ET 84

Hochschule für Technik und Architektur Bern
Abteilung Elektrotechnik und Elektronik
BFH Bereich Elektro- und Kommunikationstechnik
Elektrotechnik Grundlagen
Kapitel 84
Wirkungen im magnetischen Feld
2003
Kurt Steudler
(/ET_84.doc)
STR – ING
Elektrotechnik
84 - 2
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Inhaltsverzeichnis
84
Wirkungen im magnetischen Feld...................................................... 4
84.1
Induktionsgesetz und Kraftwirkung ........................................................ 4
84.1.1
84.1.2
84.1.3
84.1.4
84.2
Das Induktionsgesetz........................................................................................ 4
Die Kraftwirkung auf einen Leiter im magnetischen Feld ................................. 6
Lorentz – Kraft................................................................................................... 7
Hall - Effekt........................................................................................................ 8
Erzeugung elektrischer Energie........................................................... 10
84.2.1 Drehende Leiterschlaufe im magnetischen Feld ............................................ 10
84.2.2 Dreiphasen – Generator.................................................................................. 11
84.3
Die Selbstinduktionsspannung ............................................................ 13
84.3.1 Induktivität L .................................................................................................... 13
84.3.2 Betrachtung an einer Kreisringspule............................................................... 14
84.3.3 Die Ankerrückwirkung beim Generator ........................................................... 14
84.4
Induktivität und magnetische Kopplung ............................................... 15
84.4.1
84.4.2
84.4.3
84.4.4
84.4.5
84.4.6
84.5
Transformatoren .................................................................................. 20
84.5.1
84.5.2
84.5.3
84.5.4
84.5.5
84.5.6
84.6
Lange gerade Spule........................................................................................ 15
Näherungsformel für gerade Spule................................................................. 16
Ferromagnetisches Material im Feldraum ...................................................... 16
Die magnetische Kopplung ............................................................................. 17
Gegeninduktivität ............................................................................................ 18
Nutz- oder Hauptflüsse und Streuflüsse ......................................................... 19
Der ideale Transformator ................................................................................ 20
Der reale Transformator.................................................................................. 22
Frequenzgang des realen Transformators...................................................... 23
Hysterese-, Kupfer- und Wirbelstromverluste. ................................................ 24
Messung der Transformatorverluste ............................................................... 26
Wirkungsgrad des realen Transformators....................................................... 27
Energie und Kraft im magnetischen Feld............................................. 27
84.6.1
84.6.2
84.6.3
84.6.4
84.6.5
84.6.6
Energiespeicher Induktivität............................................................................ 27
Magnetische Feldenergie................................................................................ 28
Innere Induktivität eines runden Drahtes ........................................................ 28
Kraft im Luftspalt ............................................................................................. 29
Kraftwirkung durch Wirbelströme.................................................................... 30
Der Wirbelstrommotor ..................................................................................... 32
84.7
Elektrische Maschinen......................................................................... 33
84.8
Anhang ................................................................................................ 35
84.8.1
84.8.2
84.8.3
84.8.4
84.9
Beispiele zum Induktionsgesetz...................................................................... 35
Berechnen eines Transformators.................................................................... 37
Tabellen .......................................................................................................... 40
Berechnung einer Drossel .............................................................................. 52
Verzeichnisse ...................................................................................... 53
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Elektrotechnik
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Literaturverzeichnis und Software
L 84-1
L 84-2
L 84-3
L 84-4
L 84-5
L 84-6
L 84-7
L 84-8
L 84-9
L 84-10
L 84-11
Feynman Richard P., Leighton Robert B., Sands Matthew, The Feynman Lectures on
Physics, mainly electromagnetism and matter, Addison-Wesley Publishing Company,
Reading (Massachusetts), Palo Alto, London.
Frohne Heinrich, Fricke Hans, Grundlagen der Elektrotechnik, Verlag B.G. Teubner, Stuttgart – Leipzig, 1976, ISBN 3-519-26400-5.
Gren Joachim und Krause Joachim, Metzler Physik, Verlag Schroedel, Hannover,
1998, ISBN 3-507-10700-7.
Hanncke Werner, Kleintransformatoren und Eisendrosseln, Vogel – Verlag Würzburg.
Küpfmüller Karl, Einführung in die theoretische Elektrotechnik, Springer – Verlag Berlin,
Heidelberg, New York 1973, ISBN 3-540-06021-9.
Hagmann Gert, Grundlagen der Elektrotechnik, AULA Verlag Wiesbaden, Auflage 3,
ISBN 3-89104-506-9.
Lüscher Edgar, Experimentalphysik II, Hochschultaschenbücher BI 115/115a, Bibliographisches Institut, Mannheim.
®
MATHCAD 2000. Mathematiksoftware, die sich für numerische Rechnungen und
Laborauswertungen eignet.
Meinke H., Gundlach Friedrich Wilhelm, Taschenbuch der Hochfrequenztechnik, Studienausgabe in 3 Bänden, Springer Verlag Berlin – Heidelberg – New York, 1986, 4.
Auflage, ISBN 3-540-15394-2.
Schilt Heinz, Elektrizitätslehre, Birkhäuser Verlag, Basel, 1959.
Tabellenbuch Informations- und Telekommunikationstechnik, Verlag Dr. Max Gehlen,
Bad Homburg vor der Höhe, 1998, ISBN 3-441-92102-x.
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Wirkungen im magnetischen Feld
Dank der ferromagnetischen Eigenschaften vieler Stoffe (Eisen) lassen sich mit geringem Energieaufwand (Erregung) starke magnetische Felder erzeugen, die eine
wirksame Umwandlung von mechanischer in elektrische Energie und umgekehrt erlauben.
84.1 Induktionsgesetz und Kraftwirkung
84.1.1 Das Induktionsgesetz
Wir betrachten folgende Situation
In einem homogenen magnetischen
Feld
mit der magnetischen Flussdichte
r
r
B befinde sich ein Leiterstück l .
Fig. 84-1
Leiter im magnetischen Feld
Wir beobachten die Spannung an den Enden des Leiterstückes und stellen fest, dass
an den Enden des Leiterstückes eine Spannung entsteht, wenn der Fluss Φ = Φ(t)
eine zeitabhängige Grösse ist. Durch den zeitabhängigen Fluss wird im Leiterstück
eine Spannung induziert und es gilt
uinduziert = u(t) =
dΦ(t)
dt
1, 2
(84-1)
r →
r r
Wegen Φ = ∫ ∫ B ⋅ dA (= B ⋅ A) können B = B(t) oder A = A(t) oder beide Grössen zeitabhängig sein.
3
Die gegebene Formel lässt sich für ein homogenes Feld umformen in
→
dΦ(t) r dB
uind (t) =
= A⋅
dt
dt
1
2
3
(84-2)
Induktionsgesetz nach FARADAY
Michael FARADAY, 22.9.1791-25.81867, brit. Physiker und Chemiker, entdeckt das Benzol, die Gesetze der elektromagn.Induktion, den Faraday' schen Käfig, die Elektrolyse, den Diamagnetismus
und so weiter.
Zum Beispiel im Luftspalt δ eines magnetischen Kreises.
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In einem Leiter wird eine Spannung erzeugt (induziert), wenn sich der
Leiter in einem zeitlich ändernden magnetischen Feld befindet.
oder in
→
dΦ(t) r dA
uind (t) =
=B⋅
dt
dt
(84-3)
In einem Leiter wird eine Spannung erzeugt (induziert), wenn sich
der Leiter in einem statischen magnetischen Feld bewegt.
