Regression - SchülerInnen und LehrerInnen Homepages der BHAK
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Beipielpool Regression 001 Kosten a) Die Kostenfunktion eines Produktes ist S-förmig und zeigt folgende Daten: x 5 10 15 20 25 30 in ME K 30 35 37 41 50 65 in GE Rechnen Sie eine möglichst einfache Regression für diesen Vorgang. Benutzen Sie den einfachsten Ansatz, der einen S-förmigen Verlauf ergibt! K(x) = 0,004x3 – 0,1543x2 + 2,5x + 21 b) Nachfrage und Angebot zeigen für diesen Artikel folgendes Bild: Preis 80 70 62 ME nachgefragte Menge x 10 15 20 angebotene Menge x 60 45 25 60 40 in GE / 25 15 30 10 in ME in ME Ermitteln Sie eine lineare Nachfragefunktion p(x) und eine quadratische Angebotsfunktion a(x). Achtung: beide Funktionen haben die Form f(x), hängen also von x ab! Berechnen Sie den Gleichgewichtspreis (für diesen Preis sind Angebot und Nachfrage gleich groß) p(x) = –1,8x + 98,4 a(x) = –0,0103x2 + 1,3571x + 33,918 Gleichgewicht bei p = 58,79 c) Für die Kostenfunktion K(x) = 5x3 – 180 x2 + 2.300 x + 15.000 und die Nachfragefunktion p(x) = 10.000 – 250x sind zu berechnen: das Betriebsoptimum und die langfristige Preisuntergrenze, den Cournotpreis (gewinnmaximaler Preis) und die Gewinngrenzen (Break-even) (21,3 1438,67 C(18,47 / 5.383,57) BE 1,98 und 31,66 d) Linear-progressives Kostenmodell mit Fixkostensprung: Der lineare Teil der Kostenfunktion sei K1 (x) = 15 x + 300 für x [0 / 20]. Berechnen Sie die Gleichung für den progressiven Teil durch einen quadratischen Ansatz mit folgenden Eigenschaften: Übergang von K1(x) auf K2(x) stetig und ohne Knick (d.h. stetig differenzierbar). Die Kosten für 40 ME sollen 1.500 GE sein. (1,5x2 – 45x + 900) 002 Straßenverkehr a) Die Verkehrsdichte für ein Straßenstück soll mit V(t) = at4 + bt2 + c verlaufen. Dabei ist t die Zeitkoordinate mit: t= 0 soll 8:00 bedeuten, Zeitintervall 1 h Berechnen Sie eine möglichst gut passende Funktion für folgende Daten: Zeit 8:00 12:00 14:00 16:00 18:00 V 500 200 300 400 800 Fahrzeugen/Stunde in (0,134 t4 – 8,67 t2 + 436,9) b) Die Verkehrsdichte V(t) = 200 – t4 + 18t3 – 96t2 + 160 t für t [ 0 / 10]. Plotten Sie die Funktion und zeichnen Sie den Funktionsgraph ab. Wann hat die Verkehrsbelastung die lokalen Spitzen und wie hoch sind sie? Wie hoch ist die Gesamtverkehrsbelastung zwischen 8:00 und 18:00 Uhr? V(1,205) = 282,8 V(4) = 200 V(8,29) = 460,9 G = 3.000 c) Zwischen der Bremskraft B und dem Bremsweg w besteht der theoretische Zusammenhang: w(B) = Ermitteln Sie k durch Regression aus folgender Tabelle: Bremskraft B Bremsweg 10 25 8 35 7 55 6 65 in kN (Kilonewton) in Meter Error!. Anmerkung: dabei ist eine konstante Fahrzeugmasse und konstante Geschwindigkeit vorausgesetzt! Verwenden Sie eine passende Koordinatentransformation! 2.395 W(B) = 9;B2 d) Die Anzahl der Todesfälle durch Verkehrsunfälle ergeben folgenden zeitlichen Verlauf: Jahr Unfälle 2000 270 2001 250 2002 255 2003 195 Anzahl der Todesopfer Rechnen sie eine lineare Regression für diese Zahlen in der Form Todesopfer T als Funktion der Zeit. Benutzen Sie Jahresabstände und das Jahr 2000 als t = 0. Wie hoch ist der Korrelationskoeffizient. Wie viele Todesopfer werden im Jahr 2020 zu beklagen sein. Ist das real? Wenn nein, warum nicht? T(t) = –22x + 275,5 r = –86,6 % T(20) = –164,5 003 Chemische Synthese a) Die Produktion eines Erdölderivats läuft in folgender Form an: P(t) = Error!. t ist die Zeit in Minuten, P die Produktionsleistung in ME/min. Berechnen Sie die Parameter a und b aus folgenden Eigenschaften: die Idealproduktion (also der Grenzwert von P(t) für t ) sei 800 ME/min. nach 80 Minuten erreicht P 80 % dieser Idealleistung. P(t) = Error! b) Wie hoch ist die Gesamtproduktionsmenge zwischen 0 und 100 Minuten für P(t) = Error!. Welcher Prozentsatz der Gesamtproduktion (100 Minuten) wird in den ersten 20 Minuten erzeugt? M(100) = 3.849,88 M(20) = 368,21 = 9,5 % c) Ein anderes Produkt liefert eine Produktionsleistung mit P(t) = at 2 + bt. Rechnen Sie eine möglichst gut passende Funktionsgleichung mittels folgender Daten: t P 3 200 6 400 9 500 12 300 Zeit in Stunden Produktionsleistung in ME/h P(t) = 107,42 t – 6,6308 t2 P(8,1) = Wann ist die Produktionsleistung maximal und wie hoch ist sie? 435,11 d) Der Ausschussanteil der Produktion A hängt von der Kontrollzeit t indirekt proportional ab: Rechnen Sie eine Regression der Form A(t) = Error! für folgende Werte: t 2 4 6 8 Kontrollzeit in Minuten A 30 25 13 9 Ausschussanteil in Prozent Benutzen Sie eine geeignete Koordinatentransformation. Wie hoch muss die Kontrollzeit sein, damit man den 76 Ausschussanteil auf 3 % senken kann? A(t) = 34;t 25,4 min 004 Zwischen Kosten und Menge werden folgende Zusammenhänge erhoben: x in ME K in GE 3 50 4 55 5 57 6 65 7 78 8 90 Ermitteln Sie eine möglichst gut passende Gleichung einer S-förmigen Kostenfunktion. Wie hoch ist die langfristige Preisuntergrenze? ( K(x) = 0,648x3 + 0,3413x2 – 2,0489x + 51,881 LPU = Kd(6,58) = 10,887 ) 005 Ermitteln Sie einen Ansatz, der den Kurvenverlauf im Diagramm rechts ergibt. Ermitteln Sie dann für folgende Daten eine möglichst gut passende Funktion: x y 3 5 (y = kt2 (t – a)2 006 5 10 12 20 15 15 y = 0,00145681 t4 – 0,0633309 t3 + 0,688887 t2 ) Der Abfluss aus einem Wasserbecken erfolgt nach einer quadratischen Funktion. Zeit t Abfluss 11:00 60 13:00 35 15:00 20 17:00 3 in m3/h Benutzen Sie 10:00 Uhr bedeutet t = 0 und Stundenintervalle. Ermitteln Sie die Funktionsgleichung mit der Methode der kleinsten Quadrate. Wann hört der Abfluss auf? Negative Werte des Abflusses seien nicht erlaubt. Ermitteln Sie die Gleichung für die Füllmenge, wenn der Beckeninhalt zum Zeitpunkt 11:00 250 m3 ist. Wird das Becken leer, wenn nein, wie hoch ist die Restmenge? A(t) = 0,5 t2 – 13,3 t + 72,2 A(7,6) = 0 M(t) = – Error! + Error! + Error! + 315,716 M(7,6) = 77,9 m³ 007 Berechnen Sie für die Wertetabelle x y 0 10 1 15 2 22 3 30 eine möglich gut passende Funktion der Form y = at2 + b. 008 ( a = 2,11 b = 11,86) Autos a) Der Kraftstoffverbrauch K eines PKW-Motors ist von der Fahrgeschwindigkeit v abhängig: v 40 50 60 80 100 K 2,4 3,8 5,0 7,3 9,8 100 km Rechnen Sie eine Regression der Form K(v) = av2 + b für diesen Zusammenhang in km / h in Liter pro K(v) = 0,000852 v2 + 1,556 b) Die Kosten für die Entwicklung möglichst sparsamer Motoren verlaufen wie: K(T) = Entwicklungskosten in Mio. €, T ist der Normtreibstoffverbrauch in l/100 km. Normverbrauch T 4 5 6 7 100 km Kosten K 30 20 15 5 € Berechnen Sie die Parameter a und b. K(T) = Error! Error!. K sind dabei die in l / in Mio. c) Die Absatzzahlen A für eine Autotype sind vom Werbeaufwand W abhängig. Rechnen Sie eine quadratische Regression für folgende Zahlen: Werbeaufwand W 100.000 150.000 200.000 300.000 in EUR Absatzzahlen A 30.000 45.000 50.000 53.000 in