Grundwissen 7

Grundwissen 8. Klasse
Themen
Eigenschaften/ Besonderheiten/ Erläuterungen/ Beispiele
Proportionalität
- proportionale Zuordnung
- umgekehrt proportionale
Zuordnung
Sind zwei Größen (direkt) proportional, so haben die Quotienten
zusammengehöriger Werte denselben Wert [ Quotientengleichheit]
Beispiel:
Volumen in l 1
2
3
4
Preis in €
1,35
2,70
4,05
5,40
1,35: 1= 1,35
2,70: 2= 1,35
4,05: 3= 1,35
5,40: 4= 1,35
Quotient
Sind zwei Größen umgekehrt proportional , so haben die Produkte
zusammengehöriger Werte immer denselben Wert [ Produktgleichheit]
v in km/h
t in min
Produkt
60
30
75
24
80
22,5
120
15
60 ∙ 30 = 1800
75 ∙ 24 = 1800
80 ∙ 22,5 =
1800
120∙ 15 =
1800
Funktionen
Funktion: Eine Zuordnung, die jedem Element x aus der
- Funktionsbegriff
Definitionsmenge Df genau ein Element aus der Wertemenge Wf
zuordnet, heißt Funktion.
Beispiel: Jeder nat. Zahl wird ihre Quadratzahl zugeordnet
- Funktion und Term
Jeder Term f(x) legt eine Funktion f : x  f(x); x  D f fest.
Die Menge der Punkte (x/ f(x), x  D f , heißt Graph Gf der Funktion f
Der Graph einer proportionalen Funktion ist eine Gerade( f(x) = mx + t), der
Graph einer umgekehrt proportionalen Funktion ist eine Hyperbel.(f(x) =
- Nullstelle einer Funktion
Lineare Funktionen
a
)
x
Der Schnittpunkt eines Funktionsgraphen Gf mit der x-Achse heißt Nullstelle
[N(x1/0)] der Funktion f und es gilt: f(x) = 0.
Jede Funktion mit f : x  mx + t; x  D f nennt man eine lineare Funktion.
Der dazugehörige Graph ist eine Gerade, m ist die Steigung des Graphen und
t ist die y-Koordinate des Schnittpunktes mit der y-Achse ( 0/ t)
Beispiel: y = 0,5x -1 [ m = 0,5; t = -1] ;
P(0/-1) ist der Schnittpunkt mit der y-Achse
y
f(x) = 0,5x -1
S(2/0)
2
x
Bestimmung der Steigung m
R(0/-1)
m=
Mathematik 2008
f ( x2 )  f ( x1 ) 0  (1) 1

=
20
2
x2  x1
Uschi Blumberg
Gleichungen und
Gleichungssysteme
I 2x – y = 5  y = 2x - 5
II 3y – x = 15  y =
- Gleichsetzungsverfahren
15  x
x
 5
3
3
Gleichsetzungsverfahren : Setze die Gleichungen I und II gleich:
2x – 5 =
15  x
Löse die Gleichung nach x auf ! Lösung: x = 6
3
Zeichnet man die beiden Geraden, so schneiden sie sich also im Punkt S(6/7)
- Einsetzungsverfahren
Man löst eine der beiden Gleichungen nach einer Variablen auf und ersetzt
diese damit in der zweiten Gleichung: (hier I)
II * 32 x  5 – x = 15  x = 6
- Additionsverfahren
Die Gleichungen so multiplizieren, dass eine Variable durch Addition oder
Subtraktion der beiden Gleichungen herausfällt.
I 2x – y = 5  3  I*
6x -3y = 15
I*
-3y + 6x = 15
II 3y – x = 15
II
I* + II :
3y – x = 15
5x = 30  x = 6
Wahrscheinlichkeit
- Ergebnismenge
Die Menge aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments heißt
Ergebnismenge. Sie wird mit  bezeichnet. Die einzelnen Ergebnisse
bezeichnet man mit 1 ,  2 , 3 ,..
Beispiel: normaler Würfel
a) einmal Würfeln:  = { 1,2,3,4,5,6}; 1  1; 2  2; ...   6
b) zweimal Würfeln:
 = { 11,12,13,14,15,16,21,22,23,24,25,26,31,…., 61,62,63,64,65,66}
- Ereignisse
  36 (Mächtigkeit bzw. Anzahl aller Möglichkeiten)
Jede Teilmenge A eines Ergebnisraumes  eines Zufallsexperiments nennt
man Ereignis.
Beispiel zu b) A: „Augensumme der beiden gewürfelten Zahlen gleich 8“
A = { 26,62,35,53,44}
Anzahl der absoluten Häufigkeiten für A H ( A)

