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ET 03

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Hochschule für Technik und Architektur Bern
Abteilung Elektrotechnik und Elektronik
BFH Bereich Elektro- und Kommunikationstechnik
Elektrotechnik Grundlagen
Kapitel 3
Berechnung von Schaltungen (Knoten und Maschen)
2003
Kurt Steudler
(/ET_03.doc)
STR – ING
Elektrotechnik
3-2
_____________________________________________________________________
Inhaltsverzeichnis
3
Die Berechnung von Schaltungen (Knoten und Maschen).............. 3
3.1
Topologie der Schaltungen.................................................................... 3
3.2
Knoten- und Maschengleichungen ........................................................ 5
3.2.1
3.2.2
3.2.3
3.2.4
3.2.5
3.3
Knotengleichungen (Knotenpunktverfahren) .................................................... 5
Maschengleichungen (Maschenstromverfahren).............................................. 6
Ansatz mit Knoten und Maschen: Beispiel........................................................ 7
Hilfsregeln zum Knoten- und Maschenansatz ................................................ 10
Numerische Berechnungen ............................................................................ 11
Wheatstone‘ sche Brücke .................................................................... 14
3.3.1
3.3.2
Brückenschaltung mit Dehnungsmessstreifen DMS....................................... 16
Brückenschaltung zur Widerstandsmessung.................................................. 19
Literaturverzeichnis und Software
L 3-1
L 3-2
L 3-3
Frohne Heinrich, Löcherer Karl-Heinz und Müller Hans, Grundlagen der Elektrotechnik, Verlag B.G. Teubner, Stuttgart – Leipzig, 1996, ISBN 3-519-46400-4.
®
MATHCAD 2000. Mathematiksoftware, die sich für numerische Rechnungen und
Laborauswertungen eignet.
Tabellenbuch Informations- und Telekommunikationstechnik, Verlag Dr. Max Gehlen,
Bad Homburg vor der Höhe, 1998, ISBN 3-441-92102-x
Figurenverzeichnis
Fig. 3-1
Fig. 3-2
Fig. 3-3
Fig. 3-4
Fig. 3-5
Fig. 3-6
Fig. 3-7
Fig. 3-8
Fig. 3-9
Fig. 3-10
Fig. 3-11
Fig. 3-12
Fig. 3-13
Fig. 3-14
Fig. 3-15
Fig. 3-16
Fig. 3-17
Fig. 3-18
Fig. 3-19
Fig. 3-20
Element in einem Netzwerk ........................................................................................... 3
Separate und nichtseparate Systeme oder Netzwerke ................................................. 3
Ein Netzwerk, ein System, ein separates Teil ............................................................... 4
Beispiel zu Knoten und Maschen .................................................................................. 4
Referenzknoten.............................................................................................................. 6
Maschenstrom ............................................................................................................... 7
Beispiel zum Knoten- und Maschenansatz.................................................................... 7
Beispiel zum Knotenpunktverfahren .............................................................................. 8
Beispiel zum Maschenstromverfahren........................................................................... 9
Element parallel zu Spannungsquelle ......................................................................... 10
Element in Serie zu Stromquelle ................................................................................. 10
Hilfsmasche für Stromquelle ........................................................................................ 11
Maschenstromverfahren numerisch 1 ......................................................................... 12
Knotenpunktverfahren numerisch 2............................................................................. 13
WHEATSTONE - Brücke ............................................................................................. 14
Beschriftete - Brücke.................................................................................................... 15
Dehnungsmessstreifen aus [L 3-3] .............................................................................. 16
Brückenschaltung mit DMS.......................................................................................... 16
Spannungsänderung zu Längenänderung .................................................................. 18
Widerstandsmessung .................................................................................................. 19