Mio. € Wie hoch ist der maximale Absatz und bei welchem Werbeaufwand setzt er ein? Wie hoch ist der zusätzliche Absatz pro eingesetztem Werbe-€ bei einem Werbeaufwand von € 150.000,-- und bei € 250.000,--. A(W) = –0,00000095 W 2 + 0,493 W – 9091 W ’(150.000) = 0,208 Mio. € W ’ (250.000) = 0,018 Mio. € d) Ein ausgefeilteres Modell für obigen Zusammenhang zwischen Werbeaufwand W und Absatzzahlen A ist: A(W) = Error!. Ermitteln Sie a und b für folgende Zahlen: bei einem Werbeaufwand von EUR 200.000,-- können 50.000 Autos abgesetzt werden. Bei einer Erhöhung des Werbebudgets um 20 % können 10 % mehr Autos verkauft werden. (a = 110.000 b = 240.000) 009 Straßenverkehr a) Die Verkehrsdichte für ein Straßenstück soll mit V(t) = at4 + bt + c verlaufen. Dabei ist t die Zeitkoordinate mit: t= 0 soll 8:00 bedeuten, Zeitintervall 1 h Berechnen Sie eine möglichst gut passende Funktion für folgende Daten: Zeit 8:00 12:00 14:00 16:00 18:00 V 500 200 300 400 800 Fahrzeugen/Stunde (a = 0,09 b = – 57,4 in c = 478,4) b) Die Verkehrsdichte V(t) = 400 – t4 + 18t3 – 96t2 + 160 t für t [ 0 / 10]. Plotten Sie die Funktion und zeichnen Sie den Funktionsgraph ab. Wann hat die Verkehrsbelastung die lokalen Spitzen und wie hoch sind sie? Wie hoch ist die Gesamtverkehrsbelastung zwischen 8:00 und 18:00 Uhr? ( V(1,205) = 488,8 V(8,29) = 860,9 5.000) c) Zwischen der Geschwindigkeit v und dem Bremsweg w besteht der theoretische Zusammenhang: w(v) =k v 2. Ermitteln Sie k durch Regression aus folgender Tabelle: Geschwindigkeit v 30 40 60 Bremsweg w 5 8 20 Bei welcher Geschwindigkeit ist der Bremsweg 70 m? 100 60 ( k = 0,006 in km / h in Meter 108,6 km/h d) Es liegt folgende Liste vor: Jahr Unfälle Schadenssumme 2000 370 800 2001 290 1.200 2002 265 900 2003 240 850 Anzahl in 1000 € Rechnen sie eine lineare Regression für: Zeitlicher Verlauf der Unfallanzahl. Zeitlicher Verlauf der Schadenssumme pro Unfall. Wie sind die Korrelationskoeffizienten. ( U(t) = 353,5 – 41,5 t 010 mit r = –95,1 % S/U (t) = 0,3397 t + 2,8 mit r = 52,9 % ) Chemische Synthese a) Die Produktion eines Erdölderivats läuft in folgender Form an: P(t) hat eine Dreifachnullstelle zum Zeitpunkt 0 und eine Einfachnullstelle beim Zeitpunkt t = 14. Ermitteln Sie einen Ansatz für diesen Verlauf, skizzieren Sie den Funktionsgraphen. Wo ist das Maximum der Funktion. (P(t) = t3 (14 – t ) k Max bei t = 10,5 ) b) Wie hoch ist die Gesamtproduktionsmenge zwischen 0 und 14 Minuten für P(t) = 350 t 2 – 25 t3 für t [0 / 14] Welcher Prozentsatz der Gesamtproduktion wird in den ersten 20 Minuten erzeugt? Wann ist die Produktion abzubrechen, wenn eine Gesamtmenge von 30.000 ME genügt. (M(10) = 54.166 l M(7,56) = 30.000 ) c) Die echten Produktionsleistungszahlen sind wie unten. Rechnen Sie eine Regression der Form P(t) = a t2 + bt3 für diese Zahlen t P 3 2500 6 7000 9 10.000 12 6.000 Zeit in Stunden Produktionsleistung in ME/h Wann ist die Produktionsleistung maximal und wie hoch ist sie? ( P(t) = 358,38 t 2 – 26,36 t3 9,06 ) d) Der Ausschussanteil der Produktion A hängt von der Kontrollzeit t indirekt proportional ab: Rechnen Sie eine Regression der Form A(t) = Error! für folgende Werte: t 2 4 6 8 Kontrollzeit in Minuten A 20 15 12 9 Ausschussanteil in Prozent Benutzen Sie eine geeignete Koordinatentransformation. Wie hoch muss die Kontrollzeit sein, damit man den Ausschussanteil auf 3 % senken kann? ( A(t) = Error! 22,99 min ) 011 Zwischen Preis und Menge werden folgende Zusammenhänge erhoben: x in ME p in GE/ME 400 110 500 90 600 80 700 74 Ermitteln Sie eine möglichst gut passende Gleichung einer Nachfragefunktion der Form p(x) = Error!. Wie sieht die Erlösfunktion einer so gebauten Nachfragefunktion aus? Gibt es eine Sättigungsmenge, wenn ja, wie groß ist sie? ( p(x) = Error! 012 E(x) = 48.077 keine Sättigung ) Der Absatz A eines Produktes soll mit dem Werbeaufwand W korreliert werden: W 10 11 12 15 in 10.000 € A 15 27 33 42 in 1.000 Stk. Ermitteln Sie eine möglichst gut passende Funktion der Form A(W) = aW 3 + bW 2 + cW + d. Wie hoch ist die zusätzlich erzielbare Stückzahl pro 1 GE – Werbebudget bei einem Einsatz von 160.000 €? ( A(W) = 0,45 W 3 – 17,85 W 2 + 237,9 W – 1.029 A’ (16) = 12,3 ) 013 Ein Wasserbecken wird von 40 Minuten lang mit Wasser befüllt und dann wieder entleert. Die Werte für den Beckeninhalt sind: Zeit t Beckeninhalt 10 30 20 60 30 80 40 90 50 40 60 10 Ermitteln Sie die Funktionsgleichung mit der Methode der kleinsten Quadrate für die Zeit von 0 bis 40 Minuten und für den Zeitraum von 40 Minuten aufwärts Benutzen Sie für den ersten Teil eine lineare Form M1(t) = a t und für den zweiten Teil eine allgemeine lineare Regression. Wie hoch sind die Zuflussmengen in den beiden Bereichen. Wann ist das Becken leer? (M1(t) = 2,5 t M2(t) = 246,67 – 4t 2,5 4 nach 61,7 min) 014 Berechnen Sie für die Wertetabelle x y 0 20 1 30 2 44 3 60 eine möglich gut passende Funktion der Form y = at3 . 015 ( y = 2,52 t3) Kühlhaus a) Lebensmittel werden in einem Kühlhaus gekühlt. Temperaturaufzeichung zeigt folgendes Bild: t 10:00 11:00 12:00 T -20 -5 4 Die Kühlung 13:00 10 fällt um 10:00 14:00 14 aus und die Uhrzeit Temperatur in °C Rechnen Sie eine quadratische Regression für diesen Vorgang. Benutzen Sie die Koordinatentransformation t=0 bedeutet 10:00 Zeitintervall 1 Stunde. Ein besseres Modell für diese Temperaturentwicklung ist T(t) = 22 – 50 · e–0,5 t weiter. Koordinaten wie bei a) Gegen welche Temperatur konvergiert die Funktion? Wann hat es 20 °C? Welche Temperatur herrscht um 17:00 im Kühlraum? Excel liefert: T(x) = –1,7857x2 + 15,443x – 19,571 T(t) 22 20 = 22 – 50 · e–0,5 t t = 6,44 ..... 16:26 T(7) = 22 – 50 · e– 3,5 = 20,5 °C b) Die Füllmenge eines Kühlhauses zeigt folgende Verteilung t 3 5 6 7 M 200 800 920 600 9 100 Monatsbezeichnung Füllmenge in ME. Ermitteln Sie einen quadratischen Zusammenhang: Füllmenge als Funktion der Monatsbezeichnung. Wann ist die Füllmenge maximal und wie groß ist diese maximale Füllmenge? M(t) = –75,952 t2 + 886,43 t – 1756,5 Mmax(5,83) = 829,9 ME c) Der Energieaufwand E hängt von der Dämmung des Kühlhauses so ab: E(x) = Error! ab. Je größer die Dämmung, desto weniger Energieaufwand. Berechnen Sie aus folgenden Daten die Parameter a und b. Benutzen Sie eine geeignete Koordinatentransformation: x 3 8 11 15 Dämmung in cm E 12 9 7 3 Energieaufwand in kWh Skizzieren Sie den Funktionsgraph! An welcher Stelle ist er unstetig? Wie hoch muss die Dämmung sein, damit der Energieaufwand unter 3 kWh pro Vorgang sinkt? E = Error! = Error! 