Integralrechnung

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Mai 16
Unbestimmtes Integral
Kann man Differenzieren rückgängig machen?
Der Differentialquotient ist ein Operator auf der
Menge der differenzierbaren Funktionen, d.h.
durch das Differenzieren einer geeigneten Funktion entsteht eine andere Funktion.
Diese Funktion gibt bekanntlich die momentanen
Änderungsraten der Originalfunktion an!
Die Umkehrung dieser Operation nennt man
„Integrieren“.
Integrieren heißt also, aus den bekannten Änderungsraten den momentanen Wert bestimmen
(das ist natürlich nicht eindeutig möglich!)
Das Ergebnis dieser Integration ist die sogenannte Stammfunktion.
Integrieren ist also das Aufsuchen von Stammfunktionen.
Was ist eine Stammfunktion?
Definition:
F heißt Stammfunktion von f, wenn die Ableitung von F die Funktion f ergibt.
F(x) und f(x) sind reelle Funktionen
F(x) ist Stammfunktion von f(x)  F(x) ist differenzierbar und
Error! = f(x)
Ist die Stammfunktion eindeutig?
Was ist das unbestimmte Integral?
Die Stammfunktion ist nur bis auf eine additive Konstante bestimmt. Diese Konstante heißt Integrationskonstante.
Definition:
Die Menge aller Stammfunktionen heißt unbestimmtes Integral.
Error! = Error!
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Wie integriert man die klassischen Funktionen?
Error! = kx + C
Error! = Error! + C
für n  R \ {–1}
Error! = ln  x  + C
Error! = ex + C
Error! = – cos(x) + C
Error! = sin(x) + C
Error! = Error! = tan(x) + C
Ist das Integral ein linearer Operator?
Was heißt das?
Das Integral ist wie der Differentialoperator linear, d.h.
Error! = Error!
und
Error! = a Error!
Addition und Integration sind in der Reihefolge vertauschbar
Konstante Faktoren können herausgehoben werden.
Beispiel 1:
Error! =
Beispiel 2:
Error! =
Beispiel 3:
Error! = Error! =
Beispiel 4:
Error! =
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Beispiel 5:
Error! =
Wie löst man Integrale mittels Substitution?
Man ersetzt einen Term im Integranden durch eine
neue Variable (u). Der Differentialoperator dx ist aber
auch zu ersetzen und zwar:
Error! = Error! = Error!
Beispiel 6:
Error! =
Beispiel 7:
Error! =
Was ist partielle Integration?
Die Umkehrung der Produktregel führt zur Methode der
partiellen Integration:
Error! = uv – Error!
Beispiel 8:
Error! = *
Beispiel 9:
Error! =
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Wie integriert man Bruchterme?
Abgesehen von Spezialfällen:
man kann Dividieren oder Kürzen
man kommt mit einer Substitution zum Ziel
gibt es zwei Fälle:
der Integrand ist ein echter Bruch, d.h. der Grad des
Zählers ist kleiner als der Grad des Nenners.
In diesem Fall führt man eine Partialbruchzerlegung
durch (die Umkehrung der Addition von Brüchen)
der Integrand ist kein echter Bruch, d. h. der Grad
des Zählers ist zumindest gleich groß oder größer als
der Grad des Nenners.
In diesem Fall muss durch Polynomdivision erst die Aufspaltung des Bruches in einen ganzrationalen Teil
und in einen echten Bruch durchgeführt werden.
Beispiel 10:
Error! = *
Wie macht man eine Partialbruchzerlegung?
Ist der Integrand ein Bruch Error!mit Grad von z <
Grad von n (andernfalls wird eine Polynomdivision so
lange ausgeführt bis diese Darstellung erreicht ist), und
sind xi die Nullstellen von n(x) (mit der algebraischen
Vielfachheit ki), dann läßt sich
r
z( x )
n
x  x 
ki
ki
 
j1 m 1
i
Aj
 x  xi  m
i 1
darstellen, d.h. als Summe von Brüchen mit den Nennern (x – xi )m, wobei m von 1 bis zur algebraischen
Vielfachheit der entsprechenden Nullstelle zu wählen
ist.
Die Koeffizienten Aj ermittelt man durch Koeffizientenvergleich oder Einsetzen der Nullstellen in die Gleichung, die durch Wegmultiplizieren der Nenner entsteht.
Beispiel 11:
Error! = *
Beispiel 12:
Error! = *
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Lösungen
Beispiel 1:
Error! =
Error! + 2 cos(x) + 10ex + C
Beispiel 2:
Error! =
Error! = Error!
Beispiel 3:
Error! = Error! = Error!+ C = C – Error!
Beispiel 4:
Error! = Error! = Error!+ C
Beispiel 5:
Error! =
Error! = Error! + C = 3 Error! + C
Beispiel 6:
Error! = Error!= Error! =
Beispiel 7:
Error! =
Error! + C = Error! + C
Error! = Error! = Error! = Error! + C = Error! + C
Beispiel 8:
Error! = *
u’ = 3
v = Error!
u = 3x
v’ = cos(2x)
* = 3x Error! – Error! = 3x Error! + Error! + C
Beispiel 9:
Error! =
x2 Error! – Error! = Error! + Error! = Error! + x Error! – Error! =
Error! + x Error! – Error! + C = C – Error!
Beispiel 10:
Error! = *
(4x2 + 6x – 10) : (x + 2) = 4x – 2 Rest –6
* = Error!dx = 2x2 – 2x – 6 ln(x + 2) + C
Beispiel 11:
Error! = *
Nullsetzen des Nenners ergibt x1 = 3 und x2 = 5, daher kann man den Nenner in 2(x – 3)(x + 5) zerlegen.
daher Ansatz:
Error! = Error! + Error!
11 = 8A und –29 = –16B
* = Error! =

5x – 4 = A(x + 5) + 2 B (x – 3) Einsetzen von x = 3 und x = –5 liefert:
 A = Error! und B = Error!
Error! + C = ln Error!
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Beispiel 12:
Error! = *
Der Grad des Zählers des Integranden ist gleich groß wie der des Nenners (nämlich 3). Es muß also zuerst
dividiert werden:
(x3 + 10) : ( – x3 + 5x2) = – 1
– x3 + 5 x2
5 x2 + 10
Error! = – 1 + Error!
Ansatz für die Partialbruchzerlegung:
Error! =
Error! + Error! + Error!
5x2 +10
=
A (5 – x) + B x (5 – x) + C x2
Einsetzen beliebiger Werte (z.Bsp. Nullstellen der Nenner) liefert:
x = 0:
10 = 5 A
 A=2
x=5
135 = 25 C
 C = Error!
x=1
15 = 4 A + 4 B + C
 4 B = Error!  B =
Error!
daher
Error! = Error!= – x – Error! + Error! + C = – x – Error!+ ln Error!+ C = – x – Error!+ ln Error!
+C
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