98 Berechnungen im rechtwinkligen Dreieck: Kosinus 1

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Berechnungen im rechtwinkligen Dreieck: Kosinus
1
Berechne die fehlende Seienlänge in einem rechtwinkligen Dreieck ABC.
a) c = 14,3 m; a = 34°; g = 90°; b = ■
b) c = 12,6 cm; b = 42°; g = 90°; a = ■
c) a = 24,8 m; b = 26°; g = 90°; c = ■
d) c = 15,6 m; b = 54°; a = 90°; a = ■
e) a = 34,3 cm; b = 72°; a = 90°; c = ■
f) b = 16,5 m; g = 82,5°; a = 90°; a = ■
g) c = 36,8 cm; a = 51,4°; b = 90°; b = ■
h) b = 14,5 dm; a = 18,6°; b = 90°; c = ■
i) a = 64,2 cm; g = 83,5°; b = 90°; b = ■
k) b = 12,3 m; a = 47,4°; g = 90°; c = ■
l) a = 8,8 dm; g = 17,6°; a = 90°; b = ■
m) b = 2,5 m; g = 28,4°; b = 90°; a = ■
Gegeben: c = 9,2 cm; a = 28°;
g = 90°
Gesucht: b
C
·
Planfigur
b
a
28°
c=9,2cm
A
β
B
cos a = bc
| ·c
b = c · cos a
b = 9,2 · cos 28°
Tastenfolge: 9.2 x cos 28 =
Anzeige:
8.123117854
b ≈ 8,1 cm
2 So kannst du in einem rechtwinkligen Dreieck ABC (a = 90°) aus a = 5,2 cm und
c = 4,3 cm die Seitenlänge b sowie die Größe der Winkel b und g berechnen:
1. Fertige eine Planfigur an.
2. Berechne die Größe des Winkels b.
cos b = ca
C
γ
b
A ·
cos b = 4,3
5,2
a =5,2 cm
Tastenfolge: 4.3 : 5.2 = cos–1 =
Anzeige:
34.21605113
β
c =4,3 cm
b ≈ 34,2°
B
3. Berechne die Größe des Winkels g.
4. Berechne die Länge der Seite b.
sin b = ba
a + b + g = 180°
g = 180° – a – b
g = 180° – 90° – 34,2°
g = 55,8°
|·a
b = a · sin b
b = 5,2 · sin 34,2°
b ≈ 2,9 cm
Die dargestellten Lösungsschritte der Beispielaufgabe zeigen dir eine Möglichkeit, die
fehlenden Größen b, b und g zu berechnen. Finde einen weiteren Lösungsweg.
3 Bestimme die fehlenden Stücke in einem
rechtwinkligen Dreieck ABC. Es gibt
mehrere Lösungswege.
a
b
c
a
b
g
a)
14 cm
b)
c)
d)
■
■
■
■ 0,8 m 4,7 dm ■
6,8 cm 0,3 m ■ 4,8 cm
90°
■
18,6° 90°
■
90°
■
52,6°
■
■
90°
■
e)
2,4 m
3,6 m
■
■
90°
■
Tangens eines Winkels
99
Höhenunterschied h
1
Steigungswinkel α
Der Wagen schafft
im 2. Gang eine
Steigung bis zu 28 %.
·
horizontale Entfernung s
20
%
Die Steigung einer Straße wird häufig in
h = 20 m
α
Prozent angegeben. Bei einer Steigung
·
·
·
von 20 % überwindet die Straße auf einer
s = 100 m
horizontal gemessenen Entfernung s von
s = 150 m
100 m einen Höhenunterschied h von 20 m.
a) Die horizontale Entfernung s beträgt
s = 200 m
150m (200m). Wie groß ist der Höhenunterschied h?
h
b) Berechne das Längenverhältnis s .
c) Bestimme die Größe des Steigungswinkel a. Zeichne dazu ein geeignetes rechtwinkliges Dreieck.
2 a) Zeige, dass in den rechtwinkligen Dreiecken AB1C1, AB2C2 und AB3C3 gilt:
a1
b1
=
a2
b2
=
a3
b3
C2
b3
Gegenkathete a
Ankathete b
·
C1
b2
b) Begründe, dass in allen rechtwinkligen
Dreiecken ABC (g = 90°) mit gleich
großem Winkel a der Quotient
·
b1
C3
·
a3
a2
a1
α
B1
A
B2
B3
denselben Wert hat.
In einem rechtwinkligen Dreieck heißt der Quotient aus der Länge der Gegenkathete eines Winkels und der Länge der Ankathete des Winkels Tangens (tan) des Winkels. Sein Wert hängt nur von der Größe des Winkels ab.
C
·
Ankathete von α
b
A
Gegenkathete
von α
a
β
α
c
Gegenkathete von a
tan a = Ankathete von a
B
tan a = ba
Gegenkathete
von β
b
A
tan b =
C
·
Ankathete von β
a
β
α
c
Gegenkathete von b
Ankathete von b
B
tan b = ba