10000 = 3 (196x – 140) x = 17,7 cm unstetig an der Stelle xp = 0,71 d) Rechnen Sie für die folgenden Daten eine Regression der Form y = ax: x y 5 112 8 209 11 250 25 300 Wie hoch ist der relative Fehler beim Punkt 25 (d.h. um welchen Prozentsatz unterscheidet sich der gerechnete Wert vom tatsächlichen?) y = 14,949x rel. Fehler = 14 949 · 25;300 = 373 = 1,245 also 24,5 % 725;300 016 Snowboard a) Die Verwindung V eines guten Snowboards ist natürlich von der Belastung x abhängig. Als Modell soll die Funktion V(x) = x3 · (50 – x) dienen. Skizzieren Sie den Funktionsverlauf. Wo hat die Funktion ein lokales Maximum und wie hoch ist dieses Maximum? V’ = 2x2 (75 – 2x) x = 37,5 Vmax(37,5) = 659.179 b) Erstellen Sie für den Ansatz: V(x) = ax4 + bx3 für die folgenden Daten eine möglichst gut passende Funktion mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadrate: x 10 20 30 40 Belastung in kN V 100 300 500 900 Verwindung in mm/m 7.235.400.000.000 a + 187.000.000.000 b = 2.758.000.000 187.000.000.000 a + 4.890.000.000 = 73.600.000 a = – 0,000350 b = 0,02846 c) Zwischen dem Anteil der Snowboardfahrer und dem Lebensalter wurden folgende Daten ermittelt: Anteil A 80 65 30 10 in Prozent Lebensalter 18 25 35 40 in Jahren Gibt es einen Zusammenhang? Ermitteln Sie eine lineare Regression und eine quadratische Regression für diese Daten mit der Form Anteil als Funktion des Lebensalters! Welche passt besser? Wie hoch ist der Anteil bei den 12-jährigen (darf man das rechnen? – wenn nein, warum nicht?) linear: A(L) = –3,2167 L + 141,14 mit r = –99,4 % quadratisch: A(L) = –0,0619 L2 + 0,377L + 93,571 mit r = -100 % quadratisch passt besser A(12) = 102 % ??? bei linear und A(12) = 89,2 % Extrapolation nicht erlaubt d) Der Luftwiderstand bei einem Snowboardfahrer ist von der Geschwindigkeit wie P(v) = k Ermitteln Sie den Parameter k durch Regression aus: v P in Watt k v6 = pv3 10 500 20 8.000 30 24.000 40 32.000 4.890.000.000 k = 2.760.500.000 k = 0,56 · v3 abhängig. Geschwindigkeit Luftwiderstandsleistung 017 Sprachen a) Der Wortschatz w von Sprachstudenten, abhängig von der Ausbildungszeit wurde mit folgenden Werten ermittelt: t w 300 2000 600 4000 900 6000 1200 8000 Ausbildungszeit in h Wortschatz (Klassenmittel) Ermitteln Sie eine Regression der Form w(t) = at2 + b für diese Daten. Wie lange muss man für einen Sprachschatz von 10.000 Worten ausbilden? Rechnen Sie mit 1 Zeiteinheit = 100 Stunden a t4 + b t2 = wt2 a t2 + b 1 = w 28.674 a + 270 b = 1.800.000 270 a + 4 b = 20.000 w(t) = 41,5359 t2 + 2.196,3 10.000 = 41,5359 t2 + 2.196,3 a = 43,066 b = 2.083,02 t = 13,7 also 13.700 Stunden b) Der Zeitaufwand für den Erwerb eines Wortschatzes soll wie eine quadratische Funktion W(t) = at 2 + bt laufen. Ermitteln Sie diese Funktion mittels der Methode der kleinsten Quadrate aus: t W 1 200 2 390 5 500 10 900 Lernzeit in Stunden Wortschatz W(t) = –6,1384 t2 + 149,55 t c) Zwischen Preis p und Nachfrage x nach Sprachkursen besteht folgender Zusammenhang: p(x) = 0,01(600 + x) (500 – x). Ermitteln Sie Prohibitivpreis, die Sättigungsmenge und den Preis bei dem der Erlös maximal wird. Wie hoch ist dieser maximale Erlös? d) Die Kosten für die Ausbildung von Sprachstudenten haben einen S-förmigen Verlauf. Ermitteln Sie ein möglichst einfaches Modell für diesen Verlauf und rechnen Sie eine Regression für folgende Daten: x Prozent K 20 30 40 50 100 300 500 550 Auslastung des Sprachkurses in Kosten in GE S- förmig bedeutet mindestens einen Wendepunkt K(x) muss mindestens vom Grad 3 sein, damit die 2. Ableitung nicht schon konstant ist K(x) = – 0,025 x3 + 2,25 x2 – 45 x + 300 Bemerkung: 4 Punkte können auf so einer Kurve aufgereiht werden, alle Punkte liegen also auf der Kurve, der Korrelationskoeffizient ist daher 1. 018 Zufluss a) Die Zuflussleistung durch ein Rohr hängt vom Durchmesser d mit Z(d) = a d4 ab. Durchmesser in m 0,5 1 1,5 Zuflussleistung in l/min 240 450 1.200 2 2.300 Berechnen Sie mit der Methode der kleinsten Quadrate den Parameter a. Welchen Rohrdurchmesser muss man vorsehen, wenn die Zuflussleistung 1.000 l/min betragen soll? a d8 = Zd4 282,63 a = 43.340 a = 153,34 Z(d) = 153,34 d4 Z(d) = 1.000 d = 1,6 m b) Der Beckeninhalt wird über einen Zeitraum beobachtet und liefert folgende Werte: Zeit in Tagen 0 Beckeninhalt in m3 2 15.400 4 20.450 5 31.200 7 42.300 55.000 Ermitteln Sie eine lineare Funktion für den Beckeninhalt B(t). Wie hoch ist die tägliche Zuflussmenge? B(t) = 5.840,4 t + 11.845 die tägliche Zuflussmenge ist eigentlich Error!und damit vom Zeitpunkt abhängig, hier ist Error!=5.840 m3/d (lineare Funktion hat eine konstante Steigung!!) c) Die Zuflussleistung in ein Becken ist in den ersten 5 Stunden Z 1(t) = 4.000 t ( t in h, Z(t) in l/min) Nach diesen 5 Stunden ist Z2(t) = 30.000 – 2.000 t. Skizzieren Sie den Verlauf. Wann ist der Zufluss maximal und wie hoch ist dieser Zufluss? Z1 und Z2 sind lineare Funktionen, das Maximum des Zuflusses liegt daher beim gemeinsamen Punkt (5/ 20.000). 25000 20000 15000 10000 5000 0 0 5 10 15 -5000 -10000 d) Der Zufluss Z(t) (Einheiten wie in c)) verläuft wie Z(t) = t2 (10 – t) . Berechnen Sie die Gleichung für die Füllmenge M mit M(0) = 0. Wann ist der Beckeninhalt 800 l? M(t) = Error! = 0,08333 t3 (40 – 3t) + C mit M(0) = 0 C = 0 M(t) = 0,08333 t3 (40 – 3t) = Error! Der Beckeninhalt ist 800 l bei 800 = 0,08333 t3 (40 – 3t) mit den Lösungen t1 = 9,1 und t2 = 10,8 h. Z(t) hat eine Nullstelle bei t = 10, d.h. nach 10 Stunden fließt Wasser ab und der Beckeninhalt sinkt wieder, daher der zweimalige 800 l – Durchgang. 019 Kosten a) Die Kosten für eine Produktion verlaufen so: Stückzahl Kosten in Mio. € 1.000 70 2.000 90 3.000 102 4.000 125 5.000 160 Berechnen Sie durch Regression eine Gleichung für einen S-förmigen Kostenverlauf! Benutzen Sie die Skalierung: 1.000 Stk = 1 ME 1 Mio. € = 1 GE. Wie hoch sind die Fixkosten? K(x) = 1,6667x3 – 12,071x2 + 43,262x + 37,4 Fixkosten = 37,4 Mio. € b) Für das Produkt gibt es eine quadratische Nachfragefunktion mit folgenden Werten: 20 Menge (Stk.) 10.000 9.500 8.000 Preis (EUR) 800 900 1.000 Rechnen Sie eine quadratische Regression für diese Daten. Benutzen Sie 1 ME = 1.000 Stk. und 1 GE/ME = 1 €/ Stk. 6.000 1.200 p(x) = –1,1976x2 – 75,09x + 1690,8 c) Die Kostenfunktion für diesen Teil sei K(x) = 1,7x3 – 12x2 + 40x + 37. Die Nachfragefunktion p(x) = –0,12x2 – 7,5x + 170. Berechnen Sie: die langfristige Preisuntergrenze die Gewinngrenzen den maximalen Gewinn und den Preis, bei dem dieser Gewinn auftritt. Um wieviel Prozent ist die langfristige Preisuntergrenze kleiner als der gewinnoptimale Preis? Kd’ = 0 BO = 4,16 ME LPU = Kd(BO) = 28,39 GE/ME Gmax (5,77 ME / 513,3 GE) pc = 122,7 GE / ME. – 77 % Gewinn innerhalb von [0,28 ME / 9,7 ME] d) Berechnen Sie den quadratischen Teil einer linear-progressiven Kostenkurve aus folgenden Werten: Im Bereich [0 / 15] ist der Kostenverlauf linear mit konstanten Grenzkosten von 18 GE/ME und Fixkosten von 350 GE. Die progressiven Kosten schließen stetig an und auch die Grenzkosten verlaufen stetig an der Übergangsstelle. Die Kosten beim Beschäftigungsgrad 