2. SA

2. Schularbeit aus Mathematik und angewandter Mathematik
4 bk – höbenreich-gruber
Donnerstag, 8. Mai 2014
Gruppe A
ACHTUNG:
Fehlerhafte und unübliche Notationen sind bewertungsrelevant und führen zu Punkteabzügen.
Beantworten Sie Anwendungsbeispiele in ganzen Sätzen.
Dokumentieren Sie Lösungswege (Ansätze, Nebenrechnungen, Überlegungen)
Lösen Sie die folgenden Aufgaben mit Technologieunterstützung, schreiben Sie aber trotzdem Ihre Überlegungen und
die Ansätze an:
1.
a)
Die Produktion eines flüssigen Produktes verläuft mit der Leistung P(t) = 5t (20 – t) für t ∈ [0 / 20].
t ist die Zeit in Stunden (h) nach Beginn der Produktion, P die in einer Stunden produzierte Menge in
Kubikmeter pro Stunden (m3/h).
Berechnen Sie die Gleichung für die produzierte Gesamtmenge G(t). G in m 3, t in Stunden.
Berechnen Sie, wie lange die Produktion von 3 000 m3 dauert.
G(t) = Error! = 50t2 – Error!+ C mit C = 0 = G(0) G(t) = 3 000 ⇒ t1 = 9,33 t2 = 27,6 t3 = –7,0
Es dauert 9,33 h um 3 000 m3 zu produzieren.
b)
Der Funktionsgraph von y = x2 (15 – x) rotiert um die x-Achse und
formt so ein Gefäß. Skizzieren Sie den Graphen von y(x) und
berechnen Sie das Volumen dieses Gefäßes in 0 ≤ x ≤ 10
V = π Error! = 928 571 π ≈ 2 917 193 VE
2.
a)
b)
3.
a)
b)
4.
a)
b)
Bei einer Epidemie entwickelt sich die Anzahl der Kranken K(t) in
den ersten zehn Tagen exponentiell, d.h. die Anzahl der Kranken K(t)
verdoppelt sich alle 5 Tage. Zum Zeitpunkt 0 sind 50 Leute krank.
K(t) ist dabei die Anzahl der Kranken, t die Zeit in Tagen ab Beginn
der Epidemie.
Berechnen Sie die Gleichung für K(t).
2 = e λ 5 ⇒ λ = 0,139
⇒ K(t) = 50 e0,139 t.
In den ersten zehn Tagen einer Epidemie verläuft die Anzahl der Kranken so: K(t) = 20 e 0,2 t. K in
Personen, t in Tagen ab Beginn. Nach diesen zehn Tagen verläuft die Epidemie nach einer linearen
Funktion mit folgenden Eigenschaften: Die Gesamtfunktion für die Anzahl der Kranken ist stetig und die
Epidemie endet nach insgesamt 50 Tagen. Berechnen Sie die Gleichung für K in [10 / 50]
K1(10) = 147,8 K2(t) = at + b mit 147,8 = 10a + b und 0 = 50a + b ⇒ a = –3,695 und b = 184,75
K2(t) = 184,75 – 3,695 t
Bei einer Epidemie verläuft die Anzahl der Neuerkrankten N(t) mit N(t) = t2 (30 – t). N ist dabei die
Anzahl der Neuerkrankungen pro Tag und t die Anzahl der Tage (d) seit Beginn.
Berechnen Sie die Gleichung für die Anzahl der Kranken. Berechnen Sie das Ende der Epidemie.
K(t) = Error! = 10t3 – 2,5t4
K(t) = 0 ⇒ t = 40
Ein Betrieb hat einen linearen Kostenverlauf mit den Fixkosten 200 GE und den konstanten Grenzkosten
28 GE/ME. Die Nachfragefunktion ist ebenfalls linear und hat eine Sättigungsmenge von 25 ME. Bei
einem Preis von 40 GE/ME können 15 ME verkauft werden. Berechnen Sie den Cournotpreis und den
maximalen Gewinn.
K(x) = 28x + 200 p(x) = 100 – 4x G(x) = 100x – 4x2 – 28x – 200 = –4x2 +72x – 200
Error! = 72 – 8x = 0  x = 9 p(9) = 64 G(9) = 124 GE
Berechnen Sie die Gleichung einer S-förmigen Kostenfunktion aus folgenden Informationen:
Der Übergang vom degressivem zu progressivem Kostenverlauf findet bei 100 ME statt.
Die Grenzkosten beim Beschäftigungsgrad 80 ME betragen 69 600 GE/ME. Die Kosten für 100 ME sind
14 500 000 GE. Die Fixkosten betragen 500 000 GE.
