Differentialrechnung 2 Kurven und ihre Tangenten - In

Differentialrechnung 2 - Kurven und ihre Tangenten
2
Beispiel 1) Gegeben ist die Funktion y = f( x )x 2 . Bestimme die Tangente im Punkt ( 2 /
f(2) ) und stelle die Kurve mit dieser Tangente grafisch dar:
Als erstes berechnen wir den fehlenden y-Wert: f(2) = 6. Damit der Punkt P ( 2 / 6 ) .
Als nächstes berechnen wir die erste Ableitung: f'(x) = 2 x , damit: f'(2) = 4.
Zusammengefasst: P ( 2 / 6 ) , k = 4 (k steht für den Anstieg der Tangente!).
Allgemein die Tangentengleichung. Dabei hat der Punkt allgemein die Koordinaten P ( a , b )
und f'(a) ist der Anstieg der Tangente:
T: y - b = f'(a)*(x - a)
Bei uns: b = 6 , a = 2 , f'(a) = 4
->
y4 x2
Die Graphik:
x
Beispiel 2) Gegeben ist die Funktion y = f( x )cos 3  . Bestimme die Gleichung der
 
Tangente im Punkt P (  , f(  ) ) und stelle die Kurve mit dieser Tangente grafisch dar!
Als erstes berechnen wir die fehlende y-Koordinate
f(  )
1
. Die erste Ableitung:
2
1
1 x
3
f'(x) = 3 sin  3  . Speziell für den Punkt: f'(  ) = 
. Damit die Gleichung der
6
 
Tangente:
y
3x 1
3
 
6
2
6
oder dezimal:
y0.2886751347 x1.406899683
Eine Graphik von Kurve und Tangente:
Beispiel 3) Gegeben ist die Funktion y = f( x ) x . Bestimme die Gleichung der Tangente im
Punkt ( 9 , f(9) ) und fertige eine gemeinsame Graphik an!
Zuerst die fehlende y-Koordinate: f(9) = 3, damit der Punkt P ( 9 , 3 ). Als nächstes die
1. Ableitung:
f'(x) =
1
2 x
1
damit speziell: f'(9) = 6 . Daher lautet die Gleichung der Tangente im Punkt P:
x 3
y  . Die gemeinsame Graphik:
6 2
2
x
Beispiel 4) Gegeben ist die Funktion y = f( x )arcsin  2  . Bestimme die Gleichung der
 
Tangente im Punkt P ( 1 / f(1) ) und stelle Kurve und Tangente grafisch dar!


Die fehlende y-Koordinate f(1) = 6 , damit der Punkt P ( 1 , 6 ). Die erste Ableitung:
f'(x) =
1
4x
2
3x 
3
 
3
6
3
Graphik:
y
speziell f'(1) =
oder:
3
3
. Die Gleichung der Tangente:
y0.5773502693 x0.0537514935 . Die gemeinsame
3
2
2
Beispiel 5) Gegeben ist die gleichseitige Hyperbel durch ihre Gleichung: x y 16 .
5
In welchen Punkten der Hyperbel beträgt die Steigung der Tangente 3 ?
Gib die Gleichungen dieser Tangenten an!
x
2 x - 2 y *y' = 0 -> y' =
.
y
5
x 5
Dieser Anstieg soll nach Angabe 3 sein, also erhalten wir die Gleichung; y  3 .
Das ist die Gleichung einer Geraden, die zur Tangentrichtung konjugiert ist. Der Schnittpunkt
5
dieser Geraden mit der Hyperbel gibt die gesuchten Punkte mit dem Anstieg 3 .
Zuerst differenzieren wir die Gleichung der Hyperbel implizit:
x 5
3x
Wir formen die Geradengleichung y  3 um zu y 5 . Der Term für y wird in die
16 x2
2
Hyperbelgleichung eingesetzt, gibt: 25 16
-> x 25 . Die Lösungen:
x1 = 5 ,
y1 = 3
3x
Die jeweiligen y-Werte werden aus y 5
erhalten.
x2 = -5 , y2 = -3
4
Das sind die gesuchten beiden Punkte. Um die Gleichungen der zugehörigen Tangenten zu
bekommen, führen wir die Hyperbelgleichung in die Spaltform über:
x1*x - y1*y = 16.
Für x1 und y1 werden zuerst 5 und 3 , dann -5 und -3 eingesetzt, gibt die gesuchten
Tangentengleichungen:
5 x3 y16
oder
5 x3 y16 oder
y
16 5 x

3
3
16 5 x
y 
3
3
Beide Tangenten weisen den vorgegebenen Anstieg
5
auf!
3
Noch eine gemeinsame Graphik: Die Hyperbel ist rot gezeichnet, ihre Asymptoten ( y = x und
y = -x ) sind blau gezeichnet.
Die beiden Tangenten sind grün gezeichnet.
Die Verbindungsstrecke der beiden Berührpunkt - der
konjugierte Durchmesser - ist magenta gezeichnet.
5
Bemerkung: die Formulierung in Matrixschreibweise:
Die Gleichung der Hyperbel:
1
[ x, y ] 
0
0  x 
  16 .
-1  y 
 1 
5


Der Richtungsvektor zum Anstieg 3 :  5 
 3 


oder einfacher:
 3
  .
 5
1 0  x 0
 
Damit die Gleichung der konjugierten Geraden: [ 3, 5 ] 
0 -1  y 
Die Tangentengleichungen:
1
[ 5, 3 ] 
0
0  x 
  16
-1  y 
1 0  x 16
 
und [ -5, -3 ] 
0 -1  y 
6