Lineare Funktionen aus gegebenen Bedingungen

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15.05.2016
Lineare Funktionen aus gegebenen Bedingungen
Fall I: Eine Gerade mit der Steigung a1 verläuft durch den Punkt P1( x1 | y1 ).
Gesucht ist die Funktionsgleichung.
Beispiel
Steigung: a1  1,5 Punkt: P1  2 | 3 
y
Ausgangsgleichung:
f  x   a1x  a 0
9
Steigung einsetzen:
f  x   1, 5  x  a 0
8
Der Wert für a0 ist zu berechnen.
Punktprobe für: P1  2 | 3 
f  2   3  1, 5   2   a0

3  a0

a0
f  x
7
6

3
 3|  3

5
4
P1  2 | 3 
3
6
2
Funktionsgleichung: f  x   1, 5  x  6
1
Probe:
5
P1  2 | 3   f  2   3
4
3
2
1
0 1
2
x
1
f  2   1,5   2   6  3  6  3
Beispiel
Der Abbau eines bestimmten Dopingmittels erfolgt linear mit 2,35 mg/h.
Zwei Stunden nach Einnahme werden bei einem Sportler noch 4,60 mg
nachgewiesen.
a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung.
b) Wie viel mg des Mittels hatte der Sportler 2 Stunden vorher eingenommen?
Lösung
a) Aufstellen der Funktionsgleichung:
Die Variablen:
x bedeutet Zeit in Stunden
y  f  x  bedeutet Konzentration in mg.
f  x   a1x  a0 Allgemeine Form der Geradengleichung
Abbau 2,35 mg/h ist die Änderungsrate (Steigung, negativ)  a1  2,35
f  x   2,35x  a0
Nach 2 Stunden 4,6 mg bedeutet P  2 | 4,6 
P  2 | 4,6  : f  2   4,6  2,35  2  a0  4,6
 4,7  a0  4,6|  4,7
 a0  9,3
 f  x   2,35  x  9,3
b) Der Einnahmezeitpunkt ist x  0  f  0   2,35  0  9,3  9,3
Der Sportler nahm 9,3 mg des Dopingmittels ein.
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Wenn wie im Fall I die Steigung und ein Punkt einer Geraden bekannt ist, erfolgt die
Rechnung immer in der gleichen Weise mit den vorgegebenen Daten.
In einem solchen Fall kann man die Rechnung allgemein durchgeführt werden.
Das führt dann zu einer Formel.
Eine Gerade mit der Steigung a1 verläuft durch den Punkt P1( x1 | y1 ).
Die Allgemeine Form der Geradengleichung lautet: f  x   a1x  a0
P1  x1 | y1   f  x1   y1  a1  x1  a0  y1 | a1  x1  a0  y1  a1  x1
 f  x   a1  x  y1  a1  x1  a1  x  a1  x1  y1  a1  x  x1   y1
f  x   a1  x  x1   y1
heißt auch Punkt- Steigungsform der Geradengleichung.
Beispiel
a1  2 ; P1  3 | 4  eingesetzt in f  x   a1  x  x1   y1 :
f  x   2  x   3    4  2  x  3   4  2x  6  4  2x  2
Fall II: Zwei Punkte P1( x1 | y1 ) und P2( x2 | y2 ) liegen auf einer Geraden.
Gesucht ist die Funktionsgleichung.
Beispiel
P1  3 | 1
P2  4 | 6 
Ausgangsgleichung:
y
f  x   a1x  a 0
7
Bestimmung der Steigung:
a1 
6
y 2  y1 6   1 6  1 7


 1
x 2  x1 4   3  4  3 7
Steigung einsetzen:
P2  4 | 6 
5
f  x
4
3
f  x   1 x  a 0
2
Nachdem die Steigung bekannt ist,
wird die Aufgabe gelöst wie unter Fall
I beschrieben.
Für die Punktprobe ist es egal,
welcher Punkt dazu verwendet wird,
denn beide Punkte sollen ja auf der
Geraden liegen.
1
4
3
2
1 0 1
1
P1  3 | 1 2
3
2
3
4
5 x
Punktprobe für: P2  4 | 6  oder für P1
P2  4 | 6   f  4   6  1 4  a0  6 | 4  a0  2  f  x   x  2
Beispiel
In Europa misst man die Temperatur in 0C, in den USA in 0F.
Zwischen beiden besteht eine lineare Beziehung.
100 0C entsprechen 212 0F, 0 0C entsprechen 32 0F.
Gesucht ist eine Funktionsgleichung, für die Umrechnung von 0C in 0F.
Unabhängige Variable x in 0C, abhängige Variable y = f(x) in 0F.
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0 0C 32 0F  P1  0 | 32  100 0C 212 0F  P2 100 | 212  f  x   a1x  a 0
Steigung : a1 
y 2  y1 212  32 180 9
9