Im allgemeinen Fall mit B = B(t) und A = A(t) kommt die Kettenregel zur Anwendung
→
→
dΦ(t) r dB r dA
+B⋅
uind (t) =
= A⋅
dt
dt
dt
(84-4)
→
r
r
r
r
dA r
Mit A( t) = s(t ) x l und damit
= v(t ) x l kann gefunden werden
dt
r r r
uinduziert = B ⋅ ( l x v )
4
(84-5)
5
Hier kann die Polarität der erzeugten Spannung uinduziert mit der Rechten - Hand Regel gefunden werden:
Treffen die magnetischen Feldlinien (vom Nordpol her) auf der rechten Handfläche
auf, liegt der Leiter in der Richtung der ausgestreckten Finger und zeigt der abgewinkelte Daumen in der Richtung der Bewegung des Leiters, so befindet sich das positive Leiterende bei den Fingerspitzen.
4
5
Spezialfall mit zeitunabhängigem B – Feld.
In der Literatur wird auch der Ausdruck uind = e = -dΦ/dt verwendet. Dabei wird unter uind = e die elektromotorische Kraft, die sogenannte EMK, verstanden.
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Fig. 84-2
Rechte Hand - Regel
r r
r
Für maximale Spannung uind müssen B, l und v je normal aufeinander stehen.
84.1.2 Die Kraftwirkung auf einen Leiter im magnetischen Feld
In einem magnetischen
Feld mit der
r
Flussdichte B befindet sich ein Leiter
r
mit der Länge l , der vom Strom I
durchflossen wird.
Fig. 84-3
Kraftwirkung auf Leiter
Auf den stromdurchflossenen Leiter im Feld wirkt eine Kraft:
r r r
F = ( l x B) ⋅ I
6
(84-6)
Für die Bestimmung der Richtung der Kraft dient die Linke – Hand - Regel. Treffen
die Feldlinien des Flussdichtefeldes auf die linke Hand - Innenfläche und zeigen die
Finger in die Richtung des Stromes, dann wirkt die Kraft in der Richtung des Daumens der linken Hand.
6
Der Strom I und die Flussdichte B können auch zeitabhängige Grössen sein i(t) und B(t) sein.
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Fig. 84-4
Linke Hand - Regel
Wird das Leiterstück in Fig. 84-1 mit einem Widerstand belastet, verursacht die induzierte Spannung einen induzierten Strom. Dieser Strom bewirkt im Leiterstück nach
Fig. 84-5 eine Kraft. Diese Kraft F ist der Bewegungsrichtung v des Leiterstückes
7, 8
entgegengesetzt.
9
Fig. 84-5
LENZ’ sche Regel
84.1.3 Lorentz – Kraft
Die Kraft auf einen einzelnen bewegten Ladungsträger in einem magnetischen
10
Feld nennt man Lorentz – Kraft FL .
7
8
9
10
Dieser Tatbestand wird auch LENZ‘ sche Regel genannt. Die Regel ist eine besondere Formulierung
des Energiesatzes.
Heinrich Friedrich LENZ, 12.2.1804-10.2.1865, deutscher Physiker. Untersuchungen über elektrische
Induktion (Lenz‘ sche Regel).
LENZ wiederholte viele Experimente von FARADAY und HENRY ohne dass er Kenntnis von deren
Arbeiten hatte. Aus der LENZ‘ schen Regel erklären sich die Ankerrückwirkung am Generator und
am Relais.
Lorentz, Hendrik Antoon (1853-1928), niederländischer Physiker. Lorentz wurde in Arnheim geboren
und studierte an der Universität von Leiden, wo er 1878 Professor für mathematische Physik wurde.
Er entwickelte die elektromagnetische Theorie des Lichtes und die Elektronentheorie der Materie und
formulierte auch eine widerspruchsfreie Theorie von Elektrizität, Magnetismus und Licht.
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Für die Bestimmung der Kraft auf ein
einzelnes Elektron (eine Elementarladung) wird von der nebenstehenden
Anordnung ausgegangen.
Betrachtet wird nur das dem Feld ausgesetzte Leiterstück l.
Auf
Leiterstück l wirkt die Kraft
r das
r r
F = I ⋅ ( l x B)
Fig. 84-6
Kraftwirkung auf bewegte Ladungsträger
Q N⋅e
N⋅ e ⋅B ⋅ l
=
wird F =
. N ist die Anzahl freier Elektronen, die in der Zeit
t
t
t
l
t durch das Leiterstück l fliesst. Mit der Driftgeschwindigkeit v = wird die Kraft auf
t
ein einzelnes Elektron
Mit I =
(
r
r r
FL = −e ⋅ v x B
FL = e ⋅ v ⋅ B
)
(84-7)
Auf einen Körper mit der Ladung Q, der sich mit der Geschwindigkeit v in einem
Magnetfeld B bewegt, wirkt die Kraft
(
r
r r
FL = Q ⋅ v x B
)
(84-8)
84.1.4 Hall - Effekt
Der Hall – Effekt beschreibt die Spannung, die entsteht, wenn einem elektrischen
Strom ein magnetisches Feld überlagert wird. Der Effekt beruht auf der Ablenkung
11
der elektrischen Ladungsträger auf Grund der Lorentzkraft
r
r
r
F = −e ⋅ (v x B)
Als Reaktion auf die Lorentzkraft entsteht in einer Kupferfolie ein elektrisches Feld
EH , das je senkrecht zur Stromrichtung und zur Feldrichtung gerichtet ist und sich
in folgender Form darstellen lässt:
r
r r
EH = RH ⋅ ( j x B)
(84-9)
Die Spannung UH = EH ⋅ d heisst Hallspannung und RH ist die Hallkonstante.
11
Hall, Edwin Herbert (1855 - 1938), amerikanischer Physiker. Edwin Herbert Hall wurde am 7. November 1855 in Great Falls (später North Gorham), Maine geboren.
Mit 24 Jahren hat er (1879) im Laufe seiner Doktorarbeit, auf Anregung von Henry Augustus Rowland (1848-1901), den nach ihm benannten Halleffekt gefunden. Details zum Halleffekt wurden 1880
im „American Journal of Science“ und im „Philosophical Magazine“ veröffentlicht.
Von 1881 bis 1921 forschte er in Harvard im Bereich der Thermoelektrizität. Er verstarb am 20. November1938 in Cambridge.
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Fig. 84-7
Hall – Spannung in stromdurchflossener Kupferfolie
Der Winkel ϑ zwischen dem elektrischen Feld E und der Stromrichtung j in der
Kupferfolie heisst Hallwinkel.
e ⋅ UH
Wegen FL = Fel wird e ⋅ v ⋅ B =
und daraus UH = v ⋅ B ⋅ d .
d
Mit einer Teilchendichte n und dem Volumen V der Kupferfolie wird mit der Foliendicke δ und der Folienlänge l
∆Q n ⋅ V ⋅ e n ⋅ l ⋅ d ⋅ δ ⋅ e
I
=
I=
= n ⋅ d ⋅ δ ⋅ e ⋅ v und daraus v =
=
.
∆t
∆t
∆t
n⋅d⋅δ⋅e
Damit werden die Hallspannung und die Hallkonstante
UH =
1 I⋅B
⋅
n⋅e δ
RH =
1
n⋅e
(84-10)
Die Hallkonstante RH gibt Auskunft über das Vorzeichen und die Dichte der Ladungsträger. 1/RH = n⋅e ist die räumliche Ladungsdichte.
Material
Kupfer
Silber
Bismut
Indium-Arsenid
Cadmium
Zink
Tabelle 84-1
RH in m3/C
- 5,3⋅10-11
- 8,9⋅10-11
- 5,0⋅10-7
- 1,0⋅10-4
+ 6,0⋅10-11
+ 1,0⋅10-10
u in m2/Vs
+ 3,1⋅10-3
+ 5,6⋅10-3
+ 4,0⋅10-1
+ 2,7
- 0,8⋅10-3
- 1,7⋅10-3
Hallkonstante
In der Tabelle beschreibt u die Beweglichkeit der Ladungsträger mit u = v/E
Anwendungen:
Die Hall – Spannung UH ist proportional zur magnetischen Flussdichte B. Daher
lässt sich B mit einer Hallsonde messen. Bekannt sind auch berührungslose Abstandsensoren und kontaktlose Schalter.
