Lineare Algebra I

Lineare Algebra I
Prof. Christian Okonek
HS 2011
Vorlesungsnotizen von Gideon Villiger
Aufbau:
1. Logische Grundbegriffe, Mengen, Relationen, Abbildungen
2. Natürliche Zahlen
3. Aufbau der Zahlensysteme
4. Moduln, lineare Abbildungen
5. Erzeugendensysteme, Freiheit, Basis, Rang
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20.09.2011
1. Logische Grundbegriffe, Mengen, Relationen, Abbildungen
logische Zeichen
Bedeutung
Aus Aussage A folgt B
Aussage A ist gleichwertig mit B
nicht A
und
oder
()
es existiert (genau ein)
es existiert nicht
für alle
A gilt definitionsgemäss genau dann, wenn B gilt
Zeichen der Mengenlehre
Bedeutung
x ist Element der Menge M
x ist nicht Element der Menge M
leere Menge (
)
N ist Teilmenge von M (
)
N ist definitionsgemäss = M (
{
Durchschnitt (
(
Potenzmenge ( ( )
{
))
{
Differenzmenge (
Bsp.:
}
∣
Vereinigung (
( )
)
{
})
∣
})
∣
}
{ { }{ }{ }{
( )
}{
}{
}{
}}
Naiver Standpunkt:
Mengen: Cantor (1895): Eine Menge ist eine Zusammenfassung von bestimmten wohl
unterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen.
Mathematische Präzision: Axiomensysteme
Beschreibung von Mengen: { }
{
}
-
Aufzählungen:
-
Aussondern: M sei Menge, E Eigenschaft, die auf Elemente der Menge M zutreffen kann oder
{
eben nicht:
Bsp.:
{
Def.:
zwei Mengen M, N,
(
}
∣
)
(
)
{(
)∣
}
∣
{
}
, geordnetes Paar (
(
)
)
} = Menge der geordneten Paare
Lineare Algebra 1
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22.09.2011
Russelsche Antinomie:
-
Freg’sches Comprehensionsaxiom: Zu jeder Eigenschaft von Mengen existiert die Menge
{ |
-
}
Russell (1901) bemerkt: dieses Axiom führt zu Widersprüchen. R sei die Eigenschaft von
Mengen: x
-
Frege:
x (die Menge x enthält sich selbst nicht als Element).
{ |
Menge
Wenn
}
existiert als Menge, hat
o
„ja“:
o
„nein“:
die Eigenschaft R oder nicht:
Relationen:
Def.:
Sei M eine Menge. Eine Relation auf M ist eine Teilmenge
(
Bsp.:
.
)
W = Menge aller englischen Worte
)
{(
|
a en en ei en n an
a en }
z.B. (all, at)
Def.:
Eine Relation
(R auf M kreuz M) heisst:
(
)
-
reflexiv
-
symmetrisch
-
transitiv
-
antisymmetrisch
(
i : a
(
i : a
(
Eine Relation
Bsp.:
Die e a i n „ ei er n an
)
n
i : a
Def.:
)
a
n
i :
heisst Äquivalenzrelation :
a e“ a
)
R ist reflexiv, symmetrisch, transitiv
er Men e er en i
en Wör er i eine
Äquivalenzrelation.
Bew.: 1. reflexiv (jedes Wort hat den gleichen Anfangsbuchstaben (A) wie es selbst)
2. symmetrisch: wenn A(W1) = A(W2), so gilt es auch umgekehrt.
3. transitiv: wenn A(W1) = A(W2) und A(W2) = A(W3), dann gilt: A(W1) = A(W3)
4. antisymmetrisch: NEIN: (all, at)
Def.:
Sei
(
Äquivalenzrelation:
[ ]
{
}
|
Äquivalenzklasse zu x
ein Element y aus der Äquivalenzklasse von x (
Bsp.:
[
]
{
eine Äquivalenzrelation. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:
i)
[ ]
ii)
iii)
[ ]
[ ]
iv)
[ ]
[ ]
Bew.: Beweisidee: i)
-
i)
[ ] ) heisst ein Repräsentant von [ ] .
}
∣
Lem.: Sei
)
ii):
ii)
iii)
iv)
i)
[ ]
Lineare Algebra 1
-
ii)
Seite |3
[ ]
iii): Sei
[ ]
Da
[ ]
ei
[ ]
e ie i
[ ]
e ie i
ar
bleibt zu zeigen, dass [ ]
[ ]
[ ]
Beweis durch Widerspruch:
Angenommen [ ]
[ ]
(
)
[ ]
[ ]
er:
[ ]
 Annahme war falsch, d.h. [ ]
-
iii)
iv): [ ]
[ ]
-
iv)
i): ei [ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
.
Bem.: Ist R eine Äquivalenzrelation auf M, so definiert R eine Zerlegung von M in paarweise
disjunkte Teilmengen (die Äquivalenzklassen). Zwei Äquivalenzklassen schneiden sich gar
nicht, oder sie sind gleich.
{(
Bsp.:
R zerlegt
[ ]
[
Def.:
era e}
in 2 Äquivalenzklassen:
{
]
)|
|
{
era e}
|n n era e}
Eine Relation
heisst Ordnungsrelation :
R ist reflexiv, antisymmetrisch,
transitiv
( )
Bsp.:
{
ei
en e}
Ordnungsrelation auf P(M): ( )
{(
( )
}
)∣
Beh.: R ist Ordnungsrelation auf P(M).
Bew.:
1) reflexiv:
i
2) antisymmetrisch:
3) transitiv:
Def.:
Eine Ordnungsrelation
heisst linear :
)
{(
Bsp.:
|
i :
er
}
= lineare Ordnungsrelation, d.h. es sind je zwei Elemente vergleichbar.
( )
Bem.: I.A. ist die Ordnungsrelation
{
Bsp.:
{
}
( )
}
{
}
(
( ) nicht linear.
{ { }{ }{ }{
)
n (
}{
)
}{
}{
i ni
}}
inear
Lineare Algebra 1
Seite |4
27.09.2011
EXKURS 1
{(
Def.:
(
Def.:
Not.:
}
)∣
)
Menge aller n-Tupel
(
)
ist ein Punkt in
ist i-te Komponente von x
geometrische Deutung:
: Zahlengerade
: Zahlenebene
Addition (komponentenweise)
(
)
(
mit
)
Skalarmultiplikation (komponentenweise)
(
)
(
, woei
)
Prop.: (Rechenregeln für +, )
Seien
. Dann gilt:
(
i)
)
(
)
ii)
(
iii)
)
(
)
iv)
(
v)
)
(
)
vi)
Bew.: z.B. v)
(
)
(
)
(
( (
)
(
))
)
Def.:
{
}
∣
Bem.:
, weil
t heisst Parameter von
Def.:
heisst Gerade
Bem.:
, sodass
heisst Parameterdarstellung von der Geraden G. G ist eindeutig bestimmt
durch
(nicht umgekehrt)
Prop.: Sei
. Dann gilt:
i)
ii)
{ } mit
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Seite |5
Bew.: „ “
i)
, da
ii)
(
mit
)
(
, denn sonst
)
(
)
.
„⇐“
aus i) folgt:
Sei
(
mit
(
)
)
Bem.:
(
)
, darum lässt sich die Gerade auch beschreiben als
Prop.:
Gerade
mit
Bew.: „E i en “:
(
definiere
) mit
„Ein e i kei “:
Annahme:
mit
dann:
, da
{ } mit
wollen noch zeigen:
, sodass
⏟
Prop:
und
mit
, da
⏟
(Gleichungen für Geraden in der Ebene)
Sei
(
Gerade:
{(
)
Bew.: G Gerade
)
(
) mit
}
∣
Parameterdarstellung:
(
mit
)
(
)
(
)
Setze:
{(
∣
)
}
Wollen zeigen:
„ “: ei
(
, sodass
(
)
(
)
(
)
)
„ “: ei
(
)
(
Wir wissen: (
1. Fall:
)
Bem.: Geraden in
(
):
:
(
2. Fall:
).
)
:
(
)
(
)
(
)
⇒
lassen sich durch lineare Gleichungen beschreiben. Jeweils 2 solcher
Gleichungen haben 0,1 oder
Lösungen.
Lineare Algebra 1
Seite |6
Das innere Produkt:
Def.:
lineares Produkt (od. kanonisches Skalarprodukt):
⟨
⟩
∑
Prop.:
gilt:
i)
⟨
ii)
⟨
⟩
iii)
⟨
⟩
⟩
⟨
⟨
⟩
⟩
⟨
und ⟨
⟩ ⟨
⟩
⟨
⟩
⟩
Bew.: z.B. iii)
⟨
Def.:
⟩
∑
Norm von x:
‖ ‖
Def.:
⟩
√⟨
Distanz von x,y
(
)
‖
‖
Prop.:
i)
‖ ‖
‖ ‖
‖
ii)
‖
| |‖ ‖
(
)
(
)
(
)
(
)
iii)
‖
‖
‖ ‖
iv)
‖
‖
‖
‖
‖
√⟨
‖ ‖
⟨
‖
⟩
‖ ‖
(Satz des Pythagoras)
‖ ‖
(Parallelogrammgleichung)
Bew.:
iii)
⟨
iv)
⟩
‖
⟨
‖
∑
⟩
⟩
‖
⟩
‖
((
√⟨
⟨
)
⟩
(
)
⟩
√⟨
√⟨
√⟨
(
√⟨
∑
⟩
) )
⟩
‖ ‖
∑
⟩
∑
⟨
⟩
√⟨
∑
‖ ‖
‖ ‖
⟨
⟩
⟩
∑
∑
‖ ‖
Prop.: Cauchy-Schwarz-Ungleichung
i)
|⟨
⟩|
‖ ‖ ‖ ‖
ii)
|⟨
⟩|
‖ ‖ ‖ ‖
für
(x und y sind linear unabhängig)
Bew.:
i)
1. Fall:
2. Fall:
beide Seiten = 0
⟨
. Setze
⟨
⟨
⟩
⟩
⟨
⟩
∑
⟨
(
⟩
⟨
⟩
)
∑
⟩
⟨
(
(
⟩
)
⟨
⟩
(
⟨
⟩
))
Lineare Algebra 1
( ⟨
Seite |7
⟩
⟨
(‖ ‖ ‖ ‖
ii)
⟩
⟨
‖
„ “
)
⟩ )
(‖ ‖ ‖ ‖
|⟨
⟩|
⟨
⟩
⟨
⟩ )
‖ ‖ ‖ ‖
‖
„⇐“ e e
29.09.2011
{( )}
Bem.:
Kor.:
{
}
Dreiecksungleichung:
‖
i)
‖
‖ ‖
‖ ‖
)
(
)
(
ii)
(
)
Bew.:
‖
i)
‖
⟨
‖ ‖
‖ ‖‖ ‖
‖
‖
(
ii)
⟩
‖ ‖
)
(
‖ ‖
⟨
‖ ‖ 
⟩
‖ ‖) 
(‖ ‖
‖ ‖
‖
‖
)
‖ ‖
(
‖
(
)‖
)
‖
‖
‖
‖
)
Veranschaulichung:
Norm:
Dreiecksungleichung:
𝑑(𝑥 𝑦)
(𝑥 𝑥 )
𝑥
‖𝑥‖
𝑦
𝑥
𝑥
𝑥
Exkurs Analysis: Kosinus
(
Fakt:
)
(
Def.:
) = eulersche Zahl
(∑
Fakt:
(
)
( )
)
(
( )
Def.:
∑
)
(
)
(
)
Eigenschaften: cos ist eine nicht-konstante, periodische Abbildung, d.h. es gibt ein kleinstes
mit
Def.:
Mit diesem
( )
(
definiert man
).
als:
Fakten:
1) Sei
, dann gilt:
, d.h. der Graph cos in der x-y-
Koordinatenebene ist spiegelsymmetrisch um die Gerade gegen
2) cos eingeschränkt auf [
monoton steigend.
.
] ist streng monoton fallend und eingeschränkt auf [
] streng
Lineare Algebra 1
Seite |8
3) cos ist stetig
[
( )
4)
]
5) cos induziert eine umkehrbare Funktion
Def.:
[
]
[
]
( )
Die Umkehrfunktion von f (nicht cos!) ist arccos,
[
]
[
]
( )
⟨
⟩
‖ ‖‖ ‖
{ }⇒
Bem.:
[
daher:
]
⟨ ⟩
‖ ‖‖ ‖
Def.:
( )
⟨ ⟩
‖ ‖‖ ‖
heisst der Winkel (bzw. das Winkelmass des Winkels)
{ }
zu
( )
[
]
(
)
Veranschaulichung:
𝑦
𝑥
𝜃
𝜃
{ }
Lem.:
(
i)
⟨
ii)
)
(
⟩
)
‖ ‖‖ ‖
( (
))
)
(
(
iii)
iv)
(
v)
Def.:
(
)
)
⟨
(
{
)
)
}
{ }
{ }
⟩
{ }
Bem.:
i)
(
ii)
Def.:
Sei
)
eine Gerade und
, dann definieren wir:
(
)
Veranschaulichung:
𝑔
𝑣
𝑣
Bem.: Sei
𝒙
𝑣
mit
.
𝑣
eine Parameterdarstellung und
, dann gilt:
Lineare Algebra 1
Seite |9
Bew.: „ “: Seien
beliebig
(
„⇐“: ⟨
⟩
)
) ⟨
⟩
⟨ (
∣
)
{
für
}
⇒
(
{(
Bem.: Sei
(
)
kann schreiben:
) ⟩
} mit
⟨
und (
)
⟩
(
). Dann gilt:
.
Lem.: Sei
eine Gerade und
, dann:
(
(
Bew.: Parameterdarstellung:
)
(
))
mit
)
Vorüberlegungen: nehmen an,
mit
(
)
(
⟨
⟨
(
⟨
⟩
‖ ‖ )
⟩
‖ ‖
⟨
„Existenz:“ e e
⟩
⟩
‖ ‖
, weiter: ⟨
Dann gilt:
⟩
„Eindeutigkeit“: ei
⟨
⟨
⟩
⟩
‖ ‖
beliebig mit
⟨
⟩
. Dann folgt aus den
Vorüberlegungen:
„Minimierungseigenschaft“: ei
⟨
⟩
(
⟨
) ⟨⏟
also: ‖(
(
)⟩
(
⟨
) ⟩
⟩
)
‖
beliebig
(
)‖
‖
‖
‖
‖
⏞⟨
‖
Insgesamt: (
)
(
). Umkehrrichtung ähnlich.
Veranschaulichung:
𝑦
𝑔
𝑦
𝑑(𝑥 𝑦)
𝑥
Problem: Gerade
: kann man g auch für
durch (lineare/affine) Gleichungen
beschreiben?
Bsp.:
. Sei
eine Gerade mit
{(
Betrachte
1.)
:
) und
∣
)
Frage: Kann man
(
)
)
} für gewisse
so wählen, dass die Gerade
(
(
(
?
)
, also müsste gelten:
⟩
Lineare Algebra 1
2.)
S e i t e | 10
{(
: ist
∣
)
…re nen…
Aber (
} für gewisse a,b
als zwingende Bedingung
)
(
. aber wäre (
)
(
)
)
)
(
, so müsste:
also
Gerade im
nicht durch eine affine Gleichung beschreibbar.
Bem.:
i)
Vielleicht geht es mit mehr als einer Gleichung.
ii)
Was ist geometrisch der Ort im
iii)
Ebene, Parameterdarstellung von Ebene
definiert durch eine Gleichung?
04.10.2011
Def.:
Seien M,N Mengen. Eine Abbildung ist eine Vorschrift, die jedem
genau ein
zuordnet:
( )
Präzisierung: Eine Abbildung von M nach N ist eine Teilmenge
(
Not.:
Def.:
)
( ) statt (
statt
Ist
{(
gegeben, so ist
)
)
𝑁
Φ
mit folgender Eigenschaft:
( ) } der Graph von .
