Verhalten für x → ± ∞, Skizze
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Verhalten für x → ± ∞, Skizze Eine andere Gruppe erarbeitet, wie man unter geeigneten Voraussetzungen die NST bestimmen kann. Hier soll uns die Frage beschäftigen, wie es denn zwischen den NST aussieht, wo wir in einem Plus-, wo in einem Minusbereich sind. Weiterhin soll untersucht werden, wo es langfristig „hingeht“ und wo ein Funktionsgraph „herkommt“. Beides hängt zusammen: Wenn ich schon weiß, wo eine Funktion hingeht und wo sie herkommt, ist meist auch klar, wie die Funktion zwischen den NST verlaufen muss. Dabei werden wir auch die in den anderen Gruppen angesprochene Vielfachheit der Nullstellen zu berücksichtigen haben. Zunächst kann man natürlich einfach ein paar Funktionswerte ausrechnen, um einen Überblick über eine Funktion zu erhalten. Weiß man z.B., dass eine Funktion 3. Grades ihre Nullstellen bei 1,3 und 5 hat, und gilt f(0)>0, f(2)<0, f(4)>0 und f(6)<0 , so muss wohl insgesamt gelten : f(x) > 0 für alle x<1 und alle 3<x<5. Analog gilt : f(x)<0 für alle 1<x<3 und alle x>5. An sich genügt schon die Tatsache, dass es bei dieser Funktion 3. Grades 3 verschiedene NST 1,3 und 5 gibt und ein Funktionswert (z.B. f(0)>0). Die Skizze von f kann dann nur noch so aussehen Beachten Sie dabei: Die von uns hier diskutierten Funktionen sind stetig, haben also keine Sprünge): 20 15 10 5 0 -5 0 1 2 3 4 5 6 7 -10 -15 -20 Auch wenn es angesichts dieser Überlegung, dass man oft nur einen Funktionswert zu bestimmen hat, und man kann den Verlauf eines Graphen skizzieren, schon fast nicht mehr nötig erscheint, weitere Überlegungen anzustellen, möchte ich hier ein noch einfacheres Kriterium herleiten, wie man einem Funktionsterm den Verlauf schon ansehen kann, ohne überhaupt einen Funktionswert zu berechnen. Nehmen wir das Beispiel aus dem Kapitel der anderen Gruppe: f(x) = x³ - 4x² + 8x - 8. Hier gibt es nur eine NST x=2. Zunächst möchte ich der Frage nachgehen, woher kommt die Funktion und wohin geht sie. Die Frage nach dem Woher, ist die Frage nach den Funktionswerten für sehr negative x-Werte (Schreibweise : x → - ∞). Wohin zeigt die Richtung wachsender x-Werte an (Schreibweise: x → ∞). Was passiert, wenn wir sehr hoch x-Werte einsetzen (also x → ∞)? x³ wird noch größer, -4x² wird sehr negativ, 8x wird sehr positiv. Was wird überwiegen, das Positive oder das Negative ? Um diese Frage (nicht nur für diese Funktion) zu beantworten, geht man einen relativ einfachen, aber für uns vielleicht etwas ungewöhnlichen Weg : Man klammert die größte Potenz aus, die überhaupt vorkommt (für NST klammert man ja immer die größte gemeinsame Potenz aus, also die kleinste, die explizit vorkommt). Im Beispiel : f(x) = x³(1 – 4/x + 8/x² - 8/x³) Wenn Sie diese Umformung nicht selbständig zustande gebracht hätten, ist dies kein Grund zur Beunruhigung. Sie werden solch eine Umformung nicht selbständig durchführen müssen. Es geht hier nur um das Ergebnis der Umformung, wie Sie unten feststellen werden. Sie sollten aber vielleicht den Term nochmals ausmultiplizieren, um zu verifizieren, dass das Ergebnis des Ausklammerns richtig ist. Was also bringt dieses Ausklammern? Nun, wenn wir für x eine sehr hohe Zahl einsetzen, wird 4/x sehr klein, ebenso 8/x² und 8/x³. Diese Brüche nähern sich der 0 an. Die ganze Klammer nähert sich also der 1 an. Folglich spielt nur noch x³ *1 eine Rolle, d.h. die Funktion verhält sich für hohe x Werte ähnlich wie x³ und geht damit gegen + ∞. Wir schreiben daher : x → ∞ : f(x)→ ∞ . Nehmen wir für x hohe negative Werte, so ist unsere Überlegung eine ähnliche. Wieder