Übung zu trigonometrischen Funktion

Übung zu trigonometrischen Funktion
 3 3 
3. Gegeben ist die Funktion f ( x)  0,5 x  cos( x) für x    ;   .
 2 2 
a) Untersuche den Graphen auf Symmetrie und Schnittpunkte mit den
Koordinatenachsen.
Lösung:
Achsensymmetrie: f(x)=f(-x)
Punktsymmetrie: f(x)=-f(x)
f ( x)  0,5 x  cos(  x)  0,5  cos( x)   f ( x)  f ( x)
Folglich ist der Graph Punktsymmetrisch.
Nullstellen:
f ( x)  0
0  0,5 x  cos( x)
0  0,5 x  0  cos( x)
x1  0
x 2  2k 

x3  2k 
2

2
Folglich sind im Intervall die Nullstellen:
 3    
    3 
/ 0    / 0  0 / 0  / 0  
/ 0

 2
 2 
2  2

Da der Graph Punksymmetrisch ist, ist der Schnittpunkt mit der Y- Achse bei (0/0).
b) Begründe, dass der Graph zu f im angegebenen Intervall zwei Hoch- und Tiefpunkte
besitzt.
Lösung:
Durch die Berechnung in Punkt a) wird deutlich, dass der Graph im Intervall 5 Nullstellen
hat. Die 5 Nullstellen, deuten darauf, dass zwischen den Nullstellen mindestens ein
3
1
1
Extrempunkt liegt. Also einer zwischen   und   , ein weiterer zwischen   und 0
2
2
2
usw..
1
Man kann zudem sagen, dass zwischen   und 0 ein Tiefpunkt sein muss, da cos(x) bis
2
1
  positiv ist, da der Term allerdings mit x, was in diesem Fall negativ ist, multipliziert
2
wird, ist der Term in diesem Bereich negativ, also ein Minimum, da eine Nullstelle immer
einen Vorzeichenwechsel zur Folge hat, muss man mindestens 2 Hoch- und 2 Tiefpunkte
haben.
 3 3 
c) Zeichne den Graphen zu f im Intervall   ;   .
 2 2 
Lösung:
Bestimmung der Extrempunkte, alle anderen wichtigen Informationen sind gegeben.
f ( x)  0,5  cos( x)  0,5 x  sin( x)
f ( x)  0
0  0,5  (cos( x)  x sin( x))
 cos( x)  x sin( x)
x sin( x)  cos( x)
(vgl. Produktregel)
cos( x)
x
sin( x)
daraus
0  1  x tan( x), da
sin( x)
 tan( x)
cos( x)
Da kein genaues Ergebnis bestimmt werden kann, muss man die Aufgabe numerisch lösen,
was zu folgenden Ergebnissen führt.
H(-3,425618|1,64419)
T(-0,860334|-0,28055)
H(0,860334|0,28055)
T(3,425618|-1,64419)
d) Gegeben sei eine Funktionenschar g t mit g t ( x)  t  cos( x) mit t  R \{0}. Für welche
Werte von t schneiden sich die Graphen von f und g?
Lösung: Der Parameter t verändert lediglich die Amplitude. Beide Funktionen sind mit einem
Produkt von Cosinus ausgestattet, was zur Folge hat, dass beide, auf Cosinus bezogen die
gleichen Nullstellen haben, folglich sind alle Nullstellen gleich, außer 0, welche durch das x
entsteht.
 3 3 
e) Die Graphen schließen im Intervall   ;   drei Flächen ein. Bestimme die
 2 2 
Flächeninhalte in Abhängigkeit von t. Gibt es ein t, sodass die drei Flächen den gleichen
Inhalten haben?
Lösung:
Die Flächen zwischen den Graphen wird gebraucht, folglich bildet man das Integral:
1
 
2
 ( f ( x)  g ( x))dx  2t  
t
3
 
2
1

2
 ( g ( x)  f ( x))dx  2t
t
1
 
2
3

2
 ( f ( x)  g ( x))dx  2t  
t
1

2
Folglich kann t nie so gewählt werden, dass alle Flächen gleich sind, da überall der gleiche
Faktor vor dem T steht, jedoch ein weiterer Term addiert wird.
f) Eine gerade h mit h( x)  m  x berührt den Graphen zu x  0,5  x  cos( x) im ersten
Quadranten im Punkt A. Bestimme die Koordinaten des Punktes.
Lösung:
Wir wählen die beiden Bedingungen f ( x)  h( x) und h( x)  f ( x) . Nun stellen wir beide
nach m um, setzen diese gleich und erhalten xm und dann f ( xm )  ym . Somit haben wir den
Berührungspunkt.
f ( x)  h( x)
h( x )  f ( x )
m  0,5(cos( x)  x  sin( x))
m  x  0,5  x  cos( x)
m  0,5  cos( x)
0,5  cos( x)  0,5(cos( x)  x  sin( x)) Folglich muss die gerade g(x)=0,5x oder g(x)= – 0,5x
sein, was nur logisch erscheint, da die Amplitude
x1  k
durch 0,5x bestimmt wird.
x2  0
g) Eine weitere Gerade, die durch den Ursprung geht, schneidet den Graphen zu f im
ersten Quadranten in den Punkten B und C. Bestimme die Schnittpunkte S1 und S2,
1
sodass gilt 0 S1  0S 2
2
Lösung:
Zunächst bestimmt man die Schnittpunkte, in Abhängigkeit von m, durch Gleichsetzung der
Funktionen:
h( x )  f ( x )
m  x  0,5 x  cos( x)
x1  0
x 2  cos 1 (2m)  2k
x3   cos 1 (2m)  2k
Man stellt fest, dass die Punkte bei konstantem m immer einen Unterschied von 2  haben,
was heißt, dass die Vorraussetzung nur dann erfüllt wäre, wenn ein Faktor, bei k=0,
2  ergeben würde, sodass bei gleichem m, der nächste Schnittpunkt (k=1) bei 4  läge, was
allerdings nicht gehen kann, da die maximale Amplitude von Cosinus bei 1 liegt.
Fazit: es gibt keine Lösung.