∣
𝑁
Φ
(𝑥 𝑦 )
(𝑥 𝑦 )
𝑦
(𝑥 𝑦)
Φ
𝑁
(𝑥 𝑦 )
𝑥 𝑀
𝑥
Bem.: Sind
die jeweiligen Graphen zu
( )
(
(
Def.:
Bsp.:
{
)
, so gilt:
} ist die Menge aller Abbildungen von M nach N.
∣
( )
(
)
(
)
, wobei
geschrieben als
Dabei ist M Definitionsbereich, N Wertebereich der Abbildung,
Def.:
Sei
eine Abbildung, seien
( )
{
( )
∣
} heisst das Bild von A unter .
𝜑(𝐴)
𝑀
𝐴
( )
{
∣ ( )
Abbildungsvorschrift
Teilmengen:
𝑁
Def.:
( ))
( ))
Eine Folge reeller Zahlen ist eine Abbildung
Not.:
( )
(
Abbildungen, so gilt:
Bew.: Zu zeigen ist: Sind
𝑥 𝑀
𝑀
} heisst das Urbild von B unter .
Lineare Algebra 1
S e i t e | 11
{ }. Dann heisst
speziell:
({ }) Faser von
𝑀 (Torus)
}
∣ ( )
𝑁 (Kreis)
𝜑 ({𝑏})
𝜑
𝑀
𝑏
𝜑
𝑁
𝐴
Def.:
{
({ })
( ) statt
Notationsmissbrauch:
({ })
über b:
Faser
über b
eine Abbildung
heisst:
( ( )
i)
injektiv
ii)
surjektiv
iii)
bijektiv
( )
( ( )
)
)
injektiv und surjektiv
Bem.: Eine Abbildung
-
ist injektiv
-
ist surjektiv
-
ist bijektiv
jede Faser enthält höchstens ein Element
keine Faser ist leer
jede Faser nethält genau ein Element
Bsp.:
injektiv
surjektiv
nein
nein (Faser von -2 ist z.B. =
nein
ja
ja
nein
ja
ja
Komposition von Abbildungen: Seien
und
mit (
)( )
heisst Komposition von
𝜑
𝑀
𝜓
𝑁
)
Abbildungen:
( ( ))
.
mit .
𝑃
𝜓 𝜑
Die Komposition
{(
)
wird definiert durch die Menge
(
∣
überprüfen: diese Teilmenge in
Bew.: „ “:
( )
(
)
(
( )
durch ( )
Definiere
. Dann ist
}
)
( ( ))
ist bijektiv
bijektiv
(
definiert eine Abbildung von M nach P
( )
Lem.: Eine Abb.
)
)
, wenn x das eindeutig bestimmte Element ist mit
eine Abbildung, und es gilt:
i)
(
)( )
( ( ))
( )
, also:
ii)
(
)( )
( ( ))
( )
, also:
Lineare Algebra 1
„⇐“: ei
i)
S e i t e | 12
Umkehrabbildung von :
mit ( )
„ injek iv“: Seien
Dann gilt:
ii)
„
( ( ))
( ).
( ( ))
( )
(
rjek iv“: ei
injektiv
)
( )
beliebig. Sei
Dann gilt: ( )
( ( ))
(
)( )
( )
eine Umkehrabbildung existiert (
Bem.: Wenn zu
), so ist die
Umkehrabbildung eindeutig bestimmt durch .
Not.:
ist die Umkehrabbildung.
2. Natürliche Zahlen
R. Dedekind: Die Zahlen sind freie Schöpfungen des menschlichen Geistes; sie dienen als ein Mittel,
um die Verschiedenheit der Dinge leichter und schärfer aufzufassen.
Def.:
Eine Menge U heisst unendlich
Abbildung
, die injektiv ist, aber nicht
surjektiv
Eine Menge E heisst endlich
E nicht unendlich
Schubfachprinzip: Inhaltliche Bedeutung von Dedekinds Definition von endlichen Mengen ist das
„Schubfachprinzip“:
en n Ge en än e
a
ä er ver ei
jedem Schubfach höchstens ein Gegenstand liegt, so muss
er en a
sein. Ist
in
, so liegt in
jedem Schubfach genau ein Gegenstand.
mathematische Präzisierung: Injektive Selbstabbildungen endlicher Mengen sind bijektiv.
06.10.2011
Prop.: In jeder unendlichen Menge U gibt es eine Teilmenge N mit einem ausgezeichneten Element
, und eine Abbildung
, so dass gilt:
1) S ist injektiv
( )
2)
(S nicht surjektiv)
( )
3) ist
, so gilt:
(Peano-Bedingung)
injektiv mit ( )
Bew.: Sei U beliebige unendliche Menge
( )
mit
Beh.:
{
∣
⋂
, definiere
(
(
}
)
, weil
Bew.: „1)“: ei ( )
( )
„2)“:
( ), da
( )
( )
( ) und ( )
(da
injektiv)
( )
( )
Konstruktion ist abhängig von Wahl von (
Ein Tripel (
( )
) erfüllt 1), 2), 3)
„3)“: ei
Def.:
durch ( )
, definiere
).
) heisst Modell für die natürlichen Zahlen
Bedeutung: N = Modell für natürliche Zahlen,
Zählens: S ordnet jeder natürlichen Zahl
)
) sind erfüllt.
, S = mengentheoretische Beschreibung des
ihren Nachfolger ( ) zu.
1) trifft man beim Zählen zweimal auf die gleiche Zahl, so hat man sich verzählt.
2) 0 ist Ausgangspunkt des Zählens, wird aber nie erreicht.
Lineare Algebra 1
S e i t e | 13
3) Prinzip der vollständigen Induktion
Prop.: Prinzip der vollständigen Induktion
Um eine Aussage ( ) für alle natürlichen Zahlen
zu beweisen, genügt es zu zeigen:
( ) ist wahr (Induktionsbeginn)
I)
II) Wenn ( ) wahr ist für irgendein
(Induktionsvoraussetzung), so ist ( ( )) wahr
(Induktionsschluss).
Bew.: (mit der Peano-Bedingung)
{
}
∣ ( )
wegen )
i)
( )
ii)
( ) ist wahr für alle
Peano-Bedingung
Beh.:
)
wegen
.
Alle Pferde haben die gleiche Farbe.
Beweis durch Induktion:
A(n): in jeder Menge von n Pferden haben alle die gleiche Farbe.
i)
( ): √
ii)
( )
(bei jeder Menge von 0 Pferden haben alle die gleiche Farbe)
(
{
) Sei
} eine Menge von
Pferden:
Nehme ich aus dieser Menge ein Pferd raus, und betrachte die Menge der
restlichen n Pferde. Die haben nach Induktionsvoraussetzung alle die gleiche
Farbe. Tue ich es wieder rein, und nehme das nächste raus, dann haben immer
noch alle die gleiche Farbe. (!) Funktioniert nicht für
Bem.: Die Konstruktion der Modelle (
!
) hing von willkürlichen Wahlen (
) ab. Wollen
zeigen, dass es im Wesentlichen eindeutig ist.
Theorem: Dedekind’scher Rekursionssatz (wird evtl. später bewiesen)
Sei A Menge,
Ist (
.
) ein Modell natürlicher Zahlen, so
( )
Kor.:
( ( ))
( ( ))
„Ein i kei “
Seien (
) und (
) zwei Modelle der natürlichen Zahlen. Es gibt genau eine
mit ( )
bijektive Abbildung
und ( ( ))
( ( ))
Bew.: Wende D. Rekursionssatz an auf
⇒
Beh.:
mit ( )
Abbildung
und ( ( ))
( ( ))
ist bijektiv
Bew.: Vertausche Rollen von (
) und (
). Konkret:
. Wende den D.R. an auf das Modell (
Abb
mit
Betrachte
( ( ))
(
( ))
. Es gilt:
i) (
)( )
ii) (
)( ( ))
((
( )
( ( ))
)( ))
( )
( ( ( ))
( ( ( )))
( ( ( ))
)
.
Lineare Algebra 1
Weil aber
S e i t e | 14
( )
auch erfüllt: i)
( ( ))
, ii)
( ))
(
Eindeutigkeitsaussage im DR (mit
) liefert
Analog beweist man:
⇒
bijektiv (
Umkehrabbildung)
Bem.: Je zwei Modelle (
) und (
) natürlicher Zahlen sind kanonisch äquivalent.
Ab jetzt übliche Bezeichnungen: (
Def.:
Sei
eine Verknüpfung auf M ist eine Abbildung
(
Not.:
Def.:
), S Nachfolgerfunktion
)
Eine Verknüpfung
heisst:
(
i)
assoziativ
ii)
kommutativ
(
Bsp.:
)
(
)
(
)
)
(
)
(
) (
)
(Komposition von Selbstabbildungen)
(
Beh.:
)( )
( ( ))
ist assoziativ
(
Bew.: [z.z..: sind
gilt: ((
(
(
)
), so gilt: (
))( )
(
)
)( ( ))
(
)]
( ( ( )))
((
)( ))
))( )
Bem.: Komposition von Selbstabbildungen ist im Allgemeinen nicht kommutativ:
z.B.:
(
)
(
)
Beh.:
Def.:
Bew.: (
)( )
(
)( )
Sei
eine Verknüpfung auf
(
) heisst Halbgruppe
(
) heisst kommutative Halbgruppe
ist assoziativ
ist assoziativ und kommutativ
(
heisst neutrales Element
)
ist neutrales Element in der Halbgruppe (
Bsp.:
( ) )
Bem.: In einer Halbgruppe gibt es höchstens ein neutrales Element.
Bew.: Sind
neutral, so gilt:
Prop.: Addition auf
Auf
gibt es genau eine Verknüpfung
( )
mit
die (
(
)
,
) zu einer kommutativen Halbgruppe mit neutralem Element 0 macht.
Lem.: Kürzungsregel
Sind
natürliche Zahlen mit
, so gilt:
Bew.: (Induktion über k)
( ): Sind
mit
, so gilt:
.
.
Lineare Algebra 1
S e i t e | 15
I) „ ( ) ri
i “:
II) „ ( )
(
(
)
(
)
(
)
(
)
(
, weil 0 neutrales Element ist.
)“:
)
(
(komm.)
)
( )
(assoz.)
( )
⇒
( )
da Nachfolgerfunktion injektiv ist, folgt daraus, dass
.
11.10.2011
{ }. Dann
Lem.: Sei
{ }
Bew.:
{
i)
mit
{ }∣
}
√
ii)
o
(
o
Prop.: Multiplikation in : Auf
)
gibt es genau eine Verknüpfung :
mit folgenden
Eigenschaften:
i)
( )
und
(
ii)
)
(
)
(
)
,
,
(assoziativ)
iii)
(kommutativ)
(
iv)
)
(
)
(
),
(distributiv)
Vereinbarung: bindet stärker als +
Def.:
Seien
.
Prop.: Die e a i n ≤ e inier eine lineare Ordnung auf
.
Bew.:
1) „re e iv“:
2) „ ran i iv“:
(
3) „an i
(
)
(
e ri
“:
)
)
⇒
Beh.:
Bew.: Wenn nicht, dann OE (ohne Einschränkung)
(
)
(
)
, da 0 kein Nachfolger
4) „ inear“:
Definiere
{
}
|
Beweis mit vollständiger Induktion:
i)
da
ii)
Beh.: ( )
Bew: Sei
Lineare Algebra 1
S e i t e | 16
a)
, so m=n
≤n≤n+1
n+1 M I k≠ 0
(
)
(
)
b)
Peano-Bedingung
Lem.: Die Or n n re a i n ≤ i
n
M=
n eü i
.(
)
Bezeichnungen:
i)
ii)
Lem.: Kürzungsregel für Multiplikation:
Seien
mit
Bew.: Sei
(z.z.:
. Dann gilt
oder
.
)
er
i
(
)
Kürzungsregel Addition
Wäre
(
)(
)
)
Eine Menge M ist endlich
Def.:
,
Bsp.:
{
{
M ist nicht unendlich.
}
|
}
{
Lem.: i)
ii)
Def.:
i
, so
(
Def.:
Wegen
}
ist endlich
Zwei Mengen M, N heissen gleichmächtig :
Lem.:
und
Bew.: “⇐ „:
„ “:
bijektive Abbildung
sind gleichmächtig
,
ist linear geordnet
Sei
OE (ohne Einschränkung)
ijek iv
weil
, gilt
Sei
ϕ‘ i injektive Selbstabbildung von
(
) andererseits
bijektiv, weil
(
endlich (Schubfachprinzip)
)
obligatorisch
Def.:
Sei M eine Menge: Wenn es
hat die Mächtigkeit
gibt mit M und
.
Bem.: Diese Definition ist problematisch!: Ist
eine Bijektion, so | |
.
eine Bijektion, so | |
Ist
, d.h. | | ist wohldefiniert.
Muss beweisen:
U
gleichmächtig sind, so sagen wir M
„Wohldefiniertheit“ v n |M| ( ür en i e Men en)
Sind
und
Bijektionen, so gilt
e ei en
.
i
ei en:
Lineare Algebra 1
𝜑
𝑚
S e i t e | 17
𝜓
𝑀
𝑁
𝑛
𝜓 𝜑
(Diagramm kommutiert)
i a
i i n v n ijek iven
und
in
ei
Notation: | |
Def.:
Sei (
n en ijek iv
i ⇒
ä
a
i
Bijektion
.
) eine geordnete Menge (beliebige Ordnungsrelation). Ein Element
minimales Element von (
)
gilt: falls
heisst
, so ist
).
(d.h.:
Bem.: minimale Elemente existieren nicht immer, und wenn sie existieren, müssen sie nicht
eindeutig sein.
Prop.: Wohlordnungssatz
Jede nicht-leere Teilmenge
ei
ein
ini a e E e en ( e
≤)
Bew.:
( ): Wenn
, so besitzt M ein minimales Element.
I)
( ) ist wahr:
II)
( )
i
(
):
( ( ))
{
⇒
( )
ei
{
( ) richtig
Prinzip der v.I.
Ist
ini a ür ≤
ini a e E e en
}
i
ini a e E e en v n M
.
nicht leere Teilmenge, so
M ei
ini a e E e en e
Def.:
i) Eine Menge M heisst abzählbar :
Bijektion
ii) Eine Menge M heisst überabzählbar :
(
sind gleichmächtig).
M ist weder endlich noch abzählbar.
( ) ist überabzählbar:
Prop.:
Bew.:
i) Potenzmenge von M nicht endlich:
{ }
( )
( )
Definiere Abbildung
( )
({ })
ist injektiv, nicht surjektiv, da { }
( ( ))
{
}
( )
{ }
( ) ist nicht endlich.
ii) Potenzmenge von M nicht abzählbar:
Wäre ( ) abzählbar, so gäbe es eine Bijektion
( ); insbesondere wäre ψ
surjektiv.
{
Betrachte Menge
ψ
rjek iv
|
i
( )
-
„ja“:
-
„nein“:
( )
surjektive Abbildung
( )}
( )
Frage:
( )
( )
( ).
( )
?
Lineare Algebra 1
S e i t e | 18
13.10.2011
Bem.: Man kann (leicht) zeigen:
Def.:
i)
M unendlich
ii)
M endlich
injektive Abbildung
i | |
Sei
. Eine Familie (von Elementen) in M mit Indexmenge ist eine Abbildung
.
(
Not.:
)
()
ist Abkürzung für
speziell:
{
i)
} (
)
(
) sind geordnete Paare
konkret: 2-Tupel (
(
II)
Def.:
)
) (n-Tupel in M)
sind Folgen in M
Sei
{(
)
{
konkret:
formal: (
)
} Produkt(menge) zu der Familie von Mengen (
|
},
{
}
mit ( )
sind Abbildungen
speziell:
(
:
{
Not.:
}
{
{(
konkret :
Bsp1:
{(
Bsp2:
{(
)
}
)|
)|
{
({
}
}
)
}
}
)|
}
Theorem: Dedekind’scher Rekursionssatz (allgemeine Version):
. Sei ( )
Sei A eine Menge,
eine Folge von Selbstabbildungen
( )
U
r
n
e De ekin ’
(
)
.
eine Folge von Abbildungen
e( )
( ( ))
en ek r i n a e :
Sei A Menge mit (ausgezeichnetem Element)
Sei ( )
.
in
(
i:
Zusammenhang:
( )
Bem.:
ist erlaubt
.
