elektrotechnik1

Elektrotechnik
Formelsammlung
© 2002 Niklaus Burren
Formelsammlung Elektrotechnik
2
Inhaltsverzeichnis
1.
2.
3.
Grundlagen....................................................................................6
1.1. Elementarladung ................................................................6
1.2. Elektronengeschwindigkeit .................................................6
1.3. Impulsgeschwindigkeit........................................................6
1.4. Stromstärke ........................................................................6
1.5. Ladung / Elektrizitätsmenge ...............................................7
1.6. Elektrische Spannung.........................................................7
1.7. Potential .............................................................................7
1.8. Stromdichte ........................................................................7
1.9. Elektrischer Widerstand......................................................8
1.10. Spezifischer Widerstand .....................................................8
1.11. Leiterwiderstand .................................................................8
1.12. Ohmsches Gesetz ..............................................................9
1.13. Leistung..............................................................................9
1.14. Celsius – Kelvin ..................................................................9
1.15. Leitwert und Leitfähigkeit ..................................................10
1.16. Temperaturabhängigkeit des Widerstandes .....................10
1.17. Widerstandsreihen............................................................12
1.18. Elektrische Arbeit..............................................................12
1.19. Wirkungsgrad ...................................................................13
1.20. Kirchhoffsche Knotenregel................................................13
1.21. Kirchhoffsche Maschenregel ............................................13
1.22. Energieerhaltungssatz ......................................................13
1.23. Umrechung Arbeit – Energie ............................................14
1.24. Elektrowärme....................................................................14
1.25. Wärmewirkung / Stromdichte............................................15
Widerstandsschaltungen .............................................................16
2.1. Serieschaltung von Widerständen ....................................16
2.2. Parallelschaltung von Widerständen.................................16
2.3. Unbelasteter Spannungsteiler ..........................................17
2.4. Belasteter Spannungsteiler...............................................18
2.5. Vorwiderstand...................................................................18
2.6. Brückenwiderstand ...........................................................18
Spannungsquellen .......................................................................20
3.1. Reale Spannungsquelle....................................................20
3.2. Spannungsanpassung ......................................................22
3.3. Stromanpassung ..............................................................22
3.4. Leistungsanpassung.........................................................22
3.5. Serieschaltung von Spannungsquellen.............................23
Formelsammlung Elektrotechnik
4.
5.
6.
7.
8.
3
3.6. Parallelschaltung von Spannungsquellen .........................23
3.7. Überlagerungssatz (Helmholtz /Théverin).........................24
3.8. Ersatzspannungsquelle ....................................................25
3.9. Quellenwandlung..............................................................26
Wechselstrom..............................................................................28
4.1. Sinuskenngrössen ............................................................28
4.2. Momentanwert..................................................................28
4.3. Frequenz ..........................................................................29
4.4. Kreisfrequenz ...................................................................30
4.5. Liniendiagram ...................................................................31
4.6. Zeigerdiagramm ...............................................................31
4.7. Arithmetischer Mittelwert ..................................................32
4.8. Effektivwert.......................................................................33
4.9. Scheitel und Formfaktor....................................................35
4.10. Wellenlänge......................................................................35
Elektrisches Feld .........................................................................36
5.1. Coulomb’sches Gesetz.....................................................36
5.2. Elektrische Feldstärke ......................................................36
5.3. Kraft im elektrischen Feld .................................................37
5.4. Elektrische Flussdichte .....................................................37
Kondensator ................................................................................39
6.1. Kapazität ..........................................................................39
6.2. Plattenkondensator...........................................................39
6.3. Doppelleitung in Luft.........................................................39
6.4. Koaxialkabel .....................................................................40
6.5. Geschichteter Kondensator ..............................................40
6.6. Energie am Kondensator ..................................................40
6.7. Strom und Spannung am Kondensator.............................41
6.8. Zeitkonstante Tau (kapazitiv)............................................41
6.9. Ladevorgang eines Kondensators ....................................41
6.10. Entladevorgang eines Kondensators ................................42
6.11. Kapazitiver Blindwiderstander xC ......................................43
6.12. Blindleistung .....................................................................44
6.13. Realer Kondensator..........................................................44
Kondensatorschaltungen .............................................................46
7.1. Parallelschaltung ..............................................................46
7.2. Reihenschaltung...............................................................46
7.3. Gemischte Schaltungen....................................................47
7.4. Kapazitiver Spannungsteiler .............................................47
Magnetismus ...............................................................................48
8.1. Magnetische Flussdichte ..................................................48
Formelsammlung Elektrotechnik
9.
4
8.2. Magnetischer Fluss ..........................................................49
8.3. Magnetische Durchflutung ................................................49
8.4. Magnetische Feldstärke....................................................49
8.5. Mittlere Feldlinienlänge.....................................................50
8.6. Ohmsches Gesetz des magnetischen Kreises .................50
8.7. Magnetischer Widerstand .................................................50
8.8. Kraft auf ferromagnetische Stoffe .....................................51
8.9. Ablenkkraft / Lorenzkraft...................................................51
8.10. Linke und rechte Handregel..............................................52
8.11. Induktionsgesetz...............................................................52
8.12. Generatorregel .................................................................53
8.13. Transformatorprinzip (Induktion der Ruhe) .......................53
8.14. Lenzsche Regel................................................................54
8.15. Selbstinduktion .................................................................54
8.16. Kopplungsfaktor k.............................................................55
8.17. Gegeninduktivität M..........................................................55
8.18. Induktion bei gekoppelten Spulen.....................................56
8.19. Streufaktor σ.....................................................................56
8.20. Spannungsübersetzung im Transformator........................56
8.21. Gesamtinduktivität gekoppelter Spulen ............................57
8.22. Transformatorhauptgleichung...........................................58
8.23. Kernarten bei Kleintransformatoren ..................................58
8.24. Eisenfüllfaktor ...................................................................58
8.25. Windungsspannung..........................................................58
8.26. Lagenspannung................................................................59
8.27. Idealer Transformator .......................................................59
8.28. Realer Transformator .......................................................60
8.29. Spartransformator.............................................................61
Spule ...........................................................................................62
9.1. Induktivität ........................................................................62
9.2. Spulenkonstante AL ..........................................................62
9.3. Ringkernspule (Toroid) .....................................................63
9.4. Einlagige Zylinderluftspule................................................63
9.5. Energie des magnetischen Feldes....................................63
9.6. Zeitkonstante Tau (induktiv) .............................................64
9.7. Einschaltverhalten einer Spule .........................................64
9.8. Abschaltverhalten einer Spule ..........................................65
9.9. Induktiver Blindwiderstand................................................65
9.10. Scheinwiderstand/Impedanz (Induktivität) ........................66
9.11. Induktive Blindleistung ......................................................66
9.12. Reale Spule......................................................................67
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5
10. Spulenschaltungen ......................................................................69
10.1. Serieschaltung von Induktivitäten .....................................69
10.2. Parallelschaltung von Induktivitäten..................................69
11. Schaltungen mit R, xC und xL .......................................................70
11.1. RC-Serieschaltung ...........................................................70
11.2. Leistungen der RC - Serieschaltung .................................71
11.3. Leistungsfaktor cos(ϕ) ......................................................71
11.4. RC-Parallelschaltung........................................................72
11.5. Umrechnung Serie - und Parallelschaltung.......................73
11.6. Frequenzkompensierter Spannungsteiler .........................74
11.7. RL-Serieschaltung ............................................................74
11.8. RL-Parallelschaltung ........................................................76
11.9. RLC-Serieschaltung .........................................................78
11.10. RLC-Parallelschaltung ......................................................80
12. Impulsformerglieder .....................................................................82
12.1. Differenzierglied................................................................82
12.2. Integrierglied.....................................................................83
13. Schwingkreise .............................................................................84
13.1. RLC-Serieschwingkreis ....................................................84
13.2. RLC-Parallelschwingkreis.................................................86
14. Filterschaltungen .........................................................................89
14.1. RC-Hochpass ...................................................................89
14.2. RL-Hochpass....................................................................90
14.3. RC-Tiefpass .....................................................................91
14.4. RL-Tiefpass ......................................................................92
14.5. Bandpass .........................................................................93
14.6. Bandsperre.......................................................................94
14.7. Verstärkung - Dämpfung...................................................94
14.8. Leistungsverstärkungs – Dämpfungsmass .......................95
14.9. Spannungsverstärkungs - Dämpfungsmass .....................95
14.10. Stromverstärkungs - Dämpfungsmass..............................96
14.11. Dämpfungsmass “Neper”..................................................96
14.12. Spannungswerte in dB......................................................96
14.13. Absoluter Pegel ................................................................97
15. Dreiphasiger Wechselstrom.........................................................98
15.1. Sternschaltung..................................................................98
15.2. Dreieckschaltung ..............................................................99
15.3. Drehzahl von Synchron- und Asynchronmotoren............100
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6
1. Grundlagen
1.1. Elementarladung
Elektronen sind negativ geladen. Protonen sind positiv geladen. Neutronen haben keine Ladung. Da ein Atom gleich viele Protonen wie
Elektronen hat, ist es nach aussen neutral. Das Elektron (resp. Proton)
trägt die kleinste Ladung. Æ Elementarladung
Teilchen
Elektron
Proton
Neutron
Atom
Atomkern
Ø
5,6 ⋅10-15m
-10
~10 m
~10-14m
Masse
0.91⋅10-30kg
1.672⋅10-27kg
1.675⋅10-27kg
Je nach Element
Je nach Element
Ladung
-1.602⋅10-19C/As
+1.602⋅10-19C/As
-
1.2. Elektronengeschwindigkeit
~ 3 mm/s
1.3. Impulsgeschwindigkeit
~ 300000 km/s Æ
~ 3 ⋅ 108 Æ
~ Lichtgeschwindigkeit
1.4. Stromstärke
Je mehr Elektronen in einer Sekunde durch den Leiter fliessen, umso
grösser ist die Stromstärke.
Anzahl Elektronen Anzahl Elementarteichen
=
Zeit
Zeit
Elektrizitaetsmenge Ladung
Stromstaerke =
=
Zeit
Zeit
Stromstaerke =
Formelzeichen:
I Einheit: A (Ampère)
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7
1.5. Ladung / Elektrizitätsmenge
Die Summe der Elementarteilchen ergibt eine bestimmte Elektrizitätsmenge (Ladung).
Q = I ⋅t
Q
I
t
=
=
=
Ladung
Strom
Zeit
[C] [As]
[A]
[s]
C = Coulomb
1.6. Elektrische Spannung
Die elektrische Spannung ist der Unterschied in der Anzahl Elektronen
(oder Ionen) zwischen zwei Punkten.
Formelzeichen: U
Einheit: V (Volt/Volta)
1.7. Potential
Spannung zwischen einem geladenen Punkt und der Erde (oder einem
beliebig gewählten Bezugspunkt) nennt man Potential.
Eine Spannung zwischen zwei Punkten lässt sich als Differenz des
Potentials angeben.
Spannung = Potentialdifferenz
1.8. Stromdichte
Die Stromdichte gibt uns an, wie gross der Strom bezüglich seines
Querschnittes ist.
Stromdichte
J=
I = Strom
A = Fläche
J = Stromdichte
I
A
[A]
[mm2]
[A/mm2]
(teilweise auch S)
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8
1.9. Elektrischer Widerstand
Durch den „Zusammenstoss“ mit dem Atomrümpfen werden die Valenzelektronen in ihrer Bewegung gebremst. Der Leiter setzt dem
Elektronenstrom einen Widerstand entgegen.
Formelzeichen:
Einheit:
R
Ω (Ohm)
1.10. Spezifischer Widerstand
Jeder Werkstoff setzt dem elektrischen Strom einen anderen Widerstand entgegen. Dieser Widerstand hängt von der Atomdichte und der
Anzahl freier Elektronen des Stoffes ab.
Spezifischer Widerstand
ρ (Roh)
Der spezifische Widerstand eines Leiters ist zahlenmässig gleich seinem Widerstand bei 1m Länge, 1mm2 Querschnitt und eine Temperatur von 20°C.
ρCu (Kupfer)
Aluminium
Silber
Konstantan
Kohlenfaden
=
=
=
=
=
0.0178
0.03
0.017
0.5
30-40
Ω ⋅ mm2/m
Ω ⋅ mm2/m
Ω ⋅ mm2/m
Ω ⋅ mm2/m
Ω ⋅ mm2/m
1.11. Leiterwiderstand
Leiterwiderstand
R
l
A
ρ
γ
=
=
=
=
=
R=
ρ ⋅l
Leiterwiderstand
Länge
Querschnitt
Spez. Widerstand
Leitfähigkeit
A
=
l
γ ⋅A
[Ω]
[m]
[mm2]
[ Ω ⋅ mm2/m]
[1/ρ]
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9
1.12. Ohmsches Gesetz
Das Ohmsche Gesetz ist die Grundlage der Elektrotechnik und der
Elektronik. Es gibt den Zusammenhang zwischen Spannung, Strom
und elektrischem Widerstand an.
