5. ¨Ubung - (IGPM) | RWTH Aachen

Institut für Geometrie und Praktische Mathematik
Institut für Mathematik
Mathematische Grundlagen I (CES) - WS 2003/04
Prof. Dr. A. Reusken, Priv.-Doz. Dr. F. Giannakopoulos
Dr. M. Larin, M. Jürgens
5. Übung
Abgabe: Montag, 8. Dezember, zu Beginn der Übung
Pn
Pm
i
i
Aufgabe 1 (TN) : Es seien p(x) =
i=0 ai x und q(x) =
i=0 bi x zwei
Polynome mit an 6= 0, bm 6= 0 und m > n. Zeigen Sie, daß
!
n
m
X
p(x) 2 X
n−m
≤ 2
|ai | |x|
für
|x| ≥
|bi |
q(x) |bm |
|bm | i=0
i=0
gilt, d.h., daß jede echt gebrochen rationale Funktion für x → ±∞ gegen
Null konvergiert.
Hinweis: Benutzen Sie Aufgabe 5 der 3. Übung.
Aufgabe 2 (TN) : Beweisen Sie die folgenden Aussagen durch vollständige
Induktion.
a)
n
X
k=1
k3 =
n2 (n + 1)2
für alle n ∈ N.
4
b) Für jedes n ∈ N0 ist
n
X
(2k + 1) eine Quadratzahl.
k=0
c) Für jedes n ∈ N ist 11n+1 + 122n−1 durch 133 teilbar.
Aufgabe 3 : Zeigen Sie:
a) pn > n für alle n ∈ N, falls p ≥ 2.
b) pn > n2 für alle n ∈ N, falls p ≥ 3.
c) 2n > n2 für alle n ≥ 5.
Aufgabe 4 (TN) : Beweisen Sie folgende Verallgemeinerung der BernoulliUngleichung: Es sei n ≥ 2. Falls die reellen Zahlen x1 , x2 , . . . , xn entweder
alle positiv oder alle negativ und größer −1 sind, dann gilt
n
Y
k=1
(1 + xk ) > 1 +
n
X
k=1
xk .
5. Übung
2
Aufgabe 5 (TN) : Bestimmen Sie inf{x ∈ R+ : Es existiert n ∈ N mit xn = 2.}.
Hinweis: Verwenden Sie die Bernoulli-Ungleichung!
Aufgabe 6 : Wir betrachten die rekursiv definierte Folge
x0 := −3,
x1 := 8,
8
xn+1 := (3n − )xn − nxn−1 für n ≥ 1.
3
a) Zeigen Sie: xn = 31−n (9n − 1) für alle n ∈ N ∪ {0}.
b) Benutzen Sie Maple, um x14 rekursiv in einer Arithmetik mit endlich
vielen Stellen zu berechnen, und vergleichen Sie das Ergebnis mit dem
korrekten Wert x14 = 125 · 3−13 .
Setzen Sie dazu die Maple-Variable Digits nacheinander auf K =
7, 15, 50, um die Stellenzahl der Arithmetik festzulegen. Führen Sie
dann die rekursive Berechnung von x14 in einer for-Schleife aus, und
wenden Sie dabei auf den Ausdruck (3n − 83 )xn − nxn−1 die Funktion
evalf an, um ihn mit endlich vielen Stellen Genauigkeit auszuwerten.
Was beobachten Sie für die verschiedenen Genauigkeiten K = 7, 15
und 50? Wodurch ist der Effekt zu erklären?
Aufgabe 7 : An einer Party nehmen N > 1 Personen teil. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, daß mindestens 2 Personen am gleichen Tag Geburtstag haben?
Anleitung: Wir nehmen vereinfachend an, daß niemand in einem Schaltjahr geboren worden ist und daß alle Tage eines Jahres mit gleicher Wahrscheinlichkeit als Geburtstag auftreten. Berechnen Sie zuerst die Anzahl
aller möglichen Kombinationen von Geburtstagen von N Personen und danach die Anzahl aller Kombinationen, bei denen kein Geburtstag mehr als
einmal vorkommt. Der Quotient dieser Zahlen ist die Wahrscheinlichkeit,
daß alle N Personen an verschiedenen Tagen Geburtstag haben. Also ist
die gesuchte Wahrscheinlichkeit 1 minus diesem Quotienten.
Benutzen Sie Maple, um die Wahrscheinlichkeit für N = 2, 3, . . . , 50 zu
berechnen. Hierbei ist die Funktion factorial hilfreich. Bei welchem N ist
die Wahrscheinlichkeit ≥ 0.5?