)
man erhält alte spezielle Version.
q-adische Darstellung (natürlicher Zahlen):
Lem.: (Division mit Rest): Sei
mit
mit:
Bew.:
i)
„E i en :“ In
1.
( ):
2.
( )
k i n ü er n:
(
2 Möglichkeiten:
):
,
{ }. Dann gibt es eindeutig bestimmte Zahlen
)
Lineare Algebra 1
1.
:
2.
:
S e i t e | 19
(
)
(
ii) „Ein e i kei “: ei
)
,
z.z.:
OE
( linear geordnet)
(
)
1. Fall:
2. Fall:
Def.:
{
Sei
}
. Dann definieren wir rekursiv (induktiv)
(Bitte formalisieren mit allg. De ekin ’
en ek r i n a )
{
Prop.: q-adische Darstellung natürlicher Zahlen: Sei
{ }
(
)
(
Not.:
(
}
)
, so dass:
)
Bsp.:
i)
( e ner
{
}
(
konkret:
ii)
(
e )
)
(
q = 2 (Dualsystem):
{
)
)
}
konkret: (
)
(
(
)
)
Bew.: „E i en “: Induktion / n
I)
„ (1)“: 1 = 1 (
II) „ (n)
)
A(n+1)“:
(Division durch q mit Rest)
;
(
)
{
( ( ))
(
)
„Ein e i kei “: ei
{
, wobei
}
)
(z.z.:
OE
}
(
)
Eindeutigkeit bei Division durch q mit Rest
(
(
)
er
) oder m = 0.
er
Lineare Algebra 1
S e i t e | 20
(
Induktion / m
)
(
)
) (
(
oder
)
oder (Eindeutigkeit bei DR)
Eindeutigkeit.
Zwischenbem.:
{
}
{
(
Bsp.:
(
}
)
)
(
)
(
)
)
((
)
18.10.11
EXKURS 2
kurze Wiederholung:
{(
- (
heissen Vektoren
√
(
Norm von x bzw. Abstand vom Nullpunkt zum Punkt x
)
- ⟨
-
n-dim. reelle Raum
)
- || ||
-
}
)|
⟩
(
-
Abstand von x zu y
∑
inneres Produkt von x und y
⟨ ⟩
)
|| |||| ||
)
(
heissen orthogonal
⟨
⟩
(
)
- im
⏟
:
| ⟨⏟
{
( )
{
⟩
}
(
)
(
( )
|
}
(1)
= bilde Menge aller Vielfachen von w, verschiebe diese nach v
(2)
= bilde Menge aller Vektoren orthogonal zu a, verschiebe diese nach v
Ebenen im
)
:
Analogie zu Geraden im
Bilde Menge aller Linearkombinationen
, verschiebe diese Menge nach v,
Problem:
Gerade
also: verlangen
Def.:
,
heissen linear unabhängig
sind
Lem.:
Bew.: „ “ (
mit
n
linear unabhängig
)
i
Lineare Algebra 1
S e i t e | 21
(
„⇐“
(
Def.:
)
)
Ebene
mit
linear unabhängig und
Prop.:
i)
E ene
ii)
h Ebene,
i
(
iii)
)
, so dass
(
iv)
inear na
(
)
Gerade g mit
)
(
(
)
}
{
Bew. iv):
{(
, nämlich
mit
∣
)
„⇐“ Sei
mit
)
E ene
{(
än i
|⟨
)
}
⟩
}
|
eine Komponente ungleich 0; wir behandeln den Fall
(
)
(
)
(
)
z.z.:
„
(
“: ei
(
)
(
)
(
)
⟨
⟩
„
(
“:
)
setze
(
„ “: Sei umgekehrt
„
)
. Setze
{
Definiere
n
}
|
“ ei
⟨
⟩
„
⟨
⟩
⟨
⟩
⟨
⟩
⟨
⟩
⇐ und ii).
“:
a
)
∣⏟
Bemerkung/Beispiel:
i)
{(
⏟ }
⟨
⟨
|⟨
(
)
gesucht:
mit
⟨
⟩
⟨
⟩
wähle
⟨
⟩
⟩
⟩
{
ii)
)
⟩
(
⟨
⟩}
)
{
(
|⟨
)
⟩
}
⟨
⟩
Lineare Algebra 1
⟨
⟩
(
{
S e i t e | 22
)
(
)(
)
}
|
iii)
n
⟨
⟩
⟨
⟩
(
) eine ö n
heisst Vek r r
Def.:
k v n
n
‘
Vektorprodukt
(
)
heisst Vektorprodukt von v und w
Lem.:
i)
(
ii)
(
iii)
⟨
)
(
)
(
)
⟩
(
⟨
)
)
⟩
iv)
‖
v)
‖
‖ ‖ ‖ ‖
vi)
⟨
⟩
inear a
Def.:
än i
E enen
ür a e
|⟨
Bem.: h gegeben durch {
⟨⏟
⟩
⟨⏟
⟩
}
⟩
⟨⏟
, denn:
⟩
Lem.:
i)
i
n e
i
|⟨
⟩
(
)
(
) ür a e
, d.h. der orthogonale
Abstand ist der Kürzeste.
ii) Ist h gegeben durch {
in (
)
()
(
|⟨
)
}
⟩
‖ ‖
|
Bew.:
{
i)
⟨
⟩
⟨
|⟨
⟩
⟩
⟨
⟨
⟩
(
)
‖
‖
ii)
(
⟨
⟩
‖
‖
‖
‖
‖
⟩
‖
⟩
‖
⟨
⟩
⟩
⟩
⟨
‖
)
⟩
⟨
⟨
‖
‖
⟨
}
‖
‖
‖
‖
(
)
⟨ ⟩
‖ ‖
| |‖ ‖
20.10.2011
Wiederholung:
-
E ene
i
inear na
än i
- im
{(
)
|
}
{
|⟨
⟩
}
Lineare Algebra 1
S e i t e | 23
, z.B.
d.h. Ebenen im
Prop.:
sind durch lineare Gleichungen beschreibbar.
Gera e
E enen
i
Bew.:
(
Ansatz:
Beh.:
)
sind linear unabhängig:
⟨
⟨
⟩
⟩
⟨
⟩
⟨
⟩
‖
‖
‖ ‖
Beh.:
Bew.:
na
n r ki n
( )
⟨
⟩
( )
( )
⟨
⟨
( )
⟩
⟩
⟨
⟨
⟩
⟩
⟨
⟨
⟩
⟩
⟨
⟨
⟩
‖
‖
⟩
noch zu zeigen: Gegeben
i
falls
(
(falls
(
)
)
(
))
erfüllen alle die Eigenschaften
Def.:
Bsp.:
Hyperebene
(
)
{(
)
Geraden im
mit
}
|
, Ebenen im
,
Gerade ist keine Hyperebene, aber Schnitt von zwei Hyperebenen, d.h. durch zwei lineare
Gleichungen beschreibbar.
Def.:
heisst linearer Unterraum
ere enen
Bsp.:
{
Seien
⋂
i
er
}
|
{
zwei Ebenen:
)
)
)
)
Setze
(
d.h.
)
(
) Gerade
Bemerkung: L linearer Unterraum,
(
denn:
)
(
⋂
definiert durch ⟨
⟩
)
|
}
Lineare Algebra 1
⟨
(
⟨
⟩
S e i t e | 24
)
(
⟨
)⟩
⟩
⟨
Prop.: Lineare Unterräume im
⟩
, Ebenen, Geraden, Punkte
Bew.:
i)
, Ebenen, Geraden, Punkte sind lineare Unterräume
klar für
(Def.), Ebenen (sind Hyperebenen), bewiesen für Geraden
für Punkte:
, wähle
ür
{ }
Beh.:
„ “: na
n r ki n
„ “:
( )
⟨
( )
( )
⟩
( )
⟨
⟨
⟨
⟩
⟩
⟩
( )
⟨
⟨
⟩
⟩
⟨
⟩
( )
⟨
⟨
⟨
⟩
( )
‖ ‖
⟩
⟨
⟨
⟩
‖
‖
⟩
⟩
e
ii) L linearer Unterraum
Ebene, Gerade, Punkt
wenn L = Punkt, Gerade, oder Ebene, sind wir fertig.
Nehme an: L kein Punkt, keine Gerade, und keine Ebene
z.z.:
(da L kein Punkt)
Gerade g mit
(
, nämlich
(
⇒
)
)
da L keine Gerade ist folgt:
Ebene h mit
(
und
(
es gilt:
(
)
(
)
)
(
)
(
)
, sonst
)
(
⇒
Sei
zu
)
(
Sei h definiert durch ⟨
, d.h. ⟨
⟨
) mit
(
)⟩
(
)
)
⟩
beliebig.
(
⇒
)
linear unabhängig, da angenommen
(
⟨
(
, nämlich
⟨
⟨
⟩
⟩
⟩
⟩
, d.h. ⟨
⟩
⟨
⟩
erfüllt
⟨
⟩
(
⟨
)
⟩
⟨
⟩
(
)
(
)
⟨
⟩
Lineare Algebra 1
S e i t e | 25
abschliessende Bemerkung: Analytische Geometrie: Untersuchung geometrischer Verhältnisse
(
an Winke …) inearer Un errä
(
ei
⟨
⟩).
(
analytisch = rechnerisch behandelbar – nach Wahl von Koordinaten
) – durch
Gleichungen der Form
( )
∑
besser: lineare Geometrie, historisch einer der Ausgangspunkte der linearen Algebra.
25.10.2011
3. Aufbau der Zahlensysteme
Def.:
Sei (
) Halbgruppe. Sei
neutrales Element,
(
Inverses von a
existiert höchstens ein Inverses. Denn: sind
(
)
(
heisst
).
n
Bem.: Zu gegebenem
beliebig. Ein
invers zu a, so gilt
)
Not.:
Bsp.:
Sei
(
,
),
(
ist neutrales Element. Welche
hat Inverses in (
(
) )
)
(
) ist Halbgruppe,
(
) haben Inverse?
ist bijektiv (Inverses ist Umkehrabbildung
)
Lem.: Sei (H, ) Halbgruppe, e neutral. Dann gilt:
i)
(
)
ii)
wenn
, die Inverses haben
und (
Inverse besitzen, so auch
)
.
Bew.:
i)
und
besitzt Inverses, nämlich a
(
ii)
) (
(
Def.:
)
) (
)
))
Für
( )
{
( )
) eine Halbgruppe mit neutralem Element e ist, so
(
ijek iv }
)∣
{
}
}) heisst n-te symmetrische Gruppe
({
( )
{
:
}
Es gilt: |
)
( )
( )
{
(
( ) ) ist eine Gruppe (Permutationsgruppe von M)
Man sieht sofort (
konkret:
)
ein Inverses besitzt.
( )
sei
(
genauso
Eine Gruppe ist ein Paar (G, ), wobei (
dass jedes Element
Bsp.:
(
(
(
|
{
}
( )
( )
{
}
) (
| |
{
}
}
) (
)
Lineare Algebra 1
Def.:
Eine Gruppe (
S e i t e | 26
) heisst abelsch (kommutativ)
(
)
Bsp.:
ist abelsch
{
.
})
({
{
}{
({
}) ∣
}
}
für
ist nicht abelsch.
Beweis: man gibt
Not.:
ist kommutativ
an mit
( ( )
( )
( )
( ( )
( )
( )
( ))
( )
( ))
( )
Übliche Notation bei abelschen Gruppen:
+ statt
(Verknüpfung)
0 statt e (neutrales Element)
Bsp.:
i)
(
) ist eine abelsche Gruppe
ii)
(
) ist abelsche Gruppe
Bem.: Sei (
(
Bsp.:
) Gruppe, | |
) ist abelsch
. Dann kann man beschreiben durch Gruppentafel:
Gruppentafel symmetrisch bezgl. Diagonalen (
{
Gruppen mit 2 Elementen:
e
a
e
e
a
a
a
?
} (e soll neutrales Element werden)
{
Annahme:
(
id
σ
id
id
σ
σ
σ
id
(
) (
)
(
)
)
(
)
)
Lineare Algebra 1
Def.:
Seien (
(
)(
) zwei Gruppen. Eine Abbildung
)
( )
(
Not.:
S e i t e | 27
(
)
(
)
( )
{
)
(
(
)∣
i Gr
}
i
(Homomorphismus)
ijek iv }
( )∣
(Automorphismus)
heisst:
i)
Monomorphismus :
ii)
Epimorphismus :
surjekiv
iii) Isomorphismus :
bijektiv
injektiv
) mit | |
ist isomorph zu
{
Bew.: Sei (G, ) eine Gruppe mit | |
( )
)(
r
(Endomorphismus)
Ein Gruppenmorphismus
Lem.: Seien (
en
)
{
Lem.: Jede Gruppe (
heisst Morphismus
.
} e neutrales Element. Definiere Abbildung:
( )
(
) Gruppen,
) Dann gilt:
( )
i)
(
ii)
Bew.:
)
( )
i)
wegen (
(
)
)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ( )
( ( )
( ) )
( )
(
( ( )
( )
(
( )
)
( )
( )
( )
ii)
( ))
)
( (
( ) )
(
)
(
)
( )
( ))
)
( )
(
)
Bsp.:
{
}, e neutral
nachrechnen:
(
)
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
(
( )
( )
(
)
)
( )
Konstruktion: Neue Gruppen aus alten:
Sei (
)
[
(
)
(( )
Bsp.:
(
) (
( )
(
mit
)]
)
(
)
)
(
(
( )
eine Familie von Gruppen. Definiere
)
(
)
)
((
)(
))
(
)
Lineare Algebra 1
Lem.: Sei (
)
( )
eine Familie von Gruppen. Dann definiert komponentenweise Multiplikation
(
)
(
)
( )
eine Gruppe (
Not.:
(
(( )
)
( )
)
(
)
).
Diese heisst Produkt der Familie.
endlich und ist auch | |
Bem.: Sind alle
|
Def.:
S e i t e | 28
∏
|
Sei (
, so ist die Produktgruppe endlich mit
| |.
) Gruppe. Eine Teilgruppe
definiert eine Untergruppe
i)
ii)
iii)
Bem.: Wenn
Untergruppe definiert, so gilt:
(
i)
|
ii)
ist wohldefinierte Abbildung und definiert eine Gruppenstruktur
(d.h.: (
Bsp.:
)
(
|
)) ist eine Gruppe.
)
{
∣
Beh.:
era e }
{
}
definiert Untergruppe:
Bew.:
i)
ii) √ (
i i nv n
ei era en a en er i
iii) √ ( enn an e a
(
era e i
ann i a
ie er eine era e a )
Inver e
era e)
) ist eine Gruppe
27.10.2011
Not.:
Multiplikationssymbol
wird bei (multiplikativ) geordneten Gruppen in der Regel
weggelassen:
(
)
( ) ( )
werden in er e e a en: „ ei G eine Gr
e“ a „ ei (
) eine Gruppe mit neutralem
Element e“.
Neutrales Element wird mit 1 (statt e) bezeichnet (wenn Gruppe nicht abelsch).
Wenn die Gruppe G abelsch ist, schreiben wir das Verknüpfungszeichen als +
(
).
Das neutrale Element bezeichnen wir im abelschen Fall mit 0.
z.B. (
Bem.:
Def.:
) mit 0 als neutrales Element.
Untergruppe
Sei G Gruppe,
definiere rekursiv: ∏
∏
speziell:
∏
∏
durch:
(∏
)
Lineare Algebra 1
Def.:
S e i t e | 29
Ist G abelsch, so definiere rekursiv ∑
∑
∑
(∑
durch:
)
∑
speziell:
Prop.: (Lösbarkeit von Gleichungen): Sei (
beliebige
) Halbgruppe. G ist genau dann eine Gruppe, wenn für
mit
Bew.: „ “: Sei G Gruppe,
beliebig. Dann setze:
,
(
Dann gilt:
)
(
„⇐“: Sei (
(
)
)
(
)
) Halbgruppe, in der die Gleichungen
Schritt 1: (Finde neutrales Element): Wähle
mit
Beh.:
und
lösbar sind.
beliebig.