Der Strom Entspricht also dem Verhältnis von Spannung und Widerstand
U = R⋅I
U =
R =
I =
Spannung
Widerstand
Strom
[V]
[Ω]
[A]
1.13. Leistung
Leistung
P
I
U
R
=
=
=
=
U2
P = I ⋅U =
= I2 ⋅R
R
Leistung
Strom
Spannung
Widerstand
1Ps = 736 Watt
[W]
[A]
[V]
[Ω]
1.14. Celsius – Kelvin
-273.15°C
Eiswasser 0°C
0K
273.15 K
Siedendes Wasser 100°C
373.15 K
Für TC < 100°C:
TK = 373.15K − (100°C − TC )
TK =
TC =
[K] Kelvin
[°C]
Temperatur
Temperatur
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10
1.15. Leitwert und Leitfähigkeit
Um nicht mit kleinen Widerstandswerten zu rechnen, wurden der Leitwert und die Leitfähigkeit definiert.
Leitwert
G=
Leitfähigkeit
γ =
1
R
1
ρ
[S] Siemens
[m/Ω ⋅ mm2= Sm/mm2]
Die Leitfähigkeit ist der reziproke (Kehrwert) Wert des spezifischen
Widerstandes.
Beispiel:
R = 0.89 Ohm Æ
G = 1.12 S
γCu = 6.18 Sm/mm2
1.16. Temperaturabhängigkeit des Widerstandes
Der Widerstand aller Stoffe ist mehr oder weniger stark von der Temperatur abhängig!
Kupfer leitet im kalten Zustand besser! Æ Kaltleiter
Kohle leitet im warmen Zustand besser! Æ Heissleiter
Der Temperaturkoeffizient α gibt die Widerstandsänderung für einen
Widerstand von 1 Ohm bei der Erwärmung um ein K (Kelvin) an.
Beispiel
α [1/K]
- Kupfer:
- Aluminium:
- Kohle:
- Konstantan:
0.0043
0.0047
- 0.00004
- 0.00008... + 0.00004
Heissleiter = Negativer Temp. Koeffizient
Kaltleiter
= Positiver Temp. Koeffizient
=
=
NTC
PTC
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11
α bei reinen Metallen ca. 0.004 1/K
Widerstandsänderung
Δ R = α ⋅ Δ ϑ ⋅ Rk
Rk
α
Δϑ
ΔR
Rw
=
=
=
=
=
RW = Rk + ΔR
Widerstand bei 20°C
Temperaturkoeffizient
Temperaturänderung
Widerstandsänderung
Widerstand im warmen Zustand
[Ω]
[1/k]
[°C;K]
[Ω]
[Ω]
RW = Rk (1 + α ⋅ Δϑ )
Bemerkungen
Bei einigen Metallen verschwindet der Widerstand in der Nähe des
absoluten Nullpunkts (0K entspricht -273,16°C)
Æ Supraleiter (z.B. Aluminium, Blei, Zinn)
Die Formel RW = Rk (1 + α ⋅ Δϑ ) gilt nur bis etwa Δϑ = 200K
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12
1.17. Widerstandsreihen
Mit folgender Formel lassen sich die Widerstandswerte der verschiedenen Normreihen berechnen.
E 6 = 6 10 = 1.468
1. Wert:
2. Wert:
3. Wert:
4. Wert:
5. Wert:
6. Wert:
7. Wert:
(
(
(
(
(
(
(
6
6
6
6
6
6
6
)
10 )
10 )
10 )
10 )
10 )
10 )
10
0
=
1
1.0
1
=
1.468
1.5
2
=
2.15
2.2
3
=
3.16
3.3
4
=
4.64
4.7
5
=
6.81
6.8
6
=
10.0
10.0
1.18. Elektrische Arbeit
W = Q ⋅u = I ⋅t ⋅u
Andere Darstellung
W
Q
t
u
I
=
=
=
=
=
U2
W = R ⋅ I ⋅t W =
⋅t
R
Elektrische Arbeit
Ladung
Zeit
Spannung
Strom
2
[Ws]
[C; As]
[s]
[V]
[A]
1kWh = 3,6 ⋅ 10 6Ws
K = k ⋅W
K
K
W
= Kosten
[Fr.]
= Tarif in
[Fr./kWh]
= Elektrische Arbeit [kWh]
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1.19. Wirkungsgrad
η=
Pabgegeben
Paufgenomme n
[ η ] Eta
η ≤1
oder in %
1.20. Kirchhoffsche Knotenregel
Für den Knotenpunkt A gilt:
Zufliessende Ströme = Abfliessende Ströme
I1 + I 2 = I 3 + I 4 + I 5
Die Summe aller Ströme in einem Knotenpunkt ist 0!
1.21. Kirchhoffsche Maschenregel
In jedem geschlossenen Stromkreis (Masche) ist die Summe der
Spannungen = 0
U 1 + U 2 + U 3 + U q1 + U q 2 = 0
1.22. Energieerhaltungssatz
Energie kann nicht erzeugt werden oder verloren gehen, sondern nur
umgewandelt werden!
Formelsammlung Elektrotechnik
14
1.23. Umrechung Arbeit – Energie
Arbeit = Energie
SI-Einheit Wärme: 1J (Joule)
1J
=
Wärme
1Ws
Elektrische Arbeit
Elektrische Energie
Alte Einheit:
1kcal
=
=
Kalorie
1Nm
Mech. Arbeit
Mech. Energie
(bis 31. 12. 1977)
4.186kJ
1.24. Elektrowärme
Um 1kg Wasser um 1k zu erwärmen, benötigt man die Wasserenergie
(Wärmeenergie) von 4189J (oder 1kcal).
Wärmeenergie
=
m
Δϑ =
=
c
Q = m ⋅ Δϑ ⋅ c
Masse des Körpers
Temperaturdifferenz
spezifische Wärmekapazität
[kg]
[k/°C]
[J / (k ⋅ kg)]
c für:
- Wasser
- Aluminium
- Kupfer
- Stahl (Fe)
4186
899
390
466
J/k ⋅ kg
J/k ⋅ kg
J/k ⋅ kg
J/k ⋅ kg
Elektrotechnik Tabellenbuch Westermann S. 303
ISBN 3-14-225035-2
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15
1.25. Wärmewirkung / Stromdichte
Stromdichte
Leistung
Wärmeenergie
I
[A/mm2]
A
I =J⋅A
U2
= I2 ⋅R
P =U ⋅I =
R
J=
Q = m ⋅ ρϑ ⋅ c
Q = W = P ⋅ t = I 2 ⋅ R ⋅ t = m ⋅ ρϑ ⋅ c
I 2 ⋅ R ⋅ t = m ⋅ ρϑ ⋅ c
(J ⋅ A)2 ⋅ R ⋅ t = m ⋅ Δϑ ⋅ c
A2 ⋅ R ⋅ t
ρϑ = J ⋅
m⋅c
2
Wird die Stromdichte in einem Leiter erhöht, so nimmt die Temperatur
quadratisch zu! Brandgefahr.
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16
2. Widerstandsschaltungen
2.1. Serieschaltung von Widerständen
I = I1 = I 2 = I 3
Rges = R1 + R2 + R3
U
U1..U3
Rges
R1..R3
Rges
U
I
=
=
=
=
=
=
=
Rges =
Quellenspannung
Teilspannungen
Gesamtwiderstand
Einzelwiderstände
Gesamtwiderstand
Quellenspannung
Stromstärke
U
I
U = U1 + U 2 + U 3
[V]
[V]
[Ω]
[Ω]
[Ω]
[V]
[A]
2.2. Parallelschaltung von Widerständen
U = U1 = U 2 = U 3
I = I1 + I 2 + I 3
Rges =
1
1
1
1
+
+
R1 R2 R3
Rges =
U
= Quellenspannung
[V]
U1..U3 = Teilspannungen
[V]
I
= Gesamtstromstärke [A]
U
I
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I1..I3
= Teilstromstärken
= Gesamtwiderstand
Rges
R1..R3 = Einzelwiderstände
[A]
[Ω]
[Ω]
Parallelschaltung von zwei Widerständen
Rges =
R1 ⋅ R2
R1 + R2
Rges
= Gesamtwiderstand
R1..R3 = Einzelwiderstände
[Ω]
[Ω]
Parallelschaltung von n-gleichen Widerständen
Rges =
Rges
R1
n
R1
n
= Gesamtwiderstand
= Einzelwiderstand
= Anzahl gleiche R1
[Ω]
[Ω]
[Ω]
2.3. Unbelasteter Spannungsteiler
U2 = U ⋅
R2
R1 + R2
U2 = Teilspannung
[V]
U
= Quellenspannung [V]
R1..2 = Teilwiderstände
[Ω]
17
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2.4. Belasteter Spannungsteiler
U2 = U ⋅
U2
U
R1..2
Rb
=
=
=
=
Teilspannung
Quellenspannung
Teilwiderstände
Lastwiderstand
R2 // Rb
R1 + R2 // Rb
[V]
[V]
[Ω]
[Ω]
2.5. Vorwiderstand
RV =
RV
U
UL
I
=
=
=
=
Vorwiderstand
Quellenspannung
Lastspannung
Stromstärke
U −UL
I
[Ω]
[V]
[V]
[A]
2.6. Brückenwiderstand
Abgeglichen
Im abgeglichenen Zustand (R1 und R2
stehen im selben Verhältnis wie R3 und R4)
ist die Spannung über der Brücke 0V!
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R1 R3
=
R2 R4
R1..4 = Teilwiderstände
Unabgeglichen
U A, B = U
UA,B =
U
=
R1..4 =
R2
R4
−U
R1 + R2
R3 + R4
Brückenspannung [V]
Quellenspannung [V]
Teilwiderstände
[Ω]
19
[Ω]
Formelsammlung Elektrotechnik
20
3. Spannungsquellen
3.1. Reale Spannungsquelle
Ersatzschaltung einer realen Spannungsquelle.
Ri
Uq
RL
Klemmenspannung
U = U q − Ri ⋅ I L
Lehrlauf
U = Uq
Kurzschluss
Ik =
Belastung
I=
U0 Uq
U
Ri
Ik
RL
=
=
=
=
=
Uq
Ri
Uq
Ri + RL
Quellenspannung
Klemmenspannung
Innenwiderstand
Klemmenstrom
Lastwiderstand
U = RL ⋅ I U =
U q ⋅ RL
Ri + RL
[V]
[V]
[Ω]
[A]
[Ω]
(Quellenspannung = Urspannung, ETK = Elektromotorische Spannung)
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21
Bestimmen des Innenwiderstandes Ri
Bemerkung: Der Ri kann nicht mit dem Ohmmeter gemessen werden.
Durch zwei Belastungszustände lässt sich der Innenwiderstand berechnen.
Ri
I1
Uq
R1
Ri
I2
Uq
Innenwiderstand
R2
Ri =
U 1 − U 2 ΔU
=
I 2 − I1
ΔI
Vereinfachung
Erster Belastungsfall = Lehrlauf
Æ I1 = 0 U1 = Uq
Innenwiderstand
Ri =
Uq −U2
I2
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22
3.2. Spannungsanpassung
Ri
RL >> Ri
I1
Uq = URi + U
URi = Ri ⋅ I1 ca. 0
Uq
RL U
U 0 = ca. U
3.3. Stromanpassung
Ri
RL << Ri
I1
Uq
RL U
Uq = URi + U
U = ca. 0
Uq = Ri ⋅ I1
I=
U0
Ri
3.4. Leistungsanpassung
Ri
RL = (0 - 25Ω)
I1
Ri = RL
Uq
RL U
Formelsammlung Elektrotechnik
PL gesucht:
23
Bei einer Leistungsanpassung wird
die grösste Leistung entnommen.
I=
U0
Ri + R L
PL = I 2 ⋅ RL
(η = 50% > Nur kleine Leistungen sinnvoll)
Beispiel
Verstärker 8Ω / Lautsprecher 8Ω
3.5. Serieschaltung von Spannungsquellen
Schaltet man Spannungsquellen mit verschiedenen Nennströmen in
Serie, so werden Quellen mit kleineren Nennströmen im Betrieb überlastet und eventuell zerstört.
