ℎ - Universität Koblenz · Landau
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3. Fall: 𝑎 ∩ 𝑏 = 𝑃 ∧ 𝑐 ∩ 𝑑 = {𝑄}
𝑆𝑑 ∘ 𝑆𝑐 ∘ 𝑆𝑏 ∘ 𝑆𝑎 = 𝑆ℎ ∘ 𝑆𝑔 ∘ 𝑆𝑏 ∘ 𝑆𝑎 = 𝑆ℎ ∘ 𝑆𝑚
3. Fall: 𝑎 ∩ 𝑏 = 𝑃 ∧ 𝑐 ∩ 𝑑 = {𝑄}
Sei 𝑔 = 𝑃𝑄
𝑆𝑑 ∘ 𝑆𝑐 ∘ 𝑆𝑏 ∘ 𝑆𝑎 = 𝑆ℎ ∘ 𝑆𝑔 ∘ 𝑆𝑏 ∘ 𝑆𝑎 = 𝑆ℎ ∘ 𝑆𝑚
3. Fall: 𝑎 ∩ 𝑏 = 𝑃 ∧ 𝑐 ∩ 𝑑 = {𝑄}
Sei 𝑔 = 𝑃𝑄
(Hilfssatz) 𝑔 ∩ 𝑐 ∩ 𝑑 = 𝑄
⟹ ∃ℎ ∈ 𝑮: 𝑆𝑑 ∘ 𝑆𝑐 = 𝑆ℎ ∘ 𝑆𝑔
𝑆𝑑 ∘ 𝑆𝑐 ∘ 𝑆𝑏 ∘ 𝑆𝑎 = 𝑆ℎ ∘ 𝑆𝑔 ∘ 𝑆𝑏 ∘ 𝑆𝑎 = 𝑆ℎ ∘ 𝑆𝑚
3. Fall: 𝑎 ∩ 𝑏 = 𝑃 ∧ 𝑐 ∩ 𝑑 = {𝑄}
Sei 𝑔 = 𝑃𝑄
(Hilfssatz) 𝑔 ∩ 𝑐 ∩ 𝑑 = 𝑄
⟹ ∃ℎ ∈ 𝑮: 𝑆𝑑 ∘ 𝑆𝑐 = 𝑆ℎ ∘ 𝑆𝑔
𝑆𝑑 ∘ 𝑆𝑐 ∘ 𝑆𝑏 ∘ 𝑆𝑎 = 𝑆ℎ ∘ 𝑆𝑔 ∘ 𝑆𝑏 ∘ 𝑆𝑎 = 𝑆ℎ ∘ 𝑆𝑚
(Reduktionssatz 2.5) 𝑔 ∩ 𝑎 ∩ 𝑏 = 𝑃
⟹ ∃𝑚 ∈ 𝑮: 𝑆𝑔 ∘ 𝑆𝑏 ∘ 𝑆𝑎 = 𝑆𝑚
3. Fall: 𝑎 ∩ 𝑏 = 𝑃 ∧ 𝑐 ∩ 𝑑 = {𝑄}
Sei 𝑔 = 𝑃𝑄
(Hilfssatz) 𝑔 ∩ 𝑐 ∩ 𝑑 = 𝑄
⟹ ∃ℎ ∈ 𝑮: 𝑆𝑑 ∘ 𝑆𝑐 = 𝑆ℎ ∘ 𝑆𝑔
𝑆𝑑 ∘ 𝑆𝑐 ∘ 𝑆𝑏 ∘ 𝑆𝑎 = 𝑆ℎ ∘ 𝑆𝑔 ∘ 𝑆𝑏 ∘ 𝑆𝑎 = 𝑆ℎ ∘ 𝑆𝑚
(Reduktionssatz 2.5) 𝑔 ∩ 𝑎 ∩ 𝑏 = 𝑃
⟹ ∃𝑚 ∈ 𝑮: 𝑆𝑔 ∘ 𝑆𝑏 ∘ 𝑆𝑎 = 𝑆𝑚
4. Fall: 𝑎 ∩ 𝑏 = 𝑃 ∧ 𝑐 ∩ 𝑑 = 𝜙
4. Fall: 𝑎 ∩ 𝑏 = 𝑃 ∧ 𝑐 ∩ 𝑑 = 𝜙