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Kurt Steudler
3-2
str
STR – ING
Elektrotechnik
3-3
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3
Die Berechnung von Schaltungen (Knoten und Maschen)
Es sollen umfangreiche Netzwerke berechnet werden. Ein Netzwerk besteht aus
zwei oder mehr Elementen. Elemente sind Widerstände und Quellen.
Gesucht sind die Spannungen an den Elementen und die Ströme durch die Elemente eines gegebenen Netzwerkes.
Diese gesuchten Grössen ergeben sich aus Bestimmungsgleichungen, die für das
Netzwerk aufgestellt werden können.
Die Bestimmungsgleichungen ergeben sich aus den KIRCHHOFF‘ schen Sätzen.
Die notwendige Anzahl der Bestimmungsgleichungen für ein gegebenes Netzwerk wird mit Hilfe der Topologie gefunden.
3.1
Topologie der Schaltungen
Ein einzelnes Element des Netzwerkes sei durch das folgende Symbol dargestellt:
A
Element
Knoten A
Fig. 3-1
B
Knoten B
Element in einem Netzwerk
Ein einzelnes Element liegt immer zwischen zwei Knoten.
1
Zwei oder mehr Systeme, das heisst Kombinationen von Elementen (Netzwerke)
werden als separat oder getrennt bezeichnet, wenn sie untereinander weder Knoten noch Elemente gemeinsam haben.
nichtseparate Systeme
Element gemeinsam
Fig. 3-2
1
zwei separate Systeme
Knoten gemeinsam
Separate und nichtseparate Systeme oder Netzwerke
Die Topologie ist ein Teilgebiet der Mathematik. Wir setzen die Mathematik als Werkzeug ein und
übernehmen nur die mathematischen Erkenntnisse. Auf Herleitungen wird verzichtet.
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Kurt Steudler
3-3
str
STR – ING
Elektrotechnik
3-4
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In der Elektrotechnik betrachten wir immer nur ein System, ein Netzwerk, ein separates Teil.
Für die Anwendung der KIRCHOFF‘ schen Sätze wird im Netzwerk ein Bezugsknoten, der Referenzknoten R bezeichnet.
Die Kombination eines beliebigen Knotens im Netzwerk mit dem Referenzknoten
R nennen wir ein Knotenpaar.
C
B
A
G
Fig. 3-3
D
E
F
R
Ein Netzwerk, ein System, ein separates Teil
Aus der Topologie ergeben sich folgende Beziehungen:
Die Anzahl der unabhängigen Maschen ist gleich der Anzahl der Elemente, ab2
züglich der Anzahl der Knoten, zuzüglich die Anzahl der separaten Teile.
Die Anzahl der für die Berechnung der unbekannten Ströme und Spannungen
notwendigen Maschengleichungen ist gleich der Anzahl der unabhängigen Ma3
schen, abzüglich der Anzahl der Stromquellen im Netzwerk.
Die Anzahl der unabhängigen Knotenpaare ist gleich der Anzahl der Knoten, abzüglich die Anzahl der separaten Teile. (1 Teil).
Die Anzahl der für die Berechnung der unbekannten Ströme und Spannungen
notwendigen Knotengleichungen ist gleich der Anzahl der unabhängigen Knotenpaare, abzüglich der Anzahl der Spannungsquellen im Netzwerk.
Beispiel
Y
A
R1
B
R3
R2
U
R4
R
Fig. 3-4
2
3
Beispiel zu Knoten und Maschen
Eine Schaltung, ein Netzwerk ist ein separates Teil.
Die Elementen sind gegeben.
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Kurt Steudler
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Elektrotechnik
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Anzahl unabhängige Maschen = 5 Elemente (4 Widerstände, 1 Quelle) – 4 Knoten
(Y, A, B, R) + 1 separates Teil = 2
Anzahl benötigte Maschengleichungen = 2 unabhängige Maschen – 0 Stromquellen = 2
Anzahl unabhängige Knotenpaare = 4 Knoten – 1 separates Teil = 3
Anzahl benötigte Knotengleichungen = 3 unabhängige Knotenpaare – 1 Spannungsquelle = 2
Im gegebenen Netzwerk können alle Ströme und alle Spannungen berechnet wer4
den mit entweder zwei Maschengleichungen oder zwei Knotengleichungen.
Wir bestimmen hier die unbekannten Grössen aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten. Das Lösungspaar ergibt sich aus einem linearen Gleichungssystem.
3.2
Knoten- und Maschengleichungen
Grundlage für das Aufstellen von Knoten- und Maschengleichungen sind die
KIRCHHOFF‘ schen Sätze.
Bevor die Knotengleichungen oder die Maschengleichungen zu einem Netzwerk
aufgestellt, angesetzt werden, sind folgende Punkte abzuklären:
• Welche Grössen sind gegeben ? Welche Grössen sind gesucht ?
• Ist alles sauber angeschrieben ? (Elemente, Ströme, Spannungen)
• Wieviele Knotengleichungen oder wieviele Maschengleichungen sind nötig ?
Gewählt wird jener Ansatz, der weniger Gleichungen erfordert.
• Welches sollen die unbekannten Grössen sein ? (Ströme, Spannungen). Die
Anzahl der unbekannten Grössen entspricht der Anzahl notwendige Gleichungen.
3.2.1 Knotengleichungen (Knotenpunktverfahren)
In einem Netzwerk ist zu unterscheiden zwischen