K(x) = ax3 + bx2 + cx + d mit
K“(100) = 0 ∧ K‘(80) = 69 600 ∧ K(100) = 14 500 000 ∧ K(0) = 500 000
⇒ a = 8 b = – 2 400 c = 300 000 d = 500 000 daher K(x) = 8x3 – 2 400x2 + 300 000x + 500 000
Berechnen Sie für die Kostenfunktion K(x) = 5x2 + 20x + 2 000 für 0 ≤ x ≤ 40 die langfristige
Preisuntergrenze.
–
K; (x) = 5x + 20 + Error!
Error! = 0  BO = 20 ME LPU = kquer (20) = 220 GE/ME
2. Schularbeit aus Mathematik und angewandter Mathematik
4 bk – höbenreich-gruber
Donnerstag, 8. Mai 2014
Gruppe B
ACHTUNG:
Fehlerhafte und unübliche Notationen sind bewertungsrelevant und führen zu Punkteabzügen.
Beantworten Sie Anwendungsbeispiele in ganzen Sätzen.
Dokumentieren Sie Lösungswege (Ansätze, Nebenrechnungen, Überlegungen)
Lösen Sie die folgenden Aufgaben mit Technologieunterstützung, schreiben Sie aber trotzdem Ihre Überlegungen und
die Ansätze an:
1.
a)
Die Produktion eines flüssigen Produktes verläuft mit der Leistung P(t) = 10t (20 – t) für t ∈ [0 / 20].
t ist die Zeit in Stunden (h) nach Beginn der Produktion, P die in einer Stunden produzierte Menge in
Kubikmeter pro Stunden (m3/h).
Berechnen Sie die Gleichung für die produzierte Gesamtmenge G(t). G in m 3, t in Stunden.
Berechnen Sie, wie lange die Produktion von 3 000 m3 dauert.
G(t) = Error! = 100t2 – Error!+ C mit C = 0 = G(0) G(t) = 3 000 ⇒ t1 = 6,14 t2 = 28,9 t3 = –5,1
Es dauert 6,14 h um 3 000 m3 zu produzieren.
b)
Der Funktionsgraph von y = x2 (15 – x) rotiert um die x-Achse und
formt so ein Gefäß. Skizzieren Sie den Graphen von y(x) und
berechnen Sie das Volumen dieses Gefäßes in 0 ≤ x ≤ 10
V = π Error! = 928 571 π ≈ 2 917 193 VE
2.
a)
b)
3.
a)
b)
4.
a)
b)
Bei einer Epidemie entwickelt sich die Anzahl der Kranken K(t) in
den ersten zehn Tagen exponentiell, d.h. die Anzahl der Kranken K(t)
verdoppelt sich alle 6 Tage. Zum Zeitpunkt 0 sind 40 Leute krank.
K(t) ist dabei die Anzahl der Kranken, t die Zeit in Tagen ab Beginn
der Epidemie.
Berechnen Sie die Gleichung für K(t).
2 = e λ 6 ⇒ λ = 0,116
⇒ K(t) = 40 e0,116 t.
In den ersten zehn Tagen einer Epidemie verläuft die Anzahl der Kranken so: K(t) = 30 e 0,2 t. K in
Personen, t in Tagen ab Beginn. Nach diesen zehn Tagen verläuft die Epidemie nach einer linearen
Funktion mit folgenden Eigenschaften: Die Gesamtfunktion für die Anzahl der Kranken ist stetig und die
Epidemie endet nach insgesamt 50 Tagen. Berechnen Sie die Gleichung für K in [10 / 50]
K1(10) = 221,7 K2(t) = at + b mit 221,7 = 10a + b und 0 = 50a + b ⇒ a = –5,543 und b = 277,1
K2(t) = 227,1 – 5,543 t
Bei einer Epidemie verläuft die Anzahl der Neuerkrankten N(t) mit N(t) = t 2 (60 – t). N ist dabei die
Anzahl der Neuerkrankungen pro Tag und t die Anzahl der Tage (d) seit Beginn.
Berechnen Sie die Gleichung für die Anzahl der Kranken. Berechnen Sie das Ende der Epidemie.
K(t) = Error! = 10t3 – 2,5t4
K(t) = 0 ⇒ t = 80
Ein Betrieb hat einen linearen Kostenverlauf mit den Fixkosten 200 GE und den konstanten Grenzkosten
28 GE/ME. Die Nachfragefunktion ist ebenfalls linear und hat eine Sättigungsmenge von 25 ME. Bei
einem Preis von 40 GE/ME können 15 ME verkauft werden. Berechnen Sie den Cournotpreis und den
maximalen Gewinn.
