
A∪B
A∩B
= {x : x ∈ A oder x ∈ B} Vereinigung
= {x : x ∈ A und x ∈ B} Schnitt
Mathematik I – WiSe 2004/2005
99
A
Mathematik I – WiSe 2004/2005
100
Für disjunkte Mengen gilt |A ∪ B| = |A| + |B|
B
Manchmal wollen wir mehr als nur eine Menge vereinigen oder schneiden. Wir
schreiben dann
A∪B
n
[
Ai = A 1 ∪ A 2 ∪ . . . ∪ A n
n
\
Ai = A 1 ∩ A 2 ∩ . . . ∩ A n
i=1
Achtung: Es gilt nicht |A ∪ B| = |A| + |B|, sondern
i=1
|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
Die Differenz von Mengen ist wie folgt definiert:
A\B
Zwei Mengen heißen disjunkt, wenn ihr Schnitt leer ist.
Mathematik I – WiSe 2004/2005
101
= {x : x ∈ A und x ∈
/ B}
Mathematik I – WiSe 2004/2005
102
Ω
A
B
A
A
A\B
Ist A eine Teilmenge von Ω, so schreiben wir statt Ω \ A auch A oder, genauer,
AΩ = Ω \ A:
Mathematik I – WiSe 2004/2005
103
Mathematik I – WiSe 2004/2005
104
Beispiel 1.32 Wir betrachten die folgenden vier Mengen:
A∩C
A = {x : x ∈ R und 1 ≤ x ≤ 6}
B
= {x : x ∈ N und x < 6}
C
= {x : x ∈ N und x ≥ 2}
= {2, 3, 4, 5, 6}
C \ A = {x : x ∈ N und x > 6}
D = {x : x ∈ R und x < 6}
B∩C
= {2, 3, 4, 5}
B∪C
= N
A ∩ N = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Dann gilt:
AR = {x : x ∈ R und (x < 1 oder x > 6)}
A∩B
B N = {6, 7, 8, . . .}.
= {1, 2, 3, 4, 5}
A \ D = {6}
Mathematik I – WiSe 2004/2005
105
Mathematik I – WiSe 2004/2005
Mengenalgebra
106
Assoziativgesetze
Ähnlich wie für die Verknüpfung von Aussagen gibt es auch gewisse Rechenregeln
für die Verknüpfung von Mengen.
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
Wir geben im folgenden die wichtigsten Regeln an:
Distributivgesetze
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
Idempotenzgesetze
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
A∪A = A
A∩A = A
Inklusionsgesetze
A ⊆ A∪B
Kommutativgesetze
A∪B
A∩B
A∩B
= B∪A
⊆ A
= B∩A
Mathematik I – WiSe 2004/2005
107
Man macht sich diese Regeln am besten an Hand einiger Mengendiagramme
(Venn-Diagramm) klar. Wir illustrieren hier nur das erste Distributivgesetz. Im
ersten Diagramm sehen wir die Menge B ∩ C schraffiert. Danach vereinigen wir
diese Menge mit A. Im letzten Bild haben wir die Mengen A∪B und A∪C jeweils
unterschiedlich schraffiert und dadurch auch gleich den Schnitt (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
gekennzeichnet.
Mathematik I – WiSe 2004/2005
108
B
B
A
A
B∩C
A ∪ (B ∩ C)
C
Mathematik I – WiSe 2004/2005
109
Mathematik I – WiSe 2004/2005
C
110
Neue Mengen aus alten Mengen
B
Die Potenzmenge einer Menge A ist die Menge aller Teilmengen von A.
Bezeichnung: P(A).
A
(A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
Ist A endlich, so gilt
|P(A)| = 2|A| .
C
Seien a1, . . . an irgendwelche Elemente. Wir nennen
Ähnliche Gesetze gelten für die Komplementbildung und die Mengendifferenz.
(a1, a2, . . . , an)
ein n-Tupel. Die Elemente müssen nicht unbedingt verschieden sein.
Mathematik I – WiSe 2004/2005
111
Mathematik I – WiSe 2004/2005
112
Die Menge aller n-Tupel (a1, . . . , an) mit ai ∈ Ai heißt das kartesische Produkt
von A1, . . . , An. Bezeichnung: A1 × A2 × · · · × An.
