Satz des Pythagoras

Grundwissen 9. Klasse
Themen
Eigenschaften/ Besonderheiten/ Erläuterungen/ Beispiele
Erweiterung des
Zahlenbereichs
Bisher bekannte Zahlenmengen: IN, Z, ℚ.
p
mit p ∊ Z und q ∊IN. Zahlen,
q
Jedes Element a aus ℚ ist darstellbar durch a =
die nicht als Bruch darstellbar sind, heißen irrational. Rationale und irrationale
Zahlen bilden zusammen die Menge IR der reellen Zahlen
Quadratwurzeln
Für a > 0 ist a diejenige nicht negative Zahl, deren Quadrat a ergibt. Die Zahl
unter der Wurzel heißt Radikand.
25  5 denn 5 2  25
Rechnen mit
Quadratwurzeln
Für a, b  0 gilt:
a  b  a b
a
b

a
b
(bIR+)
Die üblichen Rechengesetze gelten unverändert.
a
Rationalmachen des Nenners:
b

a b
b b

a b
b
Teilweise radizieren: a 3  a a
Beispiel:
Wurzelgleichungen
8 2 2
Beachte: 9  4  9  4 !!!!
Lösungsverfahren: Isoliere den Wurzelterm auf einer Seite der Gleichung,
quadriere beide Seiten der Gleichung und löse dann die wurzelfreie Gleichung
Beispiel: 2 x  3  5 |2
D = [1,5; [ !
2x – 3 = 25
x = 14
L = {14}
Allgemeine Wurzeln
2  14  3  5
25  5
richtig!!
Für a > 0 ist n a diejenige nicht negative Zahl, deren n-te Potenz a ergibt. Die
Zahl a unter der Wurzel heißt Radikand, n ist der Wurzelexponent
(nIN; n > 2 ).
3
Beispiele:
Workshop Mathematik 2007
Probe:
27  3 33  3;
4
32  4 2 5  2 4 2 ;
Beachte : 2 4 2  2  4 2 im Gegensatz zu 2
3
3
2
4
4
Uschi Blumberg/ Manfred Kühnel/ Wally Stark-Zeller
a x  a z  a x z
ax
a x : a z  z  a x z
a
Potenzen/
Potenzgesetze
2 3 : 2 5  2 3 5  2  2
a 
x z
2 
2 3
 a x z
a x  b x  ab 
Potenzen mit rationalen
Exponenten
 2 23  26
2 3  5 3  2  5  10 3
x
3
ax  a 
a :b  x   
b
b
x
Beispiele : 2 5 : 2 3  2 53  2 2
x
 2
2 : 5  2 : 5   
5
x
3
1
3
3
3
1
an  n a
1
ap  p
a
Beispiel : 8 3  3 8  2
1
Beispiel : 8 3  3
8
p
5
an  n ap
Rechtwinkliges Dreieck
Beispiel : 8 3  3 8 5  8 3 8 2
C
a
b
A
B
c
AB und AC  sind die Katheten des rechtwinkl igen Dreiecks; sie
schließen den rechten Wi nkel ein. BC  ist die Hypotenuse ; sie liegt
dem rechten Wi nkel gegenüber.
Kathetensatz
Höhensatz
Satz des Pythagoras
Kathetensatz
Die Fläche des Quadrates über einer Kathete ist gleich der Fläche des anliegenden
Hypotenusenrechtecks.
C
b
hc
A
q
c
a2  c  p
a
p
und
b2  c  q
Höhensatz
B
Die Fläche des Quadrates über der Höhe ist gleich der Fläche des Rechtecks aus
den beiden Hypotenusenabschnitten.
h2  p  q
Satz des Pythagoras
Die Summe der Fläche der beiden Kathetenquadrate ist gleich der Fläche des
Hypotenusenquadrats.
c 2  a2  b2
Workshop Mathematik 2007
Uschi Blumberg/ Manfred Kühnel/ Wally Stark-Zeller
Berechnung fehlender
Größen am
rechtwinkligen Dreieck
b 2  c  q  b  7  4  2 7 [cm]
C
b
A
q
c 2  a 2  b 2  a  49  28  21 [cm]
c  p  q  p  7  4  3 [cm]
a
c
Beispiel: c = 7 cm, q = 0,04m
p
B
Satz und Kehrsatz
Vertauscht man Voraussetzung und Behauptung eines Satzes, so erhält man seinen
Kehrsatz
Wenn in einem Dreieck das Quadrat einer Seitenlänge gleich der Summe der
Quadrate der beiden anderen Seitenlängen ist, dann ist das Dreieck rechtwinklig.
Beispiel: c = 5 cm, a = 3 cm, b = 4 cm
5 2  32  4 2
25  9  16
Produkte von Summen
- Binomische Formeln
 das Dreieck ist rechtwinklig
a  b c  d   ac  ad  bc  bd
a  b c  d   ac  ad  bc  bd
Beispiel : 3  x  y  4   3 y  12  xy  4 x
Beispiel : 3  x  y  4   3 y  12  xy  4 x
1.Binomische Formel
a  b a  b   a  b 2  a 2  2ab  b 2
Beispiel : 3  x   9  6 x  x 2
2
2.Binomische Formel
a  b a  b   a  b 2  a 2  2ab  b 2
Beispiel : 3  x   9  6 x  x 2
2
3.Binomische Formel
a  b a  b   a 2
b2
Beispiel : 3  x 3  x   9  x 2
Lineare und quadratische Lineare Funktionen: y= f(x) = ax + b
Funktion /
y  f ( x)  2 x  3 Gerade mit Steigung m = 2 und um 3 Einheiten in y-Richtung
Graphen quadratischer
verschoben
Funktionen
Quadratische Funktionen:
y = f ( x )  ax 2  bx  c , D f  IR
Parabel mit Scheitelpunkt und maximal zwei Nullstellen
Scheitel
Für a =1 ist es die Normalparabel, für a < 0 ist die Parabel nach unten geöffnet.
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Quadratische Gleichung/
Allgemeine
Lösungsformel für
quadratische
Gleichungen
ax 2  bx  c  0,
a0
Lösungsformel (" Mitternachtsformel " )
x1, 2 
 b  b 2  4ac
2a
Der Term unter der Wurzel ist die Diskriminante D und diese bestimmt die Anzahl
der Lösungen: D = b² - 4ac
D < 0 : keine Lösung
D = 0: eine Lösung
D > 0: zwei Lösungen
Netz, Oberflächeninhalt
und Volumen des
geraden Prismas
Rechteck
Ein gerades Prisma ist ein geometrischer Körper, der von zwei in parallelen Ebenen
liegenden kongruenten n-Ecken als Grund –und Deckfläche sowie von n zu Grund- und
Deckfläche senkrechten Rechtecken als Seitenflächen begrenzt wird.
V Pr isma G  hKörper
OPr isma  2  G  M
M ist die Mantelfläche und besteht aus der entsprechenden Anzahl von
Rechtecken.
6-Eck
Netz, Oberflächeninhalt
und Volumen des
geraden Zylinders
VZy linder  G  h
G ist eine Kreisfläche : A Kreis  π  r 2
OZy linder  2G  M  2π r 2  2π  rh
Der Mantel ist abgewickelt ein Rechteck mit der Länge 2r(=Umfang des Kreises)
und der Breite h (Körperhöhe).
Höhe
Netz, Oberflächeninhalt
und Volumen einer Pyramide
Dreieck
Eine Pyramide ist ein geometrischer Körper, mit einem n-Eck als Grundfläche,
dessen Seitenflächen Dreiecke sind, die alle einen Punkt gemeinsam haben, die
Spitze der Pyramide. Die Dreiecke bilden die Mantelfläche. Der Abstand der
Spitze von der Grundfläche heißt Höhe.
1
V Pyramide  G  hPyramide
3
n-Eck
O Py ramide  Grundfläche + Außenflächen
Netz, Oberflächeninhalt
und Volumen eines
Kegels
m
Ein gerader Kreiskegel ist ein geometrischer Körper, der durch die Rotation eines
rechtwinkligen Dreiecks um eine Kathete entsteht.
VKegel 
1
Gh
3
OKegel    r 2    r  m
Kreisfläche
mit m  r 2  h 2
Kreissektor
[m ist die Mantellinie]
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Trigonometrie
In einem rechtwinkligen Dreieck heißt die einem spitzen Winkel
gegenüberliegende Kathete Gegenkathete, die dem Winkel anliegende Kathete
Ankathete. Jedem spitzen Winkel im rechtwinkligen Dreieck wird ein
Seitenverhältnis zugeordnet.
C
Ankathete
Gegenkathete

