1 Riemann Integration

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Riemann Integration
Sei f : [a, b] → R eine beschränkte Funktion. Für jede Partition
P : a = x0 < x1 < · · · < xn = b
(1)
des Intervalls [a, b] definieren wir
n
X
U (P ) =
Mi (xi − xi−1 )
(2)
mi (xi − xi−1 )
(3)
i=1
und
n
X
L(P ) =
i=1
wobei
Mi = sup{f (x) : xi−1 < x ≤ xi }
(4)
mi = inf{f (x) : xi−1 < x ≤ xi }.
(5)
und
Als nächstes definieren wir
Z b
Z b
f = sup L(P ).
f = inf U (P ) und
a
P
(6)
P
a
Klarerweise gilt
b
Z
Z
b
f≥
f.
a
(7)
a
Eine Funktion f wird Riemann integrierbar genannt, wenn
Z
b
Z
f=
a
b
f.
(8)
a
Wenn f Riemann integrierbar ist, dann ist das Riemann Integral von f
über [a, b] gleich
Z b
Z b
Z b
f=
f=
f.
(9)
a
a
1
a
Nimmt die Funktion f sowohl positive als auch negative Werte an, dann
bezeichne f + den positiven Teil von f und f − den negativen Teil von f . Es
gilt
Z
Z
Z
b
b
f −.
f −
f=
a
b
+
a
(10)
a
Einige Eigenschaften des Riemann Integrals:
1. Ist eine reellwertige Funktion monoton auf dem Intervall [a, b], dann ist
sie Riemann integrierbar.
2. Ist fn , n = 1, 2, . . . eine gleichmäßig konvergente Folge von Funktionen
auf [a, b] mit Grenzwert f , dann impliziert Riemann Integrierbarkeit
aller fn Riemann Integrierbarkeit von f und
Z b
Z b
Z b
fn =
lim fn =
fn .
(11)
lim
n→∞
a n→∞
a
a
Die Gleichheit in (11) gilt nicht im Allgemeinen, wenn man punktweise Konvergenz voraussetzt.
2
Problem mit punktweiser Konvergenz
Eine sehr wichtige Frage ist, wann Integral und Grenzwert vertauscht werden können. Man würde erwarten, dass wenn eine Folge fn von Funktionen
punktweise gegen eine Funktion f konvergiert, dass dann die Folge der Riemann Integrale der fn gegen das Riemann Integral von f konvergiert. Das
ist aber im Allgemeinen nicht der Fall.
Es existieren Folgen von Funktionen fn , die punktweise gegen eine Funktion f konvergieren, aber die Folge der Riemann Integrale konvergiert nicht
gegen das Riemann Integral von f .
Example 1. Sei {ri , i = 1, . . . , n} eine abzählbare, geordnete Menge von
rationalen Zahlen im Intervall [a, b]. Sei
1, x = r1 , r2 , . . . , rn
fn (x) =
,
(12)
0, sonst
und
f (x) =
1, x ist rational
.
0, x ist irrational
2
(13)
Es gilt, dass
fn → f,
n → ∞,
(14)
aber f ist nicht Riemann integrierbar, weil
Z
b
Z
f = b − a und
a
b
f = 0.
(15)
a
Alternative: Lebesgue Integration.
Das Lebesgue Integral ermöglicht es unter Anderem auch, die Fourier
Transformation zu studieren.
3
Fourier Transformation
Bevor wird mit der Fourier Transformation beginnen, definieren wir die
Räume L1 (R) und L2 (R).
Der Raum L1 (R) besteht aus allen meßbaren und integrierbaren Funktionen f für die gilt
Z
kf k1 =
|f (x)|dx < ∞.
(16)
R
2
Der Raum L (R) besteht aus allen meßbaren und integrierbaren Funktionen
f für die gilt
12
Z
2
< ∞.
(17)
|f (x)| dx
kf k2 =
R
Definition 3.1. Sei f ∈ L1 (R). Dann ist
Z
ˆ
f (ξ) =
f (x)e−2πiξx dx
(18)
R
die Fouriertransformierte von f bei ξ. Die inverse Fouriertransformierte ist
definiert als
Z
f (x) =
fˆ(ξ)e2πixξ dt
(19)
R
Eine weitere gebräuchliche Schreibweise der Fourier Transformation ist:
Ff = fˆ.
Eigenschaften der Fourier Transformation:
3
(20)
• F is linear.
• (Riemann-Lebesgue Lemma) Für f ∈ L1 (R) gilt limξ→∞ fˆ(ξ) = 0.
• (Satz von Plancherel) Falls f ∈ L1 ∩ L2 , dann gilt kf k2 = kfˆk2 .
• (Satz von Parseval) Für f, g ∈ L2 gilt: hf, gi = hfˆ, ĝi.
Die Faltung zweier Funktionen f und g auf R ist definiert als
Z
(f ∗ g)(x) =
f (t)g(x − t)dt.
(21)
R
Es gilt
f[
∗ g = fˆ · ĝ
(22)
fd
· g = fˆ ∗ ĝ.
(23)
und
Die Fourier Transformation bildet L2 (R) in sich selbst ab. Das heißt
F : L2 → L2 .
(24)
Das gilt aber nicht für L1 , wie das folgende Beispiel zeigt.
Example 2. Sei
f (x) = χ[− 1 , 1 ] (x).
(25)
2 2
Dann ist
fˆ(ξ) =
Z
χ[− 1 , 1 ] (x)e−2πiξx dx
2 2
R
Z
1
2
=
e−2πiξx dx
(26)
(27)
− 12
1
e−πiξ − eπiξ
2πiξ
sin πξ
=
πξ
= sinc(ξ).
= −
Es ist leicht zu sehen, dass
Z
Z
2
kf k1 =
|χ[− 1 , 1 ] (x)|dx =
R
2 2
(29)
(30)
1
2
− 12
4
(28)
1 dx = 1
(31)
und
kf k22
Z
2
|χ[− 1 , 1 ] (x)| dx =
=
R
2 2
Z
1
2
1 dx = 1.
(32)
− 12
Es lässt sich zeigen, dass
kfˆk21 = ∞
(33)
kfˆk22 = 1.
(34)
kf k21 6= kfˆk21
(35)
kf k22 = kfˆk22 .
(36)
und
Man sieht also
aber
4
Diverses
Das innere Produkt auf L2 (R) ist definiert als
Z
hf, giL2 =
f (x)g(x)dx.
(37)
R
Das innere Produkt auf L2 ist eine Verallgemeinerung des Skalarprodukts
auf R.
Eine Norm ist eine Abbildung k · k von einem Vektorraum V über einem
Körper K in die reellen oder komplexen Zahlen mit den folgenden Eigenschaften für alle x, y ∈ V, a ∈ K:
1. kxk = 0 ⇒ x = 0.
2. ka · xk = |a| · kxk.
3. kx + yk ≤ kxk + kyk.
5