• den fest gegebenen Strömen In (Ströme aus Stromquellen),
• den unbekannten Strömen Ix und
• den übrigen Strömen Ik , die aus den Lösungen für Ix kombiniert werden.
5
Angesetzt werden die Knotengleichungen in den betrachteten Knoten aus
n
m
i =1
k =1
∑ Ii zufliessend = ∑ Ik wegfliessend
4
5
(3-1)
Entweder oder besagt, dass die beiden Methoden im Ansatz nie vermischt werden dürfen.
Die Anzahl der betrachteten Knoten entspricht der Anzahl der notwendigen Gleichungen.
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Kurt Steudler
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str
STR – ING
Elektrotechnik
3-6
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Die so entstehenden Gleichungen enthalten zunächst zuviele unbekannte Ströme.
Durch den Einbezug der gegebenen Elemente und mit Hilfe des Gesetzes von
OHM werden die Ströme ersetzt mit I = U/R
Für das Aufstellen von Knotengleichungen wird ein Referenzknoten R bezeichnet.
Die Spannungen Uk über jenen Elementen, die nicht mit dem Referenzknoten verbunden sind, werden ersetzt durch Spannungen, die auf den Referenzknoten bezogen sind.
Es gilt mit dem Maschensatz
Uk = Uk-1 – Uk+1
Uk
A
•
Rk
Uk-1
Ik
B
•
Damit wird der im Knoten A wegfliessende und im Knoten B zufliessende
Strom aus dem Element Rk zu
Uk+1
•
R
Fig. 3-5
Ik =
Uk −1 − Uk +1
= (Uk −1 − Uk +1 ) ⋅ Gk
Rk
Referenzknoten
3.2.2 Maschengleichungen (Maschenstromverfahren)
In einem Netzwerk ist zu unterscheiden zwischen
• den fest gegebenen Spannungen Un (Spannungsquellen),
• den unbekannten Spannungen Ux und
• den übrigen Spannungen Uk , die aus den Lösungen für Ux kombiniert werden.
6
Angesetzt werden die Maschengleichungen in den betrachteten Maschen aus
n
∑U
i
=0
(3-2)
i=1
Die so entstehenden Gleichungen enthalten zunächst zuviele unbekannte Spannungen.
Durch den Einbezug der gegebenen Elemente und mit Hilfe des Gesetzes von
OHM werden die Spannungen ersetzt mit U = I⋅R
Für das Aufstellen der Maschengleichungen wird in jeder Masche Mk ein Maschenstrom Ik bezeichnet. Dieser Maschenstrom fliesst durch jedes Element der
Masche.
Die Ströme Ii, die selber nicht Maschenströme sind, werden ausgedrückt in den
Maschenströmen Ik .
6
Die Anzahl der betrachteten Maschen entspricht der Anzahl der notwendigen Gleichungen.
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Elektrotechnik
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Es gilt mit dem Maschensatz
Ui + Ui-1 + Ui+1 = 0
Es ist Ii = Ik = Maschenstrom. Damit
werden mit dem Knotensatz
Ii+1 = Ik – Ii+2 und Ii-1 = Ii-2 – Ik und daraus für die Masche Mk
Ui
Ii-2 A
B
Ii
Ri
Ui-1
Ri-1
Ri+1
Ui+1
Mk
Ik
Ii-1
Fig. 3-6
Ii+2
R
•
Ik⋅Ri + (Ik – Ii+2)⋅Ri+1 – (Ii-2 – Ik)⋅Ri-1 = 0
Ii+1
oder
(Ri-1+Ri+Ri+1)⋅Ik – Ri-1⋅Ii-2 – Ri+1⋅Ii+2 = 0
Maschenstrom
3.2.3 Ansatz mit Knoten und Maschen: Beispiel
I
U1
U3
I1
X
•
R1
U
M1
Ix
•
B
R3
R2
U2
R4
U4
M2
I2
•
Fig. 3-7
I3
A
Iy
R
•
I4
Beispiel zum Knoten- und Maschenansatz
Gegeben sind die Grössen R1, R2, R3, R4, U und I.
Gesucht werden der Strom I4 = Iy durch den Widerstand R4 und die Spannung U4 =
Uy über dem Widerstand R4.
Zunächst wird die Anzahl der notwendigen Gleichungen bestimmt:
Anzahl der nötigen Maschengleichung =
6–4+1–1
=2
Anzahl der nötigen Knotengleichungen =
4–1–1
=2
Beide Ansätze benötigen gleich viele Gleichungen. Wir benutzen das Beispiel daher, um beide Verfahren näher darzustellen.
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Kurt Steudler
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str
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Elektrotechnik
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3.2.3.1
Der Knotenansatz (Knotenpunktverfahren)
I
U1
U3
I1
X
•
R1
U
M1
Ix
•
B
R3
R2
U2
R4
U4
M2
I2
•
Fig. 3-8
I3
A
Iy
R
•
I4
Beispiel zum Knotenpunktverfahren
Im Knoten A gilt:
Im Knoten B gilt:
I 1 = I2 + I3 + I
I 3 + I = Iy
(I ist eine Stromquelle und gegeben)
Der Knoten X kann für einen Ansatz nicht verwendet werden, da seine Spannung
gegenüber dem Referenzpunkt R konstant U ist.
Daraus wird mit den beiden als Unbekannte bezeichneten Spannungen U2 und Uy,
die je zum Referenzpunkt zeigen
U − U2 U2 U2 − U y
Im Knoten A :
=
+
+ I und
R1
R2
R3
U2 − U y
U
im Knoten B :
+I= y
R3
R4
Für das Auffinden der Beziehungen zwischen den als unbekannt bezeichneten
Spannungen und den übrigen Spannungen wird der Maschensatz verwendet.
Aus den beiden Gleichungen ergibt sich ein lineares Gleichungssystem
 1
1
1 
 ⋅ U2 +
− 
+
+
 R1 R 2 R 3 
−
1
1
⋅ Uy = I −
⋅U
R3
R1
7
 1
1
1 
 ⋅ Uy = I
⋅ U2 + 
+
R3
R
R
4 
 3
oder
 1