𝑆𝑑 ∘ 𝑆𝑐 ∘ 𝑆𝑏 ∘ 𝑆𝑎 = 𝑆ℎ ∘ 𝑆𝑔 ∘ 𝑆𝑏 ∘ 𝑆𝑎 = 𝑆ℎ ∘ 𝑆𝑚
4. Fall: 𝑎 ∩ 𝑏 = 𝑃 ∧ 𝑐 ∩ 𝑑 = 𝜙
Sei 𝑔 ∥ 𝑐 ∧ 𝑃 ∈ 𝑔
𝑆𝑑 ∘ 𝑆𝑐 ∘ 𝑆𝑏 ∘ 𝑆𝑎 = 𝑆ℎ ∘ 𝑆𝑔 ∘ 𝑆𝑏 ∘ 𝑆𝑎 = 𝑆ℎ ∘ 𝑆𝑚
4. Fall: 𝑎 ∩ 𝑏 = 𝑃 ∧ 𝑐 ∩ 𝑑 = 𝜙
Sei 𝑔 ∥ 𝑐 ∧ 𝑃 ∈ 𝑔
(Hilfssatz) 𝑔 ∥ 𝑐 ∥ 𝑑
⟹ ∃ℎ ∈ 𝑮: 𝑆𝑑 ∘ 𝑆𝑐 = 𝑆ℎ ∘ 𝑆𝑔
𝑆𝑑 ∘ 𝑆𝑐 ∘ 𝑆𝑏 ∘ 𝑆𝑎 = 𝑆ℎ ∘ 𝑆𝑔 ∘ 𝑆𝑏 ∘ 𝑆𝑎 = 𝑆ℎ ∘ 𝑆𝑚
4. Fall: 𝑎 ∩ 𝑏 = 𝑃 ∧ 𝑐 ∩ 𝑑 = 𝜙
Sei 𝑔 ∥ 𝑐 ∧ 𝑃 ∈ 𝑔
(Hilfssatz) 𝑔 ∥ 𝑐 ∥ 𝑑
⟹ ∃ℎ ∈ 𝑮: 𝑆𝑑 ∘ 𝑆𝑐 = 𝑆ℎ ∘ 𝑆𝑔
𝑆𝑑 ∘ 𝑆𝑐 ∘ 𝑆𝑏 ∘ 𝑆𝑎 = 𝑆ℎ ∘ 𝑆𝑔 ∘ 𝑆𝑏 ∘ 𝑆𝑎 = 𝑆ℎ ∘ 𝑆𝑚
4. Fall: 𝑎 ∩ 𝑏 = 𝑃 ∧ 𝑐 ∩ 𝑑 = 𝜙
Sei 𝑔 ∥ 𝑐 ∧ 𝑃 ∈ 𝑔
(Hilfssatz) 𝑔 ∥ 𝑐 ∥ 𝑑
⟹ ∃ℎ ∈ 𝑮: 𝑆𝑑 ∘ 𝑆𝑐 = 𝑆ℎ ∘ 𝑆𝑔
𝑆𝑑 ∘ 𝑆𝑐 ∘ 𝑆𝑏 ∘ 𝑆𝑎 = 𝑆ℎ ∘ 𝑆𝑔 ∘ 𝑆𝑏 ∘ 𝑆𝑎 = 𝑆ℎ ∘ 𝑆𝑚
(Reduktionssatz 2.5) 𝑔 ∩ 𝑎 ∩ 𝑏 = 𝑃
⟹ ∃𝑚 ∈ 𝑮: 𝑆𝑔 ∘ 𝑆𝑏 ∘ 𝑆𝑎 = 𝑆𝑚
5. Fall: 𝑎 ∩ 𝑏 = 𝜙 ∧ 𝑐 ∩ 𝑑 = 𝑃 analog
𝑆𝑑 ∘ 𝑆𝑐 ∘ 𝑆𝑏 ∘ 𝑆𝑎 = 𝑆𝑑 ∘ 𝑆𝑐 ∘ 𝑆𝑔 ∘ 𝑆ℎ = 𝑆ℎ ∘ 𝑆𝑚
weiterer Fall: 𝑎 ∥ 𝑏 ∧ 𝑐 ∥ 𝑑
weiterer Fall: 𝑎 ∥ 𝑏 ∧ 𝑐 ∥ 𝑑
Hilfssatz: 𝑏 ∩ 𝑐 ∩ 𝑔 = 𝑆 ⟹ ∃𝑚 ∈ 𝑮: 𝑆𝑐 ∘ 𝑆𝑏 = 𝑆𝑔 ∘ 𝑆𝑚
weiterer Fall: 𝑎 ∥ 𝑏 ∧ 𝑐 ∥ 𝑑