  f  x   x  a0
x 2  x1 100  0 100 5
5
P1  0 | 32   f  0   32 
9
 0  a0  32  a0  32
5
9
x  32 Umrechnungsfunktion x in 0C einsetzen Ergebnis ist 0F
5
9
z. B. x  20 0C :f  20    20  32  68  20 0C 68 0F
5
 f x 
Auch für Fall II kann die Rechnung allgemein durchgeführt werden:
Zwei Punkte P1( x1 | y1 ) und P2( x2 | y2 ) liegen auf einer Geraden.
Die Allgemeine Form der Geradengleichung lautet: f  x   a1x  a0
y  y1
y  y1
Steigung: a1  2
 f x  2
 x  a0
x 2  x1
x 2  x1
P1  x x | y1   f  x1   y1 
 f x 
y 2  y1
y  y1
y  y1
 x1  a0  y1 |  2
 x1  a 0  y 1  2
 x1
x 2  x1
x 2  x1
x 2  x1
y 2  y1
y  y1
y  y1
y  y1
y  y1
 x  y1  2
 x1  2
x 2
 x1  y1  2
 x  x1   y1
x 2  x1
x 2  x1
x 2  x1
x 2  x1
x 2  x1
y2  y1
 x  x1   y1
x2  x1
ist die allgemeine Form der Geradengleichung durch zwei Punkte.
In der Literatur erscheint sie in der Form:
y  y1 y2  y1

; x1  x2 wobei y  f  x  gilt.
x  x1 x2  x1
Für den praktischen Gebrauch eignet sich die Form:
y  y1
f x  2
 x  x1   y1
x2  x1
f x 
Beispiel
y 2  y1
 x  x1   y1 :
x 2  x1
2   1
2 1
3
3
6 5
f x 
 x  2    1 
 x  2  1    x  2  1   x  
3  2
5
5
5
5 5
3
1
3
1
  x   f x   x 
5
5
5
5
P1  2 | 1 ; P2  3 | 2  eingesetzt in f  x  
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U1 Stellen Sie eine Funktionsgleichung für die Umrechnung von 0F in 0C auf.
Die Umrechnung von 0C in 0F bedeutet für die Variablen:
x in 0F ist die unabhängige Variable und y = f(x) in 0C ist die abhängige Variable.
32 0F 0 0C  P1  32 | 0  und 212 0F 100 0C  P1  212 | 100 
Da zwischen den Temperaturskalen eine lineare Beziehung besteht, liegen die
Punkte P1 und P2 auf einer Geraden.
Die allgemeine Form der Geradengleichung lautet: f(x) = a1x + a0
Zu bestimmen sind die Koeffizienten a1 und a0.
Steigung: a1 
y 2  y1 100  0 100 10 5
5



  f  x   x  a0
x 2  x1 212  32 180 18 9
9
Punktprobe mit P1  32 | 0 
5
160
160
160
 32  a0  0 
 a0  0 | 
 a0  
9
8
9
9
5
160 5
 f x  f x  x 
  x  32 
9
9
9
5
Für die Umrechnung von 0F in 0C gilt: f  x    x  32 
x in 0F und f  x  in 0C
9
 f  32   0 
Training :LINFKT_02
Eine Gerade hat die Steigung a1 und verläuft durch den Punkt P.
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung f(x), die Achsenschnittpunkte und zeichnen
Sie den Graphen.
1
3
P  2 | 2
P  1| 3 
1.) a1 
2.) a1 
2
4
4
3 
P | 4
P  3 | 1
3.) a1  2
4.) a1 
5
2 
Eine Gerade verläuft durch die Punkte P1 und P2.
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung f(x), die Achsenschnittpunkte und zeichnen
Sie den Graphen.
P2  5 | 4
P2  2 | 3
5.) P1  2 | 1
6.) P1  3 | 2
7.) P1  2 | 3
9

9.) P1  3 | 
2

P2  4 | 1
P2  4 | 1
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8.)
P1  4 | 1
10.) P1  4 | 2 
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P2 3 | 1
7 
P2  | 4 
2 
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Sonderfälle von Geradengleichungen
Parallele zur x- Achse:
f  x   a0 ; a0 
ist eine ganzrationale Funktion 0.
Grades und wird auch als konstante
Funktion bezeichnet.
y
3
f x  2
2
1
Die x- Achse ist ebenfalls eine
konstante Funktion mit der
Funktionsgleichung f(x) = 0
2
1
0
2 x
1
Die Steigung einer Konstanten
Funktion ist stets Null.
y
Parallele zur y- Achse:
x  a;a
Die Gerade verläuft parallel zur
y- Achse.
Sie kann nicht durch eine
Funktionsgleichung beschrieben
werden, da es keine eindeutige
Zuordnung gibt.
2
x=2
1
1
2
x
3
x = 0 ist die Gleichung der y- Achse.
Beispiel
Gegeben ist f(x) = 2,5 und eine Parallele zur y- Achse im Abstand a mit a > 0.
Eine Ursprungsgerade g geht durch den Punkt P( a | f(x) ). Sie bildet mit der xAchse und der Parallelen zur y- Achse ein Dreieck.
Bestimmen Sie a so, dass der Flächeninhalt des Dreiecks 4 Flächeneinheiten (FE)
beträgt. Wie lautet für diesen Fall die Funktionsgleichung g(x)?
y
3
gh
mit g  a und h  f  x   2,5
2
2,5  a 5
A
 a Dreiecksfläche
2
4
5
4
16
A  4  a  4|  a 
4
5
5
g  x   a1x (a0  0 da Ursprungsgerade)
A
xa
gx
f  x   2,5
2
1
A
1
Aus dem Steigungsdreieck: a1 
2
3
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x
Funktionsgleichung: g  x  
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5 16 25
:

2 5
32
25
x
32
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