Anzahl aller möglichen Ergebnisse
n
5
 13,89%
Beispiel zu b)
h(A)=
36
h(A)=
- Relative Häufigkeit und
Wahrscheinlichkeit
Die relative Häufigkeit wird auch als Wahrscheinlichkeit P(A) genommen
und ist immer ein Wert aus dem Intervall [0;1] { P kommt vom engl. Wort
propability = Wahrscheinlichkeit}
- Laplace Experimente
Zufallsexperimente, bei denen alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind,
heißen Laplace-Experimente. [Laplace: franz. Mathematiker, 1749 – 1827)
Beispiel: einmal würfeln mit einem nicht veränderten, normalen Spielwürfel:
P({1}) =
Mathematik 2008
1
usw.
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Uschi Blumberg
Gebrochen rationale
Funktionen
Bruchterme
Def.: Eine Funktion, deren Funktionsterm ein Bruchterm ist, heißt
ganzrationale Funktion (Definitionsmenge beachten)
f ( x) 
1
; x  Q \ {2}
x2
f ( x) 
2
13

; x  Q \ {2;-1}
( x  2) ( x  1)
[ Nenner darf nicht Null werden]
Beispiele:
3x
3x
3
Kürzen:

2
2x  x
x(2  x) 2  x 
3
x
3 x

2)
Zusammenfassen:
[gleiche Nenner schon vorhanden]
x2 x2
x2
5
3x 5 3x  5
 
3) 3 
Zusammenfassen:
x x
x
x
1)
4)
4x
x2
4x
x2

Zusammenfassen:
=

2 x  4 6  3x
2x  2 32  x 
(ungleiche Nenner)
 34 x   2x  2   12 x  2 x  4 
4x
x2


 6x  2
2x  2  3x  2  32x  2 2 3x  2
faktorisieren d .Nenner
erweitern auf HN
zusammenfassen
 14 x  4  27 x  2 7 x  2


 6 x  12  23x  6 3x  6
Beispiel 1
Bruchgleichungen
:
D =Q \ {2;4}
x3 x5

  x  2  x  4  [ Hauptnenner ]
x2 x4
x  3x  2x  4  x  5x  2x  4 [kürzen und ausmultiplizieren ]
x  2
x  4
x 2  4 x  3 x  12  x 2  2 x  5 x  10  x 2
 x  12  3x  10  3 x ;  12
 4x  2 : 4
x   0,5
 L  {0,5}
Bei Bruchgleichungen dieser Art Kreuzprodukt verwenden!!
Beispiel 2
3x  1
2
3x 2


4 x  2 6 x  3 2 x  12 x  1
1. Schritt: Zerlegung der Terme in Faktoren, um evt. kürzen zu können:
3x  1
2
3x 2


22 x  1 32 x  1 2 x  12 x  1
 1 1
; 
 2 2
3. Bestimmung des Hauptnenners: 2  3  2x  12x  1
2. Schritt: Bestimmung der Definitionsmenge: D = Q \ 
Mathematik 2008
Uschi Blumberg
4. Multiplikation mit dem Hauptnenner und kürzen
5. Lösen der „nennerfreien“ Gleichung
Ergebnis dieser Aufgabe: .x = -1  L = {-1}
[ -1  Df ]!!
Potenzen
Def.: 1) a n  a  a  a  a  ...  a , n  IN ; 2) a  n 
1
n  IN
an
Für Potenzen mit gleicher Basis a ( a  0) und ganzzahligen Exponenten gilt:
a n  a m  a nm
und
a n : a m  a nm
1
a2
1
 6
a
a 3  a 5  a 8 ; a 3  a 5  a  2 
Beispiele:
a 4 : a 2  a 2 ; a  4 : a 2  a 6
Ähnlichkeit
- zentrische Streckung
Für jede zentrische Streckung gilt: A’ (B’, C’) liegt auf der
von Z ausgehenden Halbgeraden durch A( B, C) und
ZA'  k  ZA ( ZB'  k  ZB; ZC '  k  ZC ) [ k> 0]
C’
C
B’
B
Z
A
A’
Mathematik 2008
Uschi Blumberg
1. Strahlensatz: g h
Strahlensatz
2. Strahlensatz: g h
b’
h
g
b
Z
g
h
c
Z
a
c’
a
a’
a’
a b

a ' b'
Je zwei Abschnitte auf dem
einen Strahl(Gerade)
verhalten sich wie die
entsprechenden Abschnitte
auf dem anderen
Strahl(Gerade)
Ähnlichkeitssätze für
Dreiecke
a c

a' c'
Die Abschnitte auf den
Parallelen verhalten sich wie
die von Z aus gemessenen
Abschnitte auf einem Strahl
Def.: Zwei Figuren (Dreiecke, Vierecke,…,Kreise,…) sind ähnlich, wenn sie
durch Hintereinanderausführung einer zentrischen Streckung und einer
Kongruenzabbildung aufeinander abgebildet werden können.
WW-Satz: Dreiecke sind ähnlich, wenn sie in zwei ( damit automatisch in
drei) Winkeln übereinstimmen
S:S:S-Satz: Dreiecke sind ähnlich, wenn sie im Verhältnis ihrer Seiten
übereinstimmen
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Uschi Blumberg