Hilfssatz: 𝑏 ∩ 𝑐 ∩ 𝑔 = 𝑆 ⟹ ∃𝑚 ∈ 𝑮: 𝑆𝑐 ∘ 𝑆𝑏 = 𝑆𝑔 ∘ 𝑆𝑚
𝑆𝑑 ∘ 𝑆𝑐 ∘ 𝑆𝑏 ∘ 𝑆𝑎 = 𝑆𝑑 ∘ 𝑆𝑔 ∘ 𝑆𝑚 ∘ 𝑆𝑎
weiterer Fall: 𝑎 ∥ 𝑏 ∧ 𝑐 ∥ 𝑑
𝑃
𝑄
𝑆𝑑 ∘ 𝑆𝑐 ∘ 𝑆𝑏 ∘ 𝑆𝑎 = 𝑆𝑑 ∘ 𝑆𝑔 ∘ 𝑆𝑚 ∘ 𝑆𝑎
weiterer Fall: 𝑎 ∥ 𝑏 ∧ 𝑐 ∥ 𝑑
𝑃
𝑄
𝑆𝑑 ∘ 𝑆𝑐 ∘ 𝑆𝑏 ∘ 𝑆𝑎 = 𝑆𝑑 ∘ 𝑆𝑔 ∘ 𝑆𝑚 ∘ 𝑆𝑎
⟹ 3. Fall: 𝑎 ∩ 𝑚 = 𝑃 ∧ 𝑔 ∩ 𝑑 = 𝑄
Beweis Satz 2.9 (i)
Für 𝑎, 𝑏, 𝑔, ℎ ∈ 𝑮 mit 𝑎 ∩ 𝑏 ∩ 𝑔 ∩ ℎ = {𝐴} gilt (V) 𝑆ℎ ∘ 𝑆𝑔 = 𝑆𝑏 ∘ 𝑆𝑎
zu Zeigen: es gibt nicht überstumpfe Winkel ∢(𝑎𝐴 , 𝑏𝐴 ) und ∢ 𝑔𝐴 , ℎ𝐴 ,
die gleichorientiert und kongruent sind.
Beweis Satz 2.9 (i)
Für 𝑎, 𝑏, 𝑔, ℎ ∈ 𝑮 mit 𝑎 ∩ 𝑏 ∩ 𝑔 ∩ ℎ = {𝐴} gilt (V) 𝑆ℎ ∘ 𝑆𝑔 = 𝑆𝑏 ∘ 𝑆𝑎
zu Zeigen: es gibt nicht überstumpfe Winkel ∢(𝑎𝐴 , 𝑏𝐴 ) und ∢ 𝑔𝐴 , ℎ𝐴 ,
die gleichorientiert und kongruent sind.
Betrachte 𝑃 ∈ 𝑔𝐴 und 𝑄 ∈ 𝑎𝐴 mit [𝐴𝑃] ≅ [𝐴𝑄]
Beweis Satz 2.9 (i)
Für 𝑎, 𝑏, 𝑔, ℎ ∈ 𝑮 mit 𝑎 ∩ 𝑏 ∩ 𝑔 ∩ ℎ = {𝐴} gilt (V) 𝑆ℎ ∘ 𝑆𝑔 = 𝑆𝑏 ∘ 𝑆𝑎
zu Zeigen: es gibt nicht überstumpfe Winkel ∢(𝑎𝐴 , 𝑏𝐴 ) und ∢ 𝑔𝐴 , ℎ𝐴 ,
die gleichorientiert und kongruent sind.