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84.2
Erzeugung elektrischer Energie
84.2.1 Drehende Leiterschlaufe im magnetischen Feld
In einem homogenen magnetischen Feld befinde sich eine rechteckförmige Leiterschlaufe, die längs ihrer Mittelachse im Feld gedreht werden kann (Winkel α).
Fig. 84-8
Erzeugung elektrischer Energie
r
r
r
Im B - Feld befinden sich die beiden Leiterstücke l1 und l2 in denen durch die
Drehung der Leiterschlaufe je eine Spannung u1 und u2 induziert werden. Die beiden
Teilspannungen addieren sich zur Gesamtspannung u = u1 + u2.
r
Betrachten wir die induzierte Spannung u1 am Leiterstück l1 , wird
→

0
r r r
r r dr


r
u1 = B ⋅ ( l1 x v ) = B ⋅ ( l1 x ), worin r (t ) = R ⋅  cos ωt 
dt
 sin ωt 


u1 = B ⋅ l 1 ⋅ ω ⋅ sin ωt
12
und daraus
u = u( t) = B ⋅ l ⋅ 2R ⋅ ω ⋅ sin ωt = B ⋅ A ⋅ ω ⋅ sin ωt
13
(84-11)
12
Die Leiterschlaufe drehe sich gleichmässig. Für eine gleichförmige Bewegung ist α(t) = ω⋅t.
13
A ist die von der Leiterschlaufe gebildete Fläche. Die Fläche A ist mit dem Fluss Φ verkettet.
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Fig. 84-9
Sinusförmiger Spannungsverlauf
Die induzierte Spannung u = u(t) ergibt sich aus der zeitlichen Änderung des mit der
Windung verketteten Flusses Φ. Vom Feld durchdrungen ist die Fläche A(t) =
A⋅cosωt. Damit wird Φ(t) = -B⋅A⋅cosωt .
84.2.2 Dreiphasen – Generator
Drei Leiterschlaufen werden je um den
2π
Winkel ϕ =
zueinander versetzt
3
und in einem homogenen magnetischen Feld gedreht. Damit lassen sich
drei zueinander phasenverschobene
induzierte Spannungen uind1, uind2 und
uind3 erzeugen.
Fig. 84-10
Dreiphasen - Generator
Werden die Enden der drei Leiterschlaufen separat geführt (sechs Leitungen), spre14
chen wir von einem unverketteten Dreiphasensystem.
Von praktischer Bedeutung ist das verkettete Dreiphasensystem, das Drehstromsystem.
14
Das unverkettete Dreiphasensystem wird in der Praxis kaum verwendet. Dagegen gelangt das unverkettete Zweiphasensystem mit ϕ = π zum Einsatz.
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Spannungsverlauf im Drehstromsystem
Fig. 84-11
Spannungsverlauf im Drehstromsystem
Die Verkettung bietet den Vorteil, dass bei gleichmässiger Verteilung der Last kein
oder nur ein dünner Mittenleiter (Verbindungsstelle der Leiterschlaufenenden) geführt
15
werden muss. Für den Transport der Energie sind nur die drei Aussenleiter nötig.
Drehstromsystem
Fig. 84-12
Drehstromsystem
Drehstromsysteme können in der Sternschaltung oder in der Dreieckschaltung be16
trieben werden.
Zwischen den Aussenleitern herrscht die Aussenleiterspannung. Die Spannung zwischen einem Aussenleiter und dem Mittelpunkt heisst Strangspannung, AussenleiterMittelpunktspannung (Phasenspannung, Live).
Im Drehstromnetz gilt:
Aussenleiterspannung =
15
16
17
3 ⋅ Strangspannung
17
(84-12)
Der gemeinsame Mittenleiter heisst Neutralleiter N (hellblau). Die drei Aussenleiter sind mit L1, L2
und L3, bzw U, V und W bezeichnet (DIN 42 400). Zudem wird ein Schutzleiter geführt (PE, gelbgrün).
Im Gegensatz zur Stern - Anordnung ist es in der Dreieckschaltung nicht möglich, den Neutralleiter N
zu führen.
Die Strangspannung beträgt 230 V und die Aussenleiterspannung 400 V je effektiv, was zu Spitzenspannungen von 325 V beziehungsweise 566 V führt; dies bei einer Frequenz von 50 Hz.
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Spannung und daraus Energie erzeugende Maschinen nennen wir Generatoren.
Sobald die einzelnen Leiterschlaufen (Wicklungen) eines Generators belastet werden, wirkt wegen eine Kraft auf die treibende Achse.
Damit in einem Verbraucher Energie umgesetzt werden kann, muss beim Generator
18
Energie aufgewendet werden (Energieträger: Wasser, Atom, Kohle, Erdöl, Sonne).
84.3
Die Selbstinduktionsspannung
84.3.1 Induktivität L
19, 20
wird ein Strom I oder i(t) von einem
Nach dem Gesetz von BIOT - SAVART
magnetischen Feld begleitet. Der Strom verursacht ein magnetisches Feld. Verändert sich der Strom in der Zeit mit i = i(t), verändert sich auch das magnetische Feld
in der Zeit H = H(t), B = B(t).
Ein sich zeitlich veränderndes magnetisches Feld erzeugt nach dem InduktionsgedΦ
eine Spannung u im feldverursachenden, stromführenden Leiter.
setz u =
dt
Diese Spannung u wird Selbstinduktionsspannung genannt.
Mit dem feldverursachenden Strom i = i(t) aus einer
idealen Stromquelle wird u proportional zur Ableitung
dΦ
di(t )
des Stromes, das meint u =
∝
.
dt
dt
i(t)
u(t)
B, H
Allgemein gilt daher:
Fig. 84-13
Selbstinduktionsspannung
u = u(t) = L ⋅
di(t)
dt
(84-13)
Der Proportionalitätsfaktor L wird als Selbstinduktion, Selbstinduktionskoeffizient
21, 22
oder Induktivität bezeichnet und in HENRY, abgekürzt H gemessen.
18
19
20
21
22
Der Wirkungsgrad einer energieerzeugenden Anlage ist vom Energieträger abhängig.
Jean-Baptiste BIOT, 21.4.1774-3.2.1862, französischer Physiker. Arbeiten in Optik (Lichtbrechung
und Polarisation) und Elektromagnetismus.
Félix SAVART, 30.6.1791-16.3.1841, französischer Physiker. Arbeiten auf dem Gebiet des Elektromagnetismus.
Joseph HENRY, 17.12.1797-13.5.1878, amerikanischer Physiker. Entscheidender Beitrag zur Morsetelegraphie, entdeckt die Selbstinduktion (1830).
[L] = HENRY = H = V⋅s⋅A = Ω⋅s .
-1
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84.3.2 Betrachtung an einer Kreisringspule
Der Fluss Φ = Φ(t) ergibt sich zu
µ⋅A
Φ(t) = B(t) ⋅ A =
⋅ N ⋅ i(t) = Λ ⋅ N ⋅ i(t)
l
Es wird angenommen, dass in der
Spule ein homogenes B - Feld
herrscht.
Daraus wird die pro Windung induzierte Spannung uW zu
dΦ(t)
di(t)
uW (t) =
= Λ ⋅N⋅
dt
dt
Fig. 84-14
Selbstinduktionskoeffizient einer Kreisringspule
Die an den Wicklungsenden hervorgerufene Spannung wird u = N⋅uW und damit
di(t)
di(t)
=L⋅
dt
dt
(84-14)
dΦ
µ⋅A 2
⋅ N und L = N ⋅
l
di
(84-15)
u(t) = N ⋅ uW (t) = Λ ⋅ N2 ⋅
L = Λ ⋅ N2 =
84.3.3 Die Ankerrückwirkung beim Generator
Werden die Anschlüsse eines Generators belastet, fliesst durch die spannungserzeugenden Windungen ein
Strom i(t), der wiederum ein magnetisches Feld erzeugt.
