Lösung zur Aufgabe 6 des Lehrbuches (Seite 168) a) K(x) = 0,5x3 – 8x2 + 45x b) Die Intervalle werden durch den Wendepunkt getrennt. Bei einem S-förmigen Gesamtkostenverlauf, sinken die Grenzkosten zunächst bis zum WP, danach steigen sie an. K’(x) = 1,5x2 – 16x + 45 K’’8x) = 3x – 16 K’’’(x) = 3 Hinreichende Bedingungen für den WP: K’’(x) = 0 und K’’’(x) 0 3x – 16 = 0 x = 5,33 [ME] I1 = [0 / 5,33[ I2 = ]5,33 / + ] K’’(1) = -13 < 0 → Rechtskrümmung von K(x) im Intervall 1, d. h., die zusätzlich anfallenden Kosten, wenn die Produktion um eine ME ausgedehnt wird, nehmen von Stück zu Stück ab. K’’(6) = 2 > 0 → Linkskrümmung von K(x) im Intervall 2, d. h., die zusätzlich anfallenden Kosten, wenn die Produktion um eine ME ausgedehnt wird, nehmen von Stück zu Stück zu. c) Markt mit vollkommener Konkurrenz bedeutet: Auf beiden Seiten gibt es viele kleine Nachfrager und Anbieter. Keiner hat davon große Marktmacht, so dass der Marktpreis für alle fest vorgegeben ist. Man sagt, der Preis sei ein Datum (feste Größe). Information laut Aufgabe: An der Gewinnschwelle bei x = 4 fallen 84 GE Kosten an. An der Gewinnschwelle gilt: G(4) = 0, d. h. aber auch K(4) = 84 = E(4). Wenn der Erlös an der Stelle 4 gleich 84 GE ist und die Erlösfunktion p * x lautet, dann gilt: 84 = p * 4 p = 21 [GE/ME] Dipl.-Volksw., Dipl.-Kfm. Hartmut Bender 1 d) G(x) = E(x) – K(x) = 21x – [0,5x3 - 8x2 + 45x] = 21x – 0,5x3 + 8x2 – 45x = -0,5x3 + 8x2 – 24x Gewinngrenze: Bedingung: G(x) = 0 -0,5x3 + 8x2 – 24x = 0 Der letzte Summand hat noch ein x, so dass die Ausklammermethode greift. x * (-0,5x2 + 8x – 24) = 0 x01 = 0 und -0,5x2 + 8x – 24 = 0 / * (-2) x2 – 16x + 48 = 0 x02 = 4 [ME] Gewinnschwelle x03 = 12 [ME] Gewinngrenze Gewinnmaximum: Hinreichende Bedingungen: G’(x) = 0 und G’’(x) < 0 G’(x) = -1,5x2 + 16x – 24 G’’(x) = -3x + 16 -1,5x2 + 16x – 24 = 0 /: (-1,5) x2 – 10,6666667 + 16 = 0 x1 = 8,86 [ME] x2 = 1,8 [ME] und kleiner als die Gewinnschwelle, daher nicht relevant. G’’(8,86) = -10,58 < 0 → An der Stelle x = 8,86 ME hat die Gewinnfunktion einen HP. G(8,86) = 67,61 [GE] Der maximale Gewinn von 67,61 GE erzielt der Polypolist, wenn er 8,86 ME herstellt und verkauft. e) Dipl.-Volksw., Dipl.-Kfm. Hartmut Bender 2 Hier ist alles noch einmal durchzurechnen mit der neuen Erlösfunktion E(x) = 17,5x. Gewinnschwelle bei x = 5 Gewinngrenze bei x = 11 f) Betriebsminimum: Gesucht sind die minimalen variablen Stückkosten Hinreichende Bedingungen: kv(x) = 0 und kv’’(x) > 0 kv(x) = Kv( x) 0,5 x 3 8 x 2 45 x = 0,5x2 – 8x + 45 x x kv’(x) = x – 8 kv’’(x) = 1 x–8=0 x=8 kv(8) = 1 > 0 An der Stelle x = 8 hat der Graph der variablen Stückkosten einen Tiefpunkt. kv(8) = 13 [GE/ME] Die geringsten variablen Stückkosten hat der Polypolist, wenn er 8 ME herstellt. Sie betragen dann pro Stück 13 GE. Bedeutung: p kv db 14 13 1 13 13 0 12 13 -1 db Jede Einheit leistet einen Deckungsbeitrag von 1 GE zur Abdeckung der fixen Kosten, danach zum Gewinn. Die fixen Kosten werden nicht hereingeholt. Nur kurzfristig kann zu diesem Preis angeboten werden, um auf die Konkurrenz zu reagieren. Dieser Preis ist seine kurzfristige Preisuntergrenze. Die variablen Stückkosten werden nicht gedeckt. Können die Kosten nicht gesenkt werden, muss die Produktion eingestellt werden, da der Preis nicht reicht, um Lieferanten und Arbeitnehmer zu bezahlen. Betriebsoptimum: Gesucht sind die minimalen Stückkosten Hinreichende Bedingungen: k’(x) = 0 und k’’(x) > 0 Dipl.-Volksw., Dipl.-Kfm. Hartmut Bender 3 K ( x) 0,5 x 3 8 x 2 45 x 20 20 0,5 x 2 8 x 45 x x x 20 k’(x) = x 8 x2 k(x) = k’’(x) = 1 x 8 20 x 2 40 x3 0 /*x2 x3 – 8x2 – 20 = 0 Hornerschema: Erste Nullstelle raten, d. h. Taschenrechner benutzten. Erst mit Step 1 und dann weiter eingrenzen mit Steps 0,1 und 0,01. x 8,29 1 1 -8 0,29 0 2,404 -20 0,07 k’’(8,29) > 0 An der Stelle x = 8,29 hat der Graph der Stückkosten einen Tiefpunkt. Der Polypolist erreicht seine niedrigsten Stückkosten, wenn er 8,29 ME herstellt. k(8,29) = 15,45 [GE/ME] Die minimalen Stückkosten des Polypolisten betragen 15,45 GE, wenn er 8,29 ME herstellt. p k 16,45 15,45 1 15,45 15,45 0 14,45 15,45 -1 An jeder verkaufen ME macht der Polypolist 1 GE Stückgewinn, da wegen k alle Stückkosten gedeckt sind. An jeder Einheit macht der Polypolist keinen Gewinn. Allerdings hat er mit k alle Stückkosten gedeckt. Seinen Unternehmerlohn hat er bereits in k eingerechnet. Er tut dabei so, als hätte er einen Geschäftsführer angestellt. Er kann zu diesem Preis langfristig anbieten. Dieser Preis ist seine langfristige Preisuntergrenze. An jeder Einheit verliert der Polypolist 1 GE zur Deckung der fixen Kosten. Er kann nicht langfristig zu diesem Preis anbieten, da er dann seine fixen Kosten nicht gedeckt bekommt. Dipl.-Volksw., Dipl.-Kfm. Hartmut Bender 4 Skizze Graphen, Punkte, Gewinn- und Verlustzonen selbst beschriften. E(x), K(x), G(x) x Dipl.-Volksw., Dipl.-Kfm. Hartmut Bender 5