U qges = U q1 + U q 2 + U q 3
Riges = Ri1 + Ri 2 + Ri 3
Uqges
Uq1..q3
Riges
Ri1..3
=
=
=
=
Gesamturspannung
Teilurspannungen
Gesamtinnenwiderstand
Teilinnenwiderstand
[V]
[V]
[Ω]
[Ω]
3.6. Parallelschaltung von Spannungsquellen
I1
Ri’
I2
I3
Ri1
Uq1
Ri2
RL U
Uq’
U’
Uq2
Ersatz
RL’
Formelsammlung Elektrotechnik
24
Gleiche Quellen
Ri1 =
U01 =
Ri2
U02
- Spannung bleibt gleich ( U01 = U0´ )
- Der Innenwiderstand wird kleiner.
Ri' = Ri1 // Ri 2
- Es kann mehr Strom verbraucht werden
I L = I1 + I 2
Ungleiche Spannungsquellen
Lösungssatz
- Überlagerungssatz
- Ersatzspannungsquelle
- Knoten - Maschenregel
3.7. Überlagerungssatz (Helmholtz /Théverin)
Für Netzwerke mit linearen Strom und Spannungsquellen!
Wir betrachten den Einfluss jeder Quelle auf die Gesamtschaltung!
Vorgehen
Ri1
Uq1
Ri2
RL
Uq2
Spannungsquelle = Kurzschluss
Stromquelle = Unterbruch
Die anderen Quellen werden
weggelassen.
Formelsammlung Elektrotechnik
25
RTot = Ri 2 // RL + Ri1
Ri1
Ri2
ITot =
RL
IL1
Uq1
U 01
RTot
U Ri 2 // RL = Ri 2 // RL ⋅ ITot
I L1 =
U Ri 2 // RL
RL
RTot = Ri1 // RL + Ri 2
Ri1
Ri2
ITot =
RL
IL2
Uq2
U 01
RTot
U Ri1 // RL = Ri1 // RL ⋅ ITot
I L1 =
U Ri 1 // RL
RL
I L = I L1 + I L 2
Laststrom
3.8. Ersatzspannungsquelle
Ersatzinnenwiderstand
Spannungsquelle = Kurzschluss
Stromquelle
= Unterbruch
Innenwiderstand
Ri = (R1 // R2 ) + R3
R1
Uq
R3
R2
RL
Uq
RL
Formelsammlung Elektrotechnik
26
Ersatzspannungsquelle
Im Leerlauf ist die Quellenspannung gleich der Klemmenspannung.
R1
R2
Uq
UEratz
Ersatzschaltung
Ri
UErsatz
RL
U
Zur Berechnung schwieriger Schaltungen, welche einen Spannungserzeuger, feste Widerstände und einen veränderlichen Widerstand haben, verwendet man als Ersatzschaltung die Ersatzspannungsquelle
oder die Ersatzstromquelle.
3.9. Quellenwandlung
Ersatzspannungsquelle
3Ω
2Ω
4V
4Ω
RL
Formelsammlung Elektrotechnik
27
Ri
UErsatz
RL
U
Ri' = 4. 3Ω U 0' = 2. 6V
Umwandlung Spannungsquelle zu Stromquelle
I’
UL
RL
=
U 0 RL + Ri'
Ri
RL
Ri' = 4. 3 Ω
I ' = Kurzschluss
I' =
U 0'
Ri
=
2. 6 V
4. 3 Ω
= 0.615 A = konst.
Ri'
IL
=
I ' Ri' + RL
Formelsammlung Elektrotechnik
28
4. Wechselstrom
4.1. Sinuskenngrössen
û
Upp
t
ƒ2 ƒ1
û,Î
=
Upp, Ipp =
u, i
=
Scheitelwert = Spitzenwert = Maximalwert =
Up, Ip (peak) = maximale Amplitude
Spitzen - Spitzenwert
Momentwert, Augenblickwert, Spannung oder
Strom zu einem beliebigen Zeitpunkt.
In vielen Fällen unterscheiden sich die Anfangsphasen mehrerer
Wechselgrössen voneinander und weisen eine gegenseitige
Phasenverschiebung auf.
ƒ1
=
ƒ2
=
Nacheilung der Sinusspannung
U2 gegen U1 = Winkel negativ
Voreilung = Winkel positiv
4.2. Momentanwert
Bei gleichförmiger Drehung einer Leiterschleife in einem homogenen
Magnetfeld ändert sich die induzierte Spannung sinusförmig.
Bei bekanntem Scheitelwert û lässt sich der Momentanwert aus dem
Winkel bestimmen.
û
Leiterschleife
u = uˆ ⋅ sin (α )
i = Iˆ ⋅ sin (α )
α
t
Formelsammlung Elektrotechnik
29
4.3. Frequenz
u
positive Halbwelle
t [ms]
α [°]
360°
negative Halbwelle
1 Schwingung = 1 Welle = 1 Periode (pos. + neg. Halbwelle)
Frequenz
Zahl der Perioden pro Sekunde!
f =
1
s
[Hz] Hertz
Frequenzbereiche
Stromnetz
1kHz = 103Hz
1MHz = 106Hz
1GHz = 109Hz
Schweiz
USA
SBB
SVB
NF
Rundfunk
Natel / Satellit
=
=
=
=
50 Hz
60 Hz
16 1/3 Hz
0 Hz Æ DC
Periodendauer
u
f = 100 MHz
5
10
t [ns]
T
Periodendauer
T=
1
f
[s]
Formelsammlung Elektrotechnik
30
4.4. Kreisfrequenz
û
Für
α
α 0°
α 90°
α 180°
α 270
α 360°
u
u
u
u
u
=
=
=
=
=
0V
û
0V
û
0V
u = uˆ ⋅ sin (α )
Überlegung
T=
(bei f = 1,5kHz)
1
= 666 2 3 μs = 360° [Grad ] = 2π [rad ]
f
Winkelgeschwindigkeit
360° ⎡ ° ⎤
T ⎢⎣ s ⎥⎦
2π ⎡ rad ⎤
= 2πf = ω
T ⎢⎣ s ⎥⎦
= Kreisfrequenz
u = uˆ ⋅ sin (ω ⋅ t )
u = uˆ ⋅ sin (2πf ⋅ t )
u = Iˆ ⋅ sin (ω ⋅ t )
Mit Hilfe der oben stehenden Kreisfrequenzformeln lässt sich der Momentanwert von Spannung und Strom nach einer bestimmten Zeit t
bestimmen.
Es ist unbedingt nötig den Rechner, zum berechnen dieser Formeln,
auf Radians zu stellen!!!
Formelsammlung Elektrotechnik
31
4.5. Liniendiagram
U
10V
u
u1
f = 50 Hz
u2
π
π
180
/2
90
10
5
1
1 /2π
270
15
T = 1/f = 20ms
2π
360
20
α [rad]
α [°]
t [ms]
T = 20ms
Grad:
Radians:
u
u
u
u
=
=
=
=
û ⋅ sin (30°)
û ⋅ sin (π/6)
û ⋅ sin (2πf ⋅ t)
û ⋅ sin (ω ⋅ t)
Besteht eine Phasenverschiebung, so muss der Winkel ebenfalls im
Bezugsmass angegeben werden:
Grad:
Radians:
u2 = û2 ⋅ sin (α + 60°)
u2 = û2 ⋅ sin (α + π/3)
u2 = û2 ⋅ sin (ω ⋅ t + π/3)
4.6. Zeigerdiagramm
Da die Frequenz bei den meisten Vorgängen konstant ist kann der
Û2
Voreilen Æ Gegenuhrzeigersinn (CCW)
Ûs
ϕ = Phasenverschiebung
Û1
Zeiger auch feststehend gedacht werden. Die Resultierende entspricht
der Spannung der Summe von Û1 und Û2.
Formelsammlung Elektrotechnik
32
4.7. Arithmetischer Mittelwert
Sinusgrösse
U
10V
+
t
-10V
Der Arithmetische Mittelwert über eine volle Periode einer Sinusgrösse
ist 0! (Kurve ist symmetrisch).
u = 0; I = 0
Upp = 20V
Up = û = 10V
Halbwelle
f = 1kHz
T = 1ms
U
10V
0.5
1
t [ms]
Formelsammlung Elektrotechnik
33
Gesucht wird eine Gleichspannung, die die gleiche Fläche hat wie der
Sinus.
u=
Totale Flaeche
Zeit
u = uˆ ⋅
2
π
Für eine ganze Periode (2. Halbwelle fehlt) muss der Arithmetische
Mittelwert noch halbiert werden.
Pulsierender Gleichstrom
U
10V
t
-10V
uˆ = 0.637 ⋅ uˆ
Iˆ = 0.637 ⋅ Iˆ
Æ Gleichrichterwert
4.8. Effektivwert
Von besonders grosser, praktischer Bedeutung ist der quadratische
Mittelwert (Effektivwert).
Definition
Der Effektivwert eines Wechselstromes ist der Wert, der in einem Widerstand die gleiche Wärme erzeugt, wie ein gleich grosser Gleichstrom.
Grund
P = U ⋅ I = I ⋅ R ⋅ I = I2 ⋅ R Æ quadratisch
Formelsammlung Elektrotechnik
I2 [A2]
I
34
Fsin2 = FDC2
û2
9
I2
6
FDC2
3
3A
FDC2
û
I
û2
û2
û
DC =
⇒ DC =
=
= U eff = U
2
2
2
2
Effektivwe rt = DC 2 + AC 2
Der Effektivwert ist vom
Maximalwert (û) und
dem Scheitelfaktor abhängig.
Schwingungsformen
Sinus
Scheitelfaktor Fc
Dreieck / Sägezahn
3 = 1.732
1.00
Rechteck (symmetrisch)
2 = 1.414
Im Allgemeinen arbeitet man mit dem Effektivwert (U/I).
Rechtecksignal unsymmetrisch
u
up
t
ti
tp
T
U eff = u P ⋅
ti
T
Formelsammlung Elektrotechnik
Ueff
uP
ti
T
=
=
=
=
Effektivwert
Spitzenwert
Impulszeit
Periodendauer
35
[V]
[V]
[s]
[s]
4.9. Scheitel und Formfaktor
Scheitelfaktor
KS =
û
u
crest
2
Sinus Ks
Kf =
Formfaktor
u
[u ]
û
u
π
Kf =
= 2 =
= 1.11
[u ] û ⋅ 2 2 ⋅ 2
Sinus
π
4.10. Wellenlänge
λ = c ⋅T =
c
f
[Lambda]
c = Ausbreitungsgeschwindigkeit
[m/s]
f = Frequenz
[Hz]
λ = Abstand zwischen zwei sich wiederladenden Punkten [m]
Ausbreitungsgeschwindigkeit
Medium
elektrische Schwingung in freiem Raum
elektrische Schwingung in Leitungen
Schallschwingungen in Luft +20°C
Lichtwellen
Schallwellen in Wasser
Geschwindigkeit
v = 300000 km/s
v ≈ 240000 km/s
v = 343 m/s
v = 300000 km/s
v = 1470 m/s
Formelsammlung Elektrotechnik
36
5. Elektrisches Feld
5.1. Coulomb’sches Gesetz
Gilt nur für kleine Kugeln (Punktladungen)
F =k⋅
Q1 ⋅ Q2
l2
F
Q1,Q2
L
ε0
εr
k
=
=
=
=
=
=
k
=
Kraft, die zwei Körper aufeinander ausüben
Ladungen
Abstand der Körper
elektrische Feldstärke ε0 = 8.85 ⋅ 10-12
Materialkonstante für Luft ≈ 1
Vom Stoff abhängige Konstante
[N]
[As/C]
[m]
[As/Vm]
[As/Vm]
1
4π ⋅ ε 0 ⋅ ε r
5.2. Elektrische Feldstärke
Erhöht man die Spannung oder verkleinert man den Abstand, so gibt
es einen Punkt, wo die Ladungen gewaltsam ausgetauscht werden.
Æ elektrischer Durchschlag
UAB
E=
ϕ
UAB
L
E
ϕ A − ϕB
=
=
=
=
l
ϕA
U
= AB
l
Potential
Spannung
Abstand
elektrische Feldstärke
Andere Einheiten
V
mm
ϕB
[V]
[V]
[m]
[V/m]
kV
m
V
cm
U
Formelsammlung Elektrotechnik
37
5.3. Kraft im elektrischen Feld
Kraft auf eine Punktladung
Mechanische Arbeit
W = S⋅F
Elektrische Arbeit
W = P ⋅t =U ⋅ I ⋅t = u ⋅
W =U ⋅Q
Q
⋅t
t
S ⋅ F =U ⋅Q
U ⋅Q
F=
S
E
r r
F = E ⋅Q
Kraft zwischen zwei Platten
Bedingungen: Vakuum, kleiner Abstand, homogenes Feld
u2
1
F = 2 ⋅ A⋅ε0 ⋅
d
2
F = E ⋅Q =
U
⋅Q
d
5.4. Elektrische Flussdichte
Wird die Flussdichte zu gross so kann es zu einem Ladungsaustausch
kommen (Durchschlag).