Dieses Feld B(t) seinerseits induziert in
den Windungen des Generators eine
Spannung, die der ursprünglichen
Spannung entgegengesetzt ist.
Fig. 84-15
Ankerrückwirkung
An den Klemmen des belasteten Generators steht daher eine kleinere Spannung zur
Verfügung als an den Klemmen des unbelasteten Generators.
Dieser Effekt wird Ankerrückwirkung genannt.
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84.4 Induktivität und magnetische Kopplung
84.4.1 Lange gerade Spule
Der Selbstinduktionskoeffizient L wird meist Induktivität L genannt. Die Induktivität L
ergibt sich aus dem Induktionsgesetz beziehungsweise aus dem Gesetz für die
Selbstinduktionsspannung.
u = u(t) = L ⋅
di(t)
dt
(84-16)
Die Induktivität L wurde von HENRY an der geraden Spule mit N Windungen gefunden.
In der geraden, eng bewickelten Spule
mit l >> d sind praktisch alle N Windungen mit dem gleichen Fluss Φ verkettet.
Der Fluss Φ in der Spule werde erzeugt vom Strom i(t). Nach dem Induktionsgesetz erzeugt der zeitabhängige
Fluss Φ(t) in jeder Windung eine Spannung uW.
Fig. 84-16
Mit
wird
Lange, gerade Spule
N ⋅ i(t)
⋅A
l
dΦ(t) µ ⋅ A
di(t)
di(t)
⋅N⋅
uW =
=
= Λ ⋅N⋅
dt
dt
dt
l
Φ(t) = B(t) ⋅ A = µ ⋅ H(t) ⋅ A = µ ⋅
23
Die Spannung uW wird in jeder Windung induziert; die N Windungen liegen in Serie,
so dass die gesamte induzierte Spannung an den Spulenenden zu uind = u = N⋅uW
wird:
dΦ
di(t)
di(t)
= Λ ⋅ N2 ⋅
u(t) = N ⋅ uW (t) = N ⋅
=L⋅
dt
dt
dt
L = Λ ⋅ N2 =
µ⋅A 2
⋅N
l
und
L = N⋅
dΦ
di
(vgl. 84.3)
Die Selbstinduktionsspannung u und damit die Induktivität L ergeben sich aus der
Anwendung des Induktionsgesetzes.
Die Induktivität L ist aus den geometrischen Abmessungen der Spule und den Materialeigenschaften des Feldraumes bestimmt.
24
Die Induktivität ist nur dann konstant, wenn der magnetische Leitwert Λ der gegebenen Anordnung konstant ist.
23
24
Gilt nur für Zylinderspulen mit l>>d, in denen das H-Feld einigermassen homogen ist.
Der magnetische Leitwert Λ hat die Dimension Tm A = VsA = Ωs = [L]
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84.4.2 Näherungsformel für gerade Spule
Für die Berechnung der Induktivität L gelten näherungsweise folgende „Faustformeln“ mit
[D] = mm
D2
D
2
[l] = mm
I
L=
⋅N ;
< 2,5
457 ⋅ D + 1016 ⋅ l
l
[L] = µH
und
[D] = cm
(D ⋅ π)2
D
2
[l] = cm
II
L=
⋅ N ; 0 < < 30
2
l

D
D 
[L] = nH
l ⋅ 1 + 0,45 ⋅ − 0,003 ⋅
2 

l
l


l
D
I
N
84.4.3 Ferromagnetisches Material im Feldraum
In ferromagnetischem Material ist µr nicht konstant, sondern abhängig von der magnetischen Feldstärke H, die ihrerseits vom erzeugenden Strom I oder i(t) abhängt.
Die relative Permeabiltät µr als Verhältnis von B zu µ0H wird damit ihrerseits zeitabhängig. Mit µr = µr[i(t)] wird allgemein
 dµ (i)
 A
(84-17)
L = µ 0 ⋅  r ⋅ i + µr (i) ⋅ ⋅ N2
 di
 l
25
Für praktische Anwendungen ist die Formel kaum zu gebrauchen.
Für praktische Anwendungen eher geeignet ist folgende Betrachtung:
dΦ
di
N⋅i
Ausgehend von u = N ⋅
und H =
wird
=L⋅
dt
dt
l
dΦ
dB
dB dH
A dB µ d ⋅ A 2
L = N⋅
= N⋅ A ⋅
= N⋅ A ⋅
⋅
= N2 ⋅ ⋅
=
⋅N
(84-18)
di
di
dH di
l dH
l
dB
gibt die Steigung der Magnetisierungskennlinie, der KomDer Ausdruck µ d =
dH
mutierungskurve an. Die Grösse µd wird daher differenzielle Permeabilität genannt.
Die differenzielle Permeabilität ist abhängig von der magnetischen Feldstärke H und
damit vom erzeugenden Strom I oder i(t).
25
Die Funktion µr = µr[i(t)] ist materialabhängig und durch Ablesen vieler Werte aus der Magnetisierungskennlinie oder aus Messungen zu erfahren, was unmittelbar keine mathematisch geschlossenen Formen ergibt.
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Elektrotechnik
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µ [i(t )] ⋅ A 2
µ d = µ d [i(t )] und damit L = L[i(t )] = d
⋅N
l
(84-19)
Einerseits lässt sich mit ferromagnetischem Material die Induktivität L stark vergrössern. Andererseits bleibt zu beachten, dass sich die Induktivität L mit Eisenkern in ihrem Wert verändert; dies wegen des nichtlinearen B – H – Zusammenhanges.
84.4.4 Die magnetische Kopplung
Sind zwei Spulen so nahe beieinander
angeordnet, dass der in einer Spule
durch i1(t) erzeugte Fluss Φ1(t) auch
die andere Spule teilweise durchdringt,
sind die beiden Spulen magnetisch
gekoppelt.
In diesem Fall erzeugt der aus Φ1(t) in
der zweiten Spule bewirkte Teilfluss
'
Φ12(t) eine induzierte Spannung u2 .
Fig. 84-17
Magnetische Kopplung
'
Diese Spannung u2 wird als Spannung der Gegeninduktion bezeichnet. Als Gegeninduktion gilt jeweils die Wirkung in der gegenüberliegenden Spule.
Eine formale Betrachtung zeigt folgendes. Der Strom i1(t) durch die Spule 1 induziert
'
an der Spule 1 die Spannung u1
d Φ1(t)
di (t)
di (t)
(84-20)
= Λ1 ⋅ N12 ⋅ 1 = L1 ⋅ 1
u1′ (t) = N1 ⋅
dt
dt
dt
Je nach der Anordnung durchdringt ein mehr oder weniger grosser Teil des Flusses
Φ1 die Spule 2. Diesen Teil nennen wir Φ12 ; er ist geringer oder höchstens gleich
26
gross, wie der Fluss Φ1, was wir mit dem Kopplungsfaktor k ausdrücken:
Φ12 (t) = k12 ⋅ Φ1(t) , worin k12 ≤ 1
'
Die Spannung u2 der Gegeninduktion, das heisst die an der Spule 2 induzierte
Spannung
u′2 (t) = N2 ⋅
d (t)
d Φ12 (t)
= N2 ⋅ k12 ⋅ Φ1 =
dt
dt
u′ (t)
di (t)
N2 ⋅ k12 ⋅ N1 ⋅ Λ1 ⋅ 1 = N2 ⋅ k12 ⋅ 1
dt
N1
(84-21)
Das Verhältnis der beiden vorangehenden Formeln ergibt
26
Jener Teil des Flusses Φ1, der nicht in der Spule 2 wirksam wird, hat für die magnetische Kopplung
keine Bedeutung. Wir nennen ihn Streufluss Φ10 mit Φ10 = (1-k12)⋅Φ1.