Betrachte 𝑃 ∈ 𝑔𝐴 und 𝑄 ∈ 𝑎𝐴 mit [𝐴𝑃] ≅ [𝐴𝑄]
𝑤 ist die Symmetrieachse von 𝑃 und 𝑄
Beweis Satz 2.9 (i)
Für 𝑎, 𝑏, 𝑔, ℎ ∈ 𝑮 mit 𝑎 ∩ 𝑏 ∩ 𝑔 ∩ ℎ = {𝐴} gilt (V) 𝑆ℎ ∘ 𝑆𝑔 = 𝑆𝑏 ∘ 𝑆𝑎
zu Zeigen: es gibt nicht überstumpfe Winkel ∢(𝑎𝐴 , 𝑏𝐴 ) und ∢ 𝑔𝐴 , ℎ𝐴 ,
die gleichorientiert und kongruent sind.
Betrachte 𝑃 ∈ 𝑔𝐴 und 𝑄 ∈ 𝑎𝐴 mit [𝐴𝑃] ≅ [𝐴𝑄]
𝑤 ist die Symmetrieachse von 𝑃 und 𝑄
Wegen [𝐴𝑃] ≅ [𝐴𝑄] ist A ∈ 𝑤 (nach Satz 1.10)
Beweis Satz 2.9 (i)
Für 𝑎, 𝑏, 𝑔, ℎ ∈ 𝑮 mit 𝑎 ∩ 𝑏 ∩ 𝑔 ∩ ℎ = {𝐴} gilt (V) 𝑆ℎ ∘ 𝑆𝑔 = 𝑆𝑏 ∘ 𝑆𝑎
zu Zeigen: es gibt nicht überstumpfe Winkel ∢(𝑎𝐴 , 𝑏𝐴 ) und ∢ 𝑔𝐴 , ℎ𝐴 ,
die gleichorientiert und kongruent sind.
Betrachte 𝑃 ∈ 𝑔𝐴 und 𝑄 ∈ 𝑎𝐴 mit [𝐴𝑃] ≅ [𝐴𝑄]
𝑤 ist die Symmetrieachse von 𝑃 und 𝑄
Wegen [𝐴𝑃] ≅ [𝐴𝑄] ist A ∈ 𝑤 (nach Satz 1.10)
𝑆𝑎 ∘ 𝑆𝑤 𝑃 = 𝑆𝑎 𝑄 = 𝑄
Beweis Satz 2.9 (i)
Für 𝑎, 𝑏, 𝑔, ℎ ∈ 𝑮 mit 𝑎 ∩ 𝑏 ∩ 𝑔 ∩ ℎ = {𝐴} gilt (V) 𝑆ℎ ∘ 𝑆𝑔 = 𝑆𝑏 ∘ 𝑆𝑎
zu Zeigen: es gibt nicht überstumpfe Winkel ∢(𝑎𝐴 , 𝑏𝐴 ) und ∢ 𝑔𝐴 , ℎ𝐴 ,
die gleichorientiert und kongruent sind.
Betrachte 𝑃 ∈ 𝑔𝐴 und 𝑄 ∈ 𝑎𝐴 mit [𝐴𝑃] ≅ [𝐴𝑄]
𝑤 ist die Symmetrieachse von 𝑃 und 𝑄
Wegen [𝐴𝑃] ≅ [𝐴𝑄] ist A ∈ 𝑤 (nach Satz 1.10)
𝑆𝑎 ∘ 𝑆𝑤 𝑃 = 𝑆𝑎 𝑄 = 𝑄
(V) ⟹ 𝑆ℎ ∘ 𝑆𝑔 𝑃 = 𝑆𝑏 ∘ 𝑆𝑎 𝑃 = 𝑃′
∧ 𝑆ℎ ∘ 𝑆𝑔 𝑄 = 𝑆𝑏 ∘ 𝑆𝑎 𝑄 = 𝑄′
Beweis Satz 2.9 (i)
Für 𝑎, 𝑏, 𝑔, ℎ ∈ 𝑮 mit 𝑎 ∩ 𝑏 ∩ 𝑔 ∩ ℎ = {𝐴} gilt (V) 𝑆ℎ ∘ 𝑆𝑔 = 𝑆𝑏 ∘ 𝑆𝑎
zu Zeigen: es gibt nicht überstumpfe Winkel ∢(𝑎𝐴 , 𝑏𝐴 ) und ∢ 𝑔𝐴 , ℎ𝐴 ,
die gleichorientiert und kongruent sind.