K(x) = 28x + 200 p(x) = 100 – 4x G(x) = 100x – 4x2 – 28x – 200 = –4x2 +72x – 200
Error! = 72 – 8x = 0  x = 9 p(9) = 64 G(9) = 124 GE
Berechnen Sie die Gleichung einer S-förmigen Kostenfunktion aus folgenden Informationen:
Der Übergang vom degressivem zu progressivem Kostenverlauf findet bei 100 ME statt.
Die Grenzkosten beim Beschäftigungsgrad 80 ME betragen 34 800 GE/ME. Die Kosten für 100 ME sind
7 250 000 GE. Die Fixkosten betragen 250 000 GE.
K(x) = ax3 + bx2 + cx + d mit
K“(100) = 0 ∧ K‘(80) = 34 800 ∧ K(100) = 7 250 000 ∧ K(0) = 250 000
⇒ a = 4 b = – 1 200 c = 150 000 d = 250 000 daher K(x) = 4x3 – 1 200x2 + 150 000x + 250 000
Berechnen Sie für die Kostenfunktion K(x) = 25x2 + 100x + 10 000 für 0 ≤ x ≤ 40 die langfristige
Preisuntergrenze.
–
K; (x) = 25x + 100 + Error!
Error! = 0  BO = 20 ME LPU = kquer (20) = 1 100
GE/ME
2. Schularbeit aus Mathematik und angewandter Mathematik
4 bk – höbenreich-gruber
Donnerstag, 8. Mai 2014
Gruppe A
ACHTUNG:
Fehlerhafte und unübliche Notationen sind bewertungsrelevant und führen zu Punkteabzügen.
Beantworten Sie Anwendungsbeispiele in ganzen Sätzen.
Dokumentieren Sie Lösungswege (Ansätze, Nebenrechnungen, Überlegungen)
Lösen Sie die folgenden Aufgaben mit Technologieunterstützung, schreiben Sie aber trotzdem Ihre Überlegungen und
die Ansätze an:
1.
2.
3.
4.
a)
Die Produktion eines flüssigen Produktes verläuft mit der Leistung P(t) = 5t (20 – t) für t ∈ [0 / 20].
t ist die Zeit in Stunden (h) nach Beginn der Produktion, P die in einer Stunden produzierte Menge in
Kubikmeter pro Stunden (m3/h).
Berechnen Sie die Gleichung für die produzierte Gesamtmenge G(t). G in m 3, t in Stunden.
Berechnen Sie, wie lange die Produktion von 3 000 m3 dauert.
b)
Der Funktionsgraph von y = x2 (15 – x) rotiert um die x-Achse und formt so ein Gefäß.
Skizzieren Sie den Graphen von y(x) und berechnen Sie das Volumen dieses Gefäßes in 0 ≤ x ≤ 10
a)
Bei einer Epidemie entwickelt sich die Anzahl der Kranken K(t) in den ersten zehn Tagen exponentiell,
d.h. die Anzahl der Kranken K(t) verdoppelt sich alle 5 Tage. Zum Zeitpunkt 0 sind 50 Leute krank.
K(t) ist dabei die Anzahl der Kranken, t die Zeit in Tagen ab Beginn der Epidemie.
Berechnen Sie die Gleichung für K(t).
b)
In den ersten zehn Tagen einer Epidemie verläuft die Anzahl der Kranken so: K(t) = 20 e 0,2 t.
K in Personen, t in Tagen ab Beginn.
Nach diesen zehn Tagen verläuft die Epidemie nach einer linearen Funktion mit folgenden Eigenschaften:
Die Gesamtfunktion für die Anzahl der Kranken ist stetig und die Epidemie endet nach insgesamt 50
Tagen.
Berechnen Sie die Gleichung für K in [10 / 50]
a)
Bei einer Epidemie verläuft die Anzahl der Neuerkrankten N(t) mit N(t) = t 2 (30 – t).
N ist dabei die Anzahl der Neuerkrankungen pro Tag und t die Anzahl der Tage (d) seit Beginn.
Berechnen Sie die Gleichung für die Anzahl der Kranken. Berechnen Sie das Ende der Epidemie.
b)
Ein Betrieb hat einen linearen Kostenverlauf mit den Fixkosten 200 GE und den konstanten Grenzkosten
28 GE/ME. Die Nachfragefunktion ist ebenfalls linear und hat eine Sättigungsmenge von 25 ME. Bei
einem Preis von 40 GE/ME können 15 ME verkauft werden.