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Elektrotechnik
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u′2
u1′
= k12 ⋅ N2
N1
(84-22)
Dieser Zusammenhang gilt, solange in der Spule 2 kein Strom i2(t) fliesst. Die Spule
2 ist unbelastet.
Lassen wir diese Voraussetzung fallen und durch die Spule 2 den Strom i2(t) flies27
sen. Der Strom i2 (t) bewirkt formal dasselbe, wie der Strom i1(t). Der Strom i2(t) er"
zeugt an der Spule 2 die Selbstinduktionsspannung u2 und an der Spule 1 die Ge"
geninduktionsspannung u1 über den Kopplungsfaktor k21 ≤ 1.
Fig. 84-18
Kopplung gerader Spulen
Formal erhalten wir
d Φ 2 (t)
di (t)
di (t)
= Λ 2 ⋅ N22 ⋅ 2 = L 2 ⋅ 2
dt
dt
dt
d (t)
d Φ 21(t)
= N1 ⋅ k 21 ⋅ Φ 2 =
u1′′ (t) = N1 ⋅
dt
dt
u′′2 (t) = N2 ⋅
(84-23)
(84-24)
u′′2 (t)
di2 (t) = ⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
N1 k 21
N1 k 21 N2 Λ 2
dt
N2
Setzen wir die beiden Formeln für u2“ und u1“ zueinander ins Verhältnis, wird
u1′′ =
⋅ N1
′′ k 21 N
u2
2
(84-25)
84.4.5 Gegeninduktivität
'
"
'
"
Für die praktische Anwendung interessieren uns die Spannungen u1 , u1 , u2 und u2
kaum. Sie sind nicht messbar.
Von praktischer Bedeutung sind die Spannungen u1(t) an der Spule 1 und u2(t) an
der Spule 2, die gemessen werden können.
27
Jede Belastung der Spule 2 hat einen Strom i2(t) zur Folge.
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Für u1(t) und u2(t) gelten
'
"
u1(t) = u1 + u1
'
"
und
u2(t) = u2 + u2
und
Λ 2 ⋅ N22 = L 2
Weiter bedeuten
Λ1 ⋅ N12 = L1
In einer gegebenen Anordnung und lineare Verhältnisse vorausgesetzt
davon ausgehen, dass k12 ⋅ Λ1 = k 21 ⋅ Λ 2 = k ⋅ Λ .
(84-26)
28
, dürfen wir
Damit wird L21 = L12 = M. Die Gegeninduktivität M hat die gleiche Dimension wie die
29
Induktivität L.
Sinngemäss ordnen wir daher zu
und
N1 ⋅ k 21 ⋅ N2 ⋅ Λ 2 = L 21 = M
N2 ⋅ k12 ⋅ N1 ⋅ Λ1 = L12 = M
(84-27)
Setzen wir diese Zuordnungen in die oben gegebenen Spannungsbeziehungen ein,
werden
di1(t)
di (t)
+ M⋅ 2
u1(t) = L1 ⋅
dt
dt
(t)
di1
di (t)
+ L2 ⋅ 2
u2 (t) = M ⋅
dt
dt
(84-28)
Nehmen wir vereinfachend an, es seien k21 = k12 = k , wird
k2 =
M2
L1 ⋅ L 2
beziehungsweise
M = k ⋅ L1 ⋅ L 2
(84-29)
84.4.6 Nutz- oder Hauptflüsse und Streuflüsse
Als Nutzflüsse oder Hauptflüsse werden der Fluss Φ12 und der Fluss Φ21 bezeichnet. Diese Flüsse sind jeweils mit beiden Spulen verkettet.
Mit je nur einer Spule verkettet sind die Streuflüsse Φ10 und Φ20.
28
Insbesondere sei µr nicht vom Strom i(t) abhängig.
29
[M] = [L] = Henry = H = VsA = Ωs. M steht für „mutual“, engl.: gegenseitig, wechselseitig.
-1
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84.5 Transformatoren
84.5.1 Der ideale Transformator
Die vorangehenden Formeln zeigen, dass mit magnetischer Kopplung Spannungen
übersetzt, transformiert werden können. Als idealen Transformator bezeichnen wir
eine magnetische Kopplung, bei der keine Streuflüsse auftreten und damit k = 1 be30
trägt. Es gilt dann
(t)
(t)
= N1 = i2
ü = u1
u2 (t)
i1(t)
N2
31
(84-30)
Am idealen Transformator übersetzen sich Impedanzen im Verhältnis zum Quadrat
der Windungszahlen.
i1
i2
u1
Z1
ü
u2
Die Impedanz Z2 auf der rechten, der
Sekundärseite wird von links, der Pri2
märseite her gesehen als Z1 = ü ⋅Z2
Z2
Fig. 84-19
2
(84-31)
Idealer Transformator
Für allgemeine Betrachtungen am idealen
Figur dienen.
Fig. 84-20
Z1 = ü2 =  N1 
 
Z2
 N2 
32
Transformator kann die nachfolgende
Betrachtung am idealen Transformator
Es gelten die Maschengleichungen
30
Bei kleinem Kopplungsfaktor (k gegen 0) sprechen wir von einer losen Kopplung im Gegensatz zu
einer engen oder harten Kopplung, wo k gegen 1 geht.
31
Das Stromverhältnis ergibt sich unter der Voraussetzung konstanter Permeabilität µr.
32
Der ideale Transformator weist keine Verluste auf und µr ist konstant. Die Kopplung ist hart mit k=1;
wir sprechen von transformatorischer Kopplung.
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di (t)
di1(t)
= u1
+ M⋅ 2
R1 ⋅ i1(t) + L1 ⋅
dt
dt
di1(t)
di (t)
+ L2 ⋅ 2
= u2
R 2 ⋅ i2 (t) + M ⋅
dt
dt
(84-32)
Für sinusförmiges Signal ergeben sich daraus die beiden Beziehungen
(R1 + j ⋅ ω L1) ⋅ i1 + j ⋅ ωM ⋅ i2 = u1
(84-33)
j ⋅ ωM ⋅ i1 + (R 2 + j ⋅ ω L 2) ⋅ i2 = u2
Für die Energieübertragung können die ideale Quelle ū2 und der Widerstand R1 als
Kurzschlüsse aufgefasst werden. Es gelten dann
j ⋅ ω L1 ⋅ i1 + j ⋅ ωM ⋅ i2 = u1 = u1
j ⋅ ωM ⋅ i1 + (R 2 + j ⋅ ω L 2) ⋅ i2 = 0
beziehungsweise
j ⋅ ω L1 ⋅ i1 + j ⋅ ωM ⋅ i2
=
u1
j ⋅ ωM ⋅ i1 + j ⋅ ω L 2 ⋅ i2 = − i2 ⋅ R 2 = u2
(84-34)
Wird die vorangehende Fig. 84-20 umgezeichnet, zeigt sich
Primär- und Sekundärspannung sind gleichphasig. Primär- und Sekundärstrom sind zueinander
um den Winkel π verschoben.
Der Transformator wirkt nach links als Verbraucher und nach rechts zu R hin als Erzeuger (Erzeuger - Zählpfeilsystem).
Primärwicklung Sekundärwicklung
Fig. 84-21
Der Punkt gibt den Wicklungssinn an. Vom Punkt
aus wird der gemeinsame Kern im gleichen Sinn
umkreist. Die Ströme i1 und i2 erzeugen je einen
Fluss in der gleichen Richtung.
Transformator
*
Gemäss unserer Konvention wird auf der Sekundärseite der Strom i2 gemessen.
33
Im Fall des Leerlaufes wird i2 = 0 und daraus
u20 = M =
u10
L1
33
L2 = N2
L1
N1
(84-35)
*
Der Zählpfeil für i2 läuft als Verbraucherstrom-Zählpfeil dem Erzeugerstrom-Zählpfeil entgegen. Allgemein verwenden wir das Verbraucherzählpfeilsystem VZS (DIN 5489).