Betrachte 𝑃 ∈ 𝑔𝐴 und 𝑄 ∈ 𝑎𝐴 mit [𝐴𝑃] ≅ [𝐴𝑄]
𝑤 ist die Symmetrieachse von 𝑃 und 𝑄
Wegen [𝐴𝑃] ≅ [𝐴𝑄] ist A ∈ 𝑤 (nach Satz 1.10)
𝑆𝑎 ∘ 𝑆𝑤 𝑃 = 𝑆𝑎 𝑄 = 𝑄
(V) ⟹ 𝑆ℎ ∘ 𝑆𝑔 𝑃 = 𝑆𝑏 ∘ 𝑆𝑎 𝑃 = 𝑃′
∧ 𝑆ℎ ∘ 𝑆𝑔 𝑄 = 𝑆𝑏 ∘ 𝑆𝑎 𝑄 = 𝑄′
Wir zeigen nun: die Dreiecke 𝑃𝐴𝑃′ und 𝑄𝐴𝑄′
sind kongruent und gleichorientiert
Damit sind auch die Winkel ∡ 𝑃𝐴𝑃′ und ∡ 𝑄𝐴𝑄′
kongruent und gleichorientiert
Da ℎ die Winkelhalbierende von ∡ 𝑃𝐴𝑃′ und 𝑏 die Winkelhalbierende von ∡ 𝑄𝐴𝑄′ ist,
ist zuletzt leicht zu zeigen, dass ∡ 𝑔𝐴 , ℎ𝐴 und ∡ 𝑎𝐴 , 𝑏𝐴 gleichorientiert und kongruent sind.
Beweis Satz 2.9 (i)
Für 𝑎, 𝑏, 𝑔, ℎ ∈ 𝑮 mit 𝑎 ∩ 𝑏 ∩ 𝑔 ∩ ℎ = {𝐴} gilt (V) 𝑆ℎ ∘ 𝑆𝑔 = 𝑆𝑏 ∘ 𝑆𝑎
zu Zeigen: es gibt nicht überstumpfe Winkel ∢(𝑎𝐴 , 𝑏𝐴 ) und ∢ 𝑔𝐴 , ℎ𝐴 ,
die gleichorientiert und kongruent sind.
𝑃′ = 𝑆ℎ ∘ 𝑆𝑔 𝑃 = 𝑆𝑏 ∘ 𝑆𝑎 𝑃
𝑤 ist die Symmetrieachse von 𝑃 und 𝑄: 𝑃 = 𝑆𝑤 𝑄
𝑆𝑎 ∘ 𝑆𝑤 𝑃 = 𝑆𝑎 𝑄 = 𝑄
Beweis Satz 2.9 (i)
Für 𝑎, 𝑏, 𝑔, ℎ ∈ 𝑮 mit 𝑎 ∩ 𝑏 ∩ 𝑔 ∩ ℎ = {𝐴} gilt (V) 𝑆ℎ ∘ 𝑆𝑔 = 𝑆𝑏 ∘ 𝑆𝑎
zu Zeigen: es gibt nicht überstumpfe Winkel ∢(𝑎𝐴 , 𝑏𝐴 ) und ∢ 𝑔𝐴 , ℎ𝐴 ,
die gleichorientiert und kongruent sind.
