2. Vereinfachen (Zusammenfassen) von Termen Regeln für das Addieren und Subtrahieren Beim Addieren und Subtrahieren werden Vorfaktoren mit gleichen Variablen (und gleicher Potenzzahl/ Hochzahl) zusammengefasst, in dem man die Vorfaktoren addiert/subtrahiert und die Variable beibehält. 2x + 3x = 5x 7x2 – 4x2 = 3x2 7x2 + 2x – 4x2 + 3x = 3x2 + 5x Hinweis 1: Variablen ohne „sichtbaren Vorfaktor“ haben den Vorfaktor „1“. Variablen mit nur einem „-“ davor, haben den Vorfaktor „-1“. 2x + x = 3x -x + 3x = 2x Hinweis 2: Ist das Ergebnis des Zusammenrechnens der Vorfaktoren gleich „0“, so „fällt das Termglied aus dem Term heraus“. 2x – 2x + 2y + 2y 0x +4y 4y Hinweis 3: Nie zusammenfasst werden dürfen: 1. Variablen mit unterschiedlichen Potenzzahlen/ Hochzahlen 2. Unterschiedliche Variablen x³ + x² + x bleibt x³ + x² + x 8x + 2y bleibt 8x + 2y Als keine Hilfe oder Eselsbrücke kann man sich folgende Geschichte vorstellen (x = Schweine und y = Hunde): Auf einer grünen Wiese befinden sich 8 Schweine und 2 Hunde, wenn ich sie zusammenzähle bekomme ich 10 Schweinehunde. Nein! Es sind nach wie vor 8 Schweine und 2 Hunde. Regeln für das Multiplizieren und Dividieren Beim Multiplizieren und Dividieren werden Vorfaktoren miteinander multipliert/dividiert und die Potenzzahlen/Hochzahlen mit einander addiert/subtrahiert (vgl. Wurzel- und Potenzgesetze). 4x2 • 2x = 4 • 2 • x(2+1) = 8x3 4x2 ÷ 2x = 4 ÷ 2 • x(2-1) = 2x1 = 2x 4x2 • 2x • 2y = 4 • 2 • 2 • x(2+1) • y = 16x3y 4x2y4 ÷ 2xy2 = 4 ÷ 2 • x(2-1) • y(4-2 ) = 2x1y2 = 2xy2 Hinweis 1: Variablen ohne „sichtbare Hoch- /Potenzzahl“ haben die Potenz „1“. x = x1 Hinweis 2: Aus den Vorzeichen zweier Vorfaktoren bildet sich das neue Rechenzeichen „Plus“ oder „Minus“. 4 + 4x2 • (-2x) = 4 + 4 • (-2) • x(2+1) = 4 + (-8) x3 = 4 – 8x3 Bei längeren Multiplikations-/ Divisionsaufgaben kann man anhand der Anzahl der negativen Vorzeichen erkennen, ob das Ergebnis ein positives oder negatives Vorzeichen hat. Bei gerader Anzahl negativer Vorzeichen ist das Vorzeichen des Ergebnisses Plus“, bei ungerader Anzahl negativer Vorzeichen ist das Vorzeichen des Ergebnisses „Minus“. Regeln für das Ausklammern/die Klammermultiplikation Beim Ausklammern wird das Termglied vor der Klammer mit jedem Termglied innerhalb der Klammer multipliziert. Bei der Multiplikation von Klammern ist jedes Termglied der einen Klammer mit jedem Termglied der anderen Klammer zu multiplizieren. 2x – 4x(3x + 4y) 2x – 4x • 3x – 4x • 4y 2x – 12x2 – 16xy (2x – 4x) (3x + 4y) 2x • 3x + 2x • 4y – 4x • 3x – 4x • 4y 6x2 + 8xy – 12x2 – 16xy 6x2– 12x2 + 8xy – 16xy -6x2 – 8xy Hinweis 1: Das Vorzeichen jedes Termgliedes ist bei der Multiplikation zu berücksichtigen. -4x(3x + 4y) Rechenweg: (-4x) • (+3x) + (-4x) • (+4y) -12x2 – 16xy -4x(-3x + 4y) Rechenweg: (-4x) • (-3)x + (-4x) • (+4y) 12x2 – 16xy Hinweis 1: Das durch Multiplikation oder Division entstehende „neue“ Vorzeichen bildet den neuen mathematischen Operator „+“ oder „–“. 4x + 4y(-y) 4x + (-4y2) 4x – 4y2 Hinweis 2: Steht vor der Klammer nur ein „Plus“ oder kein Vorzeichen, heißt das Termglied vor der Klammer „+1“ und die Klammer weggelassen werden. +(-3x + 4y) = -3x + 4y Steht vor der Klammer nur ein „Minus“, heißt das Termglied vor Klammer „-1“ und in der Klammer „drehen“ sich alle Vorzeichen. -(-3x + 4y) = +3x – 4y = 3x – 4y Regeln für das Einklammern Beim Einklammern wird der Term auf gleiche Variablen und gleiche Teiler der Vorfaktoren und konstante Glieder untersucht und anschließend durch den größten Teiler“ (ggT) dividiert. Der ggT wird dann als Termglied vor die Klammer gestellt. 