D nimmt bei abnehmender Fläche zu.
D=
Q
A
⎡ As C ⎤
⎢⎣ m 2 , m 2 ⎥⎦
Formelsammlung Elektrotechnik
38
Zusammenhang
D=
Q
A
ε0
=
elektrische Feldkonstante
E
=
elektrische Feldstärke
D
=
elektrische Flussdichte
εr
=
Dielektrizitätszahl
Permetivitätszahl
Æ
D = ε0 ⋅εr ⋅ E
Å
E=
U
d
⎡ As ⎤
(8.86
⋅
10
12 As/Vm)
⎢⎣Vm ⎥⎦
⎡V ⎤
⎢⎣ m ⎥⎦
⎡ As C ⎤
⎢⎣ m 2 , m 2 ⎥⎦
[1]
[1]
Beispiele
Elektrotechnik Tabellenbuch Westermann S. 317
ISBN 3-14-225035-2
Stoff
Luft
Glimmer
Glas
Keramik
Poly Styrol
PC
Dielektrizitätszahl
1
6...8
15...16
10000...50000
2.6
3
ε = ε0 ⋅εr
Permetivität des
Dielektrikums
Formelsammlung Elektrotechnik
39
6. Kondensator
6.1. Kapazität
Definition
Ein Kondensator besitzt eine Kapazität von 1F, wenn es bei einer
Spannung von 1V die Ladung 1C (1As) gespeichert hat!
Q = C ⋅U
Q
U
c=
Q = Ladung
U = Spannung
C = Kapazität
[As]
[V]
[As/V, F]
6.2. Plattenkondensator
c=
c
ε0
εr
A
d
ε0 ⋅ε r ⋅ A
d
=
=
=
=
=
Kapazität
elektrische Feldkonstante 8.86 ⋅ 10-12 As/Vm
Dielektrizitätszahl / Permetivitätszahl
Wirksame Oberfläche
Plattenabstand
[F]
[m2]
[m]
6.3. Doppelleitung in Luft
c=
c
ε0
εr
l
d
r
π ⋅ε0 ⋅ε r ⋅l
=
=
=
=
=
=
ln (d r )
Kapazität
elektrische Feldkonstante 8.86 ⋅ 10-12 As/Vm
Dielektrizitätszahl / Permetivitätszahl
Leiterlänge
Leiterabstand
Leiterradius
[F]
[m]
[m]
[m]
Formelsammlung Elektrotechnik
40
6.4. Koaxialkabel
c=
c
ε0
εr
ra
ri
2π ⋅ ε 0 ⋅ ε r ⋅ l
ln (ra ri )
=
=
=
=
=
Kapazität
elektrische Feldkonstante 8.86 ⋅ 10-12 As/Vm
Dielektrizitätszahl / Permetivitätszahl
Aussenradius
Innenradius
[F]
[m]
[m]
6.5. Geschichteter Kondensator
n Platten
c
ε0
εr
A
d
n
=
=
=
=
=
=
c = (n − 1) ⋅
ε0 ⋅ε r ⋅ A
Kapazität
elektrische Feldkonstante 8.86 ⋅ 10-12 As/Vm
Dielektrizitätszahl / Permetivitätszahl
Wirksame Oberfläche
Plattenabstand
Anzahl Platten
6.6. Energie am Kondensator
W=
W =
C =
U =
d
1
⋅c ⋅u2
2
Energie
Kapazität
Spannung
[Ws]
[F]
[V]
[F]
[m2]
[m]
Formelsammlung Elektrotechnik
41
6.7. Strom und Spannung am Kondensator
Jede Spannungsänderung
erzeugt einen Strom.
Der Strom ist umso grösser, je steiler die Flanke
ist.
Die Kurvenform des Stromes lässt sich als Steigung der Spannung in
jedem Augenblick interpretieren.
Ic = c ⋅
ΛU
Δt
Uc
ΔU
Δt
Ic
t
90° Phasenverschiebung. IC eilt vor. sin Æ cos
6.8. Zeitkonstante Tau (kapazitiv)
τ = R ⋅C
τ
R
C
=
=
=
Zeitkonstante (Tau)
Widerstand
Kapazität
[s]
[Ω]
[F]
6.9. Ladevorgang eines Kondensators
IC
R
U0
t
−
⎛
uc = U 0 ⎜⎜1 − e τ
⎝
UC
⎞
⎟
⎟
⎠
t
⎛ −τt
ic = I 0 ⎜⎜ e
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
I0 =
U0
R
Formelsammlung Elektrotechnik
Spannung
42
Strom
U
I
100%
(U0)
100%
(Imax)
63,2%
36,8%
t
1τ
t
1τ
5τ
Idealer Kondensator an konstantem Strom
ΔU =
I C ⋅ Δt
C
ΔU
IC
Δt
C
Kondensatorspannungsänderung
konstanter Strom in Ampere
verstrichene Zeit
Kapazität in Farad
=
=
=
=
[ ΔU ] = V
[V]
[A]
[s]
[F]
6.10. Entladevorgang eines Kondensators
R
IC
UC
U0
⎛ −τt
uc = U 0 ⎜⎜ e
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
⎛ −τt
ic = − I 0 ⎜⎜ e
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
I0 =
U0
R
5τ
Formelsammlung Elektrotechnik
Spannung
43
Strom
1τ
5τ
U
100%
(U0)
36,8%
36,8%
100%
(Imax)
I
t
1τ
5τ
6.11. Kapazitiver Blindwiderstander xC
Kondensator im Wechselstromkreis:
- Der Strom eilt der Spannung um 90° voraus.
- Der Strom ist ebenfalls sinusförmig!
Da der Strom und die Spannung nicht mehr Phasengleich sind, darf
man den Widerstand nicht mehr mit R bezeichnen!
i
~
xc
f
c
ω
UC
=
=
=
=
xC =
Kapazitiver Widerstand
Frequenz
Kapazität
Kreisfrequenz
1
1
=
2πf ⋅ c ω ⋅ c
[Ω]
[Hz]
[F]
[1/s]
t
Formelsammlung Elektrotechnik
44
6.12. Blindleistung
Im idealen Kondensator wird die gespeicherte Energie wieder vollständig abgegeben. Die Energie (Leistung) pendelt zwischen dem Kondensator und dem Generator
i
~
Q =
U =
I =
Q =U ⋅I
UC
Blindleistung
Spannung
Strom
[var]
[V]
[A]
Volt-Ampere-Reaktif
6.13. Realer Kondensator
In jedem Kondensator treten Verluste auf. Der Widerstand des Dielektrikums ist endlich gross. Die Dipole ändern beim Anlegen einer
Wechselspannung dauernd die Richtung.
Beides bewirkt die Erwärmung des Dielektrikums (Verluste). Die Verluste werden durch einen Verlustwiderstand parallel zum Kondensator
dargestellt.
iC
i
G = Wirkleitwert, Konduktanz
BC = Blindleitwert, Suszeptanz
y = Scheinleitwert, Admittanz
⎛G
⎝ BC
Verlustwinkel
δ = arctan⎜⎜
Verlustfaktor
d = tan (δ )
iR
Realer C
RP
C
⎞
⎛x ⎞
⎛i
⎟⎟ δ = arctan⎜⎜ C ⎟⎟ δ = arctan⎜⎜ R
⎝ RP ⎠
⎝ iC
⎠
⎞
⎟⎟
⎠
Formelsammlung Elektrotechnik
Gütefaktor
Q=
Q=
1
d
i
R
1
1
=
= cot g (δ ) = C = P
d tan (δ )
iR xC
45
Formelsammlung Elektrotechnik
7. Kondensatorschaltungen
7.1. Parallelschaltung
C ges = C1 + C 2 + C 3 [C ] = F
= Gesamtkapazität
Cges
C1..C3 = Teilkapazitäten
[F]
[F]
U = U 1 = U 2 = U 3 [U ] = V
U
= Gesamtspannung [V]
[V]
U1..U3 = Teilspannungen
Q ges = Q1 + Q2 + Q3 [Q] = C
= Gesamtladung
Qges
Q1..Q3 = Teilladungen
[C; As]
[C; As]
7.2. Reihenschaltung
Qges = Q1 = Q2 = Q3 [Q] = C
= Gesamtladung
Qges
Q1..Q3 = Teilladungen
U1 =
U1
Q
C1
Q
C1
[C; As]
[C; As]
[U ] = V
= Teilspannung
[V]
= Elektrische Ladung [C; As]
= Teilkapazität
[F]
U = U 1 + U 2 + U 3 [U ] = V
U
= Gesamtspannung [V]
46
Formelsammlung Elektrotechnik
U1..U3 = Teilspannungen
C ges =
1
1
1
1
+
+
C1 C 2 C 3
47
[V]
[C ] = F
= Gesamtkapazität
Cges
C1..C3 = Teilkapazitäten
[F]
[F]
7.3. Gemischte Schaltungen
C ges =
1
1
1
+
C1 C2 + C3
C ges = C1 +
1
1
1
+
C 2 C3
Cges
= Gesamtkapazität
C1..C3 = Teilkapazitäten
[F]
[F]
7.4. Kapazitiver Spannungsteiler
U2
U
U
= xC 2 ⋅
U2
U = U1 + U 2
C ges = C2 ⋅
U1 C2 xC1
=
=
U 2 C1 xC 2
xCges
[F]
C1..C3 = Teilkapazitäten
xCges = Gesamtblindwiderstand [Ω]
[Ω]
xC1, xC2 = Teilblindwiderstände
Formelsammlung Elektrotechnik
48
8. Magnetismus
8.1. Magnetische Flussdichte
Die Magnetische Flussdichte gibt an, wie stark der Raum an einer bestimmten Stelle vom Magnetfeld durchsetzt ist.
Magnetische Flussdichte in Vakuum oder Luft.
B = μ0 ⋅ H
Magnetische Flussdichte mit beliebigem Kernmaterial.
B = μ0 ⋅ μ r ⋅ H
B
H
μ0
μr
=
=
=
=
Magnetische Flussdichte (Induktion)
Magnetische Feldstärke
Magnetische Feldkonstante
Permeabilitätszahl
[T] [Vs/m2] Tesla
[A/m]
1,257 ⋅ 10-6
Grössenordnungen von magnetischen Flussdichten
Magnetfeld der Erde
Feld eines geraden Leiters (100A)
Eisenfreie Spule (N = 500 ; I = 2A)
Permanentmagnet
Starker Elektromagnet
Ca. 0.00005T
Ca. 0.00025T
Ca. 0.02T
Ca. 0.1T
Ca. 100T
Formelsammlung Elektrotechnik
49
8.2. Magnetischer Fluss
(vergl. Strom als Produkt von Stromdichte und Leiterquerschnitt)
Magnetischer Fluss
Φ = B⋅ A
Φ = Magnetischer Fluss
B = Magnetische Flussdichte
A = Fläche
[wb] Weber
[T]
[m2]
8.3. Magnetische Durchflutung
Man kann mit wenig Windungen und grosser Stromstärke die gleiche
magnetische Flussdichte erzeugen, wie mit vielen Windungen und
kleiner Stromstärke.
Magnetische Durchflutung
Θ = N ⋅I
Θ = Magnetische Durchflutung
I = Strom
N = Windungen
[Aw] Ampèrewindungen
[A]
8.4. Magnetische Feldstärke
Die magnetische Feldstärke ist die magnetische Durchflutung bezogen
auf die Feldlinienlänge.
Magnetische Feldstärke
H
lm
Θ
I
N
=
=
=
=
=
H=
Magnetische Feldstärke
Mittlere Feldlinienlänge
Magnetische Durchflutung
Strom
Windungen
N ⋅I Θ
=
lm
lm
[Aw/m]
[m]
[Aw] Ampèrewindungen
[A]
Formelsammlung Elektrotechnik
50
8.5. Mittlere Feldlinienlänge
Einige Beispiele zur vereinfachten Bestimmung der mittleren Feldlinienlänge:
l
l
l
l = Spulenlänge
l = Kernlänge
l = mittlere Luftspaltbreite
l = mittlere Kernlänge
8.6. Ohmsches Gesetz des magnetischen Kreises
Θ
Rm =
Φ
Rm =
Θ =
Φ =
Magnetischer Widerstand
Magnetische Durchflutung
Magnetischer Fluss
[A/Vs]
[Aw]
[wb] Weber
8.7. Magnetischer Widerstand
Magnetischer Widerstand
Rm =
Magnetischer Leitwert
Λ=
Rm = Magnetischer Widerstand
lm
μ0 ⋅ μr ⋅ A
μ ⋅μ ⋅ A
1
= 0 r
Rm
lm
[A/Vs]
Formelsammlung Elektrotechnik
Δ
lm
A
μ0
μr
=
=
=
=
=
Magnetischer Leitwert
Mittlere Feldlinienlänge
Kernquerschnitt
Magnetische Feldkonstante
Permeabilitätszahl
51
[Vs/A]
[m]
[m2]
1,257 ⋅ 10-6
8.8. Kraft auf ferromagnetische Stoffe
Magnetfeld von Magneten und ferromagnetischen Stoffen.