1
1 
1



−
+
+
U 
R3
− I
  R1 R 2 R 3 
  U2  

 ⋅   =  R1 
 1
1
1    Uy  



 
−
+
+
 I 


R3
 R3 R 4  

7
8
(3-3)
8
Form, die unmittelbar aus dem praktischen Ansatz entsteht.
In der Mathematik übliche Matrizenschreibweise.
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Elektrotechnik
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Die gesuchte Grösse Uy = U4 wird
U4 = R 4 ⋅
3.2.3.2
9, 10
11
(formale Lösung)
U ⋅ R 2 + I ⋅ R 3 ⋅ (R1 + R 2 )
(R1 + R 2 ) ⋅ (R 3 + R 4 ) + R1 ⋅ R 2
(3-4)
Der Maschenansatz (Maschenstromverfahren)
I
U1
U3
X
I1
•
R1
U
•
B
R3
M1
Ix
R2
U2
R4
U4
M2
I2
•
Fig. 3-9
I3
A
Iy
R
•
I4
Beispiel zum Maschenstromverfahren
Das Gleiche Beispiel soll mit dem Maschenansatz nachvollzogen werden:
U1 + U2 – U = 0
U3 + Uy – U2 = 0
Entlang der Masche 1 gilt :
Entlang der Masche 2 gilt :
(U ist eine Spannungsquelle)
Der Strom I der Stromquelle wird durch eine Hilfsmasche in das System gebracht.
Er wird durch R3 zurückgeführt.
Daraus wird mit den beiden als Unbekannte bezeichneten Strömen Ix und Iy
Ix⋅R1 + (Ix – Iy)⋅R2 – U = 0
und
(Iy – I)⋅R3 + Iy⋅R4 + (Iy – Ix)⋅R2 = 0
Entlang der Masche 1 :
entlang der Masche 2 :
Für das Auffinden der Beziehungen zwischen den als unbekannt bezeichneten
Strömen und den übrigen Strömen wird der Knotensatz verwendet.
Aus den beiden Gleichungen ergibt sich ein lineares Gleichungssystem
(R1 + R 2 ) ⋅ Ix
−
R 2 ⋅ Iy = U
− R 2 ⋅ Ix + (R 2 + R 3 + R 4 ) ⋅ Iy = I ⋅ R 3
9
10
11
Angewendet werden: Die CRAMER Regel = Determinantenlösung oder die Regel nach SARRUS.
Die Determinantenlösung eignet gut sich für formale Herleitungen bis zu drei Gleichungen mit drei
2
2
Unbekannten. Für n = 4 sind bereits (n ⋅n! – n – 1) = 399 Operationen nötig, so dass für n > 3 effizientere Verfahren aus der numerischen Mathematik herangezogen werden.
SARRUS bis 3 Gleichungen. CRAMER Gabriel, 31.7.1704 – 12.6.1752, schweizer. Mathematiker.
Lehrt in Genf und findet Regeln zur Lösung linearer Gleichungssysteme.
Formal bedeutet, dass die gesuchte Grösse in den gegebenen Grössen ausgedrückt wird.
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Kurt Steudler
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str
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Elektrotechnik
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oder
 (R1 + R 2 ) − R 2
  Ix   U 

