Lösung durch Polynomdivision

Lösung durch Polynomdivision
Es gibt eine Menge Fälle, in denen man kein x ausklammern kann,
um so die Nullstellen zu finden. Ein Beispiel sei f(x) = x³ - 4x² +8x -8.
Durch Ausklammern kann man höchstens zu x(x² -4x +8 ) = 8 kommen,
aber das hilft wohl nur wenig weiter. Immerhin liefert das eine Information,
die man unter Umständen vielleicht sogar brauchen kann : Sollte es nämlich
eine ganzzahlige Lösung dieser Gleichung geben, so muss sie ein Teiler
von 8 sein. Warum?
Naja, ist x ganzzahlig (kein Bruch, keine Wurzel o.ä.), dann ist auch
x², 4x und somit auch x²-4x+8 eine ganze Zahl und x mal diese
Zahl ist 8, also sind x und die andere Zahl Teiler von 8.
Das hilft, wenn wir mal etwas "weniger mathematisch" an die Aufgabe
herangehen und eine Lösung einfach durch Probieren suchen.
Ich weiß, das gefällt vielen Schülern nicht. Es scheint ihnen nicht
systematisch genug und scheint daher auch nicht zur Mathematik zu passen.
Aber „Trial and Error“ sind auch in der Mathematik häufiger von Nöten, als
man gemeinhin glaubt. Vielleicht wird unseren Schülern sogar ein
etwas falsches Bild von der Mathematik vermittelt, wenn alle
mathematischen Regeln so vom Himmel fallen, dass man vielleicht gerade
noch im Nebensatz erwähnt, wo sie nicht angewendet werden können.
Definiert man aber z.B. neue mathematische Objekte, so wird man zunächst
einmal eine Menge Eigenschaften vermuten, die man ausprobiert - wenn
sich so eine Vermutung dann erhärtet, wird man natürlich nach einem
allgemein gültigen Satz suchen und diesen exakt beweisen wollen. Aber
selbst dafür braucht man oft ein Stück Intuition, es kann nicht alles
systematisch hergeleitet werden kann. Eine Menge Aussagen erweisen
sich freilich schon durch "Rumprobieren" als falsch.
Auch in unserem Fall soll das Probieren nicht völlig blindlings erfolgen,
sondern wir wollen uns auf die Teiler von 8 einschränken - allgemein auf
Teiler der Konstanten (die ohne x am Schluss steht). Ist keiner dieser
Teiler eine NST von f, so wissen wir zumindest, dass f keine ganzzahligen
NST hat (Voraussetzung ist freilich, dass alle Koeffizienten ganzzahlig sind).
In den Fällen, wo es ganzzahlige NST gibt (oder aus sonst einem Grund eine
NST bekannt ist), werden wir sehen, dass man - mit mathematischen Methoden weiterarbeiten kann.
Bei der Bestimmung der Teiler der Konstanten, sollte man zum einen
die 1 nicht vergessen, zum anderen nicht die entsprechenden Minuszahlen.
Bei 8 haben wir also die Menge ± 1, ± 2, ± 4, ± 8 zu beachten.
Dass ± 1 in unserem Beispiel keine NST sind, sieht man ziemlich schnell.
Für x=2 wird man in unserem Beispiel fündig (f(2) = 8 -16 +16 -8 = 0 ).
Hat man eine NST durch Probieren gefunden, so braucht man nicht weiter
zu probieren.
Das Ziel des nächsten Schrittes ist es nun, den Funktionsterm in
Faktoren zu zerlegen. Jeder der Faktoren hat dann einen geringeren Grad
als der Funktionsterm selbst, so dass die NST der Faktoren leichter zu
bestimmen sind. Sie erinnern sich: Ein Produkt ist dann 0,
wenn einer der Faktoren 0 ist. Die Geschichte ist folgende :
Ist x1 eine NST von f, so ist (x-x1) ein Faktor von f (welcher
offensichtlich genau bei x1 seine NST besitzt). Den zweiten Faktor
erhält man (wie bei Zahlen auch), indem man durch den ersten Faktor
teilt. Die Division wird so ähnlich ausgeführt, wie man in der
Grundschule hohe Zahlen dividiert hat (nämlich Schritt für
Schritt die Stellen verringert) : Beispiel :
1024 : 8 = 1 2 8
-8
22
-16
64
-64
0
Bei Polynomen schaut das dann wie folgt aus :
(x³ - 4 x² + 8x - 8) : (x -2) = x² - 2x +4
- (x³ - 2 x²)
-2 x² + 8x
- (-2 x² + 4x)
4x - 8
-(4x - 8)
0
Zunächst wird die höchste Potenz x³ beseitigt. x³ ergibt sich, wenn
man die höchste Potenz des Teilers (die bei uns immer x ist) mit x²
multipliziert, also muss die höchste Potenz im Ergebnis x² sein.