3x – 27xy + 21xz 3x(1 – 9x + 7z) 3x(-9x + 7z + 1) I ggT = 3x 3x – 27xy + 21xz + 12 3x(1 – 9x + 7z) + 12 3x(-9x + 7z + 1) + 12 I ggT = 3x (außer bei 12) Hinweis 1: Beim Auflösen von Gleichungen nach einer Variable ist es oft nicht vorteilhaft, einen ggT wieder auszuklammern. Hier sollte genau auf die Aufgabenstellung geachtet werden. Hinweis 2: Ob man richtig eingeklammert hat, lässt sich schnell durch eine Gegenrechnung prüfen. Einfach ausklammern und der ursprüngliche Term muss wieder vorhanden sein. Regeln für das gemischte Rechnen Beim gemischten Rechnen sind neben den Regeln für das Multiplizieren und Dividieren und den Regeln für Addieren und Subtrahieren vor allem die Vorrangregeln zu beachten. Da bereits alle Regeln hierzu im Vorfeld besprochen wurden, werden die Regeln für das gemischte Rechnen in Form einer komplexeren Aufgabe dargestellt. -2x2 + 4 + 4xy(4x – 2) – 3x(-4x + 2y + 4y + 2x) 1. Schritt: Prüfen und Zusammenfassen von Termgliedern innerhalb der Klammer Teilschritt: (-4x + 2y + 4y +2x) = (-2x + 6y) „Neuer“ Term: -2x2 + 4 + 4xy(4x – 2) – 3x(-2x + 6y) 2. Schritt: Ausklammern Teilschritt 1: + 4xy(4x – 2) = + 16x2y – 8xy Teilschritt 2: -3x(-2x + 6y) = + 6x2 – 18xy „Neuer“ Term: -2x2 + 4 + 16x2y – 8xy + 6x2 – 18xy 3. Schritt: Sortieren und Zusammenfassen -2x2 + 6x2 – 6y2 + 16x2y – 8xy – 18xy + 4 4x2 – 6y2 + 16x2y – 26xy + 4 1. Einklammern 2(2x2 – 3y2 + 8x2y – 13xy + 2) Potenzgesetze Potenzgesetz Nr. 1: Die erste Potenzregel wird verwendet, wenn zwei Potenzen miteinander multipliziert werden. Dabei muss die Basis - also die große Zahl unten - jeweils gleich sein. Die Vereinfachung sieht so aus, dass man die Basis beibehält und die beiden Exponenten addiert. Zum besseren Verständnis setzen wir ein paar Zahlen ein. Als Beispiel soll a = 2, n = 3 und m = 4 eingesetzt und berechnet werden. Wir vereinfachen dabei mit den Regeln zu den Potenzen und berechnen das Ergebnis. Potenzgesetz / Potenzregel Nr. 2: Die zweite Regel zum Rechnen mit Potenzen wird eingesetzt wenn die Exponenten (Hochzahlen) gleich sind, aber die Basen verschieden sind. Dabei werden die beiden Potenzen miteinander multipliziert. Man kann dies vereinfachen indem man die beiden Basen multipliziert und als Exponent die gemeinsame Hochzahl verwendet. Die Gleichung zum Vereinfachen sieht so aus: Setzen wir zum Beispiel a = 4, b = 3 und n = 2 ein ergibt sich: Potenzgesetz / Potenzregel Nr. 3: Beim dritten Potenzgesetz geht es darum Potenzen zu potenzieren und diese zu vereinfachen. Dies geschieht indem man einfach die jeweiligen Exponenten miteinander multipliziert. Wie immer zunächst die Formel und im Anschluss ein Beispiel mit Zahlen. Als Beispiel setzen wir wieder Zahlen ein, in diesem Fall a = 5, n = 2 und m = 3. Damit sieht die Rechnung so aus: Potenzregeln / Potenzgesetze Nr. 4: Die vierte Regel befasst sich mit Potenzregeln für einen Bruch. Wir haben dabei sowohl im Zähler als auch im Nenner eine Potenz. Die Exponenten sind dabei gleich. Das Vereinfachen sieht so aus, dass man die beiden Basen durcheinander dividiert und den gemeinsamen Exponenten als Hochzahl verwendet. Die allgemeine Gleichung sieht so aus: Zum besseren Verständnis erneut ein Beispiel: Wir setzen a = 3, b = 5 und n = 2 ein. Damit sieht die Berechnung so aus: Potenzregeln / Potenzgesetze Nr. 5: Das fünfte Potenzgesetz befasst sich ebenfalls mit Brüchen. Dieses geht davon aus, dass die Basis der Potenzen im Zähler und im Nenner gleich sind. Ist dies der Fall dann kann man vereinfachen, indem man die Basis beibehält und die Exponenten subtrahiert. Setzen wir erneut ein paar Zahlen ein. Für die Basis nehmen wir a = 5 so wie n = 3 und m = 2. Damit sieht die Berechnung so aus: :