 ⋅   = 

 − R 2 + (R 2 + R 3 + R 4 )  Iy   I ⋅ R 3 
(3-5)
Die gesuchte Grösse Iy = I4 wird (formale Lösung)
I4 =
U ⋅ R 2 + I ⋅ R 3 ⋅ (R1 + R 2 )
(R1 + R 2 ) ⋅ (R 3 + R 4 ) + R1 ⋅ R 2
(3-6)
3.2.4 Hilfsregeln zum Knoten- und Maschenansatz
3.2.4.1
Elemente parallel und seriell zu idealen Quellen
Liegt ein Element parallel zu einer idealen Spannungsquelle, wird es für die Berechnung des Netzwerkes weggelassen, ausser es werde an diesem Element der
Strom I = U/R gesucht.
U
Fig. 3-10
R
Netzwerk
Element parallel zu Spannungsquelle
Liegt ein Element in Serie zu einer idealen Stromquelle wird es für die Berechnung
des Netzwerkes weggelassen, ausser wir suchen an diesem Element die Spannung U = R⋅I.
I
Fig. 3-11
R
Netzwerk
Element in Serie zu Stromquelle
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Elektrotechnik
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3.2.4.2
Stromquellen im Maschenansatz
I
MH
Ii-2 A
•
Ui-1
Ri
Ii
Ri-1
Ri+1
Ii+2
Ui+1
Mk
Ii-1
Fig. 3-12
Ui
B
•
Ik
R
•
Ii+1
Der Strom aus einer idealen Stromquelle wird beim Maschenansatz mit
einer Hilfsmasche durch das parallel
liegende Element zurückgeführt und
so in das System einbezogen:
Ii = Ik - I
Der Strom kann auch durch beliebige
Elemente zurückgeführt werden, beispielsweise wenn am parallel liegenden Element etwas gesucht wird.
Hilfsmasche für Stromquelle
3.2.5 Numerische Berechnungen
Gleichungssysteme aus Knotengleichungen oder aus Maschengleichungen allgemein, das heisst formal nach den unbekannten Grössen aufzulösen ist mit einigem Aufwand verbunden; dies insbesondere, wenn mehr als zwei Gleichungen
vorliegen.
Für praktische Anwendungen werden daher oft numerische Berechnungen vorgezogen. Dabei sind zwei Vorgehensweisen denkbar:
• 1 Das Gleichungssystem wird formal gesucht und die gegebenen Werte dort
eingesetzt. Anschliessend werden die Lösungen mit Hilfsmitteln (Rechenhilfen,
Werkzeuge wie Programme) gefunden.
• 2 Es wird von Anfang an numerisch gerechnet, das heisst die gegebenen Werte fliessen bereits in den Ansatz und werden bis zum Gleichungssystem mitgeführt. Diese Methode hat den Nachteil, dass nur eine bestimmte Situation berechnet vorliegt; ändern einer oder mehrere Werte, muss die ganze Rechnung
von Vorne beginnen.
Bei numerischen Rechnung ist anzugeben, in welchen Einheiten eingesetzt wird
(V, A, Ω oder V, mA, kΩ und so weiter). Es kann dann unmittelbar mit den Zahlen
gerechnet werden und die Resultate erscheinen in der gewählten Einheit.
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Kurt Steudler
3 - 11
str
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Elektrotechnik
3 - 12
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3.2.5.1
Numerische Rechnung 1
R1 = 4,7 kΩ, R2 = 12 kΩ, R3 = 680 Ω, R4 = 3,3 kΩ,
U = 7,5 V und I = - 10 mA
Als Dimensionen bieten sich an V, mA und kΩ. Der Widerstand R3 wird als R3 =
0,68 kΩ mitgeführt.
Es sind gegeben die Werte:
I
U3
U1
I1
X
•
I3
A
R1
U
B
R3
M1
Ix
R2
U2
R4
U4
M2
Iy
I2
R
•
•
Fig. 3-13
•
I4
Maschenstromverfahren numerisch 1
Das gegebene Netzwerk ist mit dem Gleichungssystem nach 3.2.3.2 beschrieben.
(R1 + R 2 ) ⋅ Ix
−
R 2 ⋅ Iy = U
− R 2 ⋅ Ix + (R 2 + R 3 + R 4 ) ⋅ Iy = I ⋅ R 3
Eingesetzt wird
16,7 ⋅ Ix
−
12 ⋅ Iy = 7,5
− 12 ⋅ Ix
+ 15,98 ⋅ Iy = −10 ⋅ 0,68 = −6,8
Die beiden Lösungen ergeben sich zu
und
Ix = I1 = 311 µA
und damit
und
U1 = 1,462 V
Iy = I4 = -192 µA
U4 = - 633,6 mV
Die übrigen Spannungen lassen sich nun mit der Maschenregel berechnen
U2 = 6,04 V und U3 = 6,67 V
Die negativen Vorzeichen bedeuten, dass die Spannungs- und Strompfeile in
Wirklichkeit in der anderen Richtung zeigen, als ursprünglich angenommen.
Werden ein oder mehr Elementwerte verändert, ergibt sich rasch ein neues Gleichungssystem.
