Skript

5. Vorlesung (PC I, WS 2002/03)
Inhalt:
-
Modell des idealen Gases
Kinetische Gastheorie (Modell des idealen Gases)
Vorbetrachtung nach Boltzmann zur Maxwell'schen Geschwindigkeitsverteilung
I. Modell des idealen Gases:
Eines der Hauptanliegen der physikalischen Chemie ist die Beschreibung von Materie, ihrer Eigenschaften wie
Aggregatzustände oder enthaltene Energie und die Abhängigkeiten dieser Eigenschaften untereinander. Eine der
ersten und auch einfachsten Herangehensweisen an dieses Problem ist das Modell des idealen Gases. Dieses
Modell stellt folgende Bedingungen an die zu beschreibende Materie bzw. trifft die folgenden Näherungen:
-
Ein ideales Gas besteht aus Teilchen, die keinerlei Wechselwirkungen miteinander eingehen
Die Teilchen des idealen Gases haben kein Volumen
Bei dem Konzept des idealen Gases ist zu berücksichtigen, dass wegen der fehlenden Wechselwirkung keine
Kondensation auftritt, was einer von vielen Schwachpunkten dieses Modells ist, jedoch wird es wegen seiner
Einfachheit oft verwendet. Die Gasgesetze, auf denen das Konzept des idealen Gases beruht, lassen sich zur
sogenannten „idealen Gasgleichung“ zusammenfassen, die lautet :
PV  nRT
P: Druck des Gases
V: Volumen des Gases
n: Stoffmenge in mol
R: Universelle Gaskonstante
T: Temperatur in K
II. Kinetische Gastheorie:
Wie oben zu sehen ist, betrachtet die ideale Gasgleichung nur makroskopische Größen, geht aber nicht auf
mikroskopische Zusammenhänge ein. Nun betrachten wir, wie ausgehend von dem atomaren Konzept der
Materie trotzdem das makroskopische Verhalten eines idealen Gases erklärt werden kann.
Stellen wir uns vor, wir hätten einen Würfel, gefüllt mit idealem Gas. Als Erstes betrachten wir die Stoffmenge
des idealen Gases n . Unter Zuhilfenahme der Avogadro´schen Zahl NA= 6.022  10
23
sind wir in der Lage, die
Anzahl der Atome nach der Beziehung N  n  N A zu berechnen. Um dem Verhalten eines idealen Gases
gerecht zu werden, müssen wir folgende im ersten Abschnitt eingeführte Modellannahmen bedenken:
-
keine Wechselwirkung zwischen den Molekülen
die Ausdehnung der Atome ist null
Als nächstes werden wir ausgehend von der Bewegung der Atome den Druck berechnen, den diese das Gas auf
die Gefäßwand ausüben. Hierzu machen wir folgende Überlegung:
y-Richtung
Fläche A
vx
Moleküle reflektieren bei ihrer
Bewegung durch den Raum an
der Wand, dies führt zu einer
Kraft auf die Wand:
vy
v
-vx
Druck P 
vy
Kraft F
Fläche A
x-Richtung
Daraus ergibt sich nun die Frage: Welche Kraft üben die Moleküle auf die Wand aus?
Um diese Frage beantworten zu können überlegen wir uns, dass alle Teilchen im Zeitraum t , die die
Geschwindigkeitskomponente vx haben, die Wand erreichen, wenn sie sich innerhalb des Abstandes sx = vxt
von der Wand befinden (die Teilchen außerhalb des Bereiches sx können innerhalb von t die Wand nicht
erreichen), d. h. alle Teilchen im Volumen Avxt (A: Wandfläche). Nun ist es wichtig zu wissen, wie viele
Teilchen sich im Volumen befinden, um die Frage beantworten zu können zu können; wir multiplizieren mit der
Teilchendichte
N
. Daraus folgt: Die Anzahl der Teilchen, die im Zeitintervall t die Wand erreichen, ist
V
1 N
 A  v x  t
2 V
(der Faktor
1
2
berücksichtigt, dass die Hälfte der Moleküle im Volumen in die andere Richtung fliegt)
Jedes dieser Moleküle hat den Impuls mvx in x-Richtung, nach dem Wandstoß hat es den Impuls mvx. Da der
Impulserhaltungssatz gilt, wird also ein Impuls 2mvx von jedem Molekül auf die Wand übertragen. Gesamter
Impulsübertrag auf die Wand in Zeit t:
p x , ges  2  m  v x 
1N
 A  v x  t
2V
Des Weiteren gilt: Impulsübertrag beim Stoß p = Kraft F·* Stoßdauer dt
 Kraft F 
Impulsüber trag beim Stoß dp
Stoßdauer dt
In Kombination mit der vorherigen Gleichung ergibt das:
p x , ges  Fges  t  2  m  v x 
Fges: Kraft, die im Mittel
während
1N
 A  v x  t
2V
t effektiv auf die Wand
wirkt; muß aus den
a
Impulsübergängen
 F  dt
i 1
i
(i = 1,...,a: Alle Stöße, die sich in t ereignen) und den Pausen zwischen
i
den Stößen errechnet werden.
 Kraft auf Wand Fges  m  v x 
 Druck auf Wand p ges 
Fges
A
N
 A  vx
V
 m
N 2
 vx
V
Die untenstehende Skizze fasst unsere bis jetzt gewonnen Erkenntnisse zusammen:
vx
Geschwindigkeitsänderung beim Stoß:
 v x   v x  2v x
vy
-vx
vy
Betrag der Änderung:
= 2|vx|
Impulsänderung des Moleküls beim
Stoß:
= 2 m|vx|
Wegen Impulserhaltungssatz: Impulsübertrag auf die Wand:
= 2 m|vx|
Druck:

