RUHR UNIVERSITÄT BOCHUM ASTRONOMIE FORTGESCHRITTENEN PRAKTIKUM Fourier Optik Praktikanten: Prüfer: Jannike Ruddat Tim Forche Stefan Blex 12. Dezember 2018 Versuch 609: Fourier Optik Jannike Ruddat Tim Forche __________________________________________________________________________________ Inhaltsverzeichnis 1 Physikalische Grundlagen ..................................................................................................................... 3 1.1 Komponenten einer Fourier-Analyse ...................................................................................... 3 1.1.1 Fourier-Reihe .......................................................................................................................... 3 1.1.2 Fourier Transformation .......................................................................................................... 4 1.1.3 Fast Fourier Transformation ................................................................................................... 5 1.1.4 Anwendung ............................................................................................................................ 5 1.2 Fourier Optik............................................................................................................................ 5 1.3 Funktionsweisen der verwendeten Geräte ............................................................................. 6 1.3.1 He-Ne-Laser ............................................................................................................................ 6 1.3.1 CCD Kamera ..................................................................................................................... 7 2 Versuchsdurchführung, Beobachtungen und Auswertung .................................................................. 8 2.1 Grundaufbau ................................................................................................................................. 8 2.2 Teil 1 (Aufgabe 1)........................................................................................................................... 8 2.2 Teil 2A (Aufgabe 2) ........................................................................................................................ 9 2.3 Teil 2B .......................................................................................................................................... 13 2.3.1 Aufgabe 3.............................................................................................................................. 14 2.3.2 Aufgabe 4.............................................................................................................................. 15 2.3.3 Aufgabe 5.............................................................................................................................. 17 2.3.4 Aufgabe 6.............................................................................................................................. 19 3 Diskussion ........................................................................................................................................... 19 4 Quellenangaben ................................................................................................................................. 21 2 Versuch 609: Fourier Optik Jannike Ruddat Tim Forche __________________________________________________________________________________ 1 Physikalische Grundlagen 1.1 Komponenten einer Fourier-Analyse Die Grundidee hinter einer Fourier Analyse ist es Signale durch verschieden Frequentanteile darzustellen. 1.1.1 Fourier-Reihe Mithilfe einer Fourier-Reihe kann man zeitlich periodische Funktionen mithilfe von überlagerten Sinus und Cosinus Funktionen darstellen. Dafür musst die Funktion also T-periodisch sein, d.h. es muss gelten: π(π‘ + ππ) = π(π‘), π ∈ β€. Dafür werden folgende Teilfunktionen aufsummiert: π(π‘) = π΄ sin(ππ‘ + π) (1) Mit A der Amplitude, π der Kreisfreq uenz, t der Zeit und π der Phase. Eine Fourier-Reihe sieht wie folgt aus: ∞ π(π‘) = π0 + ∑π=1(ππ cos(ππ0 π‘) + ππ sin(ππ0 π‘)) Alternativ kann π0 π‘ durch π₯ ersetzt werden. π0 = (2) 2π π ist die Grundfrequenz. π0 , ππ π’ππ ππ bezeichnet man als Fourier-Koeffizienten. Diese lassen sich wie folgt berechnen: 1 2π 1 2π 1 2π π0 = 2π ∫0 π(π₯) ππ₯ (3) ππ = ∫0 π(π₯) cos(ππ₯) ππ₯ π ππ = π ∫0 π(π₯) sin(ππ₯) ππ₯ (4) (5) Bei einer achsensymmetrischen Funktion, also wenn gilt π(π₯) = π(−π₯) kann diese nur aus Cosinus-Koeffizienten zusammengesetzt werden. Eine punktsymmetrische Funktion, d.h. es gilt π(π₯) = −π(−π₯) kann nur aus Sinusfunktionen zusammengesetzt werden. Für die Vorbereitung sollte die Sägezahnfunktion untersucht werden. Diese lässt sich durch Sinus-Funktion wie folgt darstellen: 2β π(π‘) = − π ∑ ∞ (−1)π−1 π=1 sin(πππ‘) π (6) Mit dem Java-Applet Fourier-Series wurde versucht diese Funktion durch Variation der Fourier Koeffizienten anzunähern, zusätzlich gab es bei dem Applet die Funktion Sawtooth. Die Werte 3 Versuch 609: Fourier Optik Jannike Ruddat Tim Forche __________________________________________________________________________________ der Fourier Koeffizienten für die Orignalfunktion und die manuell angenäherte sind in der folgenden Tabelle zu finden. Auf den folgenden Abbildungen sind die beiden Funktionen zu erkennen. π1 π2 π3 π4 π5 π6 π7 π8 Sawtooth 0,0637 -0,318 0,212 -0,159 0,127 -0,106 0,091 -0,080 manuell -0,281 0,209 -0,145 0,121 -0,097 0,087 -0,083 0,623 Tabelle 1: Sawtooth-Funktion [1] Abbildung 1: Sawtooth-Funktion [1] Abbildung 2: manuelle Rekonstruktion 1.1.2 Fourier Transformation Die allgemeine Fourier Transformation kann auch bei nicht periodischen Funktion verrwendet werden. Es handelt sich hierbei dann statt um ein diskretes Spektrum um ein kontinuierliches Spektrum. Sie ist folgendermaßen definiert: ∞ πΉ[π(π‘)] = πΉ(π€) = ∫−∞ π(π‘) π −πππ‘ ππ‘ (7) Hierbei ist f(t) die Originalfunktion. Das Inverse einer Fourier Transformierten lässt sich definieren durch: 1 ∞ π(π‘) = 2π ∫−∞ πΉ(π)π πππ‘ ππ 4 (8) Versuch 609: Fourier Optik Jannike Ruddat Tim Forche __________________________________________________________________________________ Für Vorbereitung 2 sollte die Fourier-Transformierte einer einfachen Deltafunktion bestimmt werden, diese sieht wie folgt aus: ∞ πΉ(πΏ(π₯ − π₯0 )) = ∫−∞ πΏ(π₯ − π₯0 )π −πππ₯ ππ₯ = π −πππ₯0 (9) 1.1.3 Fast Fourier Transformation Die Fast Fourier Transformation ist eine Möglichkeit, um die diskrete Fourier Transformation möglichst schnell zu berechnen. Bei der diskreten Fourier Transformation handelt es sich nur um vorliegenden diskrete Funktionswerte, wessen Anzahl einer 2er Potenz entsprechen müssen. 1.1.4 Anwendung Die Fast Fourier Transformation wird verwendet, um Daten zu komprimieren, wie zum Beispiel MP3 Dateien, hierbei werden nur die für uns hörbaren Frequenzen gespeichert. Ein anderes Anwendungsbeispiel ist das JPEG-Format. Auch im Bereich der Bildbearbeitung wird die Fourier Transformation verwendet. Mithilfe dieser funktioniert das Weichzeichnen oder das Verschärfen von Bildern. Ersteres funktioniert mithilfe eines Tiefpassfilters. Dieser filtert die hohen Raumfrequenzen heraus, wodurch nur die groben Strukturen übrigbleiben. Verschärfert wird ein Bild mit einem Hochpassfilter, dieser Filter die niedrigen Raumfrequenzen herraus, womit die groben Strukturen abgeschwächt werden. 1.2 Fourier Optik An einem Gegenstand gebeugtes Licht wird durch eine Linse auf die Fourier Ebene abgebildet. Die Linse funktioniert als eine Art Fourier-Transformator, da das Frauenhofersche Beugungsmuster der Fourier Transformierten entspricht. Bei der Transformation von einem zweidimensionalen Bild handelt es sich nicht um einen Übergangn von einem zeitlichen in ein Frequenzsignal, sondern um eine Raumfrequenz. Diese ist definiert durch: π₯ π£π₯ = π⋅π§ 0 π¦ π£π¦ = π⋅π§ 0 (10) (11) Dieses Bild in der Fourier Ebene kann nun mit Filtern manipuliert werden, in dem durch diese Filter unterschiedliche Frequenzen abgeblockt werden. 5 Versuch 609: Fourier Optik Jannike Ruddat Tim Forche __________________________________________________________________________________ 1.3 Funktionsweisen der verwendeten Geräte 1.3.1 He-Ne-Laser Da für diesen Versuch kohärentes Licht benötigt wird, wird ein Helium-Neon-Laser benutzt. Ein Laser basiert darauf, dass Zustände in Besetzungsinversionen vorliegen. Dieser ist das Gegenteil vom thermischen Gleichgewicht, bei dem die Boltzmann-Verteilung gilt, diese gibt die Besetzungszahlen zweier Zustände wie folgt an: πΈ −πΈ π π ππ ππ ππ΅ π = ⋅ π ππ ππ (12) Für den Übergang von einem Energieniveau zu einem Anderen existieren drei unterschiedliche Möglichkeiten: 1) Durch Absorption gelangt ein Elektron auf ein höheres Energieniveau 2) Stimulierte Emission 3) Spontane Emission Bei den Möglichkeiten zwei und drei wird jeweils ein Photon mit der passenden Energiedifferenz abgegeben. Um die Wahrscheinlichkeiten für diese Übergänge zu bestimmen, dienen die sogenannten Einsteinkoeffizienten. Falls die Zustände nicht entartet sind, sind stimulierte Absorption und Emission gleich wahrscheinlich, weswegen beispielsweise eine Gasdampflampe mithilfe der spontanen Emission funktioniert. Hierbei entsteht jedoch kein kohärentes oder polarisiertes Licht. Um in einem Laser die Besetzungsinversion zu erreichen, geschieht dies durch sogenanntes Pumpen. Zwischen dem Grundzustand und dem höherenergetischen Laserniveau muss diese erzielt werden. Bei einem Helium-Neon-Laser ist das Helium das Pumpmedium. Durch Gasentladung zwischen Elektroden wird dieses auf einen vergleichsweisen langlebigen Zustand angeregt. Durch Stöße der Heliumatome mit den Neonatomen wird die Energie der ersten übertragen, wodurch die Besetzungsinversion erzeugt wird. Durch eine spontane Emission eines Photons wird eine Reihe von stimulierten Emissionen gestartet. Die durch stimulierte Emission erzeugten Photonen sind eindeutig gleich polarisiert. Aufgrund der nebenbei laufenden spontanen Emission entstehen Gruppen an unterschiedlich polarisierten Photonen. Dafür ist ein Brewsterfenster im Laser eingebaut, welcher wie ein Polarisationsfilter wirkt. Somit erhalten wir polarisiertes Licht. 6 Versuch 609: Fourier Optik Jannike Ruddat Tim Forche __________________________________________________________________________________ [2] Abbildung 3: Aufbau Helium-Neon-Laser In einem dünnen Gasröhrchen befindet sich das Gasgemisch, dieses ist von Spiegel eingegrenzt, damit durch die Reflektion die Photonen das Lasermedium mehrmals durchlaufen und mehr Stöße entstehen. An einer Seite ist ein teildurchlässiger Spiegel, um so den Laserstrahl entweichen zu lassen. Das entstehende Licht sollte nun polarisiert, kohärent und die von derselben Wellenlänge sein. In der Wellenlänge liegen jedoch durch Eigenbewegung der Elektronen leichte Abweichungen vor. 1.3.1 CCD Kamera Die Funktionsweise einer CCD Kamera beruht auf dem Inneren Photoelektrischen Effekt. Der Sensor ist zunächst mit vielen empfindlichen Elektroden auf einer isolierten Schicht aufgebaut. Als Photodiode unter der isolierten Schicht wird oft p-dotiertes Silizium verwendet und als Isolator Siliziumoxid. Über den Inneren Photoeffekt werden beim Eindringen von Photonen Elektronen-Loch-Paare erzeugt. Die Anzahl der Elektronen hängt von der Intensität des Lichts ab. Die Elektroden dienen dazu, um Potenzial Töpfe zu erzeugen, um damit Elektronen zu fangen. Für den Transport der Elektronen durch den Sensor bis zum Rand wo sie ausgelesen werden, werden immer die Nachbarelektroden angesteuert, hierbei wird immer jede dritte gleichzeitig ausgewählt, damit die einzelnen Ladungsträger separiert bleiben. Jede zweite wäre auch möglich, würde aber beim Transport viel mehr Zeit in Anspruch nehmen da sie nicht gleichzeitig wie bei jeder dritten, sondern nur nacheinander transportiert werden können. 7 Versuch 609: Fourier Optik Jannike Ruddat Tim Forche __________________________________________________________________________________ 2 Versuchsdurchführung, Beobachtungen und Auswertung 2.1 Grundaufbau [3] Abbildung 4: Grundaufbau des Versuchs Der ähnliche Aufbau des Versuches ist in Abbildung 4 zu erkennen. Der sich hinter dem Laser befindende Polarisator dient bei dem bereits polarisierten Licht als Intensitätsregler. Das Objekt ist bei unserem Versuch ein Gitter mit jeweils drei dünnen Strichen (15ππ) gefolgt von einem dickeren Strich unbekannter Dicke. Die Gitterkonstante des Gitters beträgt π = 250ππ und die Periodizität 1000ππ. Für die Fouriertransformation hinter dem Gitter ist eine konvexe Linse zuständig. Die Brennweite dieser beträgt π = 500ππ. 2.2 Teil 1 (Aufgabe 1) Im ersten Teil soll hinter der ersten Linse ein Schirm positioniert werden, um auf diesem das Fourier transformierte Muster zu erkennen. Dort war ein Kreuz in horizontaler und vertikaler Ebene aus einzelnen Punkten mit regelmäßigen Abständen zu erkennen. Der Mittelpunkt des Kreuzes war am hellsten und zu den Rändern hin wurden die Punkte immer schwächer, bis sie nicht mehr erkennbar waren. Auch in den vier Zwischenräumen konnte man einen leichten Lichtschein erahnen. Die bei uns deutlich erkennbare Kreuzform ist auf das Gitter zurückzuführen, da diese fast nur vertikale und horizontale Anteile hat. Bei den Punkten handelt es sich um die Interferenzmaxima. Betrachtet man denselben Aufbau mit einer Natriumdampflampe statt des Lasers, stellt man fest, dass es zu keiner Interferenz kommt, da das Licht Natriumdampflampe weder kohärent noch gleichförmig polarisiert ist. 8 Versuch 609: Fourier Optik Jannike Ruddat Tim Forche __________________________________________________________________________________ 2.2 Teil 2A (Aufgabe 2) Beim zweiten Teil wird der Schirm durch eine Maskenhalterung ersetzt, in die nacheinander unterschiedliche Masken eingesetzt werden, welche auf der folgenden Abbildung 5 zu sehen sind. Die Effekte dieser werden auf der CCD Kamera beobachtet und beschrieben. Abbildung 5: unterschiedliche Masken Abbildung 6: Bild des Gitters (ohne Maske) 9 Versuch 609: Fourier Optik Jannike Ruddat Tim Forche __________________________________________________________________________________ Abbildung 7: Bild des Gitters (Maske 1) Im Falle der ersten Maske wird ausschließlich das Maximum erster Ordnung durchgelassen. Höhere Ordnungen werden geblockt, wodurch Maske 1 sich wie ein Tiefpass verhält. Das entstandene Bild hat stark an Schärfe verloren. Es lässt sich also darauf schließen, dass die niedrigen Frequenzen bloß die grobe Struktur wiedergeben, während die Informationen über die Details, wie die scharfen Kanten, in den höheren Frequenzen stecken (Vergleichbar mit der Erzeugung einer Sawtooth-Funktion). Abbildung 8: Bild des Gitters (Maske 2) 10 Versuch 609: Fourier Optik Jannike Ruddat Tim Forche __________________________________________________________________________________ Aus Abbildung 8 wird ersichtlich, dass Maske 2 zu einem geschärften Negativ des Originals führt. Der Zweck der Maske ist es bloß das Maximum nullter Ordnung zu blocken, daher ist sie vergleichbar mit einem Hochpassfilter, welcher nur die höheren Frequenzen durchlässt, was die Schärfung erklärt. Das Blocken des Maximums nullter Ordnung ist anschaulich gleichzusetzen mit dem Entfernen von π0 aus der FourierReihe. Das bedeutet, dass von jeder Komponente eine Konstante abgezogen wird, was dazu führt, dass an Orten destruktiver Interferenz (vormals dunkel) die Amplituden ins negative verschoben und Orte konstruktiver Interferenz (vormals hell) abgedunkelt werden. Das Ergebnis ist ein Negativ des Ursprungsbildes. Abbildung 9: Bild des Gitters (Maske 3) Abbildung 9 zeigt eine nicht ganz ideale Darstellung des gewünschten Effekts. Bei optimaler Ausrichtung wäre das Bild dunkel bis auf die Stellen, an denen die Gitterlinien sich schneiden. Hier sollten helle Punkte erkennbar sein. Maske 3 blockt das helle Kreuz aus Interferenzmaxima und lässt bloß die schwach erkennbaren Maxima, welche das Kreuz umgeben, passieren. Der erste hierbei entstehende Effekt ist die Invertierung, die bereits in Abbildung 8 erkennbar war. Dies lässt sich erneut auf das Entfernen von π0 zurückführen. Die den Filter passierenden Maxima stellen die Diagonalanteile des Bildes dar und ergeben daher die beobachtete Punktstruktur. 11 Versuch 609: Fourier Optik Jannike Ruddat Tim Forche __________________________________________________________________________________ Abbildung 10: Bild des Gitters (Maske 4) Abbildung 10 zeigt ein wesentlich feineres Gitter als das Original. Die vierte Maske ist ein Gitter, das jedes zweite Interferenzmaximum abblockt und somit ein Interferenzbild simuliert, bei dem der Abstand der Maxima doppelt so groß ist. Da der Abstand der Interferenzmaxima und die Gitterkonstante umgekehrt proportional voneinander abhängen, entsteht das Bild eines doppelt so feinen Gitters. Abbildung 11: Bild des Gitters (Maske 5) 12 Versuch 609: Fourier Optik Jannike Ruddat Tim Forche __________________________________________________________________________________ Um Abbildung 11 zu erklären lohnt es sich Maske 5 teilweise abzudecken. Der ursprüngliche Zweck der fünften Maske ist der nur die vier Maxima erster Ordnung passieren zu lassen. Beim teilweisen Abdecken lässt man immer bloß zwei benachbarte dieser Maxima passieren. Dies ist vergleichbar mit einem Doppelspalt und erzeugt dementsprechend die in Abbildung 12 bis Abbildung 15 erkennbaren Effekte. Abbildung 12: Bild des Gitters (teilweise verdeckte Maske 5) (I) Abbildung 13: Bild des Gitters (teilweise verdeckte Maske 5) (II) Abbildung 14: Bild des Gitters (teilweise verdeckte Maske 5) (III) Abbildung 15: Bild des Gitters (teilweise verdeckte Maske 5) (IV) Die Überlagerung dieser vier Bilder ergibt offensichtlich das in Abbildung 11 erhaltene Bild. 2.3 Teil 2B Mithilfe der Intensitätsverteilung soll die Breite des Gitters bestimmt werden. Dafür wird das Photometer in den Strahlengang eingeführt. Um den Versatz zur Nullstellung des Zeigers zu bestimmen führt man Messungen mit ausgeschaltetem Laser durch. 13 Versuch 609: Fourier Optik Jannike Ruddat Tim Forche __________________________________________________________________________________ 2.3.1 Aufgabe 3 Es sollen die Positionen der ersten neun Maxima bestimmt werden, um daraus eine Funktion abzuleiten, mit deren Hilfe die Positionen der Maxima vorhergesagt werden können. Daraufhin soll der mittlere Abstand der Maxima ermittelt und dessen Fehler abgeschätzt werden. Die experimentell ermittelten Werte zu Position und Intensität finden sich in Tabelle 2. n r/ mm π°π / ππ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 45,150 43,905 42,530 41,295 40,025 38,780 37,500 36,245 34,895 0,800 0,720 0,740 0,540 0,430 0,320 0,230 0,155 0,100 Tabelle 2: Position und Intensität der ersten neun Maxima Eine Auftragung mit linearer Regression (siehe Abbildung 16) liefert folgenden Zusammenhang: ππ = −1,276π + 46,417 14 (13) Versuch 609: Fourier Optik Jannike Ruddat Tim Forche __________________________________________________________________________________ Abbildung 16: Auftragung Position gegen Ordnungszahl der ersten 9 Maxima Zur Bestimmung des mittleren Abstands verwenden wir folgende Formel: 1 π₯Μ = 8 ∑8π=1(ππ − ππ+1 ) = 1,282 mm (14) Dessen Standardfehler beträgt dann: π₯π₯Μ = 8 2 1 1 √ ∑ ((ππ − ππ+1 ) − π₯Μ ) = 0,017 mm √8 8 π=1 (15) Das Endergebnis für den durchschnittlichen Abstand der ersten neun Maxima lautet also π₯Μ = (1,282 ± 0,017)mm. 2.3.2 Aufgabe 4 Nun werden zunächst sämtliche Intensitäten um den Versatz zur Nullstelle korrigiert und auf den Wert des ersten Maximums normiert. Daraufhin werden die jeweiligen 15 Versuch 609: Fourier Optik Jannike Ruddat Tim Forche __________________________________________________________________________________ Messfehler abgeschätzt und die Ergebnisse aufgetragen, um die Dicke der breiten Striche des Gitters zu bestimmen. Die Korrektur um den Versatz der Nullstelle und die Normierung auf den Wert des ersten Maximus geschieht gemäß Formel (16). πΌ −πΌ πΌππππ,π = πΌ π,π−πΌ0,π π,1 0;1 (16) Hieraus ergeben sich die in Tabelle 3 zusammengefassten Intensitäten n π°ππππ 1 0,897 0,929 0,667 0,526 0,385 0,276 0,179 0,109 -0,008 0,015 0,017 0,017 0,015 0,012 0,099 0,061 0,033 1 2 3 4 5 6 7 8 9 24 25 26 27 28 29 30 31 32 Tabelle 3: Normierte Intensitäten Wie in Abbildung 17 zu erkennen ist, folgen unsere Datenpunkte der Kurve, die zu der Gitterbreite 15μm/ 29μm gehört. 16 Versuch 609: Fourier Optik Jannike Ruddat Tim Forche __________________________________________________________________________________ Abbildung 17: Messpunkte eingetragen in die Strukturfunktion drei verschiedener Gitter 2.3.3 Aufgabe 5 Die zu den normierten Intensitäten zugehörigen Fehler werden über Gaußsche Fehlerfortpflanzung bestimmt. Dafür werden zunächst die Mittelwerte Μ für die πΌπ mehrfachen Messungen der Maxima mit den Ordnungszahlen 5 und 28 bestimmt: π 1 Μ = ∑ πΌπ,π πΌπ π=1 π (17) Μ = 0,405 μA für π = 5 und πΌπ Μ = 0,115 μA für π = 28. Mithilfe Es ergeben sich πΌπ dieser Werte lässt sich die Standardabweichung bestimmen: 1 π = √π ∑ π Μ )2 (πΌπ,π − πΌπ π=1 17 (18) Versuch 609: Fourier Optik Jannike Ruddat Tim Forche __________________________________________________________________________________ Man erhält π(π = 5) = 0,0025 μA und π(π = 28) = 0,00375 μA womit sich der Standardfehler über (19) ergibt: π₯πΌπ = Man erhält π (19) √π π₯πΌπ (π = 5) = 0,833 nA und π₯πΌπ (π = 28) = 1,25 nA. Der Fehler π₯πΌ0 bestimmt sich analog zu π₯πΌ0 = 0,8 nA für π = 1, … ,9 und π₯πΌ0 = 1,6 nA für π = 24, … ,32. Über Gauß ergibt sich der Fehler der normierten Intensität (siehe Tabelle 4). ππΌππππ,π π₯πΌππππ,π = √( ππΌπ,π 2 ππΌππππ,π π₯πΌπ,π ) + ( n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 24 25 26 27 28 29 30 31 32 ππΌ0,π 2 ππΌππππ,π π₯πΌ0,π ) + ( π°ππππ 1 0,897 0,929 0,667 0,526 0,385 0,276 0,179 0,109 -0,008 0,015 0,017 0,017 0,015 0,012 0,099 0,061 0,033 ππΌπ,1 2 βπ°ππππ 0,002 0,002 0,002 0,002 0,002 0,002 0,002 0,002 0,002 0,003 0,003 0,003 0,003 0,003 0,003 0,003 0,003 0,003 Tabelle 4: Normierte Intensitäten und deren Fehler 18 ππΌππππ,π π₯πΌπ,1 ) + ( ππΌ0;1 2 π₯πΌ0;1 ) (20) Versuch 609: Fourier Optik Jannike Ruddat Tim Forche __________________________________________________________________________________ 2.3.4 Aufgabe 6 Um die Brennweite der Linse L1 zu bestimmen, benötigen wir zunächst den mittleren Abstand sämtlicher gemessener Maxima. Diesen erhalten wir analog zu der Betrachtung aus Aufgabe 3: 1 π₯Μ = 16 (∑8π=1(π₯π − π₯π+1 ) + ∑31 π=24(π₯π − π₯π+1 )) βπ₯Μ = Wir erhalten 1 √16 1 8 31 β √16 (∑π=1((π₯π − π₯π+1 ) − π₯Μ )2 + ∑π=24((π₯π − π₯π+1 ) − π₯Μ )2 ) (21) (22) π₯Μ = (1,276 ± 0,009)mm. Hiermit lässt sich die Brennweite mit den Angaben π = 632,8 nm und π = 250 μm bestimmen. π ππΏ1 = π₯Μ ⋅ π (23) Der Fehler der Brennweite ergibt sich durch: π βππΏ1 = π ⋅ βπ₯Μ (24) Damit lautet das Endergebnis ππΏ1 = (504 ± 4)mm. 3 Diskussion Die ersten beiden Aufgaben haben sowohl das Prinzip der Fouriertransformation als auch ihre Anwendung in der digitalen Bearbeitung sehr greifbar vermittelt. Der in Aufgabe 3 ermittelte Fehler des Abstands erscheint mit bloß 1,3% sehr klein, dies erklärt sich jedoch durch den bereits sehr niedrig angesetzten Messfehler βπ = 0,005 mm. Die Messdaten für die Maxima ab n=30 in Aufgabe 4 scheinen, ebenso wie die ersten drei, Ausreißer zu sein. Die in Aufgabe 5 berechneten Fehler für diese sind viel zu niedrig, was daran liegt, dass die Fehler hauptsächlich mit Hilfe der Werte von n=5 und n=28 erfolgt sind, welche geringeren Schwankungen unterworfen waren und somit die Messwerte am Rand unrepräsentativ sicher erscheinen lassen. Nichtsdestotrotz scheint das Ergebnis von Aufgabe 4 eindeutig zu sein, da die Messpunkte um n=27 sich eng an die fragliche Kurve schmiegen und die Bestimmung des Fehlers an dieser Stelle die größte Genauigkeit aufweist. Die in Aufgabe 6 19 Versuch 609: Fourier Optik Jannike Ruddat Tim Forche __________________________________________________________________________________ ermittelte Brennweite erscheint sinnvoll mit einem erneut sehr geringen Fehler von unter einem Prozent. Insgesamt kann der Versuch daher als Erfolg gewertet werden. 20 Versuch 609: Fourier Optik Jannike Ruddat Tim Forche __________________________________________________________________________________ 4 Quellenangaben [1] http://www.falstad.com/fourier/ [2] https://lp.uni-goettingen.de/get/text/5344 [3] https://lp.uni-goettingen.de/get/text/1074 21
![Messtechnik für adaptive Bauwerke[DE]](http://s1.studylibde.com/store/data/014197814_1-b0cb652e66064fdb09f16e8fd4642b14-300x300.png)