. Definiere
.
e ist neutrales Element.
Bew.: Sei
beliebig (z.z.:
)
Sei y Lösung der Gleichung
(
Dann gilt:
speziell gilt:
Sei
.
)
(
)
.
mit
( gem. Voraussetzung).
(
Dann gilt:
)
(
)
ist neutrales Element.
Schritt 2: (Existenz von Inversen): (z.z.: jedes
Sei
besitzt ein Inverses)
beliebig.
mit
und
z.z.:
(
es gilt:
)
(
)
( )
ist Invers zu .
Erinnerung:
(
Gruppen,
)
heisst Gruppenmorphismus
( ) ( )
Lem.: Sei
( (
)
( )
Gruppenmorphismus,
(
Dann sind
)
und ( )
( )
Untergruppen.
Untergruppen.
Bew.:
i)
„
(
)
Un er r
(
a)
e“: Sei
), weil ( )
(
b) Seien
(
wegen ( )
(weil
). Dann gilt: ( )
wegen ( ) ( )
c) Sei
neutrales Element.
(
)
). Dann gilt: ( )
(
)
Untergruppe)
( )
(
⇒
Un er r
)
⇒
Un er r
(
)
e
( )
e
( ) ( )
)
Lineare Algebra 1
ii) „ ( )
Un er r
( )
a)
S e i t e | 30
e“:
( )
,
( )
b) Seien
( )
( ) Elemente in ( ) (
).
Dann gilt:
( ) ( )
(
)
( )
(
)
(
( )
( )
( )
({ }) heisst Kern von .
( )
( )
ii)
( ) heisst Bild von .
( )
( )
Lem.: Sei
sind Untergruppen
Gruppenmorphismus. Dann gilt:
Bew.: „ “: Sei
( )
injektiv, ist
( )
⇒
( )
( )
{ }; seien
mit ( )
( ) (
(
( )
{ }
( ) ( )
Seien
( )
( ) Untergruppe von G ist.
( ), weil
„⇐“: Sei
{ }
( )
ist Monomorphismus (injektiv)
Bsp.:
)
Gruppenmorphismus
i)
Kor.:
( )
( ) mit
( )
Sei
)
( )
( )
c) Sei
Def.:
(
)
( ) (
)
)
(
(
)
( )
{ }
)
endliche Gruppen der gleichen Ordnung.
Wenn man einen Gruppenmorphismus
in G n G‘ i
Lem.: Sei G Gruppe, ( )
r
definieren kann mit
( )
{ },
(via ).
eine Familie von Untergruppen
Dann definiert ⋂
.
eine Untergruppe.
Bew.:
a)
neutral
b)
⋂
c)
⋂
⋂
⋂
⋂
Konstruktion: Sei G Gruppe,
beliebige Teilmenge. Dann ! kleinste Untergruppe von G, die T
enthält: ⟨ ⟩.
⟨ ⟩
⋂
Un er r
U
e
⟨ ⟩ heisst die von T in G erzeugte Untergruppe.
Beispiele:
i)
. Dann gilt: ⟨ ⟩
ii)
beliebig,
⟨{ }⟩
{
∣
.
{ }
{ }. Dann gilt:
}
{(
) ∣
}
Lineare Algebra 1
(
konkret:
),
⟨{ }⟩
{
S e i t e | 31
.
}
∣
{
(
}
)∣
{
}
∣
Ganze Zahlen:
- Wir kennen die Halbgruppe (
) mit neutralem Element 0.
- Wollen Gleichungen lösen:
→ e
Idee:
ni
,
mit
z.B.: (
i
.
)
Erweitere den Zahlenbereich so, dass Lösungen dort existieren,
d.h. zu Zahlenbereich (
konkret: nehmen zu
), der Gruppe ist, die (
alle Lösungen von
) als Unterhalbgruppe enthält.
dazu.
Hat man eine Gruppe, in der alle Gleichungen
(
eindeutig:
lösbar sind, so sind die Lösungen
).
aber:
⇒
(
)
(
)
Ansatz: betrachten Paare (
(
)
(⏟
)
⏟
)
(
Definiere Relation auf
(
)
)
(
)
:
(
)
01.11.2011
Lem.: Die Relation
ist eine Äquivalenzrelation auf
.
Bew.:
i)
„re e iv“: (
ii)
„
)
)
(
(
)
(
(
)
)
(
(
)
also: (
)
)
„ ran i iv“: Seien (
iii)
), weil
“: ei (
e ri
(
(
)
(
)
) und (
)
(
(
Repräsentanten der Äquivalenzklasse [
[
mit ( )
Bew.: Seien
]
[
]
(
)
(
mit [
] (eigentlich: [(
] sind die Paare (
)
)
mit
)
(
(
(
.
] ist injektiv.
)
)
, für die gilt:
( ).
)
)
)]).
}
)
Lem.: Die Abbildung
[
)
] hat folgende Repräsentanten: (
]∣(
)
(
Bsp.:
{[
)
)
bezeichne Äquivalenzklassen von (
Def.:
(
,
Not.:
z.B.: [
)
injektiv .
Lineare Algebra 1
mit der Teilmenge { [
Bem.: Benutzen , um
(Sei
Ziel.:
[
)
]
Wollen
S e i t e | 32
z.B.:
]∣
[
} zu identifizieren.
]
zu Gruppen machen, d.h. wollen Verknüpfung
definieren, so dass:
|
Addition auf
d.h.: [
]
[
( )
]
[
( )
]
)
][
([
Ansatz:
(
ist.
])
[
]
Problem: Wohldefiniertheit
zu zeigen: Wenn [
[
]
Sei [
]
[
(
]
)
[
)
(
)
(
)
(
)
(
(
)
)
] , dann gilt:
[
)
] sind: (
]
[
]
)
) ist abelsche Gruppe.
Bew.:
i)
)
(
Bem.: Repräsentanten von [
Prop.: (
[
]
(
(
]
]
] [
)
] und [
[
[
(
]
ist wohldefinierte Verknüpfung.
ia iv“: [
„a
[
]
(
)
[
ii) „k
([
]
[
(
)]
[
]
([
a iv“: [
]
[
]
]
denn: [
]
]
[
]
]
)
[
])
(
[
[
[
iii) „ne ra e E e en “: [
[
[(
]
[
])
]
)
]
]
]
[
]
[
]
[
]
gilt: [
]
]
[
]
(Umkehrrichtung gilt auch, weil kommutativ)
(Achtung: [
iv) „Inver e“:
Sei [
]
]
d.h. das zu [
[
Def.:
]
[
]
)
beliebig
Dann gilt: [
Not.:
]
[
]
[
]
[
]
[⏟
inverse Element ist [
].
⏟
]
[
])
[
]
]
Subtraktion auf
[
]
[
]
[
]
( [
])
[
]
[
]
]
( [
speziell: Seien
identifizieren a mit [⏟
]
mit [⏟
( )
Dann gilt: ( )
( )
]
( )
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
Lineare Algebra 1
S e i t e | 33
[
übliche Bezeichnung:
[
] für
]
Multiplikation auf :
Wollen Multiplikation
fortsetzen zu Multiplikation:
Idee:
(
[
) (
] [
.
)
]
(
)
[
]
Prop.: Die Zuordnung
][
([
])
[
]
definiert eine Multiplikation auf , die die Multiplikation
i)
) ist eine kommutative Halbgruppe mit neutralem Element [
(
ii)
Def.:
fortsetzt, so dass gilt:
gilt:
(
]
[
)
(
)
(
)
Anordnung in :
Sei
,
[
konkret:
i [
]
]
(
[
]
i [
]
(
i
Lem.: (
[
)
]
[
]
)
) ist linear geordnet.
Lem.: Seien
. Dann gilt:
i)
ii)
Bew.:
i)
(
)
(
)
(
ii)
)
Not.:
| |
{
Betrag v n α
Lem.: Division mit Rest
Seien
| |
{
Bew.:
}
∣
.
Beh.:
Bew.:
[
]
[
[
]
]
[
[
]
]
]
Lineare Algebra 1
S e i t e | 34
[
]
1. Fall:
2. Fall:
Wohlordnungssatz
minimales Element
i
| |
Beh.:
| |
Bew.: Wenn nicht, so ist
i) | |
(
weil
)
minimal ist, gilt
ii) | |
(
⇒
r
)
ini a
iii) Eindeutigkeit:
⟨{ }⟩
Erinnerung:
)
|
|
ist die von
{
explizit: ⟨ ⟩
(
in
| |
mit
|
|| |
|
|
| |
erzeugte Untergruppe (schreibe ⟨α⟩ statt ⟨{ }⟩)
} ganzzahlige Vielfache von .
∣
Prop.: Untergruppen von
Sei
eine Untergruppe. Dann
{ }
Bew.:
⟨ ⟩
{ }
Ist
⟨ ⟩
i
{ }
{ })
(
| |
(
{ })
.
Wohlordnungssatz
minimales Element
.
⟨ ⟩
Beh.:
⟨ ⟩
Bew.: „ “:
{ }
„ “: ei
mit
, weil
;
| |
(
)
minimal.
[
⟨ ⟩]
03.11.2011
Primzahlen:
Def.:
Seien
| (
Bem.:
:
ei n)
i
|
.
Dann gilt:
Def.:
Sei
) (
(
{
)
}.
(
i : |
|
er | )
Lineare Algebra 1
S e i t e | 35
Lem.: 2 ist Primzahl
mit |
Bew.: Seien
. Wenn
⇒
mit
(
i
(
)(
)
(
)
(
(
(
(
)
)
(
{
)
)
)
i
Prop.:
)(
)
} ist genau dann Primzahl, wenn gilt: ist
|
er
er
er
er
{
„⇐“: Es gelte für
{
}: Wenn |
∣
(existiert, da
(
)
(
)
(
)
|
|
Also: entweder
er
:
|
{
⇒
}⇒
|
Bem.: |
{
|
(
)
}. Dann gibt es eine Primzahl p mit | .
Bew.: (mit Wohlordnungssatz)
{
{
}∣
| }
Beh.:
Bew.: Wenn nicht, so
minimal (Wohlordnungssatz)
|
keine Primzahl
|
|
.
{
)
)
⇒
, da
(
| , d.h. p Primzahl)
minimal
|
mit
}
-
⇒
Beweis: (durch Widerspruch): Wäre
Es gilt:
}.
a er |
|
er
i
(dann folgt |
Wähle
{
so
n
Möchte zeigen:
Lem.: Sei
}.
mit |
Bew.: „ “: Sei p Primzahl,
|
{
mit | , so gilt:
}
( )
|
.
Lineare Algebra 1
S e i t e | 36
Prop.: Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Bew.: (beliebte Prüfungsaufgabe!)
Angenommen, es gibt nur endlich viele Primzahlen. Seien diese
∏
Betrachte
. n ist keine Primzahl, weil
Def.:
{
|
Lemma
{
}
.
}
∏
{
Seien
.
∏
(
|
)
}.
heissen teilerfremd
(
|
{
Prop.:
{
|
})
} sind teilerfremd
Bew.: „⇐“: Seien
|
, sei
(
{
|
{
„ “:
|
)
(
)
(
)
}.
{ }∣
}
Es gilt:
Sei
minimal (möchte zeigen:
)
haben
(
)
⇒
(
)
(
)
.
|
(analog zeigt man:
(
konkret: 3, 2 sind teilerfremd:
|
{
⇒
}
)
Prop.: Primfaktorzerlegung
{
Sei
}.
mit
{ } mit
und
{
Bew.: OE:
- „E i en “:
}
{
{
}∣
}
z.z.:
Beh.:
Bew.: Wäre
, so
minimales Element
. Sicher ist
keine Primzahl.
.
a und b haben Primfaktorzerlegungen
a b hat Primfaktorzerlegung
.
- „Ein e i kei “:
Beh.:
Seien
seien
Wenn gilt
und
Primzahlen,
{ }
, so folgt:
.
Beweisidee: Induktion / ∑
)
Lineare Algebra 1
S e i t e | 37
08.11.2011
Ringe:
Def.:
Ein Ring ist ein Tripel (
), bestehend aus einer Menge
und zwei Verknüpfungen:
(Addition)
(Multiplikation), so dass gilt:
i)
(
) ist abelsche Gruppe mit neutralem Element
ii) (
) ist eine Halbgruppe
iii)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(Distributivität)
Vereinbarung: Multiplikation ( ) bindet stärker als Addition (+)
(
Bsp.:
(
Def.:
Sei (
) ein Ring. (
kommutativ
ii)
mit Eins
(
)
) heisst
Multiplikation ist kommutativ (
neutrales Element
)
für Multiplikation (
)
) ist kommutativer Ring mit Eins.
Lem.: Sei (
) ein Ring,
(
Bew.:
(
Def.:
(
) ist ein Ring.
i)
Bsp.:
)
. Dann gilt:
)
) genauso
Sei (
) Ring mit Eins
Inverses in (
. Ein Element
heisst Einheit (invertierbar)
)
(
)
Bem.: Wenn a eine Einheit ist, so ist das Inverse zu a eindeutig und wird mit
{
Not.:
∣
ei
Inver e in (
)}
heisst Menge der Einheiten in dem Ring (
{
explizit:
Bem.: Ist (
}
(Teiler von 1)
) ein Ring mit Eins (
{
(und dann
) mit Eins.
}
∣
{
Bsp.:
bezeichnet.
), so ist
oder
} (Nullring)).
Bew.: Ist
Ist
Bsp.:
{
, so
}
(Ring mit 2 Elementen)
{
}
neutral für +,
Eins für
+
Wenn Distributivität überprüft ist, folgt: ({
Einheiten sind {
}.
}
) ist ein kommutativer Ring mit Eins.
Lineare Algebra 1
S e i t e | 38
Restklassenringe:
Konstruktion: Sei
fest gewählte ganze Zahl.
Definiere Relation
}
∣
|
also:
Lem.:
{
⟨ ⟩
auf :
ist Äquivalenzrelation.
Bew.:
i)
„re e iv“:
ii)
„
⟨ ⟩
e ri
⟨ ⟩, weil ⟨ ⟩ Untergruppe.
, weil
(
⟨ ⟩, dann gilt
“: Sei
⟨ ⟩ auch das Inverse (
weil mit
⟨ ⟩ und
iii) „ ran i iv“:
(
)
(
)
Not.:
⟨ ⟩,
⟨ ⟩ ist.
⟨ ⟩
)
⟨ ⟩,
⟨ ⟩ auch die Summe (
weil mit
)
)
(
)
⟨ ⟩ ist.
fest:
(
)
⟨ ⟩
(a ist kongruent zu b modulo m)
Bsp.:
Sei [ ]
{
)}
(
∣
die Äquivalenzklasse von a bezgl.
(Restklasse von a modulo m).
Als Menge von ganzen Zahlen gilt:
[ ]
{
(
∣
{
)}
{
}
∣
⟨ ⟩}
∣
{
}
∣
alle ganzen Zahlen, die beim Teilen durch m den Rest a lassen
konkret:
i)
beliebig
[ ]
{
etwa: [ ]
∣
{
[ ]
∣
{
ii)
}
}
{
}
{
}
beliebig
[ ]
{
∣
}
[ ]
{
∣
[ ]
{
∣
}
[ ]
{
∣
}
}
mengentheoretisch gilt: [ ]
Beh.:
}
∣
Ist
[ ]
[ ]
; die Äquivalenzklassen sind disjunkt
, so gilt:
⋃ [ ]
| |
Bew.: Sei
beliebig. Division durch m mit Rest:
(
Bsp.:
mit
)
i)
[ ]
[ ]
[ ]
ii)
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
| |.