P  m  v x2
P  V  n  v x2  m  N A
n  NA
V
(N = NA* n)
(Boyle-Mariotte ist damit gültig, d.h. p*v = konst.)
Weil sich erwartungsgemäß nicht alle Moleküle mit derselben Geschwindigkeit in x-Richtung bewegen, gehen
wir nun zu dem über alle Moleküle gemittelten Wert von v x über, der mit  v x  bezeichnet wird. (Wichtig:
das ist nicht das Quadrat der gemittelten Geschwindigkeit, sondern der Mittelwert der quadrierten
Geschwindigkeit! Grund für den Unterschied: Mittelt man zuerst, so addiert man Bewegungen nach links und
rechts bzw. positiv und negativ direkt – da alle Bewegungsrichtungen gleich wahrscheinlich sind, wäre <v> = 0).
Somit erhalten wir nun:
2

2
P  V  n  v 2x  m  N A
Im weiteren Verlauf wollen wir berücksichtigen, dass das Quadrat der Geschwindigkeit sich als Summe der
Quadrate der Geschwindigkeitskomponenten ergibt, wie es unten dargestellt ist.
v 2  v 2x  v 2y  v 2z

wegen
 v 2  v 2x    v 2y    v 2z 
 v 2x  v 2y  v 2z 
 v 2x 
ergibt sich
1
 v2 
3
Setzen wir dieses Ergebnis nun ein, so folgt daraus die Gleichung:

1
2
1
2
P  V  n   v 2  m  N A  n  N A  m  v 2   E kin
3
3
2
3
Anzahl
Moleküle
mittlere kinetische
Energie eines Moleküls
kinetische Energie aller Moleküle,
d.h. des ganzen Systems
Selten wir jetzt die ideale Gasgleichung ein, so ergibt sich:
2
1
P  V  n  RT  n  N A  m  v 2 
3
2
kin. Energie eines Mols
Wenn man sich diese Gleichung genauer anschaut, ergibt sich, dass T proportional zur kinetischen Energie ist.
Bezogen auf ein Mol Gas ergibt sich somit:
2
 Ekin  N A  R  T
3

R
2 Ekin  N A
Joule
 8.314
3
T
mol  K
Umgedreht kann man die kinetische Energie eines idealen Gases aus der Temperatur berechnen als
3
Ekin  n  R  T
2
Da ein ideales Teilchen 3 Freiheitsgrade der kinetischen Energie hat (d.h. es kann sich in drei Raumrichtungen
bewegen), erhält man also eine Energie von
1
n  R  T pro Freiheitsgrad.
2
III. Vorbetrachtung zur Maxwell'schen Geschwindigkeitsverteilung
Bisher wurde Mittelwert  v  betrachtet, zusätzlich ist es jedoch interressant zu ermitteln, mit welcher
Wahrscheinlichkeit eine bestimmte Geschwindigkeit eines Teilchen mit der Masse m auftritt. Bei
eindimensionaler Bewegung in x-Richtung gilt nach Boltzmann für die Wahrscheinlichkeit f(vx) einer
Geschwindigkeit vx ohne Beweis folgende Beziehung:
2
1/ 2
 m 

f v x   
 2k B T 
Nominierungsfaktor, so dass

1
0 f v x dv x  2 ; d. h.

 f v dx  1
x

 m  v 2x 

exp  
 2k B T 
 E kin 

 k BT 
Boltzmann-Faktor exp  