25000_Pruefungsaufgabe_Jg13_Analysis2_EA

Hamburg Kernfach Mathematik – Zentralabitur 2013
Erhöhtes Anforderungsniveau – Analysis 2
Smartphones
Die Markteinführung eines neuen Smartphones vom Elektronikhersteller PEAR wird
stets aufgeregt erwartet. Zur Modellierung der Entwicklung der täglichen Verkaufszahlen eines neu eingeführten Smartphones schlägt die Planungsabteilung von PEAR
die Modellfunktion v vor mit
v(t)  10 000  t  e– 0,02t mit t  0
wobei t die Zeit in Tagen seit Beginn der Markteinführung und v(t) die am Tag t verkaufte Anzahl von Smartphones darstellt.
Die folgende Tabelle zeigt, wie viele Smartphones des Modells S2013 nach seiner
Markteinführung pro Tag verkauft wurden.
t in Tagen
0
10
30
60
Verkaufszahlen in Stück
0
81 870
164 640
180 720
Punkte
a) Bestätigen Sie, dass die Funktion v die täglichen Verkaufszahlen des
Smartphones S2013 angenähert wiedergibt.
10
In der Anlage ist der Graph von v dargestellt.
b)  Beschreiben Sie kurz den Verlauf des Graphen qualitativ.
 Interpretieren Sie darauf Bezug nehmend die Entwicklung der Verkaufszahlen im Anwendungskontext.
 Vergleichen Sie das Modell hinsichtlich des Langzeitverhaltens mit
einer realistischen Entwicklung der Verkaufszahlen.
c)  Bestätigen Sie, dass gilt: v'(t)  10 000  e– 0,02t  (1 – 0,02t)
 Berechnen Sie, an welchem Tag die meisten Smartphones S2013 verkauft werden, und berechnen Sie die entsprechende Verkaufszahl.
Hinweis: Da aus der Abbildung deutlich wird, dass der einzige Extrempunkt ein Hochpunkt ist, reicht die Untersuchung der notwendigen Bedingung.
15
15
5
Eine Stammfunktion V von v hat die Gleichung
V(t)  10 000  (–50t  e– 0,02t – 2 500  e– 0,02t).
100
d)  Ermitteln Sie den Wert des Integrals

