Zustandsgleichungen (Equations of State – EOS)

Einiges Wissenswertes über die Dichteabhängigkeit des
Kompressionsmoduls – „Background“ der linearen Elastizitätstheorie
In anisotropen Festkörpern gilt für die mechanische Spannung 

F(Kraft)/A(Fläche)
F = m d2u/dt2
d /dx = F/V = m/V d2u/dt2 = d2u/dt2
(*)
Hookesches Gesetz:  = C  .... Spannung  ist proportional zur Dehnung und
die Proportionalitätskonstante ist die elastische Konstante C. Eigentlich gilt das
Hookesche Gesetz in Tensorform ij = Cijkl kl. Dazu noch später etwas mehr.
mit dem Hookeschen Gesetz und der Dehnung  = du/dx wird aus (*) nun
d/dx (C du/dx) = C d2u/dx2 =  d2u/dt2
mit dem Ansatz für ebene Wellen: u(x,t) = uoei(kx-t)
bekommen wir die Gleichung: - 22 + Ck2 = 0
Wir wissen aber, dass für akustische Phononen gilt  = v k wobei v die
Schallgeschwindigkeit ist. Dann erhalten wir:
-2v2k2 + Ck2=0

C = v2
Die nächsten beiden Abbildungen zeigen das Schwingungsmuster der optischen und
akustischen Phononen eines zweiatomigen Kristalls, sowie die dazugehörigen
Dispersionsrelationen für die optischen und akustischen Schwingungen.
In anisotropen Festkörpern, d.h. zB in Kristallen sind die obigen Gleichungen
tensoriell gemeint, d.h. das Hookesche Gesetz lautet dann:
ij = Cijkl kl
mit kl = ½(duk/dxl + dul/dxk)
damit werden die elastodynamischen Gleichungen zu
dij/dxj = Cijkl d2uk/dxjdxl =  d2ui/dt2
und die Gleichungen für die Schallgeschwindigkeiten lauten:
(-  v2 ik + Cijklejel)uk = 0
Das sind die berühmten Kristoffelgleichungen, die die Schallausbreitung in
anisotropen Medien beschreiben.
In einem elastisch isotropen Material (z.B.Glas oder Aggregat von Kristallen die in
zufälligen Orientierungen angeordnet sind) gibt es 2 elastische Konstanten C 1111 und
C2323
Um die Rechnungen zu vereinfachen geht man oft zur sogenannten Voight-Notation
über:
111 222 333 234 135 126
C1111=C11 beschreibt die Kompressionen und C2323 = C44 die Scherungen. Es gibt
daher in isotropen Materialien 2 Körperwellen die sich mit 2 verschiedenen
Schallgeschwindigkeiten ausbreiten. Das sind die bereits bekannten P-Wellen
(Kompressionswellen) und Scherwellen S-Wellen.
Im allgemeinen Fall hat die Kristoffelgleichung mehrere Lösungen, d.h. es würde für
anisotrope Materialien mehrere longitudinale und transversale
Schallgeschwindigkeiten geben. Genau genommen gibt es für jede
Ausbreitungsrichtung eine longitudinale und 2 transversale Schallwellen.
Im folgenden schauen wir uns kubische Symmetrie genauer an (die meisten
wichtigen Mineralien im tiefen Erdinneren sind kubisch, wie z.B. Spinel, Granat,
Perovskite, etc.).
Oft werden die elastischen Konstanten mit den sogenannten
Lame´-Koeffizienten ,  identifiziert:  = C12 und  = C44 und +2 = C11
Das folgende Diagramm zeigt den Verlauf der Scherelastischen Konstanten  = C44
im Erdinneren:
300
 (GPa)
250
200
150
100
50
0
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
Radius (km)
Der Kompressionsmodul der definiert ist als: K:= - V dP/dV lautet im kubischen
System K = (C11 + 2C12)/3 = (3+ 2)/3
Eine weitere interessante elastische Kenngröße ist das sogenannte PoissonVerhältnis: := -22/11 = -33/11 d.h. eine Verzerrung des Materials unter uniaxialem
Druck 11
das ergibt:  = /2() = (3K-2)/2(3K+)
In manchen Fällen, speziell in der Erdkruste ist
 d.h. C12 = C44 ist die sogenannte Cauchy-Relation   = 0.25
Die nächste Abbildung zeigt den Verlauf von  im Erdinneren
0.50
0.45