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Im Fall des Kurzschlusses wird u2 = 0 und damit
i2k = - i1(t) ⋅
M
= - i1(t) ⋅ L1 = - i1(t) ⋅ N1
L2
L2
N2
(84-36)
Für sinusförmiges Signal kann die Windungszahl, hergeleitet aus dem Induktionsgesetz, angegeben werden mit
N =
Ueff
Ueff
=
⋅
⋅
4,44
f
2 ⋅ π ⋅ f ⋅ AFe ⋅ BMax
AFe ⋅ BMax
(84-37)
84.5.2 Der reale Transformator
Im Gegensatz zum idealen Transformator weist der reale Transformator Verluste auf.
Zudem treten Streuflüsse auf, so dass der Kopplungsfaktor kleiner als Eins ist.
Einen guten Überblick zu den Verlusten bietet das Ersatzschaltbild des realen Transformators.
Ersatzschaltbild des realen Transformators
idealer Transformator
Fig. 84-22
Ersatzschaltbild zum Transformator
Darin bedeuten
L σ1 1 :
Lσ2 2 :
primäre Streuinduktivität
Streu-
sekundäre Streuinduktivität
verluste
Längs-
RCu1 :
RCu2 :
Kupferwiderstand der Primärwicklung
Kupferwiderstand der Sekundärw.
Kupferverluste
verluste
RFe
Eisenverluste (Hysterese- und
Wirbelstromverluste)
C
:
Wicklungskapazität
Eisenverluste
Querverluste
:
LP
:
Hauptinduktivität, Querinduktivität
Für viele Anwendungen ist das folgende Ersatzschaltbild geeignet:
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idealer Transformator
Fig. 84-23
Ersatzschaltbild des realen Transformators
Die Längsverluste der Sekundärseite sind transformiert :
 
L ′σ2 = L σ2 ⋅  N1 
 N2 
2
und
 
R ′Cu2 = R Cu2 ⋅  N1 
 N2 
2
84.5.3 Frequenzgang des realen Transformators
Aus dem Ersatzschaltbild ist ersichtlich, dass das Verhältnis der Sekundärspannung
zur Primärspannung, das Spannungsverhältnis u2/u1 frequenzabhängig wird.
Wir unterscheiden die drei Bereiche tiefe (A), mittlere (D) und hohe (B und C) Frequenzen.
Tiefe Frequenzen werden durch RCu - LP und hohe Frequenzen durch RCu - C, Lσ RFE gedämpft. Eine Besonderheit stellt der Bereich C dar, wo Lσ - C -Resonanzen
auftreten.
A: Einfluss von LP
B: Einfluss von Lσ
C: Resonanzen (Lσ , C)
D: Grunddämpfung
(RCu, RFe)
Fig. 84-24
Amplitudengang eines realen Transformators
Netztransformator (Energieübertragung)
Bei fester und eher tiefer Frequenz lässt sich die Kapazität und die Streuinduktivität
im allgemeinen vernachlässigen. Dagegen wird darauf zu achten sein, dass die
Grenzfrequenz aus der Wirkung RCu - LP wesentlich tiefer liegt als die gewählte feste
Frequenz.
Zu achten ist auf die Kupferverluste, da diese quadratisch zur Leistung ansteigen.
Tonfrequenzübertrager
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Bei Übertragern im Tonfrequenzbereich bis etwa 30 kHz achtet man weniger auf die
Verluste und mehr auf einen breiten Amplitudengang. Zur Übertragung hoher Frequenzen und zur Vermeidung von Serieresonanzen mit C, den Wicklungskapazitä34
ten, müssen die Streuverluste Lσ möglichst klein gehalten werden.
84.5.4 Hysterese-, Kupfer- und Wirbelstromverluste.
Hystereseverluste ergeben sich aus der Ummagnetisierung des verwendeten ferromagnetischen Kerns in der Zeit. Aufgrund früherer Ausführungen werden für den
Bau von Transformatoren und Übertragern mit Vorteil magnetisch weiche Stoffe
verwendet um die Hystereseverluste klein zu halten.
Die Hystereseverluste PH lassen sich mathematisch geschlossen kaum erfassen.
35
Nach STEINMETZ wird für sinusförmige Ströme
) 1,6
(
10 4 ⋅ B)
PHysterese = PH = η ⋅
⋅f ⋅V
10 4
(84-38)
Darin bedeuten
η
)
B
eine Materialkonstante:
für unlegierte Dynamobleche:
η = 10-3 bis 3⋅10-3
für legierte Dynamobleche:
η = 7⋅10-4 bis 10-3
die grösste auftretende magnetische Flussdichte in Tesla. Die Formel eignet
sich für B - Werte bis 0,7 T.
) 2 bis 2,2
Für höhere Werte ist es besser 10 4 ⋅ B
zu setzen.
die Frequenz in Hertz
das Eisenvolumen in dm3 (in Liter)
(
f
V
)
Die Hystereseverluste sind ein Teil der Eisenverluste. Dazu kommen die Wirbelstromverluste. Im Transformatorkern treten Wirbelströme auf, die zu Wirbelstromverlusten PWirbelstrom = PW führen.
Jede zeitliche Änderung des magnetischen Flusses Φ führt in einem von diesem
durchsetzten Leiter zu einer induzierten Spannung (Induktionsgesetz).
Der Eisenkern des Transformators (Übertragers) stellt einen solchen in sich kurz34
35
Der Streufluss ist von µr weitgehend unabhängig, da er grossenteils durch die Luft geht. Durch verschachteln und unterteilen der Wicklungen kann der Streufluss vermindert werden.
Charles Proteus (Karl August Rudolf) STEINMETZ, 1865 – 1923, 1901: Theory and Calculation of Alternating Current Phenomena 3 Bde, Hauptbegründer der Wechselstromtheorie. Bei General Electric
ebnet er zusammen mit George Westinghouse (1846 – 1914) den Weg für die Verbreitung der
Wechselstromtechnik in den USA.
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geschlossenen, ausgedehnten Leiter dar; die induzierte Spannung verursacht im
ferromagnetischen Material Ströme, die sehr hohe Werte erreichen können und
den Transformatorkern erwärmen.
Fig. 84-25
Wirbelstromverluste
Um diese Wirbelstromverluste möglichst gering zu halten, muss der Querschnittswiderstand RFe des Kernes erhöht werden; die Kerne werden daher aus isolier36
ten, legierten Blechen zusammengestellt.
Wirbelstrom- und Hystereseverluste ergeben zusammen die gesamten Eisenverluste (PFe).
PFe = PH + PW = RFe ⋅ iµ2
37
(84-39)
Die Wirbelstromverluste können rechnerisch erfasst werden nach der Faustformel
PWirbelstrom = PW
)
2
(
B⋅ ∆ ⋅ f)
= 1,64 ⋅
⋅V
103 ⋅ ρFe
(84-40)
Darin bedeuten:
)
B
die maximal auftretende magnetische Induktion in Tesla
∆
die Blechdicke in mm (oft 0,3 oder 0,5 mm)
f
die Frequenz in Hertz (Hz)
V
das gesamte Eisenvolumen in dm3 (in Liter)
ρFe
spezifische Widerstand des Eisens in Ω⋅m
ρFe = (99 + 120⋅p)⋅10-3 Ω⋅mm2⋅m-1 ; p: Siliziumgehalt in % (0 bis 4 %)
36
37
Die Legierung erhöht den spezifischen Widerstand der Bleche (ρFe). Isolation: Papierschicht, Schicht
aus Kunstharzlack, Klebelack auf Epoxyd- oder Polyesterbasis oder Oberflächenphosphatierung im
Tauchverfahren. Die Bleche werden einseitig isoliert.
iµ bezeichnet den sogenannten Magnetisierungsstrom.