F = 40 ⋅ B 2 ⋅ A
F = Kraft
[N]
B = Magn. Flussdichte [T]
A = Fläche
[cm2]
8.9. Ablenkkraft / Lorenzkraft
Stromdurchflossene Leiter werden im Magnetfeld abgelenkt. Das Magnetfeld des Stromes schwächt auf der einen Seite des Leiters das Feld
des Magneten, während es auf der anderen Seite dieses Feld verstärkt.
Der stormdurchflossene Leiter wird daher von der Stelle grosser Flussdichte zu der Stelle kleiner Flussdichte verdrängt.
Ablenkungskraft
F
B
l
N
I
=
=
=
=
=
F = B ⋅l ⋅ N ⋅ I
Ablenkungskraft
Induktion
Länge
Windungszahl
Strom
[N]
[T]
[m]
[1]
[A]
Formelsammlung Elektrotechnik
52
8.10. Linke und rechte Handregel
Rechte Handregel
Man hält die rechte Hand so, dass unsere
Finger in Richtung des Stromes in den einzelnen Windungen zeigen. Dann zeigt der Daumen zum Nordpol der Spule
Linke Handregel
Mit Hilfe der linken Handregel (Motorregel),
lässt sich die Ablenkungsrichtung eines stromdurchflossenen Leiters aufgrund der Lorenzkraft bestimmen.
Man halte die linke Hand so, dass die Feldlinien in die Handfläche eintreten. Die Finger
zeigen die Stromrichtung an. Der Daumen
zeigt die Bewegungsrichtung des Leiters an.
8.11. Induktionsgesetz
Bewegt man eine Leiterschleife durch das magnetische Feld einer
Feldspule oder eines Dauermagneten ändert sich der magnetische
Fluss der Leiterschleife, wodurch eine Spannung induziert wird.
Die Grösse der induzierten Spannung ist proportional der Windungszahl der Induktionsspule und der Änderungsgeschwindigkeit des magnetischen Flusses.
Induktionsgesetz
UInd
N
ΔΦ
Δt
ΔΦ/Δt
=
=
=
=
=
U Ind = − N ⋅
ΔΦ
Δt
induzierte Spannung
Windungszahl der Induktionsspule
Flussänderung
Zeit
Flussänderungsgeschwindigkeit
[V]
[1]
[wb]
[s]
[wb/s]
Formelsammlung Elektrotechnik
53
Bei elektrischen Maschinen
Liegt eine Spule vollständig im Magnetfeld und bewegt sich quer zu
demselben (Drehspule), so wird in jeder Wicklungshälfte eine Spannung gemäss folgender Formel induziert.
Induktionsgesetz
UInd
B
l
V
N
=
=
=
=
=
U Ind = − N ⋅ B ⋅ l ⋅ V
induzierte Spannung
magnetische Flussdichte
wirksame Leiterlänge
Geschwindigkeit
Windungszahl der Induktionsspule
[V]
[T]
[m]
[m/s]
[1]
Wird der Leiter entlang d. h. in Richtung der Feldlinien bewegt, so ergibt sich keine Änderung des Flusses, somit wird auch keine Spannung
induziert.
8.12. Generatorregel
Die Richtung der induzierten Spannung hängt von der Bewegungsrichtung der Leiterschleife und von der Richtung des Magnetfeldes ab.
Mit Hilfe der Generatorregel, oder auch Rechte - Hand - Regel genannt, lässt sich die Strom - und somit auch die Spannungsrichtung
bestimmen. Hält man die rechte Hand so, dass die magnetischen Feldlinien in die Handfläche treten, der Daumen die Bewegungsrichtung
anzeigt, so zeigen die Finger die Stromrichtung an.
8.13. Transformatorprinzip (Induktion der Ruhe)
(Fluss der sich ändert)
φ + Δφ
Elektrisches
Feld E
Ein Fluss, der sich ändert, ist immer von einem elektrischen Feld
(Wirbelfeld) umgeben.
Ein elektrisches Feld übt auf Ladungen Kräfte aus. Positive Ladungen werden dabei in Richtung
des Feldes, negative in entgegengesetzter Richtung verschoben.
Formelsammlung Elektrotechnik
(Fluss der sich ändert)
φ + Δφ
Elektrisches
Feld E
Ladungsbewegung
54
Das Feld verursacht also in
elektrischen Leitern Ladungsverschiebungen bzw. - Trennung und damit elektrische
Spannung. Da dieses Prinzip
beim Transformator verwendet,
nennt man es auch Transformatorprinzip.
V
8.14. Lenzsche Regel
Der induzierte Strom ist stets so gerichtet, dass er eine Bremskraft
verursacht, welche dem Bewegungsvorgang entgegenwirkt.
(Hätte z. B. der Induktionsstrom die gleiche Wirkung, so ergäbe sich
eine zusätzliche Flusszunahme und der Generator würde sich selber
antreiben!)
8.15. Selbstinduktion
Die Selbstinduktionsspannung ist stets so gerichtet, dass sie der Änderung des Stromes entgegenwirkt.
Selbstinduktionsspannung
US
L
ΔI
Δt
=
=
=
=
U S = −L ⋅
Selbstinduktionsspannung
Induktivität
Stromänderung
Zeitänderung
ΔI
Δt
[V]
[H, Henri]
[A]
[s]
Anwendungen
Zündung beim Auto, Mofa (Zündspule, Unterbrecher, Zündkerze)
Leuchtstofflampen Æ Starter
Feuerzeuge
Formelsammlung Elektrotechnik
55
Nachteil
Funkensprung bei Schaltern (Abhilfe Freilaufdiode)
8.16. Kopplungsfaktor k
Bei zwei gekoppelten Spulen geht immer nur ein Teilfluss Φ1,2 des
Gesamtflusses Φ1, der durch die einte Spule erzeugt wird, durch die
andere Spule. Der Rest geht als Streufluss ΦS neben der sekundären
Spule vorbei. Man berücksichtigt dies mit dem Kopplungsfaktor k, der
das Verhältnis zwischen Φ1,2 und Φ1 angibt:
Kopplungsfaktor
k=
Φ1, 2
Φ1
Φ1 = Erregerfluss primäre Spule
Φ1,2 = Fluss sekundäre Spule
k
= Kopplungsfaktor
[wb]
[wb]
k ≤ 1 oder in %
Bei Netztrafos und Übertragern mit geschlossenem Eisenkern beträgt k
etwa 99%. Bei gekoppelten Luftspulen von Bandfiltern nur etwa 50%.
Der Kopplungsfaktor k kann als Wirkungsgrad der Magnetischen Kopplung zwischen zwei Spulen angesehen werden.
8.17. Gegeninduktivität M
M berücksichtigt die zwei Induktivitäten L1 und L2 und damit auch die
Windungszahlen N1 und N2 sowie die magnetische Kopplung k
zwischen den beiden Spulen.
Gegeninduktivität
L1 ; L2 =
k
=
M
=
M = k ⋅ L1 ⋅ L2
Induktivität der Spule 1 bzw. 2
Kopplungsfaktor
Gegeninduktivität
[H]
[1]
[1]
Formelsammlung Elektrotechnik
56
8.18. Induktion bei gekoppelten Spulen
Mit Hilfe der Gegeninduktivität M lässt sich U2, die in der sekundären
Spule induzierte Spannung, bei zwei magnetisch gekoppelten Spulen
berechnen.
Induzierte Spannung
U2
ΔI/Δt
M
ωM
=
=
=
=
U 2 = −M ⋅
ΔJ 1
Δt
U 2 = ωM ⋅ J1
Induzierte Spannung sekundäre Spule
Stromänderung primäre Spule
Gegeninduktivität
Blindwiderstand der Gegeninduktivität
[V]
[A/s]
[1]
[Ω]
8.19. Streufaktor σ
Der Streufaktor σ (sigma) ist ein Mass für den Kraftlinienvverlust durch
die magnetische Streuung.
Streufaktor
Φ1
ΦS
k
σ
=
=
=
=
σ=
ΦS
= 1− k
Φ1
Erregerfluss primäre Spule
Streufluss
Kopplungsfaktor
Streufaktor
[wb]
[wb]
[1]
[1]
8.20. Spannungsübersetzung im Transformator
Transformatoren und Übertrager benuetzen induktiv gekoppelte Spulen
zur übertragung von Spannung, Leistung und Energie.
Spannungsübersetzung
U 20
U1
=k⋅
L2
L1
im Leerlauf!
Formelsammlung Elektrotechnik
57
Fuer einen Trafo ist k ≈ 1 . Aufgrund des gemeinsamen Eisenkernes
sind auch die magnetischen Eigenschaften μ, A, lm und somit Rm für
beide Spulen gleich.
N12
N 22
L2 N 22
und L2 =
Æ
Æ
L1 =
=
Rm1
Rm 2
L1 N12
Spannungsübersetzung
U2 0
U1
L2
L1
N2
N1
k
=
=
=
=
=
=
=
U 20
U1
=
N2
N1
Sekundär Spannung (Leerlauf)
Primär Spannung
Induktivität sekundäre Spule
Induktivität primäre Spule
Windungszahl sekundäre Spule
Windungszahl primäre Spule
Kopplungsfaktor
L2 N 2
=
L1 N1
im Leerlauf!
[V]
[V]
[H]
[H]
[1]
[1]
[1]
8.21. Gesamtinduktivität gekoppelter Spulen
Sind zwei Spulen oder Induktivitäten magnetisch gekoppelt, so erzeugt
jede Spule ein Magnetfeld, das die andere Spule durchsetzt. Sind
beide beide Felder gleichgerichtet, so verstärken sie sich und die
Gesamtinduktivität wird erhöht. Sind sie entgegengesetzt gerichtet, so
schwächen sie sich und die Gesamtinduktivität wird kleiner.
Bei gleichgerichteten Magnetfeldern
LTot = L1 + L2 + 2 M
Bei entgegengesetzten Magnetfeldern
LTot = L1 + L2 − 2 M
Symbolik
*
Der Punkt gibt den Wicklungssinn an.
* Megnetfeldlinien
*
Formelsammlung Elektrotechnik
58
8.22. Transformatorhauptgleichung
Diese Gleichung gilt für jede Wicklung des festgekoppelten,
verlustfreien Transformators.
U IND = 4.44 ⋅ N ⋅ f ⋅ A ⋅ Bˆ
N
F
A
B
=
=
=
=
Windungszahl
Frequenz
Kernquerschnitt
Magnetische Flussdichte (Induktion)
[1]
[Hz]
[m2]
[T] Tesla
8.23. Kernarten bei Kleintransformatoren
Um Wirbelströme zu vermeiden, werden die Trafokerne aus Eisenblech, welches einseitig isoliert ist, gefertigt. (Dicke: 0.35mm)
Æ mit SI legiert (bis 4%)
8.24. Eisenfüllfaktor
Die Bleche werden mit isolierten Bolzen zusammengepresst.
A = AFE ⋅ k FE
kFE = Eisenfüllfaktor (0.95 ... 0.99)
8.25. Windungsspannung
Spannung zwischen aufeinander folgenden Wicklungen.
Beispiel: U = 300V N = 120 Windungen
Windungsspannung
UW =
U
N
= 2.5V
Formelsammlung Elektrotechnik
59
8.26. Lagenspannung
Spannung zwischen zwei übereinander liegenden Lagen.
Beispiel: U = 300V 3 Lagen
Lagenspannung
UL =
U
⋅2
Lagen
= 200V
200V
3. Lage
2. Lage
1. Lage
0V
100V
8.27. Idealer Transformator
Beim idealen Transformator treten keinerlei Verluste auf. Magnetische
Kopplung k = 1 (kein Streufluss).
Lehrlaufspannung für Sinus:
U 0 = 4.44 ⋅ f ⋅ Bˆ ⋅ A ⋅ N
N
F
A
B
=
=
=
=
Windungszahl
Frequenz
Kernquerschnitt
Magnetische Flussdichte (Induktion)
[1]
[Hz]
[m2]
[T] Tesla
Spannungsübersetzung
ü=
U1 N1
=
U 2 N2
U1 = Primärspannung
U2 = Sekundärsapnnung
[V]
[V]
Beim idealen Transformator sind die Scheinleistungen S1 u. S2
gleichgross, daraus folgt.