20 ME sind 850 GE. K1(x) = 18 x + 350 K1(15) = 620 = K2(15) = 152 a + 15 b + c K1’(15) = 18 = K2’(15) = 2 2 K2(20) = 20 a + 20 b + c = 850 K2(x) = – 26,8x2 + 984x – 8.110 020 · 15 · a + b Chemische Synthese a) Die Synthese eines Produktes hat eine Produktionsleistung mit folgendem qualitativem Verlauf (Grafik rechts). Ermitteln Sie einen geeigneten (möglichst einfachen) algebraischen Ansatz. Führen Sie dann eine Regression für folgende Daten durch: Zeit in Stunden, P in ME/h Zeit P 2 500 4 800 5 1.300 a t8 + b t7 = yt4 a t7 + b t6 = yt3 a = – 5,09 und b = 35,23 S(t) = at4 + bt3 6 1.000 h ME / h 2.136.033 a + 374.573 b = 2.321.300 374.573 a + 66.441 b = 433.700 b) Die Funktion vom Punkt a) soll S(t) = 4 t3 (20 – t) sein. Wann ist die Produktionsleistung maximal und wie hoch ist sie dann? Wann ist die Produktion zu Ende? Ermitteln Sie den Wendepunkt (mit Tangentensteigung) der Funktion! Max (15 h / 67.500 ME/h) t = 20 W (10 / 40.000); 8.000 c) Ermitteln Sie eine Gleichung für die produzierte Gesamtmenge (mit der Angabe von b). Wie hoch ist die Gesamtmenge nach 20 Stunden. Wann kann man aufhören, wenn 70 % der Gesamtmenge reichen. Wieviel Prozent der Gesamtzeit ist diese Zeitspanne? G(t) = Error! = – 0,8 x5 + 20x4 + C mit G(0) = 0 0 = C G(20) = 640.000 0,7 · 640.000… = 448.000 = G(t) G(t) = –0,8t5 + 20t4 t = 15,64 h = 78,2 % der Gesamtzeit d) Die Gesamtproduktionsmenge einer Synthese laute G(t) = 0,2 t 4 – 0,004 t5. Ermitteln Sie ein vernünftiges Produktionsintervall (die Produktionsleistung soll positiv sein). Wie hoch ist der Anteil an unbrauchbarem Produkt, wenn die ersten 10 Stunden und die letzten beiden Stunden unbrauchbares Produkt liefert? G’ = 0,8 t3 –0,02 t4 = 0 t = 40 G(40) = 102.400 Anteil = 3,8 % Brauchbar = G(38) – G(10) = 100.086 – 1.600 = 98.486 ME 021 Radioaktivität a) Nach einem Störfall in einem Kernkraftwerk (1986) werden folgende Dosisleistungen registriert (Zahlen fiktiv): Jahr Dosisleistung 1984 400 1985 400 1986 35.000 1987 18.500 1988 11.100 1989 9.400 Bereinigen Sie die Werte um die Grundaktivität (Jahre vor 1986) und rechnen Sie eine exponentielle Regression für den „künstlichen Anteil“. Wie lautet die Gleichung für die Gesamtdosisleistung? Benützen Sie 1986 … t = 0. Wie groß ist der Korrelationskoeffizient? R = 31.082 · e – 0,4566 t + 400 r = – 97,3 % b) Die künstliche Dosisleistung (rem/a) sei R(t) = 20.000 · e – 0,04 t (Zeitskala wie in a) ). Die natürliche Basisradioaktivität sei 300 rem/a. Wie hoch ist die Halbwertszeit der künstlichen Radioaktivität? Wie lange dauert es, bis die Gesamtdosisleistung nur mehr um 1 % über der natürlichen Aktivität liegt? Um welchen Prozentsatz nimmt die künstliche Aktivität jedes Jahr ab? 0,5 = e – 0,04 weniger) = 17,32 Jahre 3 = 20.000 · e – 0,04 t t = 220 Jahre e – 0,04 = 0,96 (um 4 % c) Für die gesundheitlichen Schäden ist die Gesamtmenge (die Dosis) entscheidend. Berechnen Sie die Gleichung für die Gesamtdosis für einen Menschen, der im Jahr 1986 20 Jahre alt war. Beachten Sie dabei die bis dahin schon bestehende Dosis (natürliche Radioaktivität). Wie hoch ist die Gesamtdosis für diesen Menschen im Jahr 2010. Wie hoch wäre sie ohne Störfall gewesen? Wie hoch ist die Differenz? Benutzen Sie: natürliche Dosisleistung Rn(t) = 300 für t ( – / + ) künstliche Dosisleistung Rk(t) = 20.000 · e – 0,04 t t in Jahren mit t = 0 … 1986 G = Error! Gohne (t) = 300 t + C mit Gohne(0) = 6.000 Gohne(t) = 300 t + 6.000 Gohne(24) = 13.200 Gmit(t) = Error! = C – 500.000 · e – 0,04 t + 300 t mit Gmit(0) = 6.000 C = 506.000 und Gmit(t) = 506.000 – 500.000 · e – 0,04 t + 300 t für t [0 / ) G = Gmit(24) – Gohne(24) = 321.754 – 13.200 = 308.554 d) Die aufgenommene Dosisleistung hängt von der Entfernung zur Quelle mit R(x) = Sie den konstanten Parameter a mittels der Methode der kleinsten Quadrate aus: x R 30 800 60 400 90 150 120 60 Error! ab. Ermitteln km rem/a Benutzen Sie eine geeignete Koordinatentransformation! (Auf mindestens 7 Stellen genau) Error! = k x Error! = 0,000103241x R = Error! 022 Straßenverkehr a) Die Verkehrsdichte auf einer Straße ist von der Tageszeit abhängig und hat die Form V(t) = at 4 + bt3 + ct2 + dt + e. Warum muss der Ansatz mindestens 4. Grades sein, wenn man ein Modell mit 2 lokalen Maxima verwenden will? Rechnen Sie eine Regression mit folgenden Daten: Uhrzeit in h Verkehrsdichte in Fz/h 5:00 200 8:00 3.000 10:00 1.500 14:00 1.200 18:00 3.800 20:00 900 Verwenden Sie 0:00 Uhr … t = 0 V(t) = – 3,6908 x4 + 183,89 x3 – 3229,1 x2 + 23444 x – 56.969 b) Die Verkehrsdichte (Skalierung wie in a)) sei V(t) = – 3,7 x4 + 184 x3 – 3.200 x2 + 23.000 x – 54.000. Ermitteln Sie Extremwerte und Nullstellen (ohne Tangentensteigungen). Wann ist die Verkehrsdichte maximal und wie hoch ist sie? Zwischen welchen Uhrzeiten hat das Modell Sinn? (keine negativen Werte!). Skizzieren Sie den Funktionsverlauf! E1 (7,2 / 4.446) E2 (11,7 / 2.414) E3 (18,3 / 7.934) N1 (4,5 / 0) N2 (21,4 / 0) Zwischen 4:30 und 21:24 Verkehrsspitze um 18:18 mit 7.934 Kfz / h c) Ermitteln Sie mittels der Methode der kleinsten Quadrate eine möglichst gut passende Funktion der Form y = ax2 für folgende Daten: x y 3 16 y = ax2 a x4 = yx2 7 66 10 130 12.482 a = 16.378 a = 1,31 d) Ermitteln Sie für die Funktion y = Error! (t in Minuten) die Parameter a und b so, dass die Funktion gegen den Idealwert 3.000 strebt und nach 10 Minuten 50 % dieses Idealwerts erreicht werden. a = 3000 0,5 · 3.000 = 1.500 = Error! 0,5 (100 + b) = 100 b = 100 023 Eine Funktion soll eine Dreifachnullstelle an der Stelle 0 und eine Einfachnullstelle an der Stelle a haben. Ermitteln Sie einen allgemeinen Ansatz für diese Situation. f(x) = kx3(a – x) oder f(x) = ax4 + bx3 024 Ermitteln Sie eine möglichst gut passende Funktion für folgende Daten und dem Ansatz: y = ax4 + bx: x y 1 10 2 3 4 8 6 22 745.409a + 8833b = 30618 und 8833a +57b = 180 y = 0,0072x4 + 2,0369 025 Ermitteln Sie eine möglichst gut passende Funktion der Form y = Error! für die Werte: x 3 y 100 50 4 20 8 1;0 y = 00573x = Error! 026 Die Funktion f(t) = Error! konvergiert gegen 50 (für t ) und hat den Wert f(1) = 20 und ist unstetig an der Stelle t = – 2. Berechnen Sie a, b und c! a = 50 c=2 20 = Error! 