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Elektrotechnik
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4
4
20
P Fe( B)
20
P Fe( f )
P Hysterese( B)
P Hysterese( f )
2
P Wirbelstrom ( B)
0
P Wirbelstrom ( f )
0
0
0
1
0
Fig. 84-26
10
B
1.5
0
0
0
200
f
300
Eisenverluste in Watt pro kg
Die Kupferverluste PCu entstehen an den realen Primär- und Sekundärwicklungen
als Wärme.
PKupfer = PCu = i12 ⋅ R Cu1 + i22 ⋅ R Cu2
i10
u1Nenn
Fig. 84-27
i2 = 0
ü
u2
(84-41)
i1
u1k
i2Nenn
ü
u2 = 0
Verlustbehafteter Transformator im Leerlauf und Kurzschluss
84.5.5 Messung der Transformatorverluste
Die gesamten Eisenverluste lassen sich im Leerlaufversuch mit i2 = 0 ermitteln.
Die Primärseite wird mit der Nennspannung versorgt. Der so fliessende Strom i10
darf dem Magnetisierungsstrom iµ näherungsweise gleichgesetzt werden, da in
dieser Anordnung nur geringe Kupferverluste anfallen.
Wird die Sekundärseite des Transformators kurzgeschlossen und die Primärspannung u1 solange erhöht bis i2 den Nennwert i2Nenn erreicht, fällt die Kurzschlussleistung P1k an; die dazu erforderliche Spannung u1k wird Kurzschlussspannung genannt. Im Kurzschlussfall können die vorher beschriebenen Eisenverluste vernachlässigt werden.
Aus den beiden Messungen lassen sich die gesamten Verluste PV ermitteln
38
38
Die angegebene Messmethode eignet sich für Transformatoren > 50VA. Bei kleineren Transformatoren sind in der Leerlaufmessung die Kupferverluste und in der Kurzschlussmessung die Eisenverlus-
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PVerluste = PV = PLeerlaufversuch + PKurzschlussversuch
84.5.6 Wirkungsgrad des realen Transformators
Der Wirkungsgrad η ergibt sich aus dem Verhältnis der abgegebenen zur aufgenommenen Leistung. Wir bezeichnen mit PV die Gesamtheit der Verlustleistungen.
Es gilt dann
P − PV
P
P2
PV
η= 1
= 1− V =
= 1−
P1
P1 P2 + PV
P2 + PV
84.6
(84-42)
Energie und Kraft im magnetischen Feld
84.6.1 Energiespeicher Induktivität
Die Induktivität L (Spule, Selbstinduktion) ist ein Energiespeicher. Die gespeicherte
Energie ergibt sich aus
t
W ( t) = ∫ u(t ) ⋅ i(t) ⋅ dt
(84-43)
0
Wird zur Zeit t0 = 0 der Schalter S
geschlossen, gelten
U
S
R
L
uL(t)
iL(t)
Fig. 84-28
t
uL (t ) = U ⋅ e τ
−
mit
t
iL ( t) = I ⋅ (1 − e τ )
−
τ=
L
R
mit I =
und
U
R
Energie der Induktivität
Daraus lässt sich die Energie berechnen, die für den Aufbau des magnetischen
Feldes in der Induktivität benötigt wird. Diese Arbeit wird
WL =
∞
∫ uL (t) ⋅ iL (t) ⋅ dt = U ⋅ I ⋅
t =0
τ I2 ⋅ L
=
2
2
39
(84-44)
Aufgabe: Beweisen Sie dieses Ergebnis
te nicht mehr zu vernachlässigen.
39
In gleicher Weise kann die im Kondensator gespeicherte Energie berechnet werden. Aufgabe: Zei2
gen Sie, dass für den Kondensator gilt W C = U C/2 .
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84.6.2 Magnetische Feldenergie
In einer Kreisringspule herrscht ein
homogenes Feld, wenn r<<R.
Der Fluss Φ = Φ(t) ergibt sich zu
Φ(t) = B(t) ⋅ A
Die insgesamt induzierte Spannung
uind wird zu
dΦ(t)
dB(t)
= N⋅ A ⋅
uind (t) =
dt
dt
worin A = r2⋅π.
Fig. 84-29
Magnetische Feldenergie und Kreisringspule
Die während eines Zeitelements dt im Feld der Spule gespeicherte Energie ergibt
sich daraus zu
dW = u ⋅ i ⋅ dt = N ⋅ i ⋅ A ⋅ dB
Mit dem Durchflutungsgesetz N⋅i = Θ = H⋅l und mit V = A⋅l wird
dW = V ⋅ H ⋅ dB
Die im magnetischen Feld gespeicherte Energie ergibt sich daraus zu
B
W = V ⋅ ∫ H ⋅ dB
(84-45)
0
und die magnetische Energiedichte zu
B
W
w=
= H ⋅ dB
V 0∫
(84-46)
Bei Materialien mit konstanter, feldunabhängiger relativer Permeabilität µr kann
wegen dB = µ ⋅ dH integriert werden und es werden
µ ⋅ H2
B⋅H
B2
= V⋅
= V⋅
W = V⋅
2
2⋅µ
2
µ ⋅ H2
B ⋅ H B2
=
=
w=
2
2⋅µ
2
(84-47)
84.6.3 Innere Induktivität eines runden Drahtes
Im Innern eines Leiters mit kreisrundem Querschnitt und dem Radius R gilt
i
⋅r
H=
2π ⋅ R 2
Ein beliebiger koaxialer Hohlzylinder mit dem Radius r und der Wandstärke dr innerhalb des l langen Drahtes enthält die Energie dW mit
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2

µ ⋅ H2
µ
i
 = i2 ⋅ µ ⋅ l ⋅ r 3 ⋅ dr
dW = V ⋅
= 2π ⋅ r ⋅ dr ⋅ l ⋅ 
⋅
r
2
2  2π ⋅ R 2 
4π ⋅ R 4


Runddraht
Damit wird die im ganzen Draht gespeicherte
Energie
R
W = ∫ dW = i2 ⋅
dr
0
r
R
l
Fig. 84-30
µ⋅l
16 ⋅ π
Weiter gilt für die vom magnetischen Feld aufgenommene Energie
L ⋅ i2
W=
2
Innere Induktivität eines Drahtes
und die innere Induktivität eines Drahtes ergibt sich zu
µ⋅l
L=
(84-48)
8⋅π
Damit wird der innere Induktivitätsbelag L’ im magnetisch neutralen Runddraht
µ
L
= L'i = 0 = 50nHm−1
(84-49)
l
8⋅π
84.6.4 Kraft im Luftspalt
Wir gehen aus von einem magnetischen Kreis mit dem Luftspalt δ und dem Luftspaltquerschnitt A.
Der Querschnitt A = a⋅b sei mit a >> δ und b >> δ so gross, dass eine homogene
Verteilung von Bδ über den ganzen Luftspalt angenommen werden darf.
Das untere Eisenteil sei beweglich angeordnet.
Die Verschiebung um das infinitesimale
Wegstück ds hat eine Veränderung der
magnetischen Weglänge δ zur Folge.
(Die Änderung der Weglänge im Eisen
sei vernachlässigt).
Fig. 84-31
Kraft im Luftspalt
Es sei F die Kraft, mit der sich die beiden Eisenteile (Anker und Joch) anziehen.
Die Flussdichte B ist bewirkt aus einer Spule, die den Strom i führt.
Die Änderung des Luftspaltes δ um ds benötigt Energie. Diese Energie lässt sich
einerseits ausdrücken als mechanische Arbeit mit dW = F⋅ds und andererseits als
Energie, die dem magnetischen Feld entnommen wird mit dW = u⋅i⋅dt.