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Kurt Steudler
3 - 12
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Elektrotechnik
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3.2.5.2
Numerische Rechnung 2
R1 = 4,7 kΩ, R2 = 12 kΩ, R3 = 680 Ω, R4 = 3,3 kΩ,
U = 7,5 V und I = - 10 mA
Als Dimensionen bieten sich an V, mA und kΩ. Der Widerstand R3 wird als R3 =
0,68 kΩ mitgeführt.
Es sind gegeben die Werte:
I
U3
U1
X
I1
•
R1
U
M1
Ix
•
B
R3
R2
U2
R4
U4
M2
I2
•
Fig. 3-14
I3
A
Iy
R
•
I4
Knotenpunktverfahren numerisch 2
7,5 − U2 U2 U2 − Uy
=
+
− 10
und
4,7
12
0,68
U2 − Uy
U
im Knoten B gilt:
− 10 = y
0,68
3,3
Für das Auffinden der Beziehungen zwischen den als unbekannt bezeichneten
Spannungen und den übrigen Spannungen wird der Maschensatz verwendet.
Im Knoten A gilt:
Aus den beiden Gleichungen ergibt sich ein lineares Gleichungssystem
1
1 
1
1
 1
⋅ Uy = −10 −
⋅ 7,5
−
+
+
 ⋅ U2 +
0,68
4,7
 4,7 12 0,68 
1
1 
 1
−
⋅ U2 + 
+
 ⋅ Uy = −10
0,68
 0,68 3,3 
oder
− 1,7667 ⋅ U2
+
1,4706 ⋅ Uy = −11,5957
− 1,4706 ⋅ U2
+
1,7736 ⋅ Uy = −10
Als Lösungen ergeben sich für U2 = 6,037 V und Uy = U4 = - 633 µV
Für die Lösung ist [L 3-2] benutzt worden mit
M
1.7667 1.4706
1.4706 1.7736
v
11.5957
10
llösen( M , v) =
6.037
0.633
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3.2.5.3
Numerische Rechnung 1, Ergänzung
Aus einem formal gefundenen Gleichungssystem lassen sich rasch weitere Lösungen finden, wenn sich Elemente ändern.
Wird beispielsweise der Strom I im vorangehenden Beispiel auf I = - 7,92532 mA
gesetzt, zeigt die gesuchte Spannung Uy = U4 mit [L 3-2] praktisch 0 V.
R1
4.7 . kΩ
12 . kΩ
R2
Ix
680 . Ω
R3
0 . µA
Iy
R4
3.3 . kΩ
U
7.5 . V
I
7.92532 mA
Schätzwerte für die gesuchten Grössen.
Zunächst kann hier Null gesetzt werden.
0 . µA
Der Befehl "Given" oder "Vorgabe" leitet die zu lösenden Gleichungen ein.
Given
R1
R 2 . I x R 2. I y U
R 2. I x
R2
I 4 = 5.378 10
R 4 . I y I. R 3
R3
4
µA
suchen I y , I x
I2
µV
I 2 = 449.102 µA
I 4. R 4
U4
I4
6
10 . V
U 4 = 1.775 µV
__________________________
3.3
Wheatstone‘ sche Brücke
Ri
Ul
R1
I5
U
R5
U2
Fig. 3-15
R3
R2 R4
U4
Die Brücke gilt als abgeglichen,
wenn im Widerstand R5 kein Strom
fliesst.
In diesem Fall gelten
R2
U2 = U ⋅
und
R1 + R 2
R4
U4 = U ⋅
R3 + R 4
WHEATSTONE - Brücke
12
Die abgeglichene Brücke wurde bereits im Kapitel 2 behandelt. Uns interessiert
an dieser Stelle das Verhalten des Stromes I5 im nicht abgeglichenen Zustand.
Dieses Verhalten interessiert, wenn einer der Widerstände R bis R variieren kann
und der abgeglichene Zustand verlassen wird. Beispiele: Dehnmessstreifen – Brücken, Widerstands – Messbrücken.
Der Strom I5 soll mit einem Knotenansatz oder einem Maschenansatz ermittelt
12
Sir Charles WHEATSTONE, 6.2.1802 - 19.10.1875, englischer Physiker. Erfand 1837 den Nadeltelegraphen. Entwickelt eine Messbrücke für Gleichstromanwendung.
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Elektrotechnik
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werden. Gegeben sind die Elemente und die Quelle.
Zunächst wird die Anzahl der notwendigen Gleichungen bestimmt:
Anzahl der nötigen Maschengleichung =
7–5+1–0
=3
Anzahl der nötigen Knotengleichungen =
5–1–1
=3
Gewählt wird der Maschenansatz, das Maschenstromverfahren
Es sind folgende Maschen gelegt
R0
M2
Ul
M3
Ib
U
R1
R5
U2
R2
Fig. 3-16
M1
Ia
R3
I5
M1 durch R5 und R4 und R2 : Ia
M2 durch R0 und R1 und R2 : Ib
M3 durch R0 und R3 und R4 : Ic
Ic
Der gesuchte Strom I5 = Ia
U4
R4
Beschriftete - Brücke
Das geordnete Gleichungssystem wird zu
(R 2 + R 4 + R 5 ) ⋅ Ia
−
R 2 ⋅ Ib
− R 2 ⋅ Ia + (R 0 + R1 + R 2 ) ⋅ Ib
R 4 ⋅ Ia
+
+
R 4 ⋅ Ic
=0
+
R 0 ⋅ Ic
=U
R 0 ⋅ Ib + (R 0 + R 3 + R 4 ) ⋅ Ic = U
oder
+ R4
 (R 2 + R 4 + R 5 ) − R 2
  Ia   0 
    