𝑃′ = 𝑆ℎ ∘ 𝑆𝑔 𝑃 = 𝑆𝑏 ∘ 𝑆𝑎 𝑃
𝑤 ist die Symmetrieachse von 𝑃 und 𝑄: 𝑃 = 𝑆𝑤 𝑄
⟹ 𝑃′ = 𝑆ℎ ∘ 𝑆𝑔 𝑃 = 𝑆ℎ ∘ 𝑆𝑔 ∘ 𝑆𝑤 𝑄
𝑆𝑎 ∘ 𝑆𝑤 𝑃 = 𝑆𝑎 𝑄 = 𝑄
Beweis Satz 2.9 (i)
Für 𝑎, 𝑏, 𝑔, ℎ ∈ 𝑮 mit 𝑎 ∩ 𝑏 ∩ 𝑔 ∩ ℎ = {𝐴} gilt (V) 𝑆ℎ ∘ 𝑆𝑔 = 𝑆𝑏 ∘ 𝑆𝑎
zu Zeigen: es gibt nicht überstumpfe Winkel ∢(𝑎𝐴 , 𝑏𝐴 ) und ∢ 𝑔𝐴 , ℎ𝐴 ,
die gleichorientiert und kongruent sind.
𝑃′ = 𝑆ℎ ∘ 𝑆𝑔 𝑃 = 𝑆𝑏 ∘ 𝑆𝑎 𝑃
𝑤 ist die Symmetrieachse von 𝑃 und 𝑄: 𝑃 = 𝑆𝑤 𝑄
⟹ 𝑃′ = 𝑆ℎ ∘ 𝑆𝑔 𝑃 = 𝑆ℎ ∘ 𝑆𝑔 ∘ 𝑆𝑤 𝑄
𝑆ℎ ∘ 𝑆𝑔 ∘ 𝑆𝑤 ist nach Satz 2.5 eine Achsenspiegelung
Diese ist involutorisch ⟹ 𝑆ℎ ∘ 𝑆𝑔 ∘ 𝑆𝑤 𝑃′ = 𝑄
𝑆𝑎 ∘ 𝑆𝑤 𝑃 = 𝑆𝑎 𝑄 = 𝑄
Beweis Satz 2.9 (i)
Für 𝑎, 𝑏, 𝑔, ℎ ∈ 𝑮 mit 𝑎 ∩ 𝑏 ∩ 𝑔 ∩ ℎ = {𝐴} gilt (V) 𝑆ℎ ∘ 𝑆𝑔 = 𝑆𝑏 ∘ 𝑆𝑎
zu Zeigen: es gibt nicht überstumpfe Winkel ∢(𝑎𝐴 , 𝑏𝐴 ) und ∢ 𝑔𝐴 , ℎ𝐴 ,
die gleichorientiert und kongruent sind.
𝑃′ = 𝑆ℎ ∘ 𝑆𝑔 𝑃 = 𝑆𝑏 ∘ 𝑆𝑎 𝑃
𝑤 ist die Symmetrieachse von 𝑃 und 𝑄: 𝑃 = 𝑆𝑤 𝑄
⟹ 𝑃′ = 𝑆ℎ ∘ 𝑆𝑔 𝑃 = 𝑆ℎ ∘ 𝑆𝑔 ∘ 𝑆𝑤 𝑄
𝑆ℎ ∘ 𝑆𝑔 ∘ 𝑆𝑤 ist nach Satz 2.5 eine Achsenspiegelung
Diese ist involutorisch ⟹ 𝑆ℎ ∘ 𝑆𝑔 ∘ 𝑆𝑤 𝑃′ = 𝑄
(V) ⟹ 𝑆𝑏 ∘ 𝑆𝑎 ∘ 𝑆𝑤 𝑃′ = 𝑄
𝑆𝑎 ∘ 𝑆𝑤 𝑃 = 𝑆𝑎 𝑄 = 𝑄
Beweis Satz 2.9 (i)
Für 𝑎, 𝑏, 𝑔, ℎ ∈ 𝑮 mit 𝑎 ∩ 𝑏 ∩ 𝑔 ∩ ℎ = {𝐴} gilt (V) 𝑆ℎ ∘ 𝑆𝑔 = 𝑆𝑏 ∘ 𝑆𝑎
zu Zeigen: es gibt nicht überstumpfe Winkel ∢(𝑎𝐴 , 𝑏𝐴 ) und ∢ 𝑔𝐴 , ℎ𝐴 ,
die gleichorientiert und kongruent sind.