Beispiel 1.33 Sei A = {1, 2} und B = {a, b} und C = {b, c}. Dann gilt
Dieses Beispiel legt nahe (und man kann es auch beweisen), dass
A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C)
gilt. Im allgemeinen ist A × B 6= B × A
A × (B ∪ C) = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a),
(2, b), (2, c)}
(A × B) ∪ (A × C) = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b),
(1, c), (2, c)}
A × (B ∩ C) = {(1, b), (2, b)}
(A × B) ∩ (A × C) = {(1, b), (2, b)}
Mathematik I – WiSe 2004/2005
113
Mathematik I – WiSe 2004/2005
114
• Sei X die Menge aller Frauen, Y die Menge aller Männer.
zwischen X und Y wählen wir ”verheiratet”.
1.4 Relationen und Abbildungen
Als Relation
Die Definition einer Relation ist ganz einfach:
Eine Relation R zwischen zwei Mengen X und Y
ist eine Teilmenge R ⊆ X × Y . Gilt X = Y , so
heißt R eine Relation auf X. Man schreibt x R y
falls (x, y) ∈ R.
• A = {1, 2}, B = {2, 3}. Dann ist
Beispiel 1.34
• X: Menge der MathematikerInnen.
Y : Menge der WirtschaftswissenschaftlerInnen.
Eine Relation zwischen X und Y wird z.B. durch ”Mathematiker x ist jünger
als Wirtschaftswissenschaftler y” erklärt.
Mathematik I – WiSe 2004/2005
115
A × B = {(1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3)}.
Wir erhalten z.B. folgende Relationen:
Mathematik I – WiSe 2004/2005
1
R1 = {(a, b) ∈ A × B : a = b} = {(2, 2)}
116
2
R1
R2 = {(a, b) ∈ A × B : a < b}
3
2
= {(1, 2), (1, 3), (2, 3)}
1
R3 = {(a, b) ∈ A × B : a ≤ b}
3
= {(1, 2), (1, 3), (2, 3), (2, 2)} = A × B
1
R4 = {(a, b) ∈ A × B : a + b = 2} = ∅
Man kann diese Relationen auch durch Graphen verdeutlichen. Dazu malen
wir die Menge A und die Menge B auf und verbinden zwei Elemente mit einem
Pfeil genau dann, wenn sie in Relation miteinander stehen:
Mathematik I – WiSe 2004/2005
117
1
2
2
3
R3
2
R2
2
Mathematik I – WiSe 2004/2005
118
Beispiel 1.35 Die folgenden vier Skizzen illustrieren die folgenden vier Relationen
auf R:
2
R4
• R1 = {(x, y) : x2 + y 2 = 1}
3
2
• R2 = {x, y) : x3 + 2.8x2 + 2y 2 = 4}
Diese Beispiele zeigen, dass an jedem Punkt kein, ein oder mehrere Pfeile beginnen
können. Genauso kann an jedem Punkt kein, ein oder mehrere Pfeile ankommen.
Solche Pfeildiagramme sind natürlich unhandlich, wenn die Mengen X und Y
unendlich sind. Sind X und Y Zahlbereiche, können wir versuchen, die Menge
der Punkte (x, y) ∈ R in einem Koordinatensystem zu skizzieren.
Mathematik I – WiSe 2004/2005
119
• R3 = {x, y) : x3 + 3x2 + 2y 2 = 4}
• R4 = {x, y) : x3 + 3.2x2 + 2y 2 = 4}
Mathematik I – WiSe 2004/2005
120
1
3
y
0.5
2
y
–1
–0.5
0.5
1
1
x
–4
–0.5
–3
–2
–1
1
x
–1
–1
–2
–3
Mathematik I – WiSe 2004/2005
121
Mathematik I – WiSe 2004/2005
122
3
3
2
2
y
y
1
1
–4
–3
–2
–1
0
1
–4
x
–3
–2
–1
1
x
–1
–1
–2
–2
–3
–3
Mathematik I – WiSe 2004/2005
123
Diese Beispiele sollen Ihnen bereits jetzt zeigen, was MathematikerInnen gerne
machen, nämlich funktionale Zusammenhänge graphisch zu veranschaulichen.
Machen Sie sich damit vertraut!
Wir wollen hier noch einige besondere Relationen R auf einer Menge X erwähnen,
d.h. R ⊆ X × X.
Die Relation R ⊆ X × X heißt reflexiv wenn
x R x, also (x, x) ∈ R, für alle x ∈ X gilt. Die
Relation R heißt symmetrisch, wenn aus x R y
stets y R x folgt. Ferner heißt R transitiv, wenn aus
x R y und y R z folgt x R z. Eine Relation
die reflexiv, symmetrisch und transitiv ist, heißt
Äquivalenzrelation.