− R2
+ (R 0 + R1 + R 2 ) + R 0

 ⋅  Ib  =  U 

+
+ (R 0 + R 3 + R 4 )  Ic   U 
R4
R0

und der gesuchte Strom
Ia = I5 = U ⋅
R 2 ⋅ R 3 − R 4 ⋅ R1
R 0 ⋅ [(R1 + R 3 ) ⋅ (R 2 + R 4 ) + R 5 ⋅ (R1 + R 2 + R 3 + R 4 )] +
(3-7)
(3-8)
(R1 + R 2 ) ⋅ (R 3 ⋅ R 4 + R 4 ⋅ R 5 + R 5 ⋅ R 3 ) + R1 ⋅ R 2 ⋅ (R 3 + R 4 )
Auftrag: Leiten Sie das Gleichungssystem her und suchen Sie Ia = I5 .
Die beiden gefundenen Formeln gelten allgemein und können daher der wirklichen
Brückenschaltung angepasst werden.
Oft kann der Widerstand R0 ≈ 0 gesetzt werden (ideale Quelle). Die allgemeine
Formel vereinfacht sich dann zu
R 2 ⋅ R 3 − R 4 ⋅ R1
Ia = I5 ≈ U ⋅
(R1 + R 2 ) ⋅ (R 3 ⋅ R 4 + R 4 ⋅ R 5 + R 5 ⋅ R 3 ) + R1 ⋅ R 2 ⋅ (R 3 + R 4 )
Wird zudem R5 >> als die übrigen Widerstände, kann mit
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Ia = I5 ≈
R 2 ⋅ R 3 − R 4 ⋅ R1
U
⋅
und
R 5 (R1 + R 2 ) ⋅ (R 3 + ⋅R 4 )
Ua = U5 ≈ U ⋅
R 2 ⋅ R 3 − R 4 ⋅ R1
(R1 + R 2 ) ⋅ (R 3 + ⋅R 4 )
gerechnet werden.
3.3.1 Brückenschaltung mit Dehnungsmessstreifen DMS
Dehnungsmessstreifen oder Dehnmessstreifen DMS (Strain Gauges) ändern ihren
Widerstand bei einer Längenänderung. DMS werden auf Objekte geklebt, die in ihrer Länge nicht fest bleiben (Brücken, Metallträger, Staumauern, Flugzeugflügel
und so weiter). In einer Brückenschaltung werden der Strom I5, die Spannung U5
zum Mass für die Längenänderung.
Fig. 3-17
Dehnungsmessstreifen aus [L 3-3]
R1
R1
M
U
DMS1
Fig. 3-18
DMS2
M ist ein hochohmiges Messinstrument,
das die Schaltung kaum belastet.
DMS1 ist auf das Objekt geklebt.
DMS2 ist auf gleiches Material geklebt
und liegt neben dem sich in der Länge
ändernden Objekt. Zweck: Temperaturkompensation der Messanordnung.
Die beiden R1 sind ähnlich gross wie die
DMS.
Brückenschaltung mit DMS
R 2 ⋅ R 3 − R 4 ⋅ R1
gerechnet werden.
(R1 + R 2 ) ⋅ (R 3 + ⋅R 4 )
∆l
− p ⋅K ⋅
U5
l
=
wird
U
(1 + p) ⋅ 1 + p + K ⋅ ∆l 
l 

p ⋅ K ∆l
gesetzt werden. Diese Vereinfachung
⋅
(1 + p)2 l
Da R5 sehr gross ist, darf mit U5 ≈ U ⋅
∆R
Mit R1 = p⋅DMS und K = R
∆l
l
U
∆l
<< 1 könnte 5 =
U
l
wird zu untersuchen sein.
Für ε =
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3.3.1.1
Linearität der Messung
U
Die Formel u = 5 =
U
− p ⋅K ⋅
∆l
l
(1 + p) ⋅ 1 + p + K ⋅ ∆l 
=
− p ⋅K ⋅ ε
zeigt, dass sich
(1 + p) ⋅ (1 + p + K ⋅ ε)
l 

