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HerleitungDopplereffekt

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I. Dopplereffekt
I
I | Dopplereffekt
Herleitung Dopplereffekt
Herleitung:
Sezt man einen Wellenzahlvierervektor an, kann man mit Hilfe der Lorentztransformation den
Dopplereffekt herleiten:
ω ~
kµ =
,k
c
einsetzen in die Lorentztransformation k0 = Lk:
 00 



 k 
 γ −βγ 0 0   k0 
 k1 0 
 −βγ γ 0 0   k1 


 

µ0


k =  2 0  = 
 k 
 0
0 1 0   k2 
 30 

 3 
0
0 0 1
k
k
ω0
c




 1 
 γ −βγ 0 0 
 cos α 



 =  −βγ γ 0 0  · ω
 sin α 
 0
0 1 0  c




0
0
0 0 1
1
γ= q
1−
V2
c2
,β=


 1 
 cos α 


 sin α 


0
V
c
Lorentztransformation durchfhren:
k
00
ω0
ω
ω
ω
1
=
= γ − βγ cos α =
q
c
c
c
c
1−
V2
c2
V
−
c
V
ω0
ω 1 − c cos α
=
q
2
c
c
1 − Vc2
q
(1 − Vc )(1 + Vc )
0
⇒ω=ω
1 − Vc cos α
r
1−
V2
ω
cos α
2
c
c
I. Dopplereffekt
II
S
S0
α
⊕Beobachter
?
V
Abbildung I.1.: Schematische Darstellung des Dopplereffekts bei Sternen. Roter Pfeil deutet
auf die Ausbreitungsrichtung des Lichtes. Stern ruht in Inertialsystem S 0 welches sich mit Geschwindigkeit V in eine Richtung bewegt.
S0
?V
S
α=0
⊕Beobachter
Abbildung I.2.: Schematische Darstellung des Dopplereffekts: Blauverschiebung, der Stern
bewegt sich auf uns zu.
S0
V
?
S
α=π
⊕Beobachter
Abbildung I.3.: Schematische Darstellung des Dopplereffekt: Rotverschiebung, Stern bewegt
sich von uns weg.
I. Dopplereffekt
III
GRENZFLE:
α = 0: Blauverschiebung
ω = ω0 1 +
V
c
α = π: Rotverschiebung
ω = ω0 1 −
V
c
α = π2 : Transversal → Beobachtung der Zeitdilatation
ω = ω0 1 −
V2 2c2
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