Lineare Algebra 1
Bem.:
S e i t e | 39
zerlegt in genau | | paarweise disjunkte
wird durch die Äquivalenzrelation
Äquivalenzklassen.
Bsp.: Einteilung in Wochentage ist die Einteilung in die 7 Äquivalenzklassen bezgl.
Bem.:
Not.:
und
sei
⟨ ⟩
Bem.: für
hat
⟨ ⟩
für
hat
Für
{[ ]
⟩
⟨ ⟩
⟨
⟩
(Z modulo m)
genau | | Elemente.
Dann gilt: [ ]
⟨ ⟩
⟨
unendlich viele Elemente:
⟨ ⟩
Definiere auf
}
∣
(
Ziel:
⟨ ⟩
sind die gleichen Relationen:
.
)
⟨ ⟩
.
{ }
eine Ringstruktur. Brauchen dazu Addition und Multiplikation.
- Addition:
⟨ ⟩
⟨ ⟩
([ ]
[ ] )
[
⟨ ⟩
([ ]
[ ] )
[
⟨ ⟩
]
- Multiplikation:
⟨ ⟩
⟨ ⟩
]
Problem: Wohldefiniertheit!
Beh1.: Addition ist wohldefiniert
Bew.: Sei [ ]
[ ]
(
[ ]
[ ] , d.h.:
(
)
)
(
(
[
)
)
]
(
[
)
]
Beh2.: Multiplikation ist wohldefiniert
Bew.: Sei [ ]
[ ]
und [ ]
[ ]
(
dann gilt:
(
)
(
)
(
(
)
[
)
)
]
(
)
⟨ ⟩
[
]
10.11.2011
Restklassenringe:
Prop. : Restklassenmenge
ist (
Für jedes
) ein kommutativer Ring mit Eins.
⟨ ⟩
Bew.:
i)
(
„a
⟨ ⟩
) ist abelsche Gruppe:
ia iv“: [ ]
[
([ ]
]
a iv“: [ ]
„k
[ ])
[ ]
([ ]
[ ]
„ne ra e E e en “: [ ]
„Inver e “: [ ]
ii) (
⟨ ⟩
[
]
[ ]
[
[
]
[ ])
[
]
[ ]
[
(
[ ],
[
[ ]
[ ]
[ ],
(
)]
[ ][ ][ ]
]
]
)]
[
[ ]
[ ]
[ ]
(
)
[(
⟨ ⟩
[ ][ ]
⟨ ⟩
⟨ ⟩
) kommutative Halbgruppe mit neutralem Element :
neutrales Element: [ ]
Rest analog zu i)
([ ] [ ]
[
]
[ ]
)
[ ]
⟨ ⟩)
⟨ ⟩
]
Lineare Algebra 1
S e i t e | 40
iii) Distributivgesetz: [ ] ([ ]
[
Def. :
]
[
Sei (
]
Bsp.:
(
[ ] [ ]
]
[ ][ ]
[ (
[
)]
[ ][ ]
]
[ ][ ][ ]
{ }
heisst Nullteiler
(
ii)
(
[ ] [ ]
[ ] [
⟨ ⟩
) ein kommutativer Ring.
i)
Bsp.:
[ ])
.(
) heisst Integritätsring (nullteilerfrei)
)
ist der einzige Nullteiler.
) ist ein Integritätsring, denn: (
) ist kein Integritätsring: [ ][ ]
⟨ ⟩
Bem.: ([ ]
[
]
[ ]
⟨ ⟩
[ ] oder[ ]
| |
{
( [ ][ ]
⟨ ⟩
mit
(
mit
⟨ ⟩ gilt:
|
⟨ ⟩ oder
| oder
gilt:
mit
Erinnerung: (
mit [ ][ ]
[ ] gilt:
[ ])
(
( |
[ ]
) ist Integritätsring
) ist nullteilerfrei
⟨ ⟩
[ ]
)
. (
Lem.: Sei
Bew.: (
)
⟨ ⟩)
| )
(| | ist Primzahl oder
)
)
) sei kommutativer Ring mit Eins. Dann heisst
Einheit
mit
[ ]
Lem.: Sei
⟨ ⟩
ist eine Einheit in
⟨ ⟩
sind teilerfremd.
Bew.: [ ]
( [ ]
⟨ ⟩
⟨ ⟩
(
mit
(
und
(
mit [ ][ ]
[ ])
⟨ ⟩)
)
mit
)
mit
(⟨ ⟩
{
sind teilerfremd.
Körper:
Def.:
Sei (
(
) ein kommutativer Ring mit Eins.
) ist ein Körper
{ } besitzt Inverses in (
).
{ }
d.h.:
Bem.: Ein kommutativer Ring mit Eins (
{ }
) ist ein Körper
Lem.: Körper sind nullteilerfrei.
Bew.: Sei (
Sei
) Körper,
)
(
)
) kommutativer Ring mit Eins. (
mit
) ist Körper
(
.
( )
mit
Bew.: (
und
multiplikatives Inverses von
Es folgt: (
Lem.: Sei (
mit
{ })
(
(
{ })
) ist Körper
.
{ } ) ist abelsche Gruppe.
{ } (
)
(ab auch nullteilerfrei)
∣
})
Lineare Algebra 1
Bsp.:
(
⟨ ⟩
S e i t e | 41
+ ) ist ein Körper.
Bew.: wissen: (
) ist kommutativer Ring mit Eins.
⟨ ⟩
{[ ] [ ]}
⟨ ⟩
[ ] hat multiplikatives Inverses, nämlich [ ].
(
Prop.: Sei
| | Primzahl
) ist Körper
⟨ ⟩
Bew.:
i)
Sei (
) ein Körper. Lemma
⟨ ⟩
(
) ist nullteilerfrei
⟨ ⟩
oder | | Primzahl.
(wir werden beweisen, dass (
dann folgt: (
ii)
Sei | |
) isomorph ist als Ring zu (
⟨ ⟩
) ist kein Körper, weil (
⟨ ⟩
Primzahl. Es gilt: (
Es reicht zu zeigen: (
(
Bew.: Seien [ ] [ ]
⟨ ⟩
[
]
[ ]
[ ][
]
[ ]⇒
]
[ ]
[ ] [ ]
[
⇒
Diese Abbildung ist injektiv, da
⟩
mit [ ][ ]
⟨ ⟩
[ ].
⟨ ⟩
[ ]
⟨ ⟩
[ ][ ]
[
[ ]
Seien (
mit [
[
]
(
]
[ ]
)]
([ ]
[ ]
⟨ ⟩
[
[ ]
[
]
nullteilerfrei ist.
[ ]
[ ]
[ ]
Körper
[ ]
) und (
i)
(
ii)
(
) Ringe. Eine Abbildung
heisst Ringmorphismus
)
( )
)
( )
( )
( )
Sind beide Ringe kommutativ mit Eins, so gelte zusätzlich:
(
iii)
)
Lem.: Sei
. Die Abbildung
Bew.: i) (
)
[
ii) (
)
[
)
[ ]
Bem.: 1)
⟨ ⟩
2)
ist surjektiv
3) Für
[ ])
[ ]
gilt:
iii) (
]
ist kein Körper
[ ] [ ]
Def.:
⟩)
⟨
[ ] liegt im Bild
Abbildung ist bijektiv
⟨
⟨ ⟩
})
Multiplikationsabbildung [ ] ist injektiv.
Beh.:
Bsp.:
) (da
⟨| |⟩
gegeben mit [ ]
⟨ ⟩
betrachte Multiplikationsabbildung [ ]
[ ]
{
) kein Körper ist (weil
) ist ein Körper für p Primzahl.
⟨ ⟩
Beweis dazu: Sei [ ]
)
⟨ ⟩
))
ist
⟨ ⟩,
]
]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
( )
( )
ist Ringmorphismus:
( )
( )
⟨ ⟩
heisst kanonische Restklassenabbildung modulo m.
bijektiv
Lineare Algebra 1
S e i t e | 42
15.11.2011
(
) sei kommutativer Ring mit Eins.
(
Subtraktion:
Vorzeichenregel:
(
i)
gilt:
)
ii) (
)
(
(
iii)
)
)
)
(
)
(
)
(
)
Not.:
- Ringmonomorphismus
injektiv
- Ringepimorphismus
surjektiv
- Ringisomorphismus
bijektiv
{ } ein
Bem.: In Körpern gibt es zu jedem
alle Gleichungen
{ }
mit
(
mit
sind lösbar.
Bem.: (Kürzungsregel in Integritätsringen): Sei R ein Integritätsring,
Dann gilt:
oder
(
Bew.:
Def.:
Sei (
)
mit
.
.
)
.
) kommutativer Ring. Eine Teilmenge
definiert einen Unterring
i)
( |
)
ii)
( |
)
Mit diesen Verknüpfungen wird (
{
Bsp.:
|
|
) ein Ring.
}
∣
S definiert kommutativen Ring ohne Eins.
Neue Ringe aus alten:
Sei (
)
eine Familie von Ringen.
Bilde mengentheoretisches Produkt
und definiere darauf Addition (+) und Multiplikation ( )
(
)
(
)
(( )
( )
)
(
)
(
)
(
)
(( )
( ) )
(
)
Man sieht sofort: (
)=∏
(
Bem.: Sind
(
und
) (
)
) ist ein Ring; sind alle
kommutativ (mit Eins), so auch
(Produktring)
Integritätsringe, so ist (
(
)
(
) kein Integritätsring.
)
Wiederholung:
Sei (
) kommutativer Ring mit Eins.
i)
heisst Nullteiler
ii) (
) heisst Integritätsring
{ } mit
0 ist der einzige Nullteiler.
Lineare Algebra 1
S e i t e | 43
Beispiele:
| |
| |
|
|
|
|
| |
⟨ ⟩
⟨ ⟩
⟨ ⟩,
⟨⟩
⟨ ⟩,
⟨ ⟩
⟨ ⟩
⟨ ⟩
⟨ ⟩
Rationale Zahlen:
{ },
Wollen Gleichungen lösen:
nicht allgemein möglich in
Idee:
(z.B.:
Erweitern Integritätsring (
ist mit
auf
(
)
Lem.:
)
(
nicht lösbar)
) zu einem Körper (
In einem Körper sind Gleichungen
Definiere Relation
beliebig
,
).
immer eindeutig lösbar mit:
{ })
(
ist eine Äquivalenzrelation auf
(
{ }).
Bew.: i) „re e iv“: √
ii) „
e ri
“: √
iii) „ ran i iv“: (
(
)
)
(
für (
[(
)
)
(
Not.:
(
(
)
)
und (
)
(
)
(
)
)
(
(
(
⇒
)
)
)
(
)
{ })
(
)]
{ ∣∣ (
)
{ }) } rationale Zahlen
(
Definiere Abbildung
Beh.:
Bew.: Seien
[(
Ziel.:
(
)
mit ( )
( )
ist injektiv
)]
[(
)]
(
)
(
)
Definiere Addition (+) und Multiplikation ( ) auf der Menge , so dass (
j ein Ringmonomorphismus wird.
Addition:
(
)
(
)
Multiplikation:
Problem: W
e inier ei …
) ein Körper und
Lineare Algebra 1
Prop.: (
S e i t e | 44
(
) ist ein Körper und
)
) ist ein Ringmonomorphismus.
∣
∣
mit {
Bem.: Identifizieren (via )
(
( )
(
}
)
Def.:
∣
∣
{
i)
}
(
ii)
Lem.: „ “ i eine ineare Or n n a
Def.:
Sei
.
Betrag von :
| |
{
Lem.: Seien
. Dann gilt:
i)
| |
ii)
|
iii)
|
|
| |
| |
iv)
|
|
| |
| |
v)
Die Betragsfunktion | |
| |
|
| || |
setzt die Betragsfunktion | |
fort.
| |
| |
Def.:
)
Division in : Seien
.
Dann ist der Quotient definiert durch
(
multiplikatives Inverses zu , d.h.:
{ }. Dann
Prop.: Sei
{ }, die teilerfremd sind, so dass
{ } ∣∣
{
Bew.:
{ }
{ }. Sei
, da
Beh.:
)
.
}
{ } so, dass
minimal, sei
sind teilerfremd.
Bew.: Wenn nicht,
mit
weil
minimal
teilerfremd
Eindeutigkeit: Sei
teilerfremd
(weil
minimal)
teilerfremd
(
(
wegen
(
)
|
| |
)
|
|
|
| ||
|
)
(
)
(
)
(
)
Lineare Algebra 1
S e i t e | 45
17.11.2011
4. Moduln und lineare Abbildungen
Erinnerung:
heisst Hyperebene
{
(
}
∣
)
Def.:
heisst linearer Unterraum
Hyperebenen mit
Beschreibung linearer Unterräume durch Gleichungen:
{
Sei
}
∣
, mit (
mit
{
⋂
{
∣
)
(
)
}
}
}
Lineares Gleichungssystem von n Unbekannten mit m Gleichungen.
i)
Präzisieren: Gleichungs(system), Unbestimmte, Lösung
ii) Formalisieren: Lineare Gestalt
Def.:
i)
Seien
(
. Eine Gleichung ist ein Paar
)
(
)
heisst Lösung der Gleichung (
ii) Ein
iii) Die Lösungsmenge der Gleichung (
{
)
( )
) ist die Faser
({ }) (
( ))
}
∣ ( )
Natürliche Fragen:
i)
( )
Existenz von Lösungen:
?
ii) Eindeutigkeit von Lösungen: |
( )|
iii) Struktur der Lösungsmenge:
( )
iv)
ere en arkei :
ri
en C
Bem.: Die Koeffizienten
?
?
er … ?
definieren eine Abbildung
∑
( )
konstruieren
definiere
explizit:
( )
⋂
∣
{
∑
(
)
{
∣∣ (
)
(
), Gleichung: (
):
∣ ( )
{
)
∑
(∑
Lösungsmenge: von (
{
(
:
( )
}
}
( )
∣
( )
( )
}
⋂
( )
(
)) }
)
Lineare Algebra 1
Beispiel: (
S e i t e | 46
):
( )
( )
( )
∣
{
}
( )
(
(
)
)
{
i.A. ist
Bem.: Ab jetzt: „ in “ = k
Def.:
Sei (
a iver in
}
i Ein
) eine abelsche Gruppe, (
) ein Ring (
‼)
Eine R-Modul-Struktur auf M ist eine Abbildung:
(
)
(
von Ring!)
mit folgenden Eigenschaften:
(
i)
)
(
ii)
)
( )
iii) (
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(Distributivität)
(Assoziativität)
)
Ein R-Modul ist ein Paar, bestehend aus einer abelschen Gruppe (
) und einer R-Modul-
Struktur
Not.:
M sei R-Modul:
Vektor,
, (
Bsp.:
{ }), dann sagt man statt K-Modul K-Vektorraum.
ein Körper (
Bem.: Ist
)
Skalar
= Multiplikation mit Skalaren
Sei R Ring,
{(
}
)∣
)(
((
))
(
)
(komponentenweise Addition)
R-Modul-Struktur auf
, ( (
))
(
)
Beweis: Eigenschaft i):
(
Seien
)
(
)
Dann gilt:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
(
( (
)
)
(
(
))
)
)
ist mit komponentenweise definierten Verknüpfungen ein R-Modul.
Weiteres Vorgehen:
i)
R-Untermoduln
ii)
R-Modulmorphismen
iii) Standard-Konstruktionen (neue R-Moduln aus alten)
Def.:
Sei M ein R-Modul. Eine Untergruppe
gilt:
.
heisst R-Untermodul
Lineare Algebra 1
S e i t e | 47
Bem.: M ist R-Modul,
R-Untermodul
|
Def.:
ist R-Modul-Struktur auf U.
ei ein in
M n M‘ -Moduln.
Eine Abbildung
i)
(
ii)
(
Def.:
)
heisst R-Modul-Morphismus
( )
)
(Verträglichkeit mit Addition)
( )
(Verträglichkeit mit Mult. mit Skalaren)
Ein abstraktes lineares Gleichungssystem ist eine Gleichung (
wobei
und
R-Moduln sind,
linear heisst:
Bsp.:
( )
),
R-Modul-Morphismus,
sind R-Moduln,
erfüllt die Linearitätsbedingungen i) und ii).