A
Hypotenuse
B
tan  
Zufallsexperimente
-Baumdiagramm
- 1. Pfadregel
- 2. Pfadregel
Komplementbeziehungen:
sin  = cos (90° - )
Gegenkathete
sin  
Hypotenuse
Ankathete
cos  
Hypotenuse
cos  = sin ( 90° - )
Trigonometrischer
Trigo
Pythagoras:
Gegenkathete
Ankathete
(cos )2 + (sin )2 = 1
Zufallsexperimente, bei denen mehrere Teilexperimente nacheinander ausgeführt
werden, bezeichnet man als zusammengesetzte Zufallsexperimente oder auch als
mehrstufige Zufallsexperimente. Beispiel: mehrmaliges Ziehen aus einer Urne,
Werfen zweier Würfel,…
Die einzelnen Ergebnisse kann man in einem Baumdiagramm darstellen: 2maliges Ziehen ohne Zurücklegen:
4
9
r
5
10
r
b
3
9
2
9
5r,3b,2g
3
10
r
5
9
b
2
9
2
9
2
10

5 3
10 9
g
Urne:
b
g
5
9
g
r
b
3
9
1
9
 94
5
10
g
5
10
 92
3
10
 95
3
10
 92
3
10
 92
2
10
 95
2
10
2
10
 93
 19
1. Pfadregel
Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses ist gleich dem Produkt der
Wahrscheinlichkeiten auf dem Pfad, der zu dem Ergebnis führt.
Beispiel: Die 1. Kugel ist rot und die 2.Kugel ist blau.
P({rb})  105  93  15
1
90 6
2.Pfadregel
Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses ist gleich der Summe der
Pfadwahrscheinlichkeiten, die zu diesem Ereignis führen.
Beispiel: Eine Kugel ist rot und eine Kugel ist grün
Prg , gr  105  92  102  95  19  19 
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2
9
Uschi Blumberg/ Manfred Kühnel/ Wally Stark-Zeller
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