Mathematik I – WiSe 2004/2005
124
Bedeutung. In dieser einführenden Veranstaltung kann darauf verzichtet werden.
Wir geben hier nur ein kleines Beispiel an:
Beispiel 1.36 Sei X die Menge aller Menschen. Wir definieren auf X eine
Relation durch ”x und y haben am selben Tag Geburtstag”. Man kann sich
schnell überlegen, dass dies eine Äquivalenzrelation ist. Interessant ist, dass diese
Relation eine Klasseneinteilung oder Partition von X liefert. [Einschub: Eine
Partition S
von X ist eine Menge von Teilmengen Ai von X, die paarweise disjunkt
sind und i Ai = X.] Die Klassen sind gerade die Mengen von Menschen, die
am selben Tag xx.yy.zzzz geboren sind. Man kann sich leicht überlegen, dass
jede Äquivalenzrelation auf einer Menge X eine Zerlegung der Menge X liefert.
Der Begriff der Äquivalenzrelation ist für die gesamte Mathematik von zentraler
Mathematik I – WiSe 2004/2005
125
Mathematik I – WiSe 2004/2005
126
Abbildungen
In den Wirtschaftswissenschaften haben wir es meistens mit Abbildungen zu tun.
Eine Abbildung aus X nach Y ist eine Relation
zwischen X und Y , so dass es zu jedem x ∈ X
höchstens ein y ∈ Y gibt, so dass x und y in
Relation zueinander stehen. Das Element y wird mit
f (x) bezeichnet.
In unserer Pfeildarstellung bedeutet dies, dass bei jedem Element x ∈ X
höchstens ein Pfeil beginnt:
Mathematik I – WiSe 2004/2005
127
Beachte, dass nicht jedem x ∈ X ein Funktionswert zugeordnet werden muss. Im
Buch von Schwarze gibt es eine subtile Unterscheidung: Wenn jedem x ∈ X
höchstens ein y zugeordnet wird, so spricht Schwarze von einer Funktion aus
X nach Y (so wie hier angegeben). Wird jedem x ∈ X genau ein f (x)
zugeordnet, spricht Schwarze (und auch wir) von einer Abbildung von X nach
Y:
Mathematik I – WiSe 2004/2005
128
für welche x der Nenner 0 wird, die Funktion also gar nicht definiert ist.
Bezeichnung: f : X → Y . Die Menge der x ∈ X, für die f (x) erklärt ist, nennen
wir den Definitionsbereich von f , bezeichnet mit D(f ). Der Definitionsbereich
D(f ) muss nicht ganz X sein, wie die obigen Beispiele zeigen. Die Menge
X heißt die Menge der unabhängigen Variablen, die Menge Y bezeichnet die
abhängigen Variablen, denn wenn wir x kennen, kennen wir auch f (x).
Das ist manchmal ganz praktisch, in der Mathematik aber eher ungewöhnlich. Es
hat Vorteile, wenn man komplizierte Funktionen hat wie etwa
f (x) =
x
x5 + 3x3 − x − 4
aufgefasst als Abbildung aus R nach R, wo man von vornherein gar nicht weiß,
Mathematik I – WiSe 2004/2005
129
Beispiel 1.37 Wir definieren f : R → R durch f (x) = x21−1 . Dieser Ausdruck ist
natürlich nur erklärt, wenn x2 − 1 6= 0. In der Notation von Schwarze ist f eine
Abbildung aus R nach R. Der Definitionsbereich ist R \ {±1}. Die graphische
Veranschaulichung:
Mathematik I – WiSe 2004/2005
130
Beispiel 1.38 Wir betrachten f : R → R definiert durch f (x) = lg x
(dekadischer Logarithmus). Wir haben schon gesehen, dass der Logarithmus
nur für positive Zahlen erklärt ist. Der Definitionsbereich ist also R+:
4
y
2
1
0.5
–6
–4
–2
2
4
6
5
x
x
10
15
20
–0.5
–2
–1
–1.5
–4
–2
Mathematik I – WiSe 2004/2005
131
Machen Sie sich bitte nicht zu viele Gedanken über die Frage, ob es Abbildungen
von oder aus einer Menge X gibt. Wichtig ist nur, dass bei der Beschreibung einer
Abbildung durch eine Vorschrift wie z.B. lg x oder x21−1 zu beachten ist, dass
diese Vorschrift für einige Werte von x nicht definiert ist. Oft liegt das daran,
dass man nicht durch 0 dividieren darf. Andere Möglichkeiten: Logarithmen
oder Wurzeln negativer Zahlen sind nicht definiert. Manche trigonometrische
Funktionen haben Stellen, wo sie nicht definiert sind, z.B. tan(π/2) ist nicht
definiert.