Berechnen Sie den Cournotpreis und den maximalen Gewinn.
a)
Berechnen Sie die Gleichung einer S-förmigen Kostenfunktion aus folgenden Informationen:
Der Übergang vom degressivem zu progressivem Kostenverlauf findet bei 100 ME statt.
Die Grenzkosten beim Beschäftigungsgrad 80 ME betragen 69 600 GE/ME.
Die Kosten für 100 ME sind 14 500 000 GE.
Die Fixkosten betragen 500 000 GE.
b)
Berechnen Sie für die Kostenfunktion K(x) = 5x2 + 20x + 2 000 für 0 ≤ x ≤ 40 die langfristige
Preisuntergrenze.
2. Schularbeit aus Mathematik und angewandter Mathematik
4 bk – höbenreich-gruber
Donnerstag, 8. Mai 2014
Gruppe B
ACHTUNG:
Fehlerhafte und unübliche Notationen sind bewertungsrelevant und führen zu Punkteabzügen.
Beantworten Sie Anwendungsbeispiele in ganzen Sätzen.
Dokumentieren Sie Lösungswege (Ansätze, Nebenrechnungen, Überlegungen)
Lösen Sie die folgenden Aufgaben mit Technologieunterstützung, schreiben Sie aber trotzdem Ihre Überlegungen und
die Ansätze an:
1.
2.
3.
4.
a)
Die Produktion eines flüssigen Produktes verläuft mit der Leistung P(t) = 10t (20 – t) für t ∈ [0 / 20].
t ist die Zeit in Stunden (h) nach Beginn der Produktion, P die in einer Stunden produzierte Menge in
Kubikmeter pro Stunden (m3/h).
Berechnen Sie die Gleichung für die produzierte Gesamtmenge G(t). G in m 3, t in Stunden.
Berechnen Sie, wie lange die Produktion von 3 000 m3 dauert.
b)
Der Funktionsgraph von y = x2 (15 – x) rotiert um die x-Achse und formt so ein Gefäß.
Skizzieren Sie den Graphen von y(x) und berechnen Sie das Volumen dieses Gefäßes in 0 ≤ x ≤ 10
a)
Bei einer Epidemie entwickelt sich die Anzahl der Kranken K(t) in den ersten zehn Tagen exponentiell,
d.h. die Anzahl der Kranken K(t) verdoppelt sich alle 6 Tage.
Zum Zeitpunkt 0 sind 40 Leute krank.
K(t) ist dabei die Anzahl der Kranken, t die Zeit in Tagen ab Beginn der Epidemie.
Berechnen Sie die Gleichung für K(t).
b)
In den ersten zehn Tagen einer Epidemie verläuft die Anzahl der Kranken so: K(t) = 30 e 0,2 t.
K in Personen, t in Tagen ab Beginn.
Nach diesen zehn Tagen verläuft die Epidemie nach einer linearen Funktion mit folgenden Eigenschaften:
Die Gesamtfunktion für die Anzahl der Kranken ist stetig und die Epidemie endet nach insgesamt 50
Tagen. Berechnen Sie die Gleichung für K in [10 / 50]
a)
Bei einer Epidemie verläuft die Anzahl der Neuerkrankten N(t) mit N(t) = t 2 (60 – t). N ist dabei die
Anzahl der Neuerkrankungen pro Tag und t die Anzahl der Tage (d) seit Beginn.
Berechnen Sie die Gleichung für die Anzahl der Kranken. Berechnen Sie das Ende der Epidemie.
b)
Ein Betrieb hat einen linearen Kostenverlauf mit den Fixkosten 200 GE und den konstanten Grenzkosten
28 GE/ME.
Die Nachfragefunktion ist ebenfalls linear und hat eine Sättigungsmenge von 25 ME. Bei einem Preis von
40 GE/ME können 15 ME verkauft werden.
Berechnen Sie den Cournotpreis und den maximalen Gewinn.
a)
Berechnen Sie die Gleichung einer S-förmigen Kostenfunktion aus folgenden Informationen:
Der Übergang vom degressivem zu progressivem Kostenverlauf findet bei 100 ME statt.
Die Grenzkosten beim Beschäftigungsgrad 80 ME betragen 34 800 GE/ME. Die Kosten für 100 ME sind
7 250 000 GE. Die Fixkosten betragen 250 000 GE.
b)
Berechnen Sie für die Kostenfunktion K(x) = 25x2 + 100x + 10 000 für 0 ≤ x ≤ 40 die langfristige
Preisuntergrenze.