v(t) dt.
0
 Interpretieren Sie das Integral im gegebenen Anwendungskontext.
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15
2013-9
Hamburg Mathematik – Zentralabitur 2013: Erhöhtes Anforderungsniveau – Analysis 2
Für die Firma PEAR ist es aus verschiedenen Gründen sinnvoll, den Produktzyklus (d. h. die Zeit vom ersten bis zum letzten verkauften Smartphone) zu
begrenzen. Zur Vereinfachung der Prognose der insgesamt in den Verkauf gehenden Smartphones S2013 setzt die Planungsabteilung ab dem Wendepunkt
der Verkaufszahlenentwicklung eine lineare Abnahme der täglichen Verkaufszahlen an, d. h. man ersetzt ab dem Wendepunkt der Funktion v den weiteren
Verlauf des Funktionsgraphen durch die Wendetangente. Die Koordinaten des
Wendepunkts sind gerundet W(100  135 335).
e)  Bestimmen Sie die Gleichung der Wendetangente.
 Zeichnen Sie die Wendetangente in das Koordinatensystem in der
Anlage.
 Ermitteln Sie den Zeitpunkt, ab dem nach diesem Modell keine Smartphones mehr verkauft werden.
 Bestimmen Sie die Anzahl der Smartphones, die nach diesem Modell
ab dem Zeitpunkt tw  100 insgesamt noch verkauft werden.
20
Aus Erfahrung weiß die Planungsabteilung, dass sie die Verkaufszahlenfunktion v in regelmäßigen Abständen variieren muss, um sie an das sich verändernde Verbraucherverhalten anzupassen. Bereits für das Nachfolgemodell
von dem hier betrachteten Smartphone S2013 ist damit zu rechnen, dass
schon am 40. Tag das Verkaufszahlenmaximum von 200 000 Smartphones
erreicht wird.
Die Planungsabteilung verwendet den allgemeinen Ansatz
v a, b (t)  10 000  t  e   a t  b  mit a > 0, b  0.
1
f) Bestimmen Sie a und b so, dass die neue Verkaufszahlenfunktion die Prognose für den Zeitpunkt und den Wert des Verkaufszahlenmaximums für
das Nachfolgemodell erfüllt.
g)  Ermitteln Sie, welchen Einfluss der Parameter a auf die Lage der Maximalstelle von va, b hat.
 Ermitteln Sie, welchen Einfluss der Parameter b (für einen festen Wert
des Parameters a) auf den Wert des Maximums von va, b hat.
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10
100
2013-10
Hamburg Mathematik – Zentralabitur 2013: Erhöhtes Anforderungsniveau – Analysis 2
Anlage zur Aufgabe „Smartphones“
Hinweise und Tipps
Teilaufgabe a
r Mithilfe einer Punktprobe kann eine Bestätigung erfolgen.
r Vergleichen Sie die so berechneten Verkaufszahlen mit denen in der Tabelle erfassten.
Teilaufgabe b
r Suchen Sie charakteristische Punkte des Graphen wie Nullstelle, Hoch- und Tiefpunkt (Maximum, Minimum), Wendepunkt.
r Betrachten das Monotonieverhalten (steigend, fallend) jeweils zwischen zwei Zeitabschnitten.
r Interpretieren Sie die Verlaufseigenschaften im Zusammenhang mit den Verkaufszahlen.
r Vergleichen Sie das Modell bezüglich des Langzeitverhaltens mit einer Entwicklung
der Verkaufszahlen in der Realität.
Teilaufgabe c
Bestätigung
r Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion v'(t) mithilfe der Produkt- und Kettenregel.
Zeitpunkt der maximalen Verkaufsmenge und entsprechende Verkaufszahl
r Zeitpunkt der maximalen Verkaufsmenge und die entsprechende Verkaufszahl liegen
beim Hochpunkt der Funktion v(t).
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2013-11
Hamburg Mathematik – Zentralabitur 2013: Erhöhtes Anforderungsniveau – Analysis 2
r Notwendige Bedingung für die Existenz des Hochpunktes ist, dass v'(t)  0 ist.
r Nach Aufgabenstellung ist die 2. Ableitung für das Prüfen der hinreichenden Bedingung v''(t) < 0 nicht erforderlich.
r Lösen Sie die Gleichung v'(t)  0, Sie erhalten den Zeitpunkt für die maximale Verkaufsmenge
r Durch Einsetzen des für t gefundenen Wertes in die Gleichung v(t) erhalten Sie die
maximale Verkaufsmenge.
Teilaufgabe d
r Die Stammfunktion ist vorgegeben, somit können Sie das Integral berechnen.
r Deuten Sie das Integral. Was stellt die Fläche unter der Kurve im Intervall [0; 100]
dar?
r
r
r
r
Teilaufgabe e
Wendetangente
Stellen Sie die allgemeine Wendetangente in Form einer Geradengleichung dar.
Die erste Ableitung an einer Stelle der Funktion ist gleich dem Anstieg m der Tangente in diesem Punkt.
Setzen Sie nun m und die Koordinaten von W in die Geradengleichung der Tangente
ein.
Geben Sie die Gleichung der Wendetangente an und zeichnen diese in das Koordinatensystem ein.
Zeitpunkt, ab dem nach diesem Modell keine Smartphones mehr verkauft werden
r Wegen der linearen Abnahme der Verkaufszahlen liefert die Nullstelle der
Wendetangente w(t) den gesuchten Zeitpunkt.
r Setzen Sie w(t)  0 und bestimmen diesen Zeitpunkt.
Anzahl der verkauften Smartphones ab dem 100. Tag
r Berechnen Sie das Integral über w(t) in den Grenzen von 100 bis 200.
r Alternativ können Sie die Fläche unter der Kurve von w(t) und der t-Achse auch
elementargeometrisch berechnen als Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks mit
den Eckpunkten (100  0); (200  0) und (100  135 335).
Teilaufgabe f
r Bilden Sie die 1. Ableitung von va, b(t) mithilfe der Produkt- und Kettenregel.
r Bestimmen Sie den Parameter a durch Einsetzen.
r Die hinreichende Bedingung für ein Maximum kann über einen Vorzeichenwechsel
von v '40, b (t) geprüft werden.
r Bestimmen Sie den Parameter b mithilfe der Angaben und geben Sie die Funktionsgleichung v(t) an.
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2013-12
Hamburg Mathematik – Zentralabitur 2013: Erhöhtes Anforderungsniveau – Analysis 2
Teilaufgabe g
r In Teilaufgabe f haben Sie die 1. Ableitung von va, b(t), die aus einem Produkt besteht, gebildet.
r Welcher der beiden Terme führen zur notwendigen Bedingung v 'a, b (t)  0?
r Damit können Sie eine Aussage darüber machen, welchen Einfluss der Parameter a
auf die Maximalstelle hat.
r Mit va, b(a) können Sie den Einfluss des Parameters b bei konstantem Wert für a auf
die Maximalstelle machen.
Lösung
a) v(t)  10 000  t  e  0,02t
Einsetzen der t-Werte:
v(0)  10 000  0  e  0,02  0  0
v(10)  10 000 10  e  0,02  10  81873  81870
v(30)  10 000  30  e  0,02  30  164 643  164 640
v(60)  10 000  60  e  0,02  60  180 717  180 720
Die in der Tabelle angegebenen Werte können annähernd mithilfe der Funktion
v(t) bestimmt werden.
b) Zunächst steigt der Graph bis zum Hochpunkt an, anschließend fällt er und hat
einen Wendepunkt, der etwa bei 100 Tagen liegt.
Nach dem Wendepunkt wird der Graph immer flacher, d. h. sein Gefälle wird
immer kleiner und er nähert sich der t-Achse asymptotisch.
Das auf dem Markt neu eingeführte Smartphone hat sehr schnell die maximale
Nachfrage erreicht (nach etwa 50 Tagen). Anschließend nehmen die Verkaufszahlen ab, bis letztendlich keines mehr verkauft wird.
Nachdem eine Sättigung des Marktes eingetreten ist (bei etwa 50 Tagen), nehmen
die Verkaufszahlen wieder ab, was auch realistisch ist.
Bei diesem Modell gehen über einen längeren Zeitraum die Verkaufszahlen der
Handys gegen null, so ist z. B. v(800)  1. Das ist unrealistisch.
c) Ableiten mithilfe der Produktregel und Kettenregel:
u  10 000t, u'  10 000
v1  e  0,02t , v1'   0,02  e  0,02t
v'(t)  10 000  e  0,02t  10 000t  (  0,02  e  0,02t )
v'(t)  10 000  e  0,02t (1  0,02t) (w. z. z. w)
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2013-13
Hamburg Mathematik – Zentralabitur 2013: Erhöhtes Anforderungsniveau – Analysis 2
Zeitpunkt, zu dem die meisten Smartphones verkauft werden, ist der Hochpunkt
des Graphen der Funktion.
Notwendige Bedingung für Extremstelle:
:10 000
v'(t)  0  10 000  e  0,02t  (1  0,02t)  0
Da e  0,02t  0 
1  0,02t  0
 0,02t