Abbildungen werden oft auch Funktionen genannt. Meistens spricht man von
Funktionen, wenn die Mengen X und Y Zahlbereiche sind. Wenn wir hier von
Zahlbereichen sprechen, meinen wir nicht etwa nur R, sondern auch R2, R3 usw.
Denken Sie daran: Ökonomische Daten hängen fast nie nur von einer Variablen
ab.
Ein anderes kleines Beispiel: Die (vor kurzem noch sehr beliebten) Aktiencharts
Mathematik I – WiSe 2004/2005
133
Mathematik I – WiSe 2004/2005
132
sind nichts anderes als Funktionen von der Zeit in die Menge R möglicher
Aktiennotierungen.
Dieses Beispiel macht deutlich, dass zwischen den
unabhängigen Variablen (hier der Zeit) und den abhängigen (dem Aktienkurs)
kein kausaler Zusammenhang bestehen muss. Ein kausaler Zusammenhang
besteht vielleicht zwischen dem Zinsniveau und dem Aktienkurs, oder den
Jahresabschlüssen der AG’s und den Aktienkursen, aber sicher nicht zwischen
der Zeit und dem Kurs!
Wir werden im nächsten Kapitel auf einige Funktionen, die aus der Schule bekannt
sein sollten, genauer eingehen.
Bevor wir dies tun, führen wir noch drei wichtige Begriffe für Abbildungen ein:
injektiv, surjektiv, bijektiv!
Mathematik I – WiSe 2004/2005
Eine Abbildung f : X → Y heißt injektiv wenn
aus f (x1) = f (x2) stets x1 = x2 folgt.
Die
Abbildung heißt surjektiv, wenn es zu jedem y ∈ Y
(mindestens) ein x ∈ X gibt mit f (x) = y. Die
Abbildung heißt bijektiv, wenn sie injektiv und
surjektiv ist und es zu jedem x ∈ X ein y gibt
mit f (x) = y (f also insbesondere eine Abbildung
von X nach Y ist).
134
injektiv
surjektiv
Für unsere Pfeildarstellung von Abbildungen bedeutet das folgendes:
injektiv:
surjektiv:
bijektiv:
in jedem y ∈ Y endet höchstens ein Pfeil
in jedem y ∈ Y endet mindestens ein Pfeil
in jedem y ∈ Y endet genau ein Pfeil
und in jedem x ∈ X beginnt genau ein Pfeil.
Mathematik I – WiSe 2004/2005
bijektiv
135
Mathematik I – WiSe 2004/2005
136
In allen drei Fällen haben wir Abbildungen, weil aus den linken Mengen an jedem
Punkt nur höchstens ein Pfeil beginnt. Wir machen noch einmal auf die eher
ungewöhnliche Konvention aufmerksam, dass wir auch dann von Abbildungen
reden, wenn in einem Punkt von X gar kein Pfeil beginnt, es also Elemente
x ∈ X gibt, für die f (x) gar nicht definiert ist.
Ist f eine injektive Abbildung, so definieren wir f −1 : Y → X durch folgende
Vorschrift: f −1(y) = x, wobei x ∈ X durch die Eigenschaft f (x) = y bestimmt
ist. Beachte, dass x wegen der Injektivität eindeutig bestimmt ist. In unseren
Pfeilbildern bedeutet dies einfach, dass wir jeden Pfeil umdrehen. Die Abbildung
f −1 heißt die zu f inverse Abbildung.
X und Y gleich viele Elemente haben.
Seien f : X → Y und g : Y → Z zwei Abbildungen. Wir definieren die Abbildung
g ◦ f : X → Z wie folgt: (g ◦ f )(x) = g[f (x)]. Also: Wir wenden erst f auf x
an, dann auf den Wert f (x) die Abbildung g.
Wichtig ist es, sich zu merken, dass g ◦f bedeutet, erst f und dann g anzuwenden.
Beachte, dass auch f −1 injektiv ist. Ferner ist f bijektiv genau dann wenn f
injektiv und surjektiv ist und zusätzlich f −1 auch surjektiv ist.
Bei einer bijektiven Abbildung geht von jedem Punkt in X genau ein Pfeil aus
und in jedem Punkt aus Y endet genau ein Pfeil. Das heißt insbesondere, dass
Mathematik I – WiSe 2004/2005
137
f
X
g
Y
Z
g◦f
Mathematik I – WiSe 2004/2005
139
Mathematik I – WiSe 2004/2005
138