𝑃′ = 𝑆ℎ ∘ 𝑆𝑔 𝑃 = 𝑆𝑏 ∘ 𝑆𝑎 𝑃
𝑤 ist die Symmetrieachse von 𝑃 und 𝑄: 𝑃 = 𝑆𝑤 𝑄
⟹ 𝑃′ = 𝑆ℎ ∘ 𝑆𝑔 𝑃 = 𝑆ℎ ∘ 𝑆𝑔 ∘ 𝑆𝑤 𝑄
𝑆ℎ ∘ 𝑆𝑔 ∘ 𝑆𝑤 ist nach Satz 2.5 eine Achsenspiegelung
Diese ist involutorisch ⟹ 𝑆ℎ ∘ 𝑆𝑔 ∘ 𝑆𝑤 𝑃′ = 𝑄
(V) ⟹ 𝑆𝑏 ∘ 𝑆𝑎 ∘ 𝑆𝑤 𝑃′ = 𝑄
Wir verknüpfen mit einer weiteren Spiegelung an 𝑏:
𝑆𝑏 ∘ (𝑆𝑏 ∘ 𝑆𝑎 ∘ 𝑆𝑤 ) 𝑃′ = 𝑆𝑏 𝑄 = 𝑄′
und
𝑆𝑏 ∘ 𝑆𝑏 ∘ 𝑆𝑎 ∘ 𝑆𝑤 𝑃′ = 𝑆𝑎 ∘ 𝑆𝑤 𝑃′
𝑆𝑎 ∘ 𝑆𝑤 𝑃 = 𝑆𝑎 𝑄 = 𝑄
Beweis Satz 2.9 (i)
Für 𝑎, 𝑏, 𝑔, ℎ ∈ 𝑮 mit 𝑎 ∩ 𝑏 ∩ 𝑔 ∩ ℎ = {𝐴} gilt (V) 𝑆ℎ ∘ 𝑆𝑔 = 𝑆𝑏 ∘ 𝑆𝑎
zu Zeigen: es gibt nicht überstumpfe Winkel ∢(𝑎𝐴 , 𝑏𝐴 ) und ∢ 𝑔𝐴 , ℎ𝐴 ,
die gleichorientiert und kongruent sind.
𝑃′ = 𝑆ℎ ∘ 𝑆𝑔 𝑃 = 𝑆𝑏 ∘ 𝑆𝑎 𝑃
𝑤 ist die Symmetrieachse von 𝑃 und 𝑄: 𝑃 = 𝑆𝑤 𝑄
⟹ 𝑃′ = 𝑆ℎ ∘ 𝑆𝑔 𝑃 = 𝑆ℎ ∘ 𝑆𝑔 ∘ 𝑆𝑤 𝑄
𝑆ℎ ∘ 𝑆𝑔 ∘ 𝑆𝑤 ist nach Satz 2.5 eine Achsenspiegelung
Diese ist involutorisch ⟹ 𝑆ℎ ∘ 𝑆𝑔 ∘ 𝑆𝑤 𝑃′ = 𝑄
(V) ⟹ 𝑆𝑏 ∘ 𝑆𝑎 ∘ 𝑆𝑤 𝑃′ = 𝑄
Wir verknüpfen mit einer weiteren Spiegelung an 𝑏:
𝑆𝑏 ∘ (𝑆𝑏 ∘ 𝑆𝑎 ∘ 𝑆𝑤 ) 𝑃′ = 𝑆𝑏 𝑄 = 𝑄′
und
𝑆𝑏 ∘ 𝑆𝑏 ∘ 𝑆𝑎 ∘ 𝑆𝑤 𝑃′ = 𝑆𝑎 ∘ 𝑆𝑤 𝑃′
⟹ 𝑄′ = 𝑆𝑎 ∘ 𝑆𝑤 𝑃′
𝑆𝑎 ∘ 𝑆𝑤 𝑃 = 𝑆𝑎 𝑄 = 𝑄
Beweis Satz 2.9 (i)
Für 𝑎, 𝑏, 𝑔, ℎ ∈ 𝑮 mit 𝑎 ∩ 𝑏 ∩ 𝑔 ∩ ℎ = {𝐴} gilt (V) 𝑆ℎ ∘ 𝑆𝑔 = 𝑆𝑏 ∘ 𝑆𝑎
zu Zeigen: es gibt nicht überstumpfe Winkel ∢(𝑎𝐴 , 𝑏𝐴 ) und ∢ 𝑔𝐴 , ℎ𝐴 ,
die gleichorientiert und kongruent sind.