60 = 50 + b b = 10 027 Der Abfluss A(t) aus einem Wasserreservoir weist folgende Werte auf: t 0 1 3 5 in Stunden A 40 25 15 4 in Mio. Liter / Stunde Berechnen Sie mittels linearer Regression die Funktion A(t). A(t) = 36,1 – 6,7119 t 028 Der Abfluss aus einem Wasserreservoir mit einem Inhalt von 3.000 Mio. Liter ist A(t) = 240 – 10 t (t in h, A in Mio. l/h). Negative Werte von A(t) sind nicht erlaubt. Wird das Becken leer, wenn ja, wann, wenn nein: wie hoch ist die Restmenge? M(t) = Error! = 5 t2 – 240 t + C mit M(0) = 3.000 = C M(t) = 5 t2 – 240 t + 3000 hat keine Nullstellen, das Becken wird nicht leer. A(24) = 0 und M(24) = 120 Mio. Liter Restmenge 029 Rechnen Sie eine exponentielle Regression für: t P 0 3 4 9 0,2494 x y = 3,8227 · e 6 12 9 44 030 Die Synthese eines Produktes läuft mit der Leistung: P(t) = 4 · e0,1 t. Wie hoch ist die Verdopplungszeit? Wie lautet die Gleichung für die Gesamtmenge? Wie hoch ist die produzierte Menge in der 4. Stunde? Verdopplung = 6,93 Stunden 5,67 l 031 M(t) = 40 · (e0,1 t – 1) Essen M(4) – M(3) = 19,67 – 13,99 = a) Eine Suppe kommt heiß auf den Tisch. Sie kühlt exponentiell ab, wobei ihre Temperatur gegen die Raumtemperatur 20° konvergiert. Der Temperaturverlauf zeigt folgendes Bild: Zeit/min Temperatur / °C 2 72 5 55 7 38 10 29 15 22 Berechnen Sie durch Regression eine Gleichung für diesen Abkühlvorgang. Wie lange darf sich das Service Zeit lassen, wenn 30°C als zu kalt empfunden werden. Wie lang ist die Halbierungszeit der Temperatur oberhalb der Raumtemperatur? Wie heiß ist die Suppe nach 3 Minuten? T(t) = 105,6 • e–0,2567t mit r = – 99,3 % HZ = 2,7 Minuten T(3) = 68,9 °C b) Ein Nahrungsmittel wird um 8:00 Uhr gekauft. Keime auf diesem Nahrungsmittel vermehren sich exponentiell. Die Keimzahl wird in einem Versuch ermittelt und zeigt folgende Werte: Uhrzeit 8:00 9:00 10:00 11:00 Keime 430 650 1225 3400 Berechnen Sie eine Gleichung für die Anzahl der Keime und geben Sie den Korrelationskoeffizient an. Skalieren Sie die Zeitachse mit 8:00 … t = 0 und 9:00 Uhr …t = 1 Bei einer Keimzahl von 10.000 gilt das Nahrungsmittel als verdorben. Wann ist das der Fall? K(t) = 372,5 • e0,6837 t r = 98,1 % verdorben nach t = 4,81 h , d. i. 12:50 c) Ein Nahrungsmittel ist mit K(t) = 250 • e0,2 t verkeimt (K ist die Anzahl der Keime, t die Zeit in Stunden ab 8:00 Uhr (Montag). Bei einer Keimzahl von 12.000 ist das Nahrungsmittel verdorben. Wann ist das der Fall? Wie hoch ist die Wachstumsrate der Keimzahlen pro Stunde. Um 10:00 wird das Nahrungsmittel gekühlt und die Wachstumsrate sinkt dabei auf ein Viertel des ungekühlten Wertes. Wie lange hält sich das Nahrungsmittel im Kühlschrank (Uhrzeit und Wochentag angeben!) nach 19,356 Stunden ( Dienstag, 03:21 Uhr) 22,14 % Kn(tn) = 373 • 1,05535 tn = 64,4 h (Donnerstag, 02:26) K(2) = 373 d) Eine Fastfood-Kette ermittelt für ein Produkt den Zusammenhang zwischen Preis (p) und abgesetzter Menge (x). Preis 1,20 1,50 1,80 2,00 2,50 € / Stk. Absatz 40.000 35.000 30.000 20.000 15.000 Stück Ermitteln Sie eine Nachfragefunktion p(x) (Achtung auf die Reihenfolge der Variablen!) mit folgender Form: p(x) = ax2 + b Geben Sie die Stückzahl in 1.000 – Stück – Einheiten an. Bei welcher Stückzahl tritt der maximale Erlös auf und wie hoch ist er. Wie hoch ist die Sättigungsmenge? Wie stark wirkt sich bei einem Preis von € 2,-- eine Preisreduktion um 10 % aus, d. h. um welchen Prozentsatz steigt dann der Absatz? a x4 + b x2 = x2y 5.081.250 a + 4.350b = 6740 a x2 + b 1 = y 4.350 a + 5 b = 9 p(x) = – 0,000840562x2 + 2,53128 E(31,6828) = 53,4654 also 53.485 Stk. bei einem Preis von 1,69 €/Stk. Preisreduktion von 2 auf 1,8 €/Stk erhöht den Absatz von 25,14 auf 29,50 k Stk. , also um 17 % (Elastizität = 1,7) 032 Schlafen a) Die Schlafkurve (Schlaftiefe als Funktion der Schlafdauer) soll so aussehen (Grafik rechts). Ermitteln Sie einen geeigneten (möglichst einfachen) algebraischen Ansatz. Führen Sie dann eine Regression für folgende Daten durch: Zeit in Stunden, S in Schlafeinheiten (SE), gemessen durch die Ermittlung von Gehirnaktivitäten. Zeit 0,2 1,3 S 500 800 Fahrzeugen/Stunde 2,5 1.300 5,0 2.400 7,0 1.800 in a t6 + b t5 = yt3 133.522,97 a + 20.033,376 b = 939.474,1 a t5 + b t4 = yt2 20.033,376 a + 2.067,92 b = 157.697 a = – 33,35 und b= 269,18 S(t) = at3 + bt2 b) Die Funktion vom Punkt a) soll S(t) = 4 t2 (10 – t) sein. Wann ist die Schlaftiefe am höchsten und wieviele Einheiten ist sie groß? Wann wacht man wieder auf? Ermitteln Sie den Wendepunkt dieser Funktion! Max (6,6… h / 593 ) t = 10 W (3,3… / 296,3) c) Das Produkt Schlaftiefe mal Schlafdauer Maß für die Regeneration der Nerven und damit für die damit verbundene körperliche Erholung E. Ermitteln Sie eine Formel für E(t) durch eine geeignete Rechenoperation. Verwenden Sie dazu S(t) = 4 t2 (10 – t). Wie hoch ist die Erholung nach 10 Stunden Schlaf. Wann wird man aufgeweckt, wenn der Erholungswert nur 80 % des 10 h – Werte ist? R(t) = Error! = R(10) = 3.333,3… Error! mit R(0) = 0 0 = C R(t) = Error! 0,8 · 3.333,3… = 2.666,6… = R(t) t = 7,88 h = 7:53 h d) Manche Substanzen wirken anregend und können die Wachphase verlängern. In der folgenden Tabelle wird die Verlängerung der Wachphase (=Einschlafverzögerung als Funktion der zugeführten Menge einer Substanz ermittelt: Menge in mg M 2 5 7 10 Einschlafverzögerung in h E 2 5 7 8 Ermitteln Sie einen funktionalen Zusammenhang E(M) = aM2 + bM. Wo hat diese Funktion ihren Höhepunkt? E(M) = – 0,0425 M2 + 1,2404 M Maximum bei M = 14,6 mg 033 Shoppen a) Die Einkaufsdauer von Kunden in einem Geschäft wird ermittelt: Verweildauer in Minuten t erzielter Umsatz in € U 5 25 10 55 15 53 20 120 Rechnen Sie eine Regression der Form U(t) = at für diese Daten. Warum soll keine Konstante angesetzt werden. Wie hoch ist der Korrelationskoeffizient? Wie lange müssen die Leute mindestens im Geschäft bleiben, damit der Umsatz 100 € beträgt? Was ist der Nachteil der linearen Regression in diesem Fall (z.Bsp. wieviel kaufen Leute, die 3 h im Geschäft bleiben nach diesem Modell?) U(t) = 5,16 t mit r = 90,4 % 100 = 5,16 t t = 19,38 Minuten U(180) = 928,8 € dauernd – nicht realistisch. Umsatz steigt b) Berechnen Sie für folgende Daten mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadrate eine möglichst gut passende Funktion der Form y = ax4 + bx. x y 2 100 5 700 10 6.000 a x8 + b x5 = x4y 100.390.881 a + 103.157 b = 60.439.100 a x5 + b x2 = xy 103.157 a + 129 b = 63.700 a = 0,53 b = 69,37 c) Die abgesetzte Menge Q eines Produktes hängt vom eingesetzten Werbebudget W ab: W Q 3 200 6 400 9 500 12 600 in 10.000 € in 1.000 Stk. Berechnen Sie ein kubische Regression für diesen Zusammenhang. Welches Werbebudget braucht man für einen Absatz von 1 Mio. Stk? Q(W) = 0,6173 W3 – 16,667 W2 + 177,78 W – 200 1000 = Q(W) W = 16,731 also 1.673.100 € d) Die Anzahl der Ladendiebstähle hängt von der Kontrollzeit t indirekt proportional ab: Rechnen Sie eine Regression der Form A(t) = Error! für folgende Werte: t 10 15 20 40 Kontrollzeit in Stunden / Monat A 30 25 13 9 Diebstähle pro Monat Benutzen Sie eine geeignete Koordinatentransformation. Wie hoch muss die Kontrollzeit sein, damit man die Diebstahlsfälle unter 5 pro Monat drücken kann? A(t) = 1;0 0029747 t = Error! 5 = Error! t = 66,67 Stunden = 66:40 Stunden 034 Lernen a) Die Zuwachsrate (Wissensänderung pro Stunde) könnte von der Lernzeit mit W(t) = Rechnen Sie eine möglichst gut passende Funktion dieser Form für die Daten: Zeit in h Wissenszuwachs in WE/h 2 70 5 55 7 38 10 29 Error! abhängen. 