Formelsammlung Elektrotechnik
S1 = S 2
60
U1 ⋅ I1 = U 2 ⋅ I 2
I1 U 2 N 2 1
=
=
=
I 2 U 1 N1 ü
Eingangsimpedanz (Primärimpedanz)
2
⎛N ⎞
Z1 = ü 2 ⋅ Z 2 = ⎜⎜ 1 ⎟⎟ ⋅ Z 2
⎝ N2 ⎠
Z1 = Eingangsimpedanz (Primärimpedanz)
[Ω]
Z2 = Ausgangsimpedanz (Sekundärimpedanz) [Ω]
ü = Spannungsübersetzungsfaktor
[1]
8.28. Realer Transformator
Durch den Kupferwiderstand, den Streufluss, Magnetisierungskurve,
usw. weicht der reale Transformator teilweise stark vom idealen
Transformator ab.
Beim realen Transformator ist k < 1 (Streufluss):
Sekundärspannung
U1
U2
N1
N2
k
=
=
=
=
=
U 2 = U1 ⋅
N2
⋅k
N1
Primärspannung
Sekundärsapnnung
Windungszahl (primärseite)
Windungszahl (sekundärseite)
Kopplungsfaktor (magn. Wirkungsgrad)
[V]
[V]
[1]
[1]
[1]
Bei Leistungstrafos und Übertragern ohne Luftspalt ist k ≈ 1!
Formelsammlung Elektrotechnik
61
8.29. Spartransformator
Beim Spartransformator sind zwei
Wicklungsteile, die Parallelwicklung und die
Reihenwicklung, hintereinandergeschaltet
Bild 1. Unterspannungswicklung ist die
Parallelwicklung. Oberspannungswicklung
ist die Reihenschaltung von Reihenwicklung
und Parallelwicklung. Bei
Spartransformatoren ist die
Eingangswicklung leitend mit der
Ausgangswicklung verbunden.
Formelsammlung Elektrotechnik
62
9. Spule
9.1. Induktivität
Eine Spule hat eine Induktivität von 1H, wenn eine gleichmässige
Stromerhöhung von 1A je Sekunde in ihr die Spannung 1V induziert.
Induktivität
N2 ⋅μ ⋅ A N2
=
L=
lm
Rm
[H, Henri]
Lässt sich aus den geometrischen Grössen und dem Material für die
Spule Berechnen:
L=
L
N
lm
Rm
Φ
A
μ
N ⋅Φ
I
=
=
=
=
=
=
=
Induktivität
Windungszahl
mittlere Feldlinienlänge
magnetischer Widerstand
Magnetischer Fluss
Querschnitt
Permeabilität
[H]
[1]
[m]
[A/Vs]
[wb] Weber
[m2]
[Vs/Am] μr ⋅ μ0
9.2. Spulenkonstante AL
N2 ⋅μ ⋅ A
L=
lm
AL = Spulenkonstante
L = N 2 ⋅ AL
L
N
lm
A
μ
=
=
=
=
=
Induktivität
Windungszahl
mittlere Feldlinienlänge
Querschnitt
Permeabilität
[H]
[1]
[m]
[m2]
[Vs/Am] μr ⋅ μ0
Formelsammlung Elektrotechnik
63
9.3. Ringkernspule (Toroid)
L = N2 ⋅
A
μr ⋅ A
[ μH ]
lm ⋅ 80
lm
9.4. Einlagige Zylinderluftspule
D
L = N2 ⋅
μ0 ⋅ A
l
⋅K
l
K = Korrekturfaktor
D
l
9.5. Energie des magnetischen Feldes
Das Abschalten einer Spule im Gleichstrom zeigt, dass der Strom
noch eine Weile fliesst.
Im magnetischen Feld einer Spule ist Energie gespeichert.
L⋅I2
ω=
2
ω
L
I
=
=
=
Energie des elektrischen Feldes
Induktivität
Strom
[Ws]
[H]
[A]
Formelsammlung Elektrotechnik
64
9.6. Zeitkonstante Tau (induktiv)
Zeitkonstante
τ=
L = Induktivität
R = Widerstand
L
R
[s]
[H]
[Ω]
- Der Endstrom ist jeweils nach 5τ fast erreicht
- Die Stromstärke hat nach t = τ 63% des Endwertes erreicht.
9.7. Einschaltverhalten einer Spule
i
Uq
U
UR
UL
uL = U Q ⋅ e
−
t
τ
t
− ⎞
⎛
i = I 0 ⎜⎜1 − e τ ⎟⎟
⎝
⎠
Spannung
I0 =
UQ
RV
Strom
U
I
100%
(U0)
100%
(Imax)
63,2%
36,8%
t
t
1τ
5τ
1τ
5τ
Formelsammlung Elektrotechnik
65
9.8. Abschaltverhalten einer Spule
i
Uq
U
UR
UL
⎛ −τt
i = I 0 ⎜⎜ e
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
⎛ −τt
uL = −U ⎜⎜ e
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
I0 =
Spannung
100%
(Us)
RV
Strom
1τ
36,8%
UQ
5τ
t
I
100%
(Imax)
36,8%
U
t
1
5
9.9. Induktiver Blindwiderstand
Der Widerstand der Spule steigt mit der Frequenz.
Aufgrund der Selbstinduktionsspannung steigt der Strom nur langsam
an! Wird die Stromänderung schnell durchgeführt (= grössere Frequenz), so kann er seinen Endwert nicht erreichen (Æ grösserer Widerstand).
Formelsammlung Elektrotechnik
66
Für sinusförmigen Strom
Blindwiderstand
ω
L
f
xL
=
=
=
=
xL = 2πf ⋅ L = ω ⋅ L
Kreisfrequenz
Induktivität
Frequenz
Blindwiderstand
[1/s; Hz]
[H]
[Hz]
[Ω]
Bei der idealen Spule eilt die Spannung dem Strom um 90° voraus.
9.10. Scheinwiderstand/Impedanz (Induktivität)
Der Wechselstromwiderstand einer Spule ist erheblich grösser als der
Gleichstromwiderstand.
Infolge der dauernden Flussänderung im Wechselstromkreis tritt dauernd eine Selbstinduktionsspannung gegenphasig zur angelegten
Spannung auf.
Der Strom wird von der Selbstinduktionsspannung beeinflusst. Die
strombegrenzende Wirkung heisst induktiver Widerstand.
Scheinwiderstand / Impedanz
Z=
Z = Scheinwiderstand / Impedanz
U = Wechselspannung
J = Wechselstrom
U
J
[Z] = Ω
[Ω]
[V]
[A]
9.11. Induktive Blindleistung
Zum Aufbau des Magnetfeldes wird Energie benötigt. Die Energie wird
beim Abbau wieder frei. Bei einer idealen Spule pendelt daher die Leistung, ähnlich wie beim Kondensator, hin und her. Beide Halbwellen
sind gleich gross! Mittelwert ist gleich Null!
Formelsammlung Elektrotechnik
Induktive Blindleistung
Q
UL
JL
xL
=
=
=
=
67
U L2
QL = U L ⋅ J L =
= J L2 ⋅ xL
xL
Induktive Blindleistung
Spulenspannung (~)
Spulenstrom (~)
Induktiver Blindwiderstand
[var]
[V]
[A]
[Ω]
Die aufgenommene Energie ist im Magnetfeld gespeichert! Wird das
Magnetfeld abgebaut (Strom kleiner) so wird die gespeicherte Energie
ins Netz zurückgeschoben.
9.12. Reale Spule
Eine ideale, d.h. verlustfreie Sule gibt es nicht. in jeder Spue treten
Verluste auf, di sich in einer mehr oder weniger starken Erwärmung
von Wicklung und Eisenkern äusssern.
Wicklungsverluste
PCU
Wirbelstromverluste
PWirbel
Hystereseverluste
PHysterese
I
U
R
UR
L
UL
L
Verlustwinkel
δ
δ = 90° − ϕ
⎛U ⎞
⎛R⎞
⎛ P ⎞
δ = tan ⎜⎜ R ⎟⎟ = tan −1 ⎜⎜ ⎟⎟ = tan −1 ⎜⎜ ⎟⎟
⎝UL ⎠
⎝ xL ⎠
⎝ QL ⎠
−1
U
UL
ϕ
UR
Formelsammlung Elektrotechnik
Verlustfaktor
tan (δ ) =
1
P
= =d
QL Q
Gütefaktor
Q=
Q
d
P
S
QL
δ
ϕ
=
=
=
=
=
=
=
1
1
x L U L QL
=
=
=
= tan (ϕ ) =
R UR
P tan (δ )
d
Gütefaktor
Verlustfaktor
Wirkleistung
Scheinleistung
Induktive Blindleistung
Verlustwinkel
Phasenverschiebung
[1]
[1]
[W]
[VA]
[var]
[°]
[°]
68
Formelsammlung Elektrotechnik
10. Spulenschaltungen
10.1. Serieschaltung von Induktivitäten
L1
Ls
LS = L1 + L2
L2
10.2. Parallelschaltung von Induktivitäten
L1
L2
1
1 1
= +
L p L1 L2
Bemerkung
Die beiden Gesetze (Kap. 79, 80) gelten nur, wenn die Spulen unabhängig voneinander sind (magnetisch nicht gekoppelt).
69
Formelsammlung Elektrotechnik
70
11. Schaltungen mit R, xC und xL
11.1. RC-Serieschaltung
i
UR
UC
U~
Spannungsdreieck
U = U +U
2
R
2
C
⎛U
ϕ = arctan ⎜⎜ C
⎝UR
⎞
⎟⎟
⎠
U = Gesamtspannung
[V]
UR = Spannung am Widerstand [V]
UC = Spannung im Kondensator [V]
UR
ϕ
UC
U
Widerstandsdreieck
UR
Z = R 2 + xC2
R
xC
Z
ϕ
= Wirkwiderstand
= Blindwiderstand
= Impedanz
[Ω]
[Ω]
[Ω]
UC
U
Leistungsdreieck
S = P +Q
2
P
Q
S
2
P
⎛Q⎞
ϕ = arctan ⎜ ⎟
⎝P⎠
= Wirkleistung
= Blindleistung
= Scheinleistung
ϕ
[W]
[var]
[VA]
S
Q
Formelsammlung Elektrotechnik
71
11.2. Leistungen der RC - Serieschaltung
Wirkleistung
Die Multiplikation der Augenblickwerte (Momentanwerte) von u und i
führen zur Leistungskurve. Es treten positive und negative Leistungen
auf, die aber nicht gleich gross sind. Sie hat die doppelte Frequenz und
ist wiederum eine Sinuskurve.
Wirkleistung
P = U R ⋅i = R ⋅i2
[W]
Die Leistung wird im Widerstand in Wärme umgesetzt.
Blindleistung
Diese Leistung pendelt zwischen dem Kondensator und dem Generator hin und her!
Blindleistung
Q = U C ⋅ i = xC ⋅ i 2
[var]
Scheinleistung
Es ist eine rein rechnerische Grösse! Sie hat keine Bedeutung so wie
Q und P!
Scheinleistung
S = U ⋅i = Z ⋅i2
[VA]
11.3. Leistungsfaktor cos(ϕ)
Der Leistungsfaktor gibt an, wie viel der Scheinleistung S als Wirkleistung P umgesetzt wird.