1  0,02t
: 0,02

t  50
Hinreichende Bedingung muss laut Aufgabenstellung nicht geprüft werden.
Verkaufsmenge:
v(50)  10 000  50  e  0,02  50  5 105  e 1
v(50) 
5 105
 183 939,72
e
Am 50. Tag nach der Einführung des Smartphones S2013 werden die meisten
verkauft, und zwar ca. 183 940 Stück.
100
d)

 0,02t  2 500  e  0,02t )]100
v(t) dt  [V(t)]100
0  [10 000  ( 50t  e
0
0
 [ 500 000  e  0,02t  (t  50)]100
0
 500 000  e 2 150  ( 500 000  e 0  50)
7,5 10 7
 2,5 10 7
e2
7,5
 10 7   2,5  2   10 7 1,484985376
e 

7
 1,48 10

Mit dem Integral wird näherungsweise die Anzahl der Smartphones S2013
ermittelt, die mit dem mathematischen Modell in den ersten 100 Tagen nach der
Markteinführung verkauft wurden, hier also 14,8 Mio. Stück.
e) Wendetangente w(t)  m  t + n
Gegebener Wendepunkt: W(100  135 335)
Mit v'(t)  10 000  e  0,02t  (1  0,02t) ist
m  v'(100)  10 4  e 2  (1  0,02 100)  
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10 4
 1353
e2
2013-14
Hamburg Mathematik – Zentralabitur 2013: Erhöhtes Anforderungsniveau – Analysis 2
Koordinaten von W und m in w(t) einsetzen:
10 4
10 6
10 6
135 335  
 100  n  
n

e2
e2
e2
6
10
n  135 335 
 270 670
e2
Damit lautet die Gleichung für die Wendetangente
10 4
106
w(t)   2 t  135 335  2  1353t  270 670.
e
e
Wendetangente einzeichnen:
Zeitpunkt, ab dem nach diesem Modell keine Smartphones mehr verkauft werden:
Nullstelle der Wendetangente ergibt den gesuchten Zeitpunkt.
w(t)  0  1353t  270 670  0