15 22 Benutzen Sie dazu eine passende Koordinatentransformation und bringen Sie das Resultat in eine Form ohne Dezimalzahlen. Error! = 0,0025 t + 0,0081 und W(t) = Error! b) Die Funktion vom Punkt a) sei W(t) = Error!. Skizzieren Sie den Funktionsverlauf. Wo ist die Funktion unstetig. Welchen Wert hat sie an der Stelle 0. Konvergiert Sie, wenn ja, gegen welchen Wert? unstetig an t = – 3 W(0) = 166,7 konvergiert gegen 0 c) Mit der Funktion von Punkt b): Das angehäufte Wissen ist das Integral über W(t). Berechnen Sie die Gleichung für das Gesamtwissen G(t). Benutzen Sie G(0) = 0. Wie lange muss man lernen, damit das Gesamtwissen 2.000 WE groß ist. G(t) = Error! = 500 ln (t + 3) + C G(0) = 0 = 500 ln(3) + C C = – 500 ln(3) = – 549,3 G(t) = 500 ln (t + 3) – 549,3 G(t) = 2.000 = 500 ln (t + 3) – 549,3 9,0986 = ln (t + 3) t = 160,8 h d) Ermitteln Sie für die Funktion y = Error! (t in Minuten) die Parameter a und b so, dass die Funktion gegen den Idealwert 3.000 strebt und nach 20 Minuten 80 % dieses Idealwerts erreicht werden. a = 3000 0,8 · 3.000 = 2.400 = Error! 0,8 (20 + b) = 20 035 Beispiel 1: Vogelgrippe b=5 a) Die Ausbreitung einer Vogelgrippeepidemie in einer Vogelpopulation verläuft so, dass die Funktion K(t) (K ist die Anzahl der befallenen Tiere, t die Zeit in Tagen) einen Verlauf mit einer Doppelnullstelle an der Stelle 0 und einer Einfachnullstelle an der Stelle t0 > 0 hat. Ermitteln Sie einen geeigneten Ansatz für so eine Funktion und rechnen Sie für folgende Daten eine Regression: t K 10 80 20 250 30 720 40 200 in Tagen erkrankte Tiere K(t) = kt2(t – t0) = at3 + bt2 4.890.000.000 a + 130.000.000 b = 34.320.000 und 130.000.000 a + 3.540.000 b = 1.076.000 K(t) = –0,045t3 + 1,948 t2 b) Die Anzahl der erkrankten Individuen in einer Vogelpopulation sei K(t) = 2 t2 – 0,05 t3. (t in Tagen). Wann sind die meisten Vögel krank und wie viele sind das. Wann ist die Epidemie zu Ende? Error! = 4 t – 0,15 t2 = 0 t 26,7 K(26,7) = 474 Max. K(t) = 0 t = 40 c) In einer Vogelpopulation tritt Geflügelpest auf und die Anzahl der erkrankten Vögel steigt anfangs exponentiell mit einer Verdopplungszeit von nur 15 Tagen. Ermitteln Sie die Gleichung der Funktion K(t), wenn nach 20 Tagen 8.000 erkrankte Tiere festgestellt werden. K(t) = K0 e t 2 = e15 = 0,0462 und 8.000 = K0 e0,0462 · 20 K0 = 3.175,4 K(t) = 3.175,4 · e0,0462 t d) Ermitteln Sie durch exponentielle Regression eine möglichst gut passende Funktion für folgende Daten: x 3 5 7 9 f(x) 200 500 1.200 2.800 Wie hoch ist die Verdopplungszeit und wie hoch sind die Änderungsraten für ein, bzw. für 5 x-Intervalle? Wie hoch ist der gerechnete Wert an der Stelle 9 und wie hoch ist der relative Fehler im Vergleich zum tatsächlichen Wert? f(x) = 54,5 e0,44x Verdopplung = 1,57 Änderung = 55 % bzw. 803 % f(9) = 2.846,09 Fehler 1,6 % 036 a) Kosten Ein Betrieb mit einer S – förmigen Kostenfunktion zeigt folgende Daten: Menge x Stk. Kosten K(x) Euro 10 20 1.800 2.200 30 2.600 40 50 3.000 in Tausend 5.000 in Tausend Ermitteln Sie eine möglichst gut passende Gleichung der Kostenfunktion. K(x) = 0,13 x3 – 9,71 x2 + 249,5 x + 120 b) Berechnen Sie das Betriebsoptimum und die langfristige Preisuntergrenze für die Kostenfunktion K(x) = 0,13 x3 – 10 x2 + 250 x + 120! – K; (x) = 0,13 x2 – 10 x + 250 + Error! Error! = 0 – BO = 38,8 ME K; (38,8 ) = LPU = 60,8 €/Stk. c) Die Nachfrage nach einem Produkt ist preisabhängig und zeigt folgende Werte: Preis Menge 300 50.000 400 45.000 450 30.000 500 20.000 in € / Stk. in Stk. Berechnen Sie eine möglichst gut passende lineare Nachfragefunktion p(x). Wie hoch sind Sättigungsmenge und Prohibitivpreis? Wie ändert sich der Erlös (absolut und relativ), wenn der Preis bei einem Niveau von 600 € /Stk. um 10 % gesenkt wird. p(x) = 623,6 – 0,00582 x Sättigungsmenge = 107.148 Stk. Prohibitivpreis = 623,6 €/Stk. 600 = 623,6 – 0,00582x x1 = 4.055 540 = 623,6 – 0,00582x x = 14.364,3 E1 = 4.055 · 600 = 2.433.000 E2 = 14.364,3 · 540 = 7.756.722 d.s. um 5.3 Mio oder 119 % mehr. d) Ein Kostenmodell (linear – progressiv) hat im Bereich [0 / 40] den Verlauf K1(x) = 200 + 3x. Im Bereich (40 / 100] sind die Kosten progressiv mit folgenden Eigenschaften: Der Übergang erfolgt stetig und stetig differenzierbar. Die Kosten beim Beschäftigungsgrad 100 ME sind 800 GE/ME. Berechnen Sie eine möglichst einfache Gleichung für den zweiten Teil der Kostenfunktion. K2(x) = ax2 + bx + c mit K1(40) = K2(40) = 320 = 1.600 a + 40 b + c und K1’(40) = K2’(40) = 3 = 80 a + b und K2(100) = 800 = 10.000 a + 100 b + c a = 0,08333 b = – 3,67 c = 333,3 037 Chemische Produktion a) Die Abwässer einer Fabrik zeigen eine „Normalverschmutzungsleistung“ von 50 ME/h. Um 10:00 tritt ein Störfall auf und die Verschmutzungsleistung steigt sprunghaft an und fällt exponentiell wieder auf 50 ME/h. Ermitteln Sie die Gleichung für die Verschmutzungsleistung nach 10:00 Uhr. (t = 0 soll 10:00 Uhr bedeuten) Uhrzeit 8:00 Verschmutzung 50 9:00 50 10:00 380 11:00 220 12:00 100 V(t) = 362,31 · e–0,94 t + 50 b) Situation wie in Teil a): Die Gleichung für die Verschmutzungsleistung sei V(t) = 400 · e– 0,8 t + 50. Wann ist die Verschmutzungsleistung nur mehr 2 % über dem Grundpegel? Wie hoch ist die Halbierungszeit der außergewöhnlichen Verschmutzung? Wie hoch ist die Verschmutzungsleistung um 11:30? 51 = 400 · e –0,8 t + 50 t = 7,5 , d.h. um 17:30 c) Situation wie in Teil a) und b): Berechnen Sie die Gleichungen für die Gesamtverschmutzung Gi(t), wenn ein Sammelbecken um 7:00 zum ersten Mal befüllt wird. Wie hoch ist die Gesamtverschmutzung um 18:00? Wie hoch wäre sie ohne Störfall gewesen? Um wie viel Prozent ist die Gesamtverschmutzung um 18:00 höher als ohne Störfall? G1(t) = Error!= 50 t + C1 mit G1(–3) = 0 C1 = 150 G1(t) = 50 t +150 G2(t) = Error!