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202006 LO B07

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Universität Duisburg-Essen
Fakultät für Mathematik
Prof. Dr. Rüdiger Schultz
Johanna Burtscheidt, M. Sc.
SS 2020
Aufgaben zur Linearen Optimierung
Blatt 7
Aufgabe 19 (8 Punkte)
Beweisen Sie: Gegeben sei das Polyeder P = {x ∈ Rn : Ax ≤ b} und ein x̄ ∈ P . Dann sind
äquivalent:
a) Die Menge P \{x̄} ist konvex.
b) x̄ ist eine Ecke von P .
c) Es existiert ein c ∈ Rn , so dass x̄ eine eindeutige Lösung von max{c> x : x ∈ P } ist.
d) x̄ ist keine echte Konvexkombination der Punkte aus P , d.h. @ y, z ∈ P , y 6= z, λ ∈ (0, 1) :
x̄ = λy + (1 − λ)z.
Aufgabe 20 (6 + 10 Punkte)
Zeigen Sie:
a) Das System Ax ≤ b definiere einen nichtleeren Zulässigkeitsbereich. Dann ist die Ungleichung
c> x ≤ d genau dann redundant bzgl. Ax ≤ b, wenn sich c als konische Kombination der Zeilen
von A schreiben lässt und die entsprechende konische Kombination der Koeffizienten von b
nicht mehr als d liefert.
b) Es kann keine zwei zueinander dualen linearen Optimierungsprobleme mit beschränkten Zulässigkeitsbereichen M und N geben, wenn eine dieser Mengen mindestens eine aktive Ungleichung
enthält.
Aufgabe 21 (4 Punkte)
Beweisen Sie mit dem Lagrange-Dualproblem
sup infn L(x, λ)
λ≥0 x∈R
aus dem Skript, dass (D) sup{b> y : A> y ≤ c} das Dualproblem zu (P ) inf{c> x : Ax = b, x ≥ 0}
ist.
Abgabe bis Dienstag, 09. Juni 2020, 11:45 Uhr über den moodle Kurs
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