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Darin ist u = N⋅dΦ/dt bewirkt aus der Flussänderung, die aus der Wegänderung um
ds folgt. Damit wird dW = N⋅i⋅dΦ = Θ⋅dΦ.
r r
Aus Φ = A⋅Bδ wird dΦ = A⋅dBδ . Zudem ist Θ = ∫ H ⋅ dl = Hδ ⋅ δ + ∑ Hi ⋅ l i
Damit wird dW = Θ ⋅ dΦ = (Hδ ⋅ δ + ∑ Hi ⋅ l i ) ⋅ A ⋅ dBδ
i
und daraus bei überall glei-
i
chem Eisenquerschnitt und ohne Streufelder
W = ∫ dW = δ ⋅ A ⋅ ∫ Hδ ⋅ dBδ + l Fe ⋅ A ⋅ ∫ HFe ⋅ dBδ
B
Bδ
W = ∫ dW = δ ⋅ A ⋅ ∫ δ ⋅ dBδ + l Fe ⋅ A ⋅ ∫
⋅ dBδ
µ0
µr ⋅ µ 0
W = δ⋅A⋅
B δ2
B δ2
+ l Fe ⋅ A ⋅
= WLuftspalt + WEisen
2 ⋅ µ0
2 ⋅ µr ⋅ µ 0
δ
Mit
B 2δ
2 ⋅ µ0
WLuftspalt = ∫ F ⋅ ds = F ⋅ δ = δ ⋅ A ⋅
0
FLuftspalt =
(84-50)
wird die im Luftspalt wirksame Kraft
A ⋅ Bδ2
2 ⋅ µ0
(84-51)
84.6.5 Kraftwirkung durch Wirbelströme
Wir schieben ein elektrisch leitendes, nicht ferromagnetisches Blech (zum Beispiel
Aluminium oder Kupfer) der Dicke d durch ein Magnetfeld mit konstanter Flussdichte B (Luftspalt eines magnetischen Kreises).
Wir denken uns das Blech quer zur
Stossrichtung in Streifchen geschnitten.
In den so entstehenden, endlich vielen Leitern wird je eine Spannung induziert.
Diese Spannungen sind im Blech
kurzgeschlossen (viele kleine Kurzschlussströme).
Fig. 84-32
Dia- oder paramagnetisches Blech im Luftspalt
Die so entstehende Ströme nennen wir Wirbelströme.
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Es handelt sich dabei um räumlich
verteilte und zeitabhängige Ströme.
Eine Berechnung dieser Ströme ist
daher sehr aufwendig.
Der Bewegung wirkt eine Kraft F
entgegen (LENZ Regel).
Fig. 84-33
Kraftwirkung durch Wirbelströme
Betrachten wir einen Spezialfall :
Es seien v (Stossgeschwindigkeit) und damit F konstant. Damit wird die Leistung
→
r ds
r r
F⋅
= P = F⋅v
dt
Die in den vielen Leiternrerzeugte Spannung wird
r r
u = B ⋅ ( l x v) = B ⋅ l ⋅ v
Der Widerstand Rδ des Bleches im Luftspalt wird mit R = ρ ⋅
l
zu
A
l
und der wirksame Widerstand wird
R = k ⋅ Rδ .
b⋅d
Mit dem Faktor k werden der ausserhalb des Feldes liegende Widerstandsanteil
und die Rückwirkungen der Wirbelströme auf das Magnetfeld berücksichtigt.
Rδ = ρ ⋅
Damit werden
P = F⋅v =
u2
b⋅d
= B2 ⋅ l 2 ⋅ v 2 ⋅
R
k ⋅ρ ⋅ l
und daraus
F=
l ⋅b⋅d
⋅ v ⋅ B 2 = p1 ⋅ v ⋅ B2
k ⋅ρ
(84-52)
Die auf das Blech wirkende Kraft ist proportional zur Geschwindigkeit v, mit der wir
das Blech durch den Luftspalt schieben und proportional zur magnetischen Flussdichte B im Quadrat. Der Proportionalitätsfaktor p1 und daraus der Korrekturfaktor
k lassen sich durch Messung ermitteln.
Wird ein ruhendes Blech einem Feld mit B(t) = B⋅sinωt ausgesetzt, ergeben sich
wiederum Wirbelströme, die das Blech erwärmen (Induktionskochherd).
dΦ
= b ⋅ l ⋅ B ⋅ ω ⋅ cos ωt wird die im Blech verbrauchte Leistung
Mit u =
dt
P=
u2
b⋅d
B2 2
=
⋅ b2 ⋅ l2 ⋅
⋅ ω = p2 ⋅ f 2 ⋅ B2
R k ⋅ρ⋅ l
2
(84-53)
Die so umgesetzte Leistung ist quadratisch proportional zur Frequenz f und zur
Flussdichte B.
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84.6.6 Der Wirbelstrommotor
Fig. 84-34
Wirbelstrommotor. Aus [L 84-1]
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84.7 Elektrische Maschinen
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84.8 Anhang
84.8.1 Beispiele zum Induktionsgesetz
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84.8.2 Berechnen eines Transformators
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84.8.3 Tabellen
Die Tabellen und Tafeln sind entnommen aus [L 84-4]
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84.8.4 Berechnung einer Drossel
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84.9 Verzeichnisse
Figurenverzeichnis
Fig. 84-1
Fig. 84-2
Fig. 84-3
Fig. 84-4
Fig. 84-5
Fig. 84-6
Fig. 84-7
Fig. 84-8
Fig. 84-9
Fig. 84-10
Fig. 84-11
Fig. 84-12
Fig. 84-13
Fig. 84-14
Fig. 84-15
Fig. 84-16
Fig. 84-17
Fig. 84-18
Fig. 84-19
Fig. 84-20
Fig. 84-21
Fig. 84-22
Fig. 84-23
Fig. 84-24
Fig. 84-25
Fig. 84-26
Fig. 84-27
Fig. 84-28
Fig. 84-29
Fig. 84-30
Fig. 84-31
Fig. 84-32
Fig. 84-33
Fig. 84-34
Leiter im magnetischen Feld.......................................................................................... 4
Rechte Hand - Regel ..................................................................................................... 6
Kraftwirkung auf Leiter ................................................................................................... 6
Linke Hand - Regel ........................................................................................................ 7
LENZ’ sche Regel .......................................................................................................... 7
Kraftwirkung auf bewegte Ladungsträger ...................................................................... 8
Hall – Spannung in stromdurchflossener Kupferfolie .................................................... 9
Erzeugung elektrischer Energie................................................................................... 10
Sinusförmiger Spannungsverlauf................................................................................. 11
Dreiphasen - Generator............................................................................................... 11
Spannungsverlauf im Drehstromsystem ..................................................................... 12
Drehstromsystem ........................................................................................................ 12
Selbstinduktionsspannung........................................................................................... 13
Selbstinduktionskoeffizient einer Kreisringspule ......................................................... 14
Ankerrückwirkung ........................................................................................................ 14
Lange, gerade Spule ................................................................................................... 15
Magnetische Kopplung ................................................................................................ 17
Kopplung gerader Spulen............................................................................................ 18
Idealer Transformator .................................................................................................. 20
Betrachtung am idealen Transformator....................................................................... 20
Transformator .............................................................................................................. 21
Ersatzschaltbild zum Transformator............................................................................ 22
Ersatzschaltbild des realen Transformators ................................................................ 23
Amplitudengang eines realen Transformators ............................................................ 23
Wirbelstromverluste..................................................................................................... 25
Eisenverluste in Watt pro kg........................................................................................ 26
Verlustbehafteter Transformator im Leerlauf und Kurzschluss ................................... 26
Energie der Induktivität................................................................................................ 27
Magnetische Feldenergie und Kreisringspule ............................................................. 28
Innere Induktivität eines Drahtes ................................................................................. 29
Kraft im Luftspalt.......................................................................................................... 29
Dia- oder paramagnetisches Blech im Luftspalt.......................................................... 30
Kraftwirkung durch Wirbelströme ................................................................................ 31
Wirbelstrommotor. Aus [L 84-1]................................................................................... 32
Tabellenverzeichnis
Tabelle 84-1
Hallkonstante............................................................................................................. 9
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