= –500 · e–0,8t + 50t + C2 mit G2(0) = 150 C2 = 650 G2(t) = 650 – 500 · e–0,8t + 50t G2(8) = 1.049,2 G1(8) = 550 also um 90,8 % mehr d) Das Sammelbecken wird am nächsten Tag abgelassen. Der Abfluss verläuft nach einer quadratischen Funktion der Form A(t) = at2 + bt mit folgenden Werten: Zeit 10 20 30 40 in Minuten Abfluss 90 150 120 70 in l/min Berechnen Sie eine möglichst gut passende Gleichung für diesen Vorgang. Berechnen Sie einen geeigneten Definitionsbereich für dieses Modell, wenn negative Abflusswerte nicht erlaubt sein sollen. Berechnen Sie eine Gleichung für die Füllmenge, wenn der Inhalt zum Zeitpunkt t = 0 3.500 Liter war. Wird das Becken leer, wenn ja, wann, wenn nein, wie hoch ist die Restmenge? A(t) = –0,263 t2 + 12,2 t (quadratische Regression mit Schnittpunkt = 0) t [0 / 46,4] M(t) = Error! = 0.0877 t3 – 6,1 t2 + 3.500 leer bei M(t) = 0 t = 33,06 Minuten 038 Forschung a) Der Zeitaufwand für die Entwicklung eines Impfstoffes ist indirekt proportional zu der Höhe der eingesetzten Mittel (also: Z(m) = Error!. Berechnen Sie eine Gleichung für Z(m), wenn folgende Werte bekannt sind. Benutzen Sie eine geeignete Koordinatentransformation und geben Sie die Gleichung mit ganzzahligen Parametern an: m (in Mio. €) Zeitaufwand in Monaten 5 520 7 350 8 300 10 280 lineare Regression mit Error! = am + b liefert a = 0,000323 und b = 0,000414 Z(m) = Error! b) Situation wie im Teil 4.a): die Gleichung für den Zeitaufwand sei Z(m) = Error!. Skizzieren Sie den Funktionsverlauf. Wo ist die Funktion unstetig? Was heißt das für die aufzubringende Geldmenge? Wie lange braucht man, wenn man 10 Mio. € investiert? Pol bei m = 0,05, d.h. unter € 50.000,-- kein Erfolg Z(10) = 251,26 Monate = ca. 21 Jahre c) Der Zeitaufwand eines Prozesses läuft wie Z(T) = Error!. Z ist die Zeit in Minuten, T die Prozesstemperatur in °C und R die Konzentration der Lösung. Bestimmen Sie den Parameter R aus: T Z 50 30 60 80 70 100 80 190 Regression mit Z(T) = k T2 liefert Z(t) = 0,02458 T2 0,02458 = Error! R = 20,3 d) Die Produktionsleistung des Syntheseproduktes steigt in den ersten 20 Minuten linear an und fällt dann linear ab. Berechnen Sie die Gleichungen dieser Prozesse mit: Zeit t in Minuten 5 Menge in ml/min 7 10 10 15 14 20 16 25 11 30 4 Wann ist die Produktionleistung maximal und wie groß ist sie? Verwenden Sie zur Berechnung die Regressionsgleichungen und nicht die realen Daten! P1(t) = 0,62 t + 4 P2(t) = 40,333 – 1,2 t Schnittpunkt t = 19,96 P1(19,96) = 16,38 ml/min 039 In einem technischen Versuch soll der cw-Wert einer Autokarosserie ermittelt werden. Dazu werden bei verschiedenen Windgeschwindigkeiten der Luftwiderstand (eine Kraft, gemessen in N ... Newton) gemessen. Dieser Luftwiderstand ist theoretisch F = Error!. A ist der Querschnitt, die Dichte der Luft und v die Windgeschwindigkeit. Ermitteln Sie aus den Daten: v in m/s 10 15 20 25 Luftwiderstand in N 35 83 150 230 mittels der Methode der kleinsten Quadrate eine Beziehung der Form F = k v2. Wie hoch ist der Luftwiderstandsbeiwert, wenn die Parameter A = 1,6 m2 und = 1,3 kg/m3 sind? F = 0,37 v2 0,37 = cw · 0,8 · 1,3 cw = 0,356 040 Ermitteln Sie eine möglichst gut passende Funktion der Form f(x) = ax 3 + b für folgende Daten: x 2 5 9 10 f(x) 105 220 500 650 f(x) = 0,524x3 + 125 041 Die Produktionsleistung (in Liter pro Minute l/min) einer chemischen Synthese verläuft mit einer Doppelnullstelle an der Stelle 0 und einer weiteren Nullstelle. Ermitteln Sie einen Ansatz, der diese Eigenschaften erzeugt und rechnen Sie eine Regression für folgende Daten: t in min 5 7 10 12 P in l/min 120 300 100 30 P(t) = kt2(t – t0) = at3 + bt2 P(t) = 10,5 t2 – 0,875 t3 042 Die Produktionsleistung (in l/min) einer chemischen Synthese verläuft mit P(t) = 10t2 – 0,8t3. Ermitteln Sie ein vernünftiges Definitionsintervall für diesen Prozess. Wann hat die Leistung ein Maximum?. Wie hoch ist die gesamte Produktionsmenge? 10t2 – 0,8t3 = 0 t = 12,5 also t [0 / 12,5] Error! = 20t – 2,4t2 = 0 t = 8,33 min M = Error! = Error!– 0,2 t4 + C mit C = 0 und M(12,5) = 16.276 l 043 Die Wärmedämmung W einer Wand hängt von der Wandfläche s mit W(s) = Error! ab. Ermitteln Sie aus folgenden Daten den Faktor r: s in cm 10 15 20 W in geeigneten Einheiten 50 80 100 W(s) = 0,29 s2 r = 3,45 044 Ermitteln Sie die Bestimmungsgleichungen für a und b für die Methode der kleinsten Quadrate bei dem Ansatz: y = a x3 + b (ax6 + bx3 = yx3 ax3 + bn = y) Ermitteln Sie die Gleichung für folgende Werte: x 2 4 7 y 500 800 200 121.809 a + 415 b = 123.800 und 415 a + 3 b = 1.500 y = –1,3x3 + 679,789 045 Schädlinge vermehren sich in einer Monokultur in den ersten Tagen exponentiell. Berechnen Sie für die folgenden Werte eine exponentielle Regression und geben Sie den Korrelationskoeffizienten an. Verwenden Sie: 9. April (Ende) … t = 0, 1 t-Intervall = 1 Tag: Datum 12. 4. 14. 4. 30. 4 Schädlingszahl 300 700 2.000 Die Schädlingszahl ist dabei in Schädlingen pro Flächeneinheit angegeben. Wie hoch ist die Wachstumsrate pro Tag und pro Woche? Wie groß ist die Verdopplungszeit und wann (Datum) ist mit einer Schädlingszahl von 10.000 zu rechnen? S(t) = 343 · e0,09t 9,4 % pro Tag 88 % pro Woche bei t = 37,5 (18. Mai) Verdopplung 7,7 Tage 10000 046 Ein Becken ist mit 31.900 l einer Substanz gefüllt und wird über einen Kanal entleert. Die Abflußmenge pro Stunde ist durch folgende Liste gegeben: t 10:00 11:00 13:00 A 1.500 1.000 600 in l/h Berechnen Sie für A(t) eine Regressionsgerade (Korrelationskoeffizient?). Wie lange fließt die Substanz ab? Negative Werte von A(t) seien nicht erlaubt! Wird das Becken leer? Wenn ja, wann? A(t) = 4.271,4 – 285,71 t Definitionsbereich t [ 0 / 15] Das Becken wird nicht leer. Restmenge = 2.985,86 l M(t) = 142,85 t2 – 4.271,4 t + 31.900 = 0 t = 14,5 also um 14:30 ist das Becken leer. 047 Ein Stahlträger hat eine Tragfähigkeit, die von seiner Höhe h so abhängt: T(h) = kh2. T in MN, h in dm. In einem Versuch werden folgende Werte ermittelt: h T 3 17 5 55 7 62 9 120 in dm in MN Ermitteln Sie mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadrate eine möglichst gut passende Funktion. Wie hoch ist k? Wie hoch muss ein Träger gemacht werden, damit die Tragkraft mindestens 200 MN beträgt? Welche Tragkraft hat ein Träger mit der Höhe 8 dm? T(h) = 1,48 h2 200 = 1,48 h2 h = 11,6 dm T(8) = 94,7 MN 048 Ermitteln Sie für folgende Datenpaare eine möglichst gut passende Funktion der Form f(x) = ax3 + b: x 2 4 6 8 10 f(x) 17 24 111 200 300 f(x) = 0,291x3 + 35,735 049 Der Bremsweg s ist eine Funktion der Beschleunigung: s = Error!. Berechnen Sie die Bremswirkung a aus: Geschwindigkeit in m/s 10 15 20 25 Bremsweg 10 25 45 70 2 2 s = 0,11 v a = 4,5 m/s 050 Ermitteln Sie die Bestimmungsgleichungen für den Ansatz: y = ax4 + bx2 + c für die Methode der kleinsten Quadrate. a x8 + b x6 = x4y a x6 + b x4 = x2y a x4 + b x2 + nc = y 051 Ermitteln Sie einen Ansatz für eine Funktion, deren Funktionsgraph eine Dreifachnullstelle an der Stelle 0 und eine zusätzliche Einfachnullstelle hat. Stellen Sie den Ansatz so dar, dass er für die Methode der kleinsten Quadrate die richtige Form hat (Polynom). Skizzieren Sie den Funktionsgraph. f(x) = kx3 (x0 – x) = ax4 + bx3 052 Die Produktionleistung einer Anlage läuft wie P(t) = at4 + bt2. Ermitteln Sie die Gleichung dieser Produktionsleistung mit der Methode der kleinsten Quadrate: t in Stunden 4 7 8 10 3 P in m /h 10 30 80 20 P(t) = 1,723t2 – 0,015t4 053 Die Produktionsleistung einer Anlage ist P(t) = 338t2 – 2t4.(t in Stunden, P in m3/h). Wann hat diese Funktion Nullstellen. Wann tritt die maximale Produktionsleistung auf und wie hoch ist sie? N(0/0);0 E (9,2 / 14.280,5);0 054 Die Produktionsleistung einer Anlage ist P(t) = 338t2 – 2t4.