0.40
0.35
0.30
0.25
0
1000
2000
3000
4000
Radius (km)
5000
6000
7000
Bemerkung: die Cauchy-Relation ist wie man in der Abbildung sieht im Bereich der
Erdkruste erfüllt.
Für einen inkompressiblen Stoff K=    = 0.5
Dies gilt für den flüssigen Bereich des Kerns und für den Ozean (siehe Abbildung).
 ist eine wichtige Größe in der Geophysik, da man sie als Funktion der seismischen
Geschwindigkeiten vP und vS ausdrücken kann:
vP = (C11/)1/2 = (+ 2/)1/2

vP = vS 31/2 für  = 0.25
vS = (C44/)1/2 = (/)1/2
Diese Verhalten wird tatsächlich in der Erdkruste gefunden.
Bemerkung:
Im Erdinneren hat man oft Aggregate von anisotropen Kristallen, die zufällig orientiert
sind. Der Kompressionsmodul ist per Definition isotrop und daher ist der mittlere
Kompressionsmodul eines Aggregates von anisotropen Kristallen gleich dem
Kompressionsmodul der einzelnen Kristalle.
Bei den Schermodulen ist das schwieriger und das Problem hat keine eindeutige
Lösung. Alles was man weiß, ist das der mittlere Schermodul zwischen 2 Grenzen
liegen muß, d.h. R <  < V
wobei das sogenannte Reuss-Mittel gegeben ist durch: R = 5/(2/c’ + 3/c)
und das Voigt-Mittel durch: V = (2c’ + 3c)/5
mit c=C44 und c’=1/2(C11-C12)
Eine weitere wichtige Kenngröße ist der sogenannte
seismische Parameter 

Die sogenannte „Bulkgeschwindigkeit“ oder hydrodynamische Geschwindigkeit v,
bei der es nur Volumsänderungen gibt ist gegeben durch:
v

In Flüssigkeiten gilt v = vP , da es in Flüssigkeiten ohnehin keine Scherungen gibt
aber in Festkörpern gilt v < vP
Schallgeschwindigkeit versus Dichte
Wie wir oben gesehen haben, ist v
= (K/)1/2
d.h. wenn K konstant wäre, müsste v mit zunehmender Dichte  sinken.
Tut es aber nicht, wie das nächste Bild zeigt, WARUM?
Schallgeschwindigkeit (m/s)
14000
12000
10000
8000
6000
4000
2000
0
0
2000
4000
6000
8000 10000 12000 14000
3
Dichte (kg/m )
Nach etwa 250 Ultraschallmessungen bis 0.1 Gpa hat Birch 1961 gefunden, dass die
Schallgeschwindigkeit von Materialien unter hohem Druck abhängt von der Dichte
und der mittleren atomaren Masse <M> :
Birch fand für den Erdmantel: vp = -1.87 + 3.05 
und im allgemeinen gilt:
vp =a(<M>) + b “Birch-Gesetz“
wobei a(<M>)~1/<M>1/2
die mittlere atomare Masse
<M> = Summe der Atommassen in der Formeleinheit / Zahl der Atome in der
Formeleinheit
z.B. Mg2SiO4 (Olivin)
<M> = (2x24.3+28.3+4x16)/7 = 20.13 g
Die meisten dichtgepackten Manteloxide und Silikate haben <M>~20 g
(z.B. MgSiO3 20.12, und MoO 20.15)
Für den Erdmantel gilt <M>~20.1 g und für den Kern <M>~49.3 g.
In den meisten Fällen bedeutet eine Zunahme in <M>, dass Mg  Fe ersetzt.
Eine kleine Plausibilitätsbetrachtung zeigt, warum a(<M>)~1/<M>1/2
Betrachten wir ein einfaches Federmodell eines Festkörpers:
Dann sind die akustischen Schwingungen gegeben durch die Schwingungsfrequenz
= (k/m)1/2
mit k = Federkonstante und m die Atommasse
da = v q  v = 1/q (k/m)1/2
damit kann man also die Wurzelabhängigkeit von der mittleren Masse gut verstehen.
Die nächste Abbildung zeigt wie gut dieses Wurzelgesetz auch für die
hydrodynamische Schallgeschwindigkeit v erfüllt ist.
Die nächste Abbildung zeigt die Dichteabhängigkeit der Schallgeschwindigkeit für
Mineralien verschiedener Dichte.
Auch dieses Gesetz ist experimentell sehr gut verifiziert.
Im folgenden Abschnitt wollen wir uns mit den sogenannten Zustandsgleichungen
beschäftigen, d.h. mit dem Zusammenhang zwischen P, V und T eines Materials.