nähern sich die Brüche der 0 und die Klammer der 1, also ist wieder x³ entscheidend. x³ ist für negative x-Werte negativ, also gilt : x → - ∞ : f(x)→ - ∞. Ich denke, es ist Ihnen klar geworden, dass man bei jeder Funktion die höchste Potenz ausklammern könnte und dann feststellen würde, dass für x → ± ∞ nur diese höchste Potenz und der zugehörige Koeffizient (auch Leitkoeffizient genannt) eine Rolle spielt. Daher genügt es, bei ganzrationalen Funktionen in dieser Frage immer nur "ganz vorne hin" zu schauen. Für Funktionen 3. Grades gilt immer, dass die Funktion sich für x → ∞ anders verhält als für x → - ∞. Bei Funktionen 4. Grades gilt für das Woher das gleiche wie fürs Wohin. Einige Beispiele : a.) f(x) = -3 x³ + ... , x → - ∞ : f(x) → ∞ , x → ∞ : f(x) → - ∞ Wegen des negativen Leitkoeffizienten kommt die Funktion von oben und geht nach unten. b.) f(x) = 2 x4 + ... , x → ± ∞ : f(x) → ∞ Die Funktion kommt von oben und geht nach oben. c.) f(x) = - 0,5 x4 + ..., x → ± ∞ : f(x) → - ∞ Die Funktion kommt von unten und geht nach unten. Machen Sie sich bei diesen Beispielen bewusst, warum das jeweils so ist. Denken Sie z.B. daran, dass eine negative Zahl hoch 4 positiv ist, hoch 3 aber negativ. Multipliziert man eine negative Zahl mit einer negativen, so wird das Ergebnis wieder positiv. Usw. Vor wir nun eine Skizze zu f(x) = x³ - 4x² + 8x - 8 anfertigen, sollte man sich noch überlegen, wie sich die Tatsache auswirkt, dass nur eine NST vorliegt. Das ist natürlich ein Punkt, wo wir etwas an unsere Grenzen stoßen. Zunächst schaut es so aus, als würde die Funktion überall steigen (sie kommt von unten und geht nach oben und scheidet nur einmal die x-Achse, wobei nur eine einfache NST vorliegt). Dass sie tatsächlich nie umkehrt, auch nicht für ein noch so kleines Stück, werden wir erst in der 12. Klasse nachweisen können. Nehmen wir dieses Wissen vorweg, so erhalten wir etwa folgende Skizze : 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 -10 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 Zuletzt soll noch erläutert werden, wie sich mehrfache NST auswirken. Nehmen wir das Beispiel f(x) = x³ - 3x² + 4. Diese Funktion hat folgende NST: x1 = -1 , x2/3 = 2. Die Funktion kommt wie x³ von unten und geht nach oben. Dies lässt sich mit den NST schon rein praktisch nur so vereinbaren, dass die Funktion einmal auf der x-Achse umkehrt. Das tut sie bei der doppelte NST 2, wo sozusagen 2 NST zusammenfallen. (Ähnliches gilt ja bei quadratischen Funktionen, wenn nur 1 NST vorliegt. Diese 1 NST muss dann der Scheitel sei, wo die Funktion umkehrt.) Auch bei einer 4fachen, 6fachen oder 8fachen NST würde der Funktionsgraph auf der x-Achse umkehren, also die x-Achse nur berühren. Der Graph für x³ - 3x² + 4 sieht wie folgt aus : 12 10 8 6 4 2 0 -2 -1 0 1 2 3 4 -2 -4 -6 -8 Bei dieser Funktion gilt : f(x) >0 für x> -1 und x ≠ 2. Eine dreifache NST liegt bei f(x) = x³ - 9x² + 27x -27 bei x=3 vor. Hier wird die x-Achse zwar geschnitten, aber gleichzeitig auch berührt, d.h. die Tangente ist bei der NST waagrecht (Stellen Sie sich vor, eine einfache NST wird immer näher an eine doppelte herangerückt): 10 8 6 4 2 0 0 1 2 3 4 5 6 -2 -4 -6 -8 -10 Auch eine Funktion 4. Grades kann eine dreifache NST besitzen, denken Sie an f(x) = 2x4 + x³ mit einer 3fachen NST bei x=0 und einer einfachen NST bei x= -0,5. Dies liefert folgenden Graphen : 4 3 2 1 0 -3 -2 -1 0 1 2 -1 -2 Bei dieser Funktion gilt : f(x) <0 für -0,5<x<0 und f(x) > 0 für x<-0,5 oder x>0. Ist Ihnen klar, warum dies so ist ? Übungsaufgabe : Überlegen Sie sich für folgende Graphen, wie der Funktionsterm beginnen könnte.