nicht-linear:
22.11.2011
Bsp.:
(
( )
) ist (i.a. nicht kommutativer) Ring mit Eins.
Endomorphismenring von M
( )
(
)( )
(
Nullelement:
)( )
( )
( )
( ( ))
,
Einselement:
Bem.: Alternative Definition: R-Modul-Struktur ist ein Ringmorphismus
( ) mit (
)
.
Die Menge aller R-Modulstrukturen auf M steht in Bijektion zu der Menge aller RingMorphismen von R nach
( ), die die Eins-Elemente aufeinander abbilden.
Kürzungsregel: Sei M ein R-Modul. Für
Bew.:
(
)
(
)
gilt: Ist
mit
, so gilt:
.
( )
(
)
Konsequenz für Vektorräume: Sei V ein K-Vektorraum (K ist ein Körper). Sei
mit
Bew.: Sei
(z.z.:
{ }
Lem.: Sei (
. Dann gilt:
oder
.
)
. Damit folgt
aus der allgemeinen Kürzungsregel.
) abelsche Gruppe. Es gibt eine kanonische -Modul-Struktur auf M.
Bew.:
ist zu definieren, danach die Bedingungen an eine -Modul Struktur zu
verifizieren.
(
Sei
. Dann definiere
{
(
)
)(
)
nachrechnen, dass dadurch auf M eine -Modul-Struktur definiert wird.
Bem.: Jede abelsche Gruppe hat eine kanonische -Modul-Struktur.
Damit ist die Theorie abelscher Gruppen gleich der Theorie der -Moduln.
Lineare Algebra 1
Bsp.:
Sei
S e i t e | 48
(
Menge, sei N ein R-Modul,
i) Beh.: (
(
(
(
)
) ist eine abelsche Gruppe
)
(
)( )
) Menge aller Abbildungen von X nach N.
)
( )
(
) (
)
( )
ii) Beh.: definiert eine (natürliche) R-Modul Struktur auf (
(
(
)
)( )
(
) (
(
)
):
)
( )
[Nullelement
]
Lem.: Sei M ein R-Modul,
Teilmenge. Folgende Aussagen sind äquivalent:
i)
definiert ein R-Untermodul
ii)
gilt:
iii)
gilt:
Bew.: ( )
( )
-
):
)
()
( )
Untergruppe
. Seien
, so gilt:
(weil U R-Untermodul ist)
-
)
): Sei
(da
(da
-
)
): [z.z.:
).
definiert Untergruppe, d.h.:
(
Es gilt:
) , da
(
(
)
(
]
)
)
(
R-Untermodul für
Dann definiert ⋂
⋂
)
(weil (
Lem.: Sei M ein R-Modul,
Bew.:
),
(
)
)
)
(Familie von R-Untermoduln).
ein R-Untermodul.
. Dann gilt:
⋂
, da
.
Seien
-
⇒
Def.:
⋂
Sei M ein R-Modul,
⟨ ⟩
beliebig. Dann heisst
⋂
das von
erzeugte Untermodul.
Lem.: Sei M ein R-Modul,
⟨ ⟩
.
⟨{ }⟩
. Dann gilt:
{
Bsp.:
}
∣
M abelsche Gruppe,
⟨ ⟩
{
∣
}
{
∣
}
.
konkret:
⟨ ⟩
{
Bew.: Definiere
Man zeigt leicht:
⟨ ⟩
⋂
-
∣
}
definiert R-Untermodul.
, gilt:
⋂
-
⋂
Lineare Algebra 1
S e i t e | 49
⟨ ⟩
⋂
-
(
Bsp.:
)
⟨ ⟩
24.11.2011
{
⟨ ⟩
Bem.:
-
,
(
: für
-
}
∣
)
{(
:
Bsp.:
(
):
Bsp.:
(
): ⟨ ⟩
{(
{ (
⟨ ⟩
(
∣
)
∣
)
{ (
)
∣
)
Gerade rx
}
}
∣
)
(eigentlich: ⟨ ⟩
}
⟨ ⟩.
-Untermoduln (von ) sind genau die Untergruppen (von (
Lem.: Sei
ein Körper,
{ }
)).
{ } oder
ein K-Untermodul. Dann gilt:
{ }. Wähle
Bew.: Sei
)
}
Lem.: Zu jedem -Untermodul
Bew.:
alle ganzzahligen Koordinaten
{ }
.
und
Bem.: für : entweder 0 oder ganz
, die nicht von der Form { } ⟨ ⟩
Frage: Gibt es -Unterräume
Def.:
Sei R ein (komm.) Ring (mit Eins). Eine Teilmenge
definiert Untermodul (
sind?
heisst Ideal im R
).
Bsp.:
ist ⟨ ⟩
i) Für jedes
ii)
ein Ideal.
ist Unterring aber kein Ideal.
(Körper haben keine Ideale ausser { }
Def.:
Seien
i)
(
ii)
(
R-Module.
)
)
(
(
Def.:
ii)
(
)
Bem.:
( )
)
)
( )
(
{
(
Bem.: Für
( )
heisst (R-Modul-)Morphismus
( )
Bem.: i), ii)
i)
( )
( )
) ∣∣
)
i
-M
-M r
i
}
) gilt:
( )
ist R-Modul-Morphismus
(
)
( )
ist Morphismus abelscher Gruppen und
Lineare Algebra 1
S e i t e | 50
Lineare Algebra ist Untersuchung linearer Gleichungssysteme (
Lem.: Seien
(
R-Moduln,
(
Dann gilt:
Bew.:
)(
)
und
)
(
(
))
(
ii)
Epimorphismus
( ( ))
( ( ))
)( )
).
Monomorphismus
).
( ))
) bijektiv. Dann gilt:
i)
(
(
).
)
(
) einen R-Untermodul.
heisst:
injektiv
surjektiv
iii) Isomorphismus
Not.:
( )
(
Prop.: Seien M,N R-Moduln. Dann definiert
Sei
(
beliebig. Dann gilt:
( (
)( )
Lem.: Sei
Def.:
)
)
. Seien
(
(
( )
,
(
)
bijektiv
M R-Modul
-
( )
-
( )
Bem.: (
(
{
( )
(Endomorphismen von M)
}
( )∣
(Automorphismen von M)
) ist ein (i.a. nicht kommutativer) Ring mit Eins.
( )
Lem.:
)
( )
[
R-Modulmorphismus
( )
( )
( )
Wissen schon:
(
Lem.: Sei
( )
( ) Bild von
( )
,
). Dann sind
sind Untergruppen]
( )
( )
R-Untermoduln.
Bew.:
i)
„
( )“
( )
Dann gilt: (
ii) „
( )“:
)
( )
( )
( )
) ist Monomorphismus
( )
( injektiv
( )
( ). Es folgt:
mit
(
( ).
ist Untergruppe. Sei
Dann gilt:
Bem.:
( ).
ist Untergruppe. Sei
( )
( )
{
(
)∣
( )
{
(
)∣
( )
Beh1:
)
(
)
{ }
{ })
(gilt nicht bei nicht-linearen Abbildungen, z.B. bei
Bsp.:
(
(
)
}
}
) und
( )
(
) definieren -Unterräume
Bew.:
i) „
( )
( )“: [z.z.:
( ) ist
( )
( )
( )
(wegen Lemma vom 22.11.)
ii) analog zu i)
[(
)
]
( )]
( )
( ).
Lineare Algebra 1
Beh2: Sei
S e i t e | 51
( )
|
. Dann ist
( ) ein -Vektorraummorphismus.
(Epimorphismus)
konkret: ( )
( )
| ( )
( ) gilt:
Bew.: [z.z.:
(
)( )
( )
Bem.: Sei R (komm.) Ring (mit 1),
Seien
)
| ( )
| ( )
( )]
( ) mit
(gegeben
| (
( )
( )
)
R-Modul-Morphismus.
(Einheitsvektoren) definiert durch:
(
)
(
)
(
)
ist völlig bestimmt durch die Werte ( )
Beh.:
(
Bew.: Sei
)
( )
beliebig. (
( )
)
Dann gilt:
(
)
(
Weil
(
)
)
(
(
)
)
(
)
(
)
-Vektorraummorphismus ist, gilt:
( )
(
(
)
)
(
)
( )
( )
( )
(
)
( )
29.11.2011
(
Not.:
Bsp.:
) sagt man
{(
)
(
)
(
}
)
Ist
ist R-linear.
Einheitsvektoren im
R-linear, so ist
Grund:
beliebig
( )
R-linear
},
∣
eindeutig bestimmt durch die m Werte ( )
(
)
∑
(∑
)
∑
Umgekehrt: Seien
,
( )
beliebig gegeben. Konstruieren
R-linear
mit ( )
∑
Beh.:
Bew.:
i)
(
„E i en “: Ist
∑
), so gilt
(Linearkombination der
Einheitsvektoren)
ii)
∑
Sei
∑
(
und
)
(
∑
. Dann gilt:
)
(∑
)
(∑
)
Lineare Algebra 1
S e i t e | 52
Seien
durch (
gegeben. Definiere dazu
)
∑
.
ist wohldefinierte Abbildung; z.z. bleibt R-Linearität.
-
Beh.:
Bew.: Seien
(
. Schreibe
)
(
) mit
.
Dann gilt:
(
)
∑
)
((
(
(∑
)
( )
(
( )
))
)
))
((
(∑
)
))
((
))
((
R-linear
Prop.: Sei R (komm.) Ring (mit 1). Die Zuordnung (
(
R-Modul-Isomorphismus
Bem.: Ersetzen jetzt R durch
)
(
(Formel:
, (
Beh.:
sind R-linear
definiert einen
)
)
:
), wobei
)
)
(
Bew.:
(
)
(
)
ist R-linear als Komposition von R-linearen Abb
Weil
(i-te Komponente von ) R-linear ist,
mit
(
)
n (Anzahl der Komponenten von ) m-Tupel (
ist gegeben
)
Schreibe die n m-Tupel untereinander:
[
[
]
]
heisst Matrix über R mit n Zeilen und m Spalten.
Fazit: Jede R-lineare Abbildung
lässt sich eindeutig beschreiben durch eine
Matrix über R mit n Zeilen und m Spalten.
Def.:
Sei R Ring,
{
. Eine Matrix über R mit n Zeilen und m Spalten ist eine Abbildung
}
{
}
Die Menge aller (
(
Bem.:
konkret:
.
)-Matrizen über R wird mit
) ist ein R-Modul, denn
{
Daher:
[
}
{
[
]
}
(
(
]
, (
(
)
)
)
)
(
) bezeichnet.
({
)
(
(
)
}
(
{
)
}
)
Lineare Algebra 1
S e i t e | 53
(
Die durch
) definierte R-lineare Abbildung
ist (explizit)
gegeben durch:
))
((
[
][
Fazit:
∑
(∑
∑
[∑
∑
]
∑
)
]
( )
(
Bsp.:
)
[
]
(
A definiert
).
(
)
))
((
))
((
ist (explizit) die Abbildung:
)), wobei
((
[
[ ]
][ ]
(
[
]
[
]
)
Anzahl der Variablen (m) = Anzahl der Spalten
01.12.2011
Standard-Konstruktionen (neue Moduln aus alten): Sei R (komm.) Ring (mit Eins)
1)
M R-Modul,
beliebige Teilmenge:
⟨ ⟩
Def.:
(der von
Sei M R-Modul,
. Ein Vektor
{
aus T
2) Sei
∑
)
Lem.: Sei M R-Modul,
Bsp.:
heisst Linearkombination (von Vektoren)
, so dass:
(t hängt von m ab,
beliebig. Dann gilt:
{
∣
{ }
.⟨ ⟩
⟨ ⟩
erzeugte Untermodul).
}
⟨ ⟩
{
(
Menge, N ein R-Modul. Dann ist
(
Bsp.:
)
(
3) M,N R-Modul:
)
4) Direktes Produkt: Sei (
)
∏
Definiere
}
({
((
}
∣
) in natürlicher Weise ein R-Modul.
{
}
) ∣∣
(
{
) R-Modul der
-
Matrizen über R.
}
eine Familie von R-Moduln.
)
) ist direktes Produkt abelscher Gruppen.
M ist abelsche Gruppe
(∏
)
(∏
)
∏
[schon gezeigt: (∏
∏
∏
(
)
(
)
(
)
(+ = Add. auf
)
( = Mult. auf
)
) ist abelsche Gruppe]
( (
)
)
(
)
Lem.: Durch die angegebenen komponentenweise definierten Verknüpfungen wird
(∏
) ein R-Modul
Lineare Algebra 1
S e i t e | 54
Bezeichnung: Direktes Produkt der Familie (
{
Bsp.:
} mit
(∏
(
eine Familie von R-Moduln, (∏
)
∏
Lem.:
)
)
{(
Sei
von R-Moduln: ∏
.
)
5) Direkte Summe: Sei (
)
∏
) ihr direktes Produkt.
}
∣
definiert ein R-Untermodul.
∏
Bem.: Ist endlich, so gilt:
Bsp.:
{(
∏
{(
)
}
∣
)
{
}
}
∣
{
}
(Abbildungen
mit endlichem Träger (es kommt immer 0 raus, ausser bei
endlich vielen))
Def.:
) heisst direkte Summe der Familie von R-Moduln (
(
(
6) M R-Modul:
(Spezialfall (
Def.:
) (dualer Modul)
) der Konstruktion 3)
(
Sei M R-Modul. Der zu M duale Modul ist
Not.:
)
)
heisst R-Linearform auf M.
Bsp.:
i) (
) ist abelsche Gruppe, also ein -Modul.
(
)
(
Beh.:
( -Modul Struktur)
{ }
)
beliebige -Linearform. Setze ( )
Bew.: Sei
( )
Es gilt:
( )
(
{ }
|
)
{ }
( )
-
.
Dann gilt: ( )
( )
( )⇒
( )
( Integritätsring)
{ }
[
ii)
]
( )
( )
a)
Sei
(
)
(
)( )
( )
( )
( )
∫
R-Linearform heisst:
∫
( )
( )
( )
Linearform heisst:
( )
( )
∫
)( )
( ).
,
( )
( )
∫
∫ (
}
)∣
zwei wichtige (Sorten von) Linearformen:
fest gewählt:
(
b)
{
gilt:
∫
( )
Lineare Algebra 1
S e i t e | 55
(
Bem.: Seien M,N R-Moduln,
). Dann definiere Abbildung
( )
𝜑
𝑀
𝜆
𝑁
𝑅
𝜆 𝜑 𝜑 𝑣 (𝜆)
(
Beh.:
7) M R-Modul,
)
(Quotientenmodul)
⟨ ⟩ für ein
Erinnerung:
haben konstruiert:
Definiere Relation:
Beh.:
⁄
Untermodul:
(fest)
⁄
⟨ ⟩
auf:
i eine Äq iva en re a i n („Äquivalenz modulo U“)
Bew.: „re e iv“:
„
e ri
(
“:
„ ran i iv“:
und
(
)
(
)
.
Bem.: Sei [ ] die Äquivalenzklasse von
Als Menge ist [ ]
{
)
{
.
}
∣
{
}
∣
}
∣
⟨ ⟩
Bsp.:
Für welche
gilt:
[ ]
[ ]
⟨ ⟩
[ ]
{[ ] ∣
⁄
Def.:
}
⁄
(im Beispiel ist
die Menge aller zu U parallelen Geraden)
Haben Abbildung [ ]
Ziel:
(Menge der Äquivalenzklassen modulo U)
[ ]
[ ]
⁄
Definiere R-Modul Struktur auf
⁄ , so dass [ ]
⁄ R-Modul-Epimorphismus
wird.