(Rechnung : x³ : x = x²). Jetzt multipliziert man den ersten
Summanden des Ergebnisses (x²) mit dem Teiler(x-2), schreibt das
Produkt unter den Dividenden und subtrahiert ihn davon.
Man beachte dabei, dass man um das Ergebnis der Multiplikation
eine Klammer machen sollte und
- 4x² - (-2 x²) = -4x² + 2x² = -2x² erhält.
Man holt dann von oben den nächsten Summanden +8x nach unten.
Die höchste Potenz, die man zu diesem Zeitpunkt noch hat, ist -2x².
Teilt man diese wieder durch x, so erhält man -2x, den nächsten
Summanden des Ergebnisses. Man schreibt ihn nach rechts und
multipliziert wieder mit dem Teiler (x-2), schreibt das Ergebnis mit
einem Minus vor der Klammer wieder nach links und subtrahiert.
Jetzt bleibt nur noch 4x und von oben -8, der letzte Summand des
Ergebnisses muss also 4 lauten.
Ich hoffe, Sie konnten die einzelnen Rechenschritte nachvollziehen.
Ziel jedes Schrittes ist es, auf der linken Seite die jeweils
höchste Potenz zu beseitigen. Deshalb ist für den nächsten Summanden
der rechten Seite das -2 des Teilers zunächst unwichtig. Erst wenn
man diesen Summanden mit dem Teiler multipliziert, spielt das -2
wieder herein und darf hier auch nicht mehr vernachlässigt werden.
Seien Sie auch beim Abziehen vorsichtig. Hier schleichen sich
leicht Fehler ein, so dass die Division am Schluss nicht mehr aufgeht.
Sollte bei Ihnen die Division nicht aufgehen, mogeln Sie am Schluss nicht,
sondern stehen Sie dazu, dass Sie wohl irgendwo einen Fehler gemacht haben.
Lassen Sie ggf. den Rest unter dem letzten Strich stehen.
Was hat diese Division nun gebracht? überlegen Sie selbst, vor Sie
weiterlesen.
Richtig, wir haben f(x) in Faktoren zerlegt :
x³ - 4x² + 8x -8 = (x-2)(x² -2x + 4).
Wenn wir jetzt nach NST suchen, können wir uns die Faktoren ansehen.
Der erste Faktor liefert, was wir schon wissen : x1 = 2.
Es muss auch deshalb x-2 lauten, damit wir 0 erhalten, wenn wir +2
für x einsetzen.
Auf den zweiten Faktor können wir die Mitternachtsformel anwenden :
x2/3 = (2 ± √(4-16))/2 . √(-12) existiert nicht,
also gibt es auch kein x2/3, x1 bleibt die einzige NST.
Jetzt sollten Sie wohl einmal einige Beispiele mit
Polynomdivision üben :
Übungsaufgaben : 1. f(x) = -0,5 x³ + 2x² - 4x + 4
Hinweis : Nicht rechnen, sondern mit dem Beispiel vergleichen!
2. f(x) = x³ - 9x² + 27 x -27
3. f(x) = x³ - 3x² + 4
Hinweis : Falls Ihnen hier die x fehlen : Ergänzen Sie +0x !
4. f(x) = x4 + 4x³ - 7x² - 22x + 24
Hinweis : 2 mal Polynomdivision !
5. Wo sind mehrfache NST aufgetaucht?(Was könnte mit diesem Begriff gemeint
sein?)