die Spannung U5 nicht linear zur Längenänderung des Objektes verhält.
ε
0.5 , 0.49 .. 0.5
p
1
K
2
u( ε )
(1
p .K .ε
.
p) ( 1 p
K .ε )
u1( ε )
p .K .ε
(1
p)
2
0
u( ε )
u1( ε )
0.2
0.4
0.6
0.4
Fig. 3-19
3.3.1.2
0.2
0
ε
0.2
0.4
Spannungsänderung zu Längenänderung [Mit L 3-2]
Fehlerbetrachtung
Es stellt sich die Frage, mit welchem Fehler die nichtlineare Kennlinie vom linearen
U
p ⋅ K ∆l
p ⋅K
=
⋅
⋅ ε abweicht.
Verhalten nach u1 = 5 =
2
U (1 + p ) l
(1 + p)2
Der relative Fehler ergibt sich aus (u - u1)/u und wird
K⋅ε
Linearitätsfehler = −
1+ p
Der Fehler ist proportional zur relativen Längenänderung und liegt in ähnlicher
Grösse. Es darf daher nicht linearisiert werden. Abhilfe schaffen Korrekturkurven
oder elektronische Korrekturverfahren.
Zudem stellt sich die Frage, welcher Wert für p den höchstmöglichen U5 Wert zulässt.
Ein analytischer Ansatz zeigt, dass dieses Optimum bei p = 1 liegt, das heisst die
Widerstände haben den gleichen Wert wie die DMS.
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3.3.2 Brückenschaltung zur Widerstandsmessung
Die Brückenschaltung nach WHEATSTONE eignet sich zur Messung von Widerständen.
R1
R3
I5
U
U2
Fig. 3-20
R2
Rx
Der Widerstand R5 ist ersetzt mit einem Drehspulmessinstrument, das
den abgeglichen Zustand I5 = 0 anzeigt.
Der Widerstand R4 stellt den unbekannten Widerstand Rx dar.
Die Widerstände R1 bis R3 lassen
sich so wählen, dass I5 = 0 wird. Rx
ist dann berechenbar oder ablesbar.
Widerstandsmessung
Auftrag an die Gruppen
Suchen Sie eine Schaltung die es ermöglicht, Widerstände im Bereich von 10 Ω
bis 1 MΩ einfach zu bestimmen. (Schaltung = Schema = Stromlaufplan).
Der gesuchte Widerstand Rx soll ohne zusätzlichen Rechenaufwand unmittelbar
ablesbar sein.
Das eingesetzte Messinstrument darf nie überlastet werden.
Material
Für eine Verwirklichung darf mit dem aufgeführten Material gerechnet werden.
Quelle:
Flachbatterie 4,5 V, Ri < 2 Ω
Mal 1,5 V UM3 / R6, Ri < 2 Ω
Anzeige:
Drehspulinstrument mit Nullpunkt in der Mitte (Rechteckindikator), ± 100 µA, 1750 Ω.
Widerstände:
Reihe E – 12, 10 Ω bis 1 MΩ, ¼ Watt, 1%
Einstellbare Widerstände (Potentiometer), Bereich von 100 Ω
bis 100 kΩ, einfach oder mehrfach.
Schalter:
Stufenschalter, Kippschalter, Impulstaster nach freier Wahl.
oder
Erwartet wird pro Gruppe ein kurzer Bericht mit
•
•
•
einem Schema, das die gegebenen Anforderungen erfüllt,
allen nötigen Berechnungen und Beschreibungen,
knappen Vorschlägen zu einer Verwirklichung des Ohm – Meters.
Die Aufzählung ist nicht abschliessend.
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Widerstands – Messbrücke
RM 100.0
SW1
RM 1.0k
RM 10.0k
A
RM 100.0k
RX 5.6k
RI 1.8k
+
AM1
RP 10.0k
VS1 10.0
Der unbekannte Widerstand RX soll durch variieren des Potentiometers RP bestimmt werden.
xRP 10.0k
Beispiel zum Verhalten des Instrumentenstroms
U := 10 ⋅ V
RP := 10 ⋅ kΩ
RM := 1 ⋅ kΩ
RI := 1.8 ⋅ kΩ
RX := 5.6 ⋅ kΩ
x := 0 , 0.1 .. 10
IInstrument( x) := U ⋅
x ⋅ RM − RX
x ⋅ RP ⋅ ( RM + RX) + ( 1 + x) ⋅ RM ⋅ RX + ( 1 + x) ⋅ ( RM + RX) ⋅ RI
50
500
0
IInstrument ( x)
IInstrument ( x)
µA
µA
0
500
1000
0
5
x
10
50
4
6
x
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