Addition:
⁄
⁄
⁄
Wohldefiniertheit: Sei [ ]
([ ] [ ])
[
[ ] [ ]
[ ]
(⏟
)
(
[
im Bsp oben.:
i i nv n
Addition von x und y
]
]
[
(
) (
)
)
]
ei P nk en ‘ n
‘ er i
ie e e Gera e
ie
Lineare Algebra 1
S e i t e | 56
( ⁄
Beh.:
) ist abelsche Gruppe
Bew.: wie bei (
)
⟨ ⟩
⁄
R-Modul-Struktur:
( [ ])
⁄
[
]
Wohldefiniertheit: überprüfen (+ geometrische Veranschaulichung)
⁄
Beh.:
Beh.:
[ ]
⁄
⁄
ist R-Modul Struktur
ist Modulepimorphismus
Bew.: i) „surjektiv“:
. Dann gilt: [
ii) „ - inear“: eien
[ ]
an
Es gilt:
[ ]
Bew.:
i M
[
]
⁄
der kanonische Restklassenmorphismus
n: „ e k a en“ a „Äq iva en k a en“)
[ ]
{
im Bsp.: Sei
∣[ ]
[ ] }
{
Ring-Morphismus:
∣
}
jede zu U parallele
(
)
(
)
und
⁄ .
(Änderung des Grundrings)
, M R-Modul. S-Modul-Struktur auf (
Änderung des Grundringes:
Beh.:
{
in genau einem Punkt.
Dadurch erhält man eine Bijektion zwischen
8) M R-Modul,
}
∣
{ }. Dann schneidet
eine Gerade mit
Gerade
Bsp.:
]
[ ]
Untermodul, [ ]
(i
[
[ ].
⟨ ⟩,
Lem.: Sei
]
):
( )
ist eine S-Modul-Struktur auf M
06.12.2011
Wiederholung:
Restklassen (Quotienten-)Moduln:
R (komm.) Ring (mit 1), M R-Modul
Untermodul
(äquivalent mod u)
[ ] Äquivalenzklasse repräsentiert durch x
⁄
{[ ] ∣
[ ]
Bsp.:
⁄
i)
ii)
[ ]
}
Restklassenmodul von M modulo U
[ ]
R-linear
⟨ ⟩
⟨ ⟩
⁄
⟨ ⟩.
⁄
[ ]
Lineare Algebra 1
S e i t e | 57
(
Prop.: Seien M, N R-Moduln,
( )
Falls
𝑥
( ⁄
𝜑
𝑀
). Sei
[ ]𝑢
𝑁
ein Untermodul.
[ ]
)
.
𝜑(𝑥)
𝜑([𝑥]𝑢 )
𝜑
𝑀⁄
𝑈
[𝑥]𝑢
heisst die von
induzierte R-lineare Abbildung.
Bew.:
i)
„Ein e i kei :“ Wenn
d.h.: ([ ] )
existiert, so dass das Diagramm kommutiert, so gilt:
( )
eindeutig bestimmt durch
a)
durch ([ ] )
⁄
ii) „E i en :“ De iniere
und U
( )
„ ist wohldefiniert:“
[ ] beliebiger Repräsentant
Sei
( )
mit
weil ( )
b)
(
)
( )
( )
( )
„ ist R- inear:“
Seien [ ] [ ]
( [ ]
⁄
[ ])
. Dann gilt:
])
([
([ ])
Kor.:
[ ]
(
)
( )
( )
([ ])
Homomorphiesatz
(
Sei
⁄
). Dann induziert
einen R-Modul-Isomorphismus
( ).
( )
Bew.:
𝑀
[ ]
𝜑
(𝜑)
𝑀⁄
(𝜑)
( ). ⇒
Setze
Beh1:
𝑁
𝜑
( )
( )
) mit ([ ])
( )
Bew.: { ( [ ] ∣
Beh2:
( ⁄
}
{ ( )∣
{[ ]
( ) }.
}
ist injektiv
( )
Bew.: z.z.:
Sei [ ]
([ ])
( )
[ ]
( )
⁄
( )
( )
( )
( )
[ ]
( )
( )
( ),
,
Lineare Algebra 1
S e i t e | 58
Bsp.:
(
⟨ ⟩
fest)
[ ]
⟨ ⟩
( )
⟨ ⟩
( )
Wissen: U als -Untermodul von
⟨ ⟩
⟨ ⟩
⟨ ⟩
⟨ ⟩
⟨ ⟩
ist von der Form
.
|
⟨𝑚⟩
𝜑
[ ]𝑢
𝜑( )
⟨𝑛⟩
konkret:
𝑥
⟨ ⟩
𝜑
[ ]
𝑙
[𝑥]
𝜑
⁄⟨ 𝑙⟩
[𝑥] 𝑙
[ ]
:
→
⟨ ⟩
Lineare Gleichungssysteme: (
)
( )
Lösungsmenge:
⁄⟨ ⟩
⁄⟨ ⟩
(
{
)
∣ ( )
( )
( )
i)
„Existenz:“
ii)
„Eindeutigkeit:“ |
iii)
„Struktur der Lösungsmenge:“ Ist
( )|
Bew.: Sei ( )
(
}
( )
( )
⟨
( )
. Dann gilt:
)
„Berechenbarkeit:“ möglich falls
falls
)
(
)
Gleichungssystem:
[
∑
]
⟩
( )
( )
( )
(
( )
( )
( ) ⟩
( ), so gilt:
( )
iv)
⟨
[ ]
( )
( )
( )
( )
( )
( )
{ }
( )
[ ]
( )
Lineare Algebra 1
S e i t e | 59
5. Erzeugendensysteme, Freiheit, Basis, Rang
Def.:
Sei M ein R-Modul,
Bem.: ⟨ ⟩
⋂
.
⟨ ⟩
{
{
∣
.
heisst Linearkombination von Elementen aus
,
Lem.:
⟨ ⟩
Teilmenge. T heisst Erzeugendensystem für M
∑
, so dass
}
∣
Bew.:
i)
ii) ⟨ ⟩
} ist ein R-Un er
{
⟨ ⟩
⋂
iii) Sei ∑
}
Linearkombination von Elementen aus ; d.h.
Untermodul mit
gilt:
{
∑
Def.:
}
∑
| |
, so dass jedes
mit ⟨ ⟩
.
Linearkombination der Form
ist.
⟨
∣
{∑
⟩
}
ist endlich erzeugbar als -Modul.
{
z.B.
}. ⟨ ⟩
, weil: ⟨ ⟩
(
}⟩
⟨{
)
(
{
{
⟨ ⟩
}
∣
)
{ } ist Erzeugendensystem: ⟨ ⟩
z.B.
Def.:
⟨ ⟩ .
Sei M R-Modul. M heisst endlich erzeugbar
Bem.: M endlich erzeugbar
Bsp.:
v nM √
{
, denn:
} ist Erzeugendensystem
}
∣
Sei M endlich erzeugbarer R-Modul. Dann heisst
{
( )
∣
| |
}
(minimale) Erzeugendenanzahl.
Bem.:
( )
Not.:
( )
Bsp.:
( )
Bsp.:
(
Lem.:
( )
Bew.: Wäre
⟨ ⟩
( )
.
)
{ }
, da
(
, da die Einheitsvektoren
)
endlich erzeugbar / , so gäbe es
(
) erzeugen.
mit
⟩
Schreibe
Wähle
{ }
M nicht endlich erzeugbar
⟨
∏
{ }
⟨ ⟩
.
| |
(
Primzahl,
∑
(∑
(∏
) )
.
)
(∑
)
|
08.12.2011
( )
Lem.: Sei M R-Modul,
Bew.: Sei
. Dann gibt es einen Isomorphismus
ein Erzeugendensystem mit
durch (
)
∑
⁄
( ). Definiere Abbildung:
.
Lineare Algebra 1
Man sieht sofort:
S e i t e | 60
(
ist R-linear, also
). Weil
, ist
( ).
surjektiv,
explizit:
∑
Ist
⁄
Homomorphiesatz
𝑅𝑛
{
i)
Lemma
ii)
Sei
⁄
erklärt man
( )
{
( )
, so gilt:
Bew.: Sei
( ) ist Isomorphismus
( )
(𝜑)
( )
( )
ist
( ).
𝜑( )
𝑅 𝑛⁄
Kor.:
)
𝑀
𝜑
wegen
(
, so gilt:
}
∣
}
∣
( )
( )
Epimorphismus. Setze
Beh.:
(
)
erzeugt M
( )
Bew.:
(
(
)
)
(∑
mit (
∑
)
)
( )
∑
.
( )
(
Lem.: Seien M, N R-Moduln,
i)
Ist
ii)
Ist
⟨ ⟩, so gilt:
( )
( )
).
⟨ ( )⟩
⟨ ⟩ und ist
mit ⟨ (
)⟩
( ), so gilt:
⟨
⟩
Bew.:
i)
⟨ ⟩
Sei
( )
∑
( )
⟨ ( )⟩, da ( )
( )
( ) ⟨ ( )⟩
( ) gilt auch: ⟨ ( )⟩
wegen ( )
ii)
Sei
( )
beliebig
( )
( )
⟨ (
)⟩
, so dass
(
∑
)
⟨
⟩
(
Prop.: Sei
( )
(∑
∑
⟨
∑
⟩
⟩.
).
(
Dann gilt:
∑
( )
⟨
beliebig war, gilt:
( )
∑
, also:
mit
Da
∑
mit
( ))
)
( )
)
(
( ))
(
( ))
Bew.:
i)
Sei
⟨ ⟩⇒
)
( )
⟨ ( )⟩
( )
(
dies gilt für alle Erzeugendensysteme T für M
ii)
Sei
( )
⟨ ⟩ und
, so dass |
( )
⟨
⟩.
| ( )|
( )
bijektiv ist:
( ))
| |
( )
)
Lineare Algebra 1
( )
⇒
⟨
)
⟩
⟨ (
⟨
( )
S e i t e | 61
)⟩
⟩
| |
|
| |
( )
Kor.:
Sei
|
))
|
| |
|
|
|
gilt für jedes Erzeugendensystem
( )
(
(
(
( ))
(
Untermodul. Dann gilt:
( )
( ⁄ )
( ) n
von
( )
‘‘ v n
( )).
(typische Prüfungsaufgabe!)
( )
( ⁄ )
Bew.: Prop. anwenden auf kanonische Restklassenabbildung
[ ]
( )
⁄
(
Lem.: Seien M, N R-Moduln,
( )
( )
„Eine ineare
e
ee
Bew.: Sei
i
( )
⁄
⟨ ⟩, so gilt:
). Falls
.
n i
r
i re Wer e a
eine
Erzeugendensystem bereits völlig
“
⟨ ⟩
beliebig.
Dann gilt: ( )
∑
, mit
(∑
)
∑
( )
∑
( )
(∑
)
Problem: Kann i.A. die Werte auf einem Erzeugendensystem nicht beliebig vorgeben:
{
Bsp.:
(
Sei
)←
(
( )
), so
Def.:
mit
( )
Sei M ein R-Modul, ( )
Die Familie ( )
}
( )
( )
( )
( )
eine Familie in M.
heisst frei (linear unabhängig / R)
∑
Bem.: ( )
heisst linear abhängig / R (nicht frei)
∑
mit
Bsp.:
, wobei mindestens ein
linear abhängig / :
mit
aber nicht
Bsp.:
i)
{ }
ist nicht frei, sobald
ii)
ist linear abhängig / R
{ } mit
ist Nullteiler
( )
iii)
∑
iv)
ist linear unabhängig / R, denn:
(
)
Körper, M K-Vektorraum. Sei
{ } beliebig.
Dann ist v frei / K:
Ist
mit
, so gilt:
(
v)
⟨ ⟩
[ ]
⟨ ⟩
(
)
(
oder
)
(da
)
linear unabhängig /
{ }
?
.
).
.
.
( ).
Lineare Algebra 1
Def.:
S e i t e | 62
( ) ist die maximale Anzahl der Elemente in einer
Sei M ein R-Modul. Der Freiheitsgrad
linear unabhängigen Familie.
( )
Bem.:
freie Familie ( )
i)
eine freie Familie in M, so gilt: | |
ii) Ist ( )
( )
Not.:
Def.:
i)
freie Familie ( )
( )
.
mit | |
Sei M ein R-Modul. Eine Familie ( )
in M heisst R-Basis
ist linear unabhängig / R
ii) ( )
Bsp.:
mit | |
definiert ein Erzeugendensystem (⟨{
( )
in
}⟩
∣
)
ist eine R-Basis.
(!) nicht jeder R-Modul hat eine R-Basis
13.12.2011
( )
Prop.: Sei M ein R-Modul,
endlich viele
ein beliebiges Erzeugendensystem. Dann gibt es
, die M erzeugen.
Bew.:
⟨
mit
⟩,
⟨ ⟩
mit
⟨
⟩
⟨
⟩
⟨
⟨
⟩
⟩
Def.:
⟨
⟨
Warnung: i.a.
⟨
Bsp.:
{
⟩
⟩
⟩ mit
}
( )
M heisst zyklischer R-Modul
Bem.: M ist zyklisch
⟨ ⟩
, so dass
Bem.: M ist zyklisch
∑
Ideal
und R-Modul-Isomorphismus.
⁄
Lem.: Sei ( )
eine freie Familie in M. dann ist jede Teilfamilie ( )
Bew.: Wäre ( )
linear abhängig / R
nicht alle
endlich und
∑
mit
∑
( )
freie Familie, so ist jedes
Prop.: Sei M ein R-Modul, ( )
nicht frei.
frei.
eine freie Familie. Sei N ein beliebiger R-Modul, ( )
beliebige Familie in N.
⟨{
R-lineare Abbildung
Bew.: ⟨{
}⟩
∣
{∑
∣
}⟩
mit ( )
∑
( )
ii)
⟨{
„Ein e i kei :“ ei
∣
, wobei
(∑
„E i en :“ ür
)
∑
.
}
∣
R-Untermodul aller Linearkombinationen von Elementen aus {
i)
und
.
endlich mit
Bem.: Ist ( )
auch frei.
}⟩ beliebig
endlich,
∑
( )
∑
definiere ( )
z.z.: a) Wohldefiniertheit, b) R- ineari ä √
.
∑
∣
}
eine
Lineare Algebra 1
S e i t e | 63
Bew.: a)
∑
Sei
∑
∑
( )
(
)
linear unabhängig
(∑
∑
)
da
(∑
∑
)
Wohldefiniert
⟨{
Bem.: Man sagt: die lineare Abbildung
der Zuordnung ( )
Erinnerung: ( )
}⟩
∣
ensteht durch lineare Fortsetzung aus
.
heisst Basis von M über R
i)
( )
ii)
⟨{
∣
}⟩
Not.:
⟨{
∣
}⟩
linear unabhängig
(( )
erzeugt M)
∑
(Menge aller (endlichen) Linearkombinationen von den Elementen von
Lem.: Eine Familie ( )
in M ist genau dann eine Basis für M, wenn jedes
∑
Darstellung
( )
( )
)
eine eindeutige
endlich besitzt.
Bew.:
i)
( )
)
sei R-Basis für M:
jedes
ist Linearkombination der
∑
hat Darstellung
)
ii)
∑
Darstellung ist eindeutig:
∑
(
jedes
( )
( )
endlich
∑
endlich
( )
)
⇒
habe eindeutige Darstellung als Linearkombination der
∑
}⟩ (d.h.: ii))
∣
⟨{
∑
0 hat eindeutige Darstellung:
(
Erinnerung:
)
{( )
, da
∑
Def.:
}
∣
ersetzen durch beliebige (Index-)Menge
R (komm.) Ring (mit Eins)
(
( )
)
∣ ()
{
ist R-Modul,
Bsp.:
{
( )
(d.h.: i))
( )
endlichem Träger
Verallgemeinerung:
⇒
Menge aller Folgen in
( )
( )
:
}
Untermodul
}
speziell wichtige Elemente in
Kronecker Symbol:
:
{
Menge der Folgen in
mit
Lineare Algebra 1
es gilt:
( )
konkret:
{
S e i t e | 64
}
(
ist das m-Tupel
⏟
)
-
beliebig. Die Familie ( )
Lem.: Sei
( )
ist eine R-Basis von
.