𝑃′ = 𝑆ℎ ∘ 𝑆𝑔 𝑃 = 𝑆𝑏 ∘ 𝑆𝑎 𝑃
𝑤 ist die Symmetrieachse von 𝑃 und 𝑄: 𝑃 = 𝑆𝑤 𝑄
𝑆𝑎 ∘ 𝑆𝑤 𝑃 = 𝑆𝑎 𝑄 = 𝑄
⟹ 𝑃′ = 𝑆ℎ ∘ 𝑆𝑔 𝑃 = 𝑆ℎ ∘ 𝑆𝑔 ∘ 𝑆𝑤 𝑄
𝑆ℎ ∘ 𝑆𝑔 ∘ 𝑆𝑤 ist nach Satz 2.5 eine Achsenspiegelung
Diese ist involutorisch ⟹ 𝑆ℎ ∘ 𝑆𝑔 ∘ 𝑆𝑤 𝑃′ = 𝑄
(V) ⟹ 𝑆𝑏 ∘ 𝑆𝑎 ∘ 𝑆𝑤 𝑃′ = 𝑄
Wir verknüpfen mit einer weiteren Spiegelung an 𝑏:
𝑆𝑏 ∘ (𝑆𝑏 ∘ 𝑆𝑎 ∘ 𝑆𝑤 ) 𝑃′ = 𝑆𝑏 𝑄 = 𝑄′
und
𝑆𝑏 ∘ 𝑆𝑏 ∘ 𝑆𝑎 ∘ 𝑆𝑤 𝑃′ = 𝑆𝑎 ∘ 𝑆𝑤 𝑃′
⟹ 𝑄′ = 𝑆𝑎 ∘ 𝑆𝑤 𝑃′
Wir wissen außerdem: 𝐴 = 𝑆𝑎 ∘ 𝑆𝑤 𝐴 ∧ 𝑄 = 𝑆𝑎 ∘ 𝑆𝑤 𝑄
Beweis Satz 2.9 (i)
Für 𝑎, 𝑏, 𝑔, ℎ ∈ 𝑮 mit 𝑎 ∩ 𝑏 ∩ 𝑔 ∩ ℎ = {𝐴} gilt (V) 𝑆ℎ ∘ 𝑆𝑔 = 𝑆𝑏 ∘ 𝑆𝑎
zu Zeigen: es gibt nicht überstumpfe Winkel ∢(𝑎𝐴 , 𝑏𝐴 ) und ∢ 𝑔𝐴 , ℎ𝐴 ,
die gleichorientiert und kongruent sind.
Es folgt: 𝑆𝑎 ∘ 𝑆𝑤 𝑃𝐴𝑃′ = 𝑄𝐴𝑄′
Damit sind 𝑃𝐴𝑃′ und 𝑄𝐴𝑄′ kongruent
𝑃𝐴𝑃′ und 𝑄𝐴𝑄′ sind außerdem gleichorientiert, da die
Kongruenzabbildung (2 Spiegelungen) gleichsinnig ist.
Damit sind auch die entsprechenden Winkel in 𝐴
kongruent und gleichorientiert .
Da ℎ die Winkelhalbierende von ∡ 𝑃𝐴𝑃′ und 𝑏 die
Winkelhalbierende von ∡ 𝑄𝐴𝑄′ ist, gilt
𝑏 = (𝑆𝑘 ∘ 𝑆𝑤)(ℎ)
Also sind ∡ 𝑔𝐴 , ℎ𝐴 und ∡ 𝑎𝐴 , 𝑏𝐴
kongruent und gleichorientiert .