(t in Stunden, P in m3/h). Wie lautet die Gleichung für die Gesamtproduktion. Wie hoch ist die Gesamtproduktionsmenge nach 13 Stunden? Welcher Anteil der Produktion wird in den ersten vier Stunden erwirtschaftet. M(13) = 99.011,4 m3 M(4) = 6.801 Anteil = 6,9 % 055 Ermitteln Sie für den Zusammenhang L(A) = Error!den Parameter k aus folgenden Daten: A 3 5 7 9 L 3 10 30 70 L(A) = 0,094 A3 k = 10,6 056 Erstellen Sie einen Ansatz für eine Funktion mit einer Doppelnullstelle bei t = 0 und einer weiteren Einfachnullstelle und rechnen Sie eine Regression mit folgenden Daten: x 2 4 6 8 10 f(x) 17 24 111 200 300 f(x) = ax3 + bx2 f(x) = 0,028x3 + 2,76x2 057 Die Produktionsleistung P(t) = 2,8t2 – 0,03t3 . Wann ist die Produktionsleistung maximal und wie hoch ist die maximale Produktionsleistung? Wo hat die Produktionsleistung Nullstellen. Skizzieren Sie den Funktionsgraph. Wie hoch ist die Gesamtproduktion nach 50 Stunden? P(62,2) = 3.613,5 Nullstellen bei t = 0 und 93,3 M(50) = 69.792 058 Berechnen Sie die Gleichung einer Nachfragefunktion p(x) = a x 3 + bx + c für folgende Daten: x p(x) 3 500 4 800 7 200 9 100 Wie hoch ist der Prohibitivpreis? Wie hoch ist die Sättigungsmenge? Bei welchem Preis ist der Erlös maximal? Wie hoch ist der maximale Erlös? p(x) = –0,4x3 – 50,4x + 806,9 2.547,6 p(5,44) = 468,3 PP = 806,9 SM = 9,4 Emax = 059 Beispiel 1: Straßenverkehr a) Die Verkehrsbelastung einer hochrangigen Straße läuft wie in der angegebenen Skizze. Ermitteln Sie einen Ansatz, der diesen Kurvenverlauf ergeben kann. b) Rechnen Sie für die unten angegebenen Daten eine Regression der Form V(t) = at3 + bt2 + ct. Verwenden Sie für die Belegung der Variablen t die Uhrzeiten und für V die Einheit Fz/h. Uhrzeit t 8:00 10:00 12:00 15:00 Verkehrsdichte V 1.000 600 400 900 Fahrzeuge pro Stunde a t6 + b t5 + c t4 = t3V a t5 + b t4 + c t3 = t2V a t4 + b t3 + c t2 = t V 15.638.753 a + 1.1140.975 b + 85.457 c = 4.840.700 1.140.975 a + 85.457 b + 6.615 c = 384.100 85.457 a + 6.615 b + 533 c = 32.300 a = 4,56 b = – 114,17 c = 746 V(t) = 4,56 t3 – 114,17 t2 + 746 c) Die Verkehrsdichte V(t), abhängig von der Uhrzeit betrage V(t) = – 1,97 t4 + 95 t3 – 1.648 t2 + 12.151 t – 31.500 für t [ 6 / 18]. Wann treten relative Extremwerte für die Verkehrsbelastung auf und wie hoch sind sie? Die Uhrzeiten können auf eine Dezimale gerundet werden. Geben Sie an, welche Extremwerte relative Maxima und welche Minima sind. Error! = 0 t1 = 8,0 t2 = 11,8 und t3 = 16,4 mit V(8,0) = 807 Fz/h Max. V(11,8) = 308 Fz/h Min. und V(16,4) = 1061 Fz/h Max. d) Die Verkehrsdichte V(t), abhängig von der Uhrzeit betrage V(t) = – 1,97 t4 + 95 t3 – 1.648 t2 + 12.151 t – 31.500 für t [ 6 / 18]. Berechnen Sie eine Gleichung für den Gesamtverkehr G(t). Wie hoch ist die Gesamtverkehrsbelastung in der Zeit zwischen 6:00 und 18:00 Uhr? G(t) = Error! = –0,394 t5 + 23,75 t4 – 549,3 t3 + 6.075,5 t2 – 31.500 t + C mit G(6) = 0 C = 61.221,6 G(t) = –0,394 t5 + 23,75 t4 – 549,3 t3 + 6.075,5 t2 – 31.500 t + 61.221,6 G(18) = 7.664 Fahrzeuge 060 Beispiel 2: Schmelze a) Eine Stahlschmelze kühlt exponentiell gegen die Temperatur 20 °C ab. Die Temperatur der Schmelze wurde zu folgenden Zeiten bestimmt: Zeitpunkt in h 3 6 8 10 Temperatur in °C 830 520 300 240 Berechnen Sie eine möglichst gut passende Gleichung für diesen Vorgang. T(t) = 1.477 · e–0,19 t + 20 b) Eine Stahlschmelze kühlt mit T(t) = 700 · e –0,2 t + 30 ab. T in °C, t in Stunden. Gegen welche Temperatur konvergiert T(t)? Wie hoch ist die Halbierungszeit des Temperaturteils über der Konvergenztemperatur? Wann hat die Schmelze nur mehr 32 °C? Wie heiß ist die Schmelze nach 2:30 h? lim; T(t) = 30 e-0,2t = 0,5 Halbierungszeit t = 3,47 h 32 = T(t) t = 29,3 T(29,3) = 32 T(2,5) t→∞ = 454,6 °C c) Im Schmelzofen wächst die Produktionsleistung (in Tonnen pro Stunde) in den ersten 5 Stunden der Produktion linear, dann fällt sie linear. Die Werte sind: Zeit in h 2 3 4 5 6 7 8 Produktionsleistung in t/h 20 33 39 55 50 48 39 Berechnen Sie zwei möglichst gut passende lineare Funktionen für diesen Vorgang. Verwenden Sie speziell für die ersten 5 Stunden den Ansatz P(t) = a t. P1(t) = 10,56 t für t [0 / 5] und P2(t) = 80,5 – 5 t für t [5 / 16] d) Im Schmelzofen wächst die Produktionsleistung (in Tonnen pro Stunde) in den ersten 5 Stunden der Produktion linear, dann fällt sie linear. Die Gleichungen für diese Produktionsleistungen lauten: P1(t) = 10 t für t [0 / 5]. Berechnen Sie P2(t) als lineare Funktion so, dass die Gesamtfunktion stetig ist und bei t = 15 eine Nullstelle hat. Berechnen Sie die Gleichungen für die Gesamtmenge. Wie hoch ist die Gesamtproduktion nach 15 Stunden? P2(t) = at + b mit 50 = a · 5 + b und 0 = 15a + b a = – 5 b = 75 P2(t) = 75 – 5t für t [5 / 15]. G1(t) = Error! = 5t2 = G1(t) und G2(t) = 75 t – 2,5 t2 + C mit G1(5) = 125 = G2(5) = 312,5 + C C = – 187,5 G2(t) = 75t – 2,5t2 – 187,5 G2(15) = 375 t 061 Beispiel 3: Getreide a) Der Zuwachs von Getreideerträgen ist g(t) = Error!. (t in Jahren) Berechnen Sie eine möglichst gut passende Gleichung für g(t) für folgende Zahlen: Jahr 2000 2001 2002 2003 2004 Zuwachs in 1.000 t/a2 800 500 300 300 200 Skalieren Sie die Zeitachse mit Jahr 2000 … t = 0 Rechnen Sie mit einer genügend hohen Anzahl von Stellen und erweitern Sie den Bruch so, dass keine Dezimalzahlen im Zähler und Nenner vorkommen. Koordinatentransformation Error! = at + b führt das Problem auf eine lineare Regression zurück g(t) = Error! b) Der Zuwachs von Getreideerträgen sei g(t) = Error!mit der Zeitskalierung von a). Berechnen Sie die Gleichung für die jährliche Getreideernte G(t), wenn Error!= g(t) und G(0) = 9.000 ME/a (Mengeneinheiten pro Jahr). Wie hoch ist die Getreideernte im Jahr 2010? G(t) = Error!= 1428,6 ln(t + 2) + C mit 9.000 = 990,2 + C G(t) = 1428,6 ln(t + 2) + 8.009,8 G(10) = 11.596 ME c) Die jährliche Getreideernte kann nicht beliebig gesteigert werden. G(t) sei eine Funktion, die zum Idealwert 12.000 konvergiert und die Form G(t) = Error! annimmt. Berechnen Sie die Parameter a, b und c so, dass G(0) = 4.000 und G(10) = 8.000 ist. lim; G(t) = 12.000 = a 4.000 = Error! 4.000c = b und 8.000 = Error! 80.000 + 8.000 c t→∞ = 120.000 + b – 40.000 + 8.000 c = b – 40.000 + 8.000 c = 4.000c c = 10 und b = 40.000 daher G(t) = Error! d) Berechnen Sie den Grenzwert von G(t) = Error!. Wie lange dauert es, bis der Funktionswert 95 % des Grenzwertes groß ist? lim; G(t) = 50 45 = G(t) t = 26 t→∞ 062 Beispiel 4: Produktion a) Ermitteln Sie aus folgenden Werten durch quadratische Regression eine möglichst gut passende Kostenfunktion und eine Nachfragefunktion: x 4 6 7 10 K 120 160 210 300 p 50 40 15 4 K(x) = x2 + 16,6x + 35,2 p(x) = 0,533x2 – 15,6x + 105,84 b) Berechnen Sie für K(x) = x2 + 16x + 49 und p(x) = 0,5x2 – 16x + 105 die langfristige Preisuntergrenze, die Sättigungsmenge und die Gewinngrenzen. Error! = Error! = