1 Riemann Integration Sei f : [a, b] → R eine beschränkte Funktion. Für jede Partition P : a = x0 < x1 < · · · < xn = b (1) des Intervalls [a, b] definieren wir n X U (P ) = Mi (xi − xi−1 ) (2) mi (xi − xi−1 ) (3) i=1 und n X L(P ) = i=1 wobei Mi = sup{f (x) : xi−1 < x ≤ xi } (4) mi = inf{f (x) : xi−1 < x ≤ xi }. (5) und Als nächstes definieren wir Z b Z b f = sup L(P ). f = inf U (P ) und a P (6) P a Klarerweise gilt b Z Z b f≥ f. a (7) a Eine Funktion f wird Riemann integrierbar genannt, wenn Z b Z f= a b f. (8) a Wenn f Riemann integrierbar ist, dann ist das Riemann Integral von f über [a, b] gleich Z b Z b Z b f= f= f. (9) a a 1 a Nimmt die Funktion f sowohl positive als auch negative Werte an, dann bezeichne f + den positiven Teil von f und f − den negativen Teil von f . Es gilt Z Z Z b b f −. f − f= a b + a (10) a Einige Eigenschaften des Riemann Integrals: 1. Ist eine reellwertige Funktion monoton auf dem Intervall [a, b], dann ist sie Riemann integrierbar. 2. Ist fn , n = 1, 2, . . . eine gleichmäßig konvergente Folge von Funktionen auf [a, b] mit Grenzwert f , dann impliziert Riemann Integrierbarkeit aller fn Riemann Integrierbarkeit von f und Z b Z b Z b fn = lim fn = fn . (11) lim n→∞ a n→∞ a a Die Gleichheit in (11) gilt nicht im Allgemeinen, wenn man punktweise Konvergenz voraussetzt. 2 Problem mit punktweiser Konvergenz Eine sehr wichtige Frage ist, wann Integral und Grenzwert vertauscht werden können. Man würde erwarten, dass wenn eine Folge fn von Funktionen punktweise gegen eine Funktion f konvergiert, dass dann die Folge der Riemann Integrale der fn gegen das Riemann Integral von f konvergiert. Das ist aber im Allgemeinen nicht der Fall. Es existieren Folgen von Funktionen fn , die punktweise gegen eine Funktion f konvergieren, aber die Folge der Riemann Integrale konvergiert nicht gegen das Riemann Integral von f . Example 1. Sei {ri , i = 1, . . . , n} eine abzählbare, geordnete Menge von rationalen Zahlen im Intervall [a, b]. Sei 1, x = r1 , r2 , . . . , rn fn (x) = , (12) 0, sonst und f (x) = 1, x ist rational . 0, x ist irrational 2 (13) Es gilt, dass fn → f, n → ∞, (14) aber f ist nicht Riemann integrierbar, weil Z b Z f = b − a und a b f = 0. (15) a Alternative: Lebesgue Integration. Das Lebesgue Integral ermöglicht es unter Anderem auch, die Fourier Transformation zu studieren. 3 Fourier Transformation Bevor wird mit der Fourier Transformation beginnen, definieren wir die Räume L1 (R) und L2 (R). Der Raum L1 (R) besteht aus allen meßbaren und integrierbaren Funktionen f für die gilt Z kf k1 = |f (x)|dx < ∞. (16) R 2 Der Raum L (R) besteht aus allen meßbaren und integrierbaren Funktionen f für die gilt 12 Z 2 < ∞. (17) |f (x)| dx kf k2 = R Definition 3.1. Sei f ∈ L1 (R). Dann ist Z ˆ f (ξ) = f (x)e−2πiξx dx (18) R die Fouriertransformierte von f bei ξ. Die inverse Fouriertransformierte ist definiert als Z f (x) = fˆ(ξ)e2πixξ dt (19) R Eine weitere gebräuchliche Schreibweise der Fourier Transformation ist: Ff = fˆ. Eigenschaften der Fourier Transformation: 3 (20) • F is linear. • (Riemann-Lebesgue Lemma) Für f ∈ L1 (R) gilt limξ→∞ fˆ(ξ) = 0. • (Satz von Plancherel) Falls f ∈ L1 ∩ L2 , dann gilt kf k2 = kfˆk2 . • (Satz von Parseval) Für f, g ∈ L2 gilt: hf, gi = hfˆ, ĝi. Die Faltung zweier Funktionen f und g auf R ist definiert als Z (f ∗ g)(x) = f (t)g(x − t)dt. (21) R Es gilt f[ ∗ g = fˆ · ĝ (22) fd · g = fˆ ∗ ĝ. (23) und Die Fourier Transformation bildet L2 (R) in sich selbst ab. Das heißt F : L2 → L2 . (24) Das gilt aber nicht für L1 , wie das folgende Beispiel zeigt. Example 2. Sei f (x) = χ[− 1 , 1 ] (x). (25) 2 2 Dann ist fˆ(ξ) = Z χ[− 1 , 1 ] (x)e−2πiξx dx 2 2 R Z 1 2 = e−2πiξx dx (26) (27) − 12 1 e−πiξ − eπiξ 2πiξ sin πξ = πξ = sinc(ξ). = − Es ist leicht zu sehen, dass Z Z 2 kf k1 = |χ[− 1 , 1 ] (x)|dx = R 2 2 (29) (30) 1 2 − 12 4 (28) 1 dx = 1 (31) und kf k22 Z 2 |χ[− 1 , 1 ] (x)| dx = = R 2 2 Z 1 2 1 dx = 1. (32) − 12 Es lässt sich zeigen, dass kfˆk21 = ∞ (33) kfˆk22 = 1. (34) kf k21 6= kfˆk21 (35) kf k22 = kfˆk22 . (36) und Man sieht also aber 4 Diverses Das innere Produkt auf L2 (R) ist definiert als Z hf, giL2 = f (x)g(x)dx. (37) R Das innere Produkt auf L2 ist eine Verallgemeinerung des Skalarprodukts auf R. Eine Norm ist eine Abbildung k · k von einem Vektorraum V über einem Körper K in die reellen oder komplexen Zahlen mit den folgenden Eigenschaften für alle x, y ∈ V, a ∈ K: 1. kxk = 0 ⇒ x = 0. 2. ka · xk = |a| · kxk. 3. kx + yk ≤ kxk + kyk. 5