Bew.:
i)
( )
Sei
{
Sei
ii)
( ) )( )
()
()
( )
Def.:
für fast alle
ist endlich. Betrachte ∑
∑
()
( )
( )
Sei
}.
∣ ()
Es gilt: (∑
∑
mit ( )
beliebig.
mit
(∑
)( )
()
( )
erzeugt
∑
{
()
endlich
∑
()
∑
linear unabhängig / R
Ein R-Modul M heisst frei
M besitzt eine Basis.
Prop.: Sei M ein freier R-Modul. Zu jeder Basis ( )
( )
mit ( )
von M
R-Modul-Isomorphismus
.
( )
Bem.: Jeder freie R-Modul ist (bis auf Isomorphie) der Modul
der Familie ( )
mit endlichem
Träger.
Bew.: Sei ( )
i)
eine R-Basis von M.
Weil die Familie ( )
⟨{
}⟩
∣
( )
Weil ( )
⟨{
ii)
Not.:
( )
( )
( )
(( )
)
( )
∑
⇒
( )
∑
beliebig ⇒
∑
∑
( )
( )
mit
(∑
endlich.
( )
)
surjektiv
eine Basis / R. Die Umkehrabbildung des dazugehörigen
( )
Isomorphismus
heisst Koordinatensystem auf M
∑
( )
(
Prop.: Seien M, N R-Moduln,
( )
)
( )
). Dann gilt:
( ) ( )
freie Familie in
( ) ein Urbild
Wähle zu jedem
freie Familie in
(
(
( ))
( ). OE
( )
)
{
Setze
Beh.:
( )
( )
Sei M freier R-Modul, ( )
Bew.: Sei ( )
(lineare Fortsetzung)
( )
ist surjektiv: Sei
(
R-lineare Abbildung
erzeugt, gilt:
}⟩
∣
ist injektiv: Sei
Dann gilt:
frei ist ⇒
mit ( )
( )
iii)
( )
in
(
Bew.: Sei
)
ist frei in M
∑
( )
mit
(∑
:
)
∑
(
)
∑
( )
∑
(
( ))
Lineare Algebra 1
(
⇒
S e i t e | 65
)
( )
∑
⇒
(
( )
| |
( )
Kor.:
Sei
| |
(
)
ist frei in M
| |
( ))
(
( )).
R-Untermodul. Dann gilt:
i)
( )
( )
ii)
( )
( )
( ⁄ )
Bew.:
i)
( )
Es gilt:
ii)
[ ]
Betrachte Restklassenmorphismus
( )
⁄ .
⁄
folgt sofort aus i)
15.12.2011
Erinnerung:
( )
-
{
Ideal
}
∣
𝜑 𝑅𝑛
𝑀
𝜑
𝑅⁄
𝐾𝑒𝑟(𝜑)
-
Ist M zyklisch,
-
Sei
( )
{ }
( )
( )
. Dann
( )
Isomorphismus
Ideal
( )
⁄
( ⁄ ).
( ⁄)
{
i)
{ }
⁄
ii)
{ }
Beh.:
,
⁄
{ }
{ }
Bew.:
( )
{ }. Sei
beliebig. Dann [ ]
[
]
[ ]
[ ] ist nicht frei in ⁄ , weil
(
konkret:
⟨ ⟩)
{
(
Prop.: M, N R-Moduln,
( )
(
( ))
). Dann gilt:
(
( ))
Prop.: Sei R Integritätsring, M, N R-Moduln,
( )
(
( ))
(
( ))
(
). Dann gilt:
Lineare Algebra 1
Bew.: E
enü
S e i t e | 66
„ “ zu beweisen.
( )
i)
Sei ( )
eine freie Familie in M
Betrachte ( )
(
)
.
, so dass ( ( ))
linear unabhängige Elemente enthält, aber keine freie Teilfamilie
mit mehr als Elementen
Dann gilt:
Also
( )
, weil
(
, so dass (
Indizes
)
( ))
(
(
( ))
(
( ))
) frei ist und maximal mit dieser Eigenschaft.
Nach eventueller Umnummerierung können wir annehmen, dass
Dann haben wir folgende Situation:
( )
( ) sind linear unabhängig / R in N,
{
und für jedes
} {
} ist ( )
mit
(
mit
(
(
)
Da ( )
(
)
) linear abhängig / R.
∑
( ), wobei
)
( ) linear unabhängig sind, muss gelten:
∑
Definiere:
( )
(
mit
∑
)
( )
Beh.:
( )
( )
( )
ist frei in
{
Bew.: Seien
Setze Def. der
( )
, d.h.:
} gegeben mit ∑
( ).
ein, und erhalte:
∑
∑
(
∑
)
∑( ∑
(Rechts steht eine Linearkombination in
Weil
)
∑(
)
)
linear unabhängig sind / R, müssen alle Koeffizienten = 0 sein.
. Wissen:
In e ri-
⇒
( )
ä rin
(
Also:
( )
( ))
( )
ii)
Sei
(
weil ( )
( ))
(
Zu zeigen:
( ))
( ))
(
weil
( )
(
(
(
ist linear unabhängig / R
)
) linear unabhängige Elemente in
( ) linear unabhängig in
( ))
(
( ) sind.
( ) sind.
( )
( ))
oder
(
( ))
.
Konstruiert wie oben eine freie Familie ( )
in
( ) | |
(
( ))
.
Lineare Algebra 1
Kor.:
S e i t e | 67
Sei R Integritätsring,
( )
ein R-Untermodul. Dann gilt:
( )
( ⁄ )
[ ]
Bew.: Wenden Prop. an auf Restklassenabbildung
( )
Es gilt:
( )
Bsp.:
Kor.:
( )
⟨ ⟩
(
⁄
⁄
⟨ ⟩)
Sei R Integritätsring, M, N R-Moduln. Dann gilt:
(
)
( )
( )
(
Bew.: Wende Prop. an auf die R-lineare (!) Abbildung
( )
mit
(
( )
( ))
(
⇒
(
Kor.:
(
( )
(
( ))
{(
)
})
)
( )
)
(
( ))
( )
( ).
)
( )
Bew.: Induktion / n:
(
)
(
( )
(
(
Bem.: Offensichtlich ist nur:
)
(
)
), weil
.
)
Prop.: Sei R Integritätsring, M endlich erzeugbarer R-Modul. Dann gilt:
i)
( )
( )
ii)
( )
( )
Bew.:
i)
( )
Sei
(endlich erzeugbar). Sei
Definiere R-lineare Abbildung
durch lineare Fortsetzung der Zuordnung
( )
( (
Weil
M erzeugen, ist
(
ii)
Sei
)
(
( )
( )
( ). Dann ist
)
( )⇒
{ } mit (
⇒
∑
)
surjektiv.
( )
Sei (
)
( ))
(
ein Erzeugendensystem für M.
(
(
( ))
)
( ))
( ))
(
( ))
( )
(Bew. von i))
(
) ist nicht frei
(
)
-
-
(
)
(
)
( )
{(
)}
ist Isomorphismus
Sei M freies R-Modul, ( )
( )
Kor.:
| |
ist frei.
eine R-Basis
( )
( )
| |
(weil ( )
M erzeugt)
( ) falls M frei
Invarianz der Basislänge:
Sei R Integritätsring, M endlich erzeugbarer, freier R-Modul.
Je zwei R-Basen haben die gleiche Anzahl von Elementen (
( )
( )).
( )
Lineare Algebra 1
Bew.: Seien ( )
S e i t e | 68
( )
| |
zwei Basen für M. Dann gilt:
( )
(*) weil
( )
| |
M erzeugen
Prop.
(**)
(***)
| |
( )
weil ( )
eine freie Familie sind.
| |
aus Symmetriegründen folgt | |
| |
| |
| |
hat jede Basis n Elemente, weil ( )
Bsp.:
In
Def.:
Sei R Integritätsring, M endlich erzeugbar und frei. Dann heisst
( )
( )
eine Basis mit n Elementen ist.
( ) Rang von M über R.
22.12.2011
Lem.: Sei R (komm.) Ring (mit 1), M, N isomorphe R-Moduln. Dann gilt:
i)
ii)
Bew.: Sei
i)
R-Modul-Isomorphismus.
Sei ( )
erzeugend für M. Dann ist ( ( ))
( )
Denn:
erzeugend für N.
mit ( )
.
| |
∑
mit
( )
( ( ))
(∑
)
( )
erzeugt N
Also:
.
Aus Symmetriegründen folgt
ii)
∑
Sei ( )
, also Gleichheit.
eine freie Familie in M. Dann ist ( ( ))
∑
Denn: Ist
(∑
frei in N.
( ), so gilt:
∑
)
( )
( ( ))
{ }
frei
.
e rie rün en i „=“
Not.:
M R-Modul: [ ] Isomorphieklasse von M
konkret: [ ]
[ ]
Isomorphismus
.
Theorem: Sei R Integritätsring. Die Zuordnung
{ [ ] ∣∣
definiert Bijektion
-
}
Bew.:
i)
„
e inier “: [ ]
[ ]
⇒
ii)
Isomorphismus
endlich erzeugbar, frei
„injek iv“:
)
)
)
)
.
Lineare Algebra 1
[ ]
S e i t e | 69
[ ]
Kor.:
{ })
(
iii) „ rjek iv“:
Sei K ein Körper. Die Zuordnung
{ [ ] ∣∣
Bew.: E
enü
ei en: „En i
er e
, sei ( )
Sei
Beh.:
( )
}
are -Vek rrä
e in
eine erzeugende Familie.
∑
)
mit
∑
{
. Wähle für ein
∑
⇒
(
( )
}
)
ist erzeugend für V mit nur
„M
rei“
ist eine Basis (also V frei / K)
Bew.: Sei
(
definiert Bijektion
Elementen
ist K-Basis für V.
e “ : jeder endlich erzeugbare freie R-Modul vom Rang n ist isomorph zu
,
Lineare Algebra 1
S e i t e | 70
Konstruktion der reellen Zahlen:
ZFC
(„k ein e“ nen i e Men e)
grothemdieck Gruppe (mit Kürzungsregel)
Lokalisierung (Körper der Brüche)
:
0) (axiomatische Einführung)
1)
e ekin ’
e
ni e
2) Kettenbrüche
3) Intervallschachtelungen
4) Komplettierung
0)
Axiomensystem:
(
) heisst Modell der reellen Zahlen
i) (
) ist Körper
ii)
ist eine lineare Ordnung, verträglich mit
iii) (
) ist archimedisch* geordnet, und K ist vollständig
*unvollständig, zu jedem Element in K gibt es eine natürliche Zahl, die grösser ist
1)
De ekin ’
(
e
ni e:
) mit
( )
{ }, so dass
i)
ii)
iii)
gilt:
ist kein Minimum
Kann dann (
)a
ör er
i Or n n re a i n e inieren a Men e er De ekin ’
Schnitte
3)
Intervallschachtelungen:
Rationale Intervallschachtelung ist Folge ( )
[
]
mit
,
so dass
(
und
(
Bsp.:
)
(
)
[
)
Bem.:
Def.:
von Intervallen
]
.
( )
( )
rat. Intervallschachtelung ( )
mit
Kann dann Modell für die reellen Zahlen einführen, dessen Elemente Äquivalenzklassen
[( )
Bsp.:
4)
] von rationalen Intervallschachtelungen sind.
[([(⏟
)
(⏟
)
])]
Komplettierung:
( )
heisst Fundamentalfolge (Cauchy-Folge)
|
|
en
Lineare Algebra 1
∣
{( )
}
∣
{( )
( )
S e i t e | 71
}
Nullfolge
Bsp.:
( )
ist Cauchy-Folge
Definiert Ringstruktur auf F (komponentenweise):
(( ) ( ))
(
(( ) ( ))
(
)
)
zu zeigen: Wohldefiniertheit (durch Addition zweier Cauchy-Folge ergibt sich wieder eine
Cauchy-Folge):
Bew.: ( ) ( ) Fundamentalfolgen.
|
|
|
|
|(
)
(
)|
|
|
|
|
Man zeigt (leicht):
i)
(
) ist komm. Ring mit Eins.
ii)
ist ein Ideal
Definiert Ringstruktur auf ⁄ (Äquivalenzklassen von Fundamentalfolgen; sind äquivalent,
wenn Differenz Nullfolge ist).:
⁄
⁄
⁄
([( )] [( )])
⁄
⁄
([( )] [( )])
⁄
[(
)]
[(
)]
Definition ist repräsentantenweise; also zu zeigen: wohldefiniert!
Lem.: Sei (
) (komm.) Ring (mit 1),
Ideal. Dann wird durch
⁄
⁄
⁄
([ ] [ ])
[
⁄
⁄
⁄
([ ] [ ])
[
]
]
eine Ringstruktur auf ⁄ definiert, sodass ( ⁄
⟨ ⟩
Bsp.:
Beh.:
( ⁄
Bew.: Sei [( )
⁄
) ein komm. Ring mit 1 wird.
⁄⟨ ⟩
) ist ein Körper.
]
⁄
nur endliche viele
{[ ]}
( )
können 0 sein. Ersetze diese Nullen durch 1
( ) Fundamentalfolge mit ( )
Zeigt leicht: ( )
ist Cauchy-Folge, keine Nullfolge
( )
[( )] [( )]
.
(
[( )] [( )]
)
[ ]
⁄
Lineare Algebra 1
Def.:
( ⁄
S e i t e | 72
) heisst Cantor’sches Modell er ree en a en (Can r’
⁄ , Einbettung von
Def.:
er ör er)
in :
[( )], also Teilkörper
muss dann noch
(
übertragen
) erfüllt Axiome der reellen Zahlen.
Bsp.:
[( )
]
(
)
(goldener Schnitt)
Bem.: Wesentlich für die Komplettierung von
| |
zu
⁄ ist Bewertung:
, so dass:
i)
| |
ii)
| |
| || |
iii) |
|
| |
| |
Bem.: Es gibt weitere ( ) solcher Bewertungen; für jede Primzahl eine:
Sei
Primzahl:
| |
i)
| |
ii)
| |
| | | |
iii) |
|
(| | | | )
ultrametrische Ungleichung
|
|
| |
(ultrametrische Ungleichung)
Dreiecksungleichung
| |
{ }
{ }, so dass
und
Bsp.:
Dann setzt man | |
Bsp.:
|
|
{
{ }
{
Für jede Primzahl p konstruiert man mittels | |
Fundamentalfolgen bzgl.
| |
⁄
einen Körper (analog zu ).
| |
(Körper der p-adischen Zahlen).
Lineare Algebra 1
S e i t e | 73
Prüfungsvorbereitung:
I)
logische Grundbegriffe, Mengen, Relationen, Abbildungen
Äquivalenzrelation, Abbildung
II)
natürliche Zahlen
vollständige Induktion, Division mit Rest, q-adische Darstellung von Zahlen
III)
Aufbau der Zahlensysteme
,
IV)
Moduln, lineare Abbildungen
Gruppen, Ring, Integritätsring, Körper, Unterobjekte, Morphismen (strukturerhaltende
Abbildungen)
Beispiele:
(symmetrische Gruppen),
⟨ ⟩,
⟨ ⟩
R-Modul (R-Untermoduln, R-lineare Abbildungen)
Beispiele: -Moduln
abelsche Gruppen
K-Moduln = K-Vektorräume
K-Körper
Standard-Konstruktionen
(
) ∏
(
⨁
)
(
)
⁄
Homomorphiesatz
(
(
)
)
lineare Gleichungssysteme
(
)
(
)
( )
Lösungsmenge:
V)
( ), wenn ( )
Erzeugendensysteme, Freiheit, Basis, Rang
Linearkombination
Erzeugendensystem (
linear unabhängig (
Basis (
( ))
)
⁄
falls
( )
( ))
( )
für jede Basis ( )
Klassifikation: R Integritätsring: (Modelle
)
Isomorphismen endlich erzeugbarer freier R-Moduln →
ist Bijektion