Leistungsfaktor
S
P
ϕ
cos(ϕ ) =
= Scheinleistung
= Wirkleistung
= Phasenverschiebung
P
S
[VA]
[W]
[°]
Formelsammlung Elektrotechnik
72
11.4. RC-Parallelschaltung
iR
i
U~
R
iC
xC
U = U R = UC
Stromdreieck
i = iR2 + iC2
i
i
iR
iC
= Gesamtstrom
= Strom durch R
= Strom durch C
[A]
[A]
[A]
iC
u
iR
Leitwertdreieck
Bei der Parallelschaltung verhalten sich die Teilströme wie die Leitwerte der Widerstände:
y = G 2 + BC2
tan (ϕ ) =
y
iC BC 1 / xC
R
=
=
=
iR G 1 / R xC
G = Wirkleitwert (Konduktanz)
BC = Blindleitwert (Suszeptanz)
y = Scheinleitwert, Admittanz
ϕ
G
[1/R]
[1/xC]
[1/Z]
Widerstandsdreieck
Z=
xC ⋅ R
R +x
2
2
C
BC
R
xC
Z
xC2 + R 2
Formelsammlung Elektrotechnik
xC
R
Z
=
=
=
kapazitiver Blindwiderstand
Wirkwiderstand
Impedanz
73
[Ω]
[Ω]
[Ω]
Leistungsdreieck
S = P2 + Q2
S
P
Q
=
=
=
Scheinleistung
Wirkleistung
Blindleistung
QC
S
[VA]
[W]
[var]
ϕ
P
11.5. Umrechnung Serie - und Parallelschaltung
Serie Æ Parallel
RS2 + xS2
RP =
RS
RP = RS (1 + Q 2 )
RS2 + xS2
xP =
xS
⎛
1 ⎞
xP = xS ⎜⎜1 + 2 ⎟⎟
⎝ Q ⎠
RS
Q
RS
xS
RP
xP
=
=
=
=
=
xC
Serie
Parallel Æ Serie
RP ⋅ xP2
RS 2
RP + xP2
RP
Parallel
RP2 ⋅ xP
xS = 2
RP + xP2
Blindleistung
Widerstand Serienschaltung
Blindwiderstand Serienschaltung
Widerstand Parallelschaltung
Blindwiderstand Parallelschaltung
[var]
[Ω]
[Ω]
[Ω]
[Ω]
xC
Formelsammlung Elektrotechnik
74
11.6. Frequenzkompensierter Spannungsteiler
Damit das Verhältnis von Ua und Ue unabhänig von der Frequenz
bleibt, gilt:
C1
R1 Z1
=
R2 Z 2
Z1
Ue
Durch Einsetzen der Impedanzen Z1
und Z2 ergibt sich folgende Formel:
R1
C2
R2
Ua
Z2
Widerstand-Kondensatorverhältnis
R1 C 2
=
R 2 C1
Wenn das Verhältnis
R1 C 2
gewählt wird, so werden die
=
R 2 C1
Spannungen Ue und Ua unabhängig von der Frequenz in ein
konstantes Verhältnis (Ue/Ua = konst.) aufgeteilt.
Anwendungen
Abgleichen einer KO-Sonde.
Die Eingangs-Kapazität des KO’s wird durch die veränderbare Kapazität der Sonde kompensiert.
11.7. RL-Serieschaltung
i
R
L
UR
UL
U
Formelsammlung Elektrotechnik
75
Spannungsdreieck
U = U R2 + U L2
U
U R = U − U = U ⋅ cos(ϕ )
2
2
L
ϕ
U L = U − U = U ⋅ sin(ϕ )
2
UL
2
R
UR
⎛UL ⎞
⎟⎟
⎝UR ⎠
ϕ = arctan⎜⎜
ULp
URp
U
UL
UR
ϕ
=
=
=
=
=
=
Scheitelspulenspannung
Scheitelwiderstandsspannung
Angelegte Spannung
Spulenspannung
Widerstandsspannung
Phasenverschiebung
[V]
[V]
[V]
[V]
[V]
[°]
Widerstandsdreieck
U
= R 2 + xL2
i
U
R = R = Z 2 − xL2 = Z ⋅ cos(ϕ )
i
U
xL = L = Z 2 − R 2 = Z ⋅ sin(ϕ )
i
Z=
Z
ϕ
R
⎛ xL ⎞
⎟
R
⎝ ⎠
ϕ = arctan⎜
U
UL
UR
i
R
=
=
=
=
=
Angelegte Spannung
Spulenspannung
Widerstandsspannung
Strom
Widerstand
xL
[V]
[V]
[V]
[A]
[Ω]
Formelsammlung Elektrotechnik
xL
Z
=
=
76
Induktiver Blindwiderstand
Scheinwiderstand - Impedanz
[Ω]
[Ω]
Leistungsdreieck
U2
S = U ⋅i =
= i2 ⋅ Z
Z
ϕ
S = U ⋅i = P2 + Q2
P
P = U R ⋅ i = S 2 − Q 2 = S ⋅ cos(ϕ )
Q = U L ⋅ i = S 2 − P 2 = S ⋅ sin(ϕ )
Leistungsfaktor
cos(ϕ ) =
U
UL
UR
i
S
Q
P
ϕ
=
=
=
=
=
=
=
=
P UR R
=
=
S U
Z
Angelegte Spannung
Spulenspannung
Widerstandsspannung
Strom
Scheinleistung
Induktive Blindleistung
Wirkleistung
Phasenverschiebung
[V]
[V]
[V]
[A]
[VA]
[var]
[W]
[°]
11.8. RL-Parallelschaltung
i
U~
iR
R
QL
S
iL
L
iR =
i=
U
U
iL =
xL
R
U
Z
Formelsammlung Elektrotechnik
77
Stromdreieck
i = i +i
2
R
iR
2
L
ϕ
iR = i 2 − iL2 = i ⋅ cos(ϕ )
iL = i − i = i ⋅ sin(ϕ )
2
2
R
iL
i
⎛ iL ⎞
⎟⎟
⎝ iR ⎠
ϕ = arctan⎜⎜
i
iR
iL
ϕ
=
=
=
=
Gesamtstrom
Widerstandsstrom
Spulenstrom
Phasenverschiebung
[A]
[A]
[A]
[°]
Leitwertdreieck
1
= G 2 + BL2
Z
1
G = = Y 2 − BL2
R
1
BL =
= Y 2 − G2
xL
Y=
G
ϕ
y
⎛ BL ⎞
⎟
⎝G⎠
ϕ = arctan⎜
y
G
BL
ϕ
=
=
=
=
Scheinleitwert, Admittanz
Wirkleitwert, Konduktanz
Blindleitwert, Suszeptanz
Phasenverschiebung
[1/Z]
[1/R]
[1/xC]
[°]
BL
Formelsammlung Elektrotechnik
78
Widerstandsdreieck
1
Z= =
y
Z
y
R
xL
ϕ
=
=
=
=
=
R
R ⋅ xL
R +x
2
xC
2
L
ϕ
Z
xL2 + R 2
Scheinwiderstand - Impedanz
Scheinleitwert, Admittanz
Widerderstand
Induktiver Blindwiderstand
Phasenverschiebung
[Ω]
[1/Z]
[Ω]
[Ω]
[°]
Leistungsdreieck
P
ϕ
S = U ⋅ J = P 2 + QL2
P = U R ⋅ J R = S 2 − QL2
S
QL = U L ⋅ J L = S 2 − P 2
P
S
QL
ϕ
=
=
=
=
Wirkleistung
Scheinleistung
Induktive Blindleistung
Phasenverschiebung
Leistungsfaktor
cos(ϕ ) =
P JR G Z
=
= =
S
J
y R
11.9. RLC-Serieschaltung
i
UR
UL
UT
UC
[W]
[VA]
[var]
[°]
QL
Formelsammlung Elektrotechnik
79
Spannungsdreieck
J
UR
ϕ
U T = U R2 + (U C − U L ) 2
UT
⎛ UC −U L ⎞
⎟⎟
⎝ UR ⎠
ϕ = arctan⎜⎜
UL
UC
UL > UC Æ ϕ positiv
UL < UC Æ ϕ negativ
UT
UL
UC
UR
ϕ
=
=
=
=
=
Angelegte Spannung
Spulenspannung
Kondensatorspannung
Widerstandsspannung
Phasenverschiebung
[V]
[V]
[V]
[V]
[°]
Widerstandsdreieck
Z = R 2 + ( xL − xC ) 2
cos(ϕ ) =
sin (ϕ ) =
xL > xC
xL < xC
Z
R
xL
xC
ϕ
=
=
=
=
=
xC
R
Z
Z
ϕ
xL − xC
Z
Æ Induktives Verhalten Æ
Æ Kapazitives Verhalten Æ
Scheinwiderstand - Impedanz
Widerderstand
Induktiver Blindwiderstand
Kapazitiver Blindwiderstand
Phasenverschiebung
R
ϕ positiv
ϕ negativ
[Ω]
[Ω]
[Ω]
[Ω]
[°]
xL
Formelsammlung Elektrotechnik
80
Leistungsdreieck
S = P 2 + (QL − QC )
QC
2
cos(ϕ ) =
P
S
QL
QC
ϕ
=
=
=
=
=
S
P
S
QL
ϕ
Wirkleistung
Scheinleistung
Induktive Blindleistung
Kapazitive Blindleistung
Phasenverschiebung
P
[W]
[VA]
[var]
[var]
[°]
11.10. RLC-Parallelschaltung
i
U~
iR
iL
R
L
iC
xC
Stromdreieck
i = iR2 + (iC − iL ) 2
i
ϕ
iL > iC Æ Induktives Verhalten
iL < iC Æ Kapazitives Verhalten
i
iR
iL
iC
=
=
=
=
Gesamtstrom
Widerstandsstrom
Spulenstrom
Kondensatorstrom
[A]
[A]
[A]
[A]
iC
U
iL
Formelsammlung Elektrotechnik
81
Leitwertdreieck
G
ϕ
y = G 2 + ( BL − BC ) 2
BL
y
y = Scheinleitwert, Admittanz
G = Wirkleitwert, Konduktanz
BL = Blindleitwert, Suszeptanz
[1/Z]
[1/R]
[1/xC]
Leistungsdreieck
S = P 2 + (QL − QC ) 2
P
S
QL
QC
=
=
=
=
Wirkleistung
Scheinleistung
Induktive Blindleistung
Kapazitive Blindleistung
[W]
[VA]
[var]
[var]
Anwendung
- Parallelschwingkreis
- Blindleistungskompensation in Firmen (Phasenschieber)
(Maschinenfabrik).
BC
Formelsammlung Elektrotechnik
82
12. Impulsformerglieder
12.1. Differenzierglied
τ=
τ = R ⋅C
L
R
Allgemein
g=
T = ti + t p
ti
T
v=
1
g
ti
τ
≈5
Anwendung
U
- Regeltechnik
- Analogrechner
- Filter
t
tp
ti
T
U
RL - und LR - Glieder
werden kaum verwendet.
t
τ
R
C
L
T
ti
=
=
=
=
=
=
Zeitkonstante
Widerstand
Kapazität
Induktivität
Periodendauer
Impulsdauer
[s]
[Ω]
[F]
[H]
[s]
[s]
tp =
g =
v =
Pausendauer
Tastgrad
Tastverhältnis
[s]
[1]
[1]
Formelsammlung Elektrotechnik
83
12.2. Integrierglied
Bei τ >> T entsteht annähernd eine Gleichspannung (Siebwirkung
von C). Mathematisch entspricht dies einer Integration.
τ=
τ = R ⋅C
L
R
Allgemein
g=
T = ti + t p
ti
T
v=
1
g
ti
τ
≈5
Anwendung
U
- Regeltechnik
- Analogrechner
- Filter
t
tp
ti
T
U
t
τ
R
C
L
T
ti
=
=
=
=
=
=
Zeitkonstante
Widerstand
Kapazität
Induktivität
Periodendauer
Impulsdauer
[s]
[Ω]
[F]
[H]
[s]
[s]
tp =
g =
v =
Pausendauer
Tastgrad
Tastverhältnis
[s]
[1]
[1]
Formelsammlung Elektrotechnik
84
13. Schwingkreise
13.1. RLC-Serieschwingkreis
Der Serieschwingkreis ist eine Sieb - oder Filterschaltung. Frequenzen
in der Nähe der Resonanzfrequenz werden durchgelassen
(Saugfrequenz).
Bemerkung
R ist der externe Dämpfungswiderstand
oder Spulenverlustwiderstand.
i
U= U
2
Rv
+ (U C − U L )
2
Rv
L
C
URv
UL
UC
UT
Z = RV2 + ( xL − xC ) 2
R, xL, xC, Z
t
Die Impedanz Z ist am kleinsten, wenn xL = xC ist:
2πf ⋅ L =
1
daraus folgt:
2πf ⋅ C
Resonanzfrequenz
f0 =
1
2π L ⋅ C
(Tomsonsche Schwingungsformel)
Formelsammlung Elektrotechnik
85
Bei der Resonanz
xL = xC
Z = R 2 + ( xL − xC ) 2
Æ
Z 0 = RV
Phasenverschiebung
Æ
ϕ = 0°
Strom bei Resonanz
Æ
I0 =
U
U
=
Z 0 RV
Æ der Strom ist bei Resonanz am grössten
Æ im Idealfall R = 0 Æ I0 = ∞A!
Bei Resonanz gibt es eine Spannungsueberhöhung. Die Spannungen
an L und C können grösser sein als die angelegte Spannung.
Güte Q
Sie gibt die Spannungsueberhöhung an:
Q=
U L U C xL xC
=
=
=
U
U
RV RV
Dämpfung d
d=
1
Q
Bandbreite b
J
J
J0
b
2
fgu
f0
fgo
f
Formelsammlung Elektrotechnik
b=
86
f0
f ⋅R
f ⋅R
R
= f0 ⋅ d = 0 V = 0 V = V
Q
xL
2πfL
2πL
Je höher die Guete Q ist, desto schmalbandiger ist der Schwingkreis.
Grenzfrequenzen
Obere Grenzfrequenz
f go = f 0 +
b
2
Untere Grenzfrequenz
f gu = f 0 −
b
2
Bei Grenzfrequenz gilt:
f = f go resp. f gu
ϕ = 45°
Jg =
J0
2
UR =
U
2
Z g = 2 ⋅ Z0
13.2. RLC-Parallelschwingkreis
Parallelschwingkreise werden häufig zur Aussiebung von Frequenzen
verwendet Æ Bandsperre (Sperrkreis).
i = iR2 + (iL − iC ) 2
y = G 2 + ( BL − BC ) 2
i
U~
iR
iL
RP
L
iC
xC
Formelsammlung Elektrotechnik
87
Z, y
t
Der Scheinleitwert y ist am kleinsten, wenn BL = BC ist:
1
= 2πf ⋅ C daraus folgt:
2πf ⋅ L
Resonanzfrequenz
f0 =
1
2π L ⋅ C
Bei Resonanzfrequenz
BL = BC Æ xL = xC
Phasenverschiebung = 0°
Der Strom in der Zuleitung ist am kleinsten
i0 =
U
RP
Durch die Spule und den Kondensator können grössere Ströme
fliessen! Æ Stromüberhöhung
Impedanz Z0 = RP
RP =
U
i
L
RP =
C ⋅ RV
RP
2
(
2πf ⋅ L )
=
RV
2
RP = QSpule
⋅ RV
Formelsammlung Elektrotechnik
Güte Q
Sie gibt die Spannungsüberhöhung an:
Q=
J L J C BL BC RP RP
=
=
=
=
=
J
J
G
G
xL xC
Dämpfung d
d=
1
Q
Bandbreite b
b=
f0
= f0 ⋅ d
Q
88
Formelsammlung Elektrotechnik
89
14. Filterschaltungen
14.1. RC-Hochpass
Resonanzfrequenz
fg =
1
2 ⋅π ⋅ R ⋅ C
[ f g ] = Hz
Ue
Spannungsverhältnis
R
U 2 = U1 ⋅
R 2 + xC
2
[U 2 ] = V
Ua
1
=
= 0.707
Ue
2
Phasenverschiebung
⎛ Ua ⎞
⎟⎟ [ϕ ] = °
U
⎝ e⎠
ϕ = a cos⎜⎜
ϕ = 45°
Ua
Formelsammlung Elektrotechnik
90
Dämpfung
⎛U
Vu = 20 ⋅ lg ⎜⎜ a
⎝ Ue
fg
C
R
Ue
Ua
xC
ϕ
=
=
=
=
=
=
=
⎞
⎟⎟ = −3dB
⎠
Grenzfrequenz
Kapazität
Widerstand
Eingangsspannung
Ausgangsspannung
kapazitiver Blindwiderstand
Phasenwinkel
au = 3dB
[Hz]
[F]
[Ω]
[V]
[V]
[Ω]
[°]
14.2. RL-Hochpass
Resonanzfrequenz
fg =
R
[ f g ] = Hz
2 ⋅π ⋅ L
Ue
Spannungsverhältnis
xL
U 2 = U1 ⋅
R 2 + xL
2
[U 2 ] = V
Ua
1
=
= 0.707
Ue
2
Phasenverschiebung
⎛ Ua ⎞
⎟⎟ [ϕ ] = °
⎝ Ue ⎠
ϕ = a cos⎜⎜
ϕ = 45°
Dämpfung
⎛U
Vu = 20 ⋅ lg ⎜⎜ a
⎝ Ue
⎞
⎟⎟ = −3dB
⎠
au = 3dB
Ua
Formelsammlung Elektrotechnik
fg
C
R
Ue
Ua
xL
ϕ
=
=
=
=
=
=
=
Grenzfrequenz
Kapazität
Widerstand
Eingangsspannung
Ausgangsspannung
induktiver Blindwiderstand
Phasenwinkel
91
[Hz]
[F]
[Ω]
[V]
[V]
[Ω]
[°]
14.3. RC-Tiefpass
Resonanzfrequenz
fg =
1
2 ⋅π ⋅ R ⋅ C
[ f g ] = Hz
Ue
Spannungsverhältnis
xC
U 2 = U1 ⋅
R 2 + xC
2
[U 2 ] = V
Ua
1
=
= 0.707
Ue
2
Phasenverschiebung
⎛ Ua ⎞
⎟⎟ [ϕ ] = °
⎝ Ue ⎠
ϕ = a cos⎜⎜
ϕ = 45°
Dämpfung
⎛U
Vu = 20 ⋅ lg ⎜⎜ a
⎝ Ue
fg
C
R
Ue
Ua
=
=
=
=
=
⎞
⎟⎟ = −3dB
⎠
Grenzfrequenz
Kapazität
Widerstand
Eingangsspannung
Ausgangsspannung
au = 3dB
[Hz]
[F]
[Ω]
[V]
[V]
Ua
Formelsammlung Elektrotechnik
92
xC = kapazitiver Blindwiderstand [Ω]
ϕ = Phasenwinkel
[°]
14.4. RL-Tiefpass
Resonanzfrequenz
fg =
R
[ f g ] = Hz
2 ⋅π ⋅ L
Ue
Spannungsverhältnis
R
U 2 = U1 ⋅
R 2 + xL
2
[U 2 ] = V
Ua
1
=
= 0.707
Ue
2
Phasenverschiebung
⎛ Ua ⎞
⎟⎟ [ϕ ] = °
U
⎝ e⎠
ϕ = a cos⎜⎜
ϕ = 45°
Dämpfung
⎛U
Vu = 20 ⋅ lg ⎜⎜ a
⎝ Ue
fg
C
R
Ue
Ua
xL
ϕ
=
=
=
=
=
=
=
⎞
⎟⎟ = −3dB
⎠
Grenzfrequenz
Kapazität
Widerstand
Eingangsspannung
Ausgangsspannung
induktiver Blindwiderstand
Phasenwinkel
au = 3dB
[Hz]
[F]
[Ω]
[V]
[V]
[Ω]
[°]
Ua
Formelsammlung Elektrotechnik
93
14.5. Bandpass
Sehr tiefe und sehr hohe Frequenzen werden gesperrt.
Möglichkeit 1
Ue
Ua
CR - HP
RC - TP
Möglichkeit 2
Ue
Grenzfrequenz
Ausgangsspannung
Ua
fg =
1
2π R1 ⋅ C1 ⋅ R2 ⋅ C 2
U a max = U e
mit R1 = R2 und C1 = C2
U a max =
Phasenverschiebung
ϕ = 0°
Ue
3
1
1+
R1 C2
+
R2 C1
Formelsammlung Elektrotechnik
94
Ua/Ue
HP
TP
f
14.6. Bandsperre
Ua/Ue
HP
TP
Ue
Ue
f
14.7. Verstärkung - Dämpfung
Verstärkungsfaktoren
Dämpfungsfaktoren
Ue < Ua
Ue > Ua
VP =
VP
DP
VU
DP
Vi
Di
=
=
=
=
=
=
Pa
Pe
VU =
Ua
i
Vi = a
Ue
ie
Leistungsverstärkungsfaktor
Leistungsdämpfungsfaktor
Spannungsverstärkungsfaktor
Spannungsdämpfungsfaktor
Stromverstärkungsfaktor
Stromdämpfungsfaktor
DP =
Pe
U
DU = e
Pa
Ua
Di =
ie
ia
Formelsammlung Elektrotechnik
VP =
95
Pa
1
=
Pe DP
14.8. Leistungsverstärkungs – Dämpfungsmass
VP in Bel VP = log (VP)
Um 1-2 Stellen vor dem Komma zu gewinnen, multipliziert man mit 10.
Leistungsverstärkungsmass vP in dB
⎛P ⎞
vP = 10 ⋅ log⎜⎜ a ⎟⎟
⎝ Pe ⎠
Leistungsdämpfungsmass aP in dB
⎛P ⎞
a P = 10 ⋅ log⎜⎜ e ⎟⎟
⎝ Pa ⎠
vP = − aP
14.9. Spannungsverstärkungs - Dämpfungsmass
Für Spannungen gilt:
U2
P=
R
( )
log U 2
Æ 2 ⋅ log(U )
Spannungsverstärkungsmass vU in dB
⎛U ⎞
vU = 20 ⋅ log⎜⎜ a ⎟⎟
⎝ Ue ⎠
Spannungsdämpfungsmass aU in dB
⎛U ⎞
aU = 20 ⋅ log⎜⎜ e ⎟⎟
⎝ Ua ⎠
vU = −aU
Formelsammlung Elektrotechnik
96
14.10. Stromverstärkungs - Dämpfungsmass
Für Spannungen gilt:
P = I 2 ⋅ R log(I 2 ) Æ 2 ⋅ log(I )
Stromverstärkungsmass vi in dB
⎛i ⎞
vi = 20 ⋅ log⎜⎜ a ⎟⎟
⎝ ie ⎠
Stromdämpfungsmass ai in dB
⎛i ⎞
ai = 20 ⋅ log⎜⎜ e ⎟⎟
⎝ ia ⎠
vi = −ai
14.11. Dämpfungsmass “Neper”
In der Fernmeldetechnik verwendet man teilweise noch als
Dämpfungsmass “Neper”.
⎛U ⎞
a = ln⎜⎜ e ⎟⎟
⎝Ua ⎠
[Np] (Neper)
14.12. Spannungswerte in dB
dB
0
3
6
10
20
40
60
Vi resp. Vu
1
2
2
3.2
10
100
1000
Formelsammlung Elektrotechnik
97
14.13. Absoluter Pegel
In der Antennen - , NF - und Nachrichtentechnik bezieht man die dB Rechnung oft auf eine Bezugsspannung.
⎛U ⎞
pa = 20 ⋅ log⎜⎜ ⎟⎟
⎝ u0 ⎠
u0
pa
= Bezugsspannung
= Absoluter Pegel
Im Telefonbereich
Im HF - Bereich
u0 = 775 mV
u0 = 1 μ V
Formelsammlung Elektrotechnik
98
15. Dreiphasiger Wechselstrom
15.1. Sternschaltung
L1, L2, L3
N
=
=
Polleiter
Neutralleiter
Die vier Leiter (L1, L2, L3, N) bilden das
Vierleitersystem.
UST
UL12 - UL23
I
IST
Strangstrom = Leiterstrom
I ST = I
=
=
=
=
Strangspannung
Leiterspannung
Leiterstrom
Stronstrom
Strangspannung
U ST =
U L12
3
Leistungen in der Sternschaltung
P = 3 ⋅ U ⋅ I ⋅ cos(ϕ )
S = 3 ⋅U ⋅ I
Q = 3 ⋅ U ⋅ I ⋅ sin(ϕ )
Bei unsymetrischer Belastung der drei Stränge führt der Mittelleiter den
sogenannten Ausgleichstrom.
Dem Verbraucher stehen zwei verschiedene Spannungen zur
Verfügung (230V / 400V).
Formelsammlung Elektrotechnik
99
15.2. Dreieckschaltung
L1, L2, L3
N
=
=
Polleiter
Neutralleiter
Die vier Leiter (L1, L2, L3, N) bilden das
Vierleitersystem.
UST
UL12 - UL23
I
IST
Strangspannung = Leiterspannung
U ST = U
=
=
=
=
Strangspannung
Leiterspannung
Leiterstrom
Stronstrom
Strangspannung
I ST =
I L12
3
Leistungen in der Sternschaltung
P = 3 ⋅ U ⋅ I ⋅ cos(ϕ )
S = 3 ⋅U ⋅ I
Q = 3 ⋅ U ⋅ I ⋅ sin(ϕ )
Haben eine Sternschaltung und eine Dreieckschalung indentische
Wicklungen, so nimmt die Dreieckschaltung die dreifache Leistung der
Sternschaltung auf.
PDreieck = 3 ⋅ PStern
Diese Tatsache wird in Stern - Dreieckschaltern ausgenutzt.
Beim einschalten eines Motors schaltet man zuerst in die
Sternschaltung (Æ kleiner Anlaufstrom) und dann nach der Anlaufzeit
für den Betrieb in die Dreieckschaltung.
Formelsammlung Elektrotechnik
100
15.3. Drehzahl von Synchron- und Asynchronmotoren
Drehzahl
N=
60 ⋅ f
P
F = Frequenz
[Hz]
P = Poolpare (Sternschaltung = 1 Poolpaar) [1]
N = Drehzahl
[min-1]
Nmax in EU und CH (1 Poolpaar):
EU/CH 3000 min-1
USA
3600 min-1