1353t  270 670
:1353
270 670
t
1353
t  200,05  200
Der Verkauf des Smartphones S2013 endet nach etwa 200 Tagen.
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2013-15
Hamburg Mathematik – Zentralabitur 2013: Erhöhtes Anforderungsniveau – Analysis 2
Anzahl der Smartphones, die nach diesem Modell ab dem Zeitpunkt tW  100
noch verkauft werden:
200

100
200
w(t) dt 

( 1 353t  270 670) dt
100
200
 1 353 2

 
t  270 670t 
2

100

1 353
 1353

 200 2  270 670  200   
100 2  270 670 100 
2
2



1 353
1 353
 200 2  270 670  200 
100 2  270 670 100
2
2
 6 772 000  6,8 10 6
Ab dem 100. Tag werden etwa 6,8 Millionen Smartphones bis zum 200. Tag verkauft.
Alternative Lösung (elementargeometrisch):
Die Punkte (100  0), (200  0) und (100  135 335) bilden ein rechtwinkliges Dreieck, für die Fläche dieses Dreiecks gilt:
100 135 335
A
 6 766 750  6,8 106
2
 t  b
f) v a, b (t)  10 000  t  e  a
mit a > 0, b  0
1
v 'a, b (40)  0  v a, b (40)  200 000
Ableitung va, b(t) mithilfe der Produkt- und Kettenregel:
u  10000  t
u'  10 000
1
1
1
v1  e   a t  b  v1'    e   a t  b 
a
1
 1a t  b  1

'
v a, b (t)  10 000  e
 10 000  t  e   a t  b 
a
1t  b

  1 t
v 'a, b (t)  10 000  e  a
a
40
40
0
Mit v 'a, b (40)  0  10 000  e   a  b   1 
a
40
40

e  a  b  1 
0
a
 
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



:10 000
2013-16
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40
Da e  a  b  0

1
40
0
a
40
1
a
a  40

40
a
 a
Prüfen, ob Maximum vorliegt
Die hinreichende Bedingung kann mithilfe Vorzeichenwechsel von v '40, b (t)
geprüft werden:
1
t
40
v '40, b (t)
t = 40
0
0
t < 40
+
+
t > 40
–
–
An der Stelle t  40 liegt ein Vorzeichenwechsel von Plus nach Minus vor.
Somit hat v40, b(t) an der Stelle t  40 ein Maximum.
Es gilt:
v40, b(40)  200 000  10 000  40  e   40  40  b   200 000
1

400 000  e b  1  200 000

2  eb 1  1
1
2
eb  1

e1  b  2


(1  b)  ln e  ln 2

1  b  ln 2
b  1  ln 2
(*)
: 200 000
: e b  1
ln
ln(e)  1
 b  ln 2
Somit lautet die Funktionsgleichung:
v(t)  10 000  t  e   40  1  ln 2 
Diese kann noch vereinfacht werden:
t
t
1
v(t)  10 4  t  e 1  40   e (  ln 2)  10 4  t  e 1  40 
2
t
Bemerkung:
1
Alternativ könnte man die Gleichung (*) 10 000  40  e  40  40  b  200 000 auch
so umformen:
400 000  e (b  1)  200 000 : 400 000
e (b  1)  0,5
(b  1)  ln e  ln 0,5
ln
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2013-17
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Wegen ln (e)  1  b 1  ln 0,5  b  1  ln 0,5
Die Funktionsgleichung lautet dann: v(t)  10 4  t  e   40  1  ln 0,5
Wegen 1 + ln (0,5)  1 – ln (2) sind beide Funktionsgleichungen identisch.
t
g) Notwendige Bedingung für ein Maximum ist, dass v 'a, b (t)  0.
t
t
Aus v 'a, b (t)  10 4  e   a  b   1  at  0 folgt wegen e  a  b   0.

1
t
0
a


t
a
 1 ist jedoch nur dann erfüllt, wenn t  a ist. Das bedeutet, dass die Maximalstelle bei t  a liegt.
Prüfen, ob bei t  a ein Maximum liegt, ist bei Teilaufgabe f erledigt, da a > 0.
t
Bedeutung Parameter b in v a, b (t)  10 4  t  e (b  a ) bei a  const.
Es gilt:
t
a
v a, b (a)  10 4  a  e (b  a )
a
v a, b (a)  10 4  a  e b  1
v a, b (a)  10 4  a  e 1  e b
Wenn b größer wird, dann wird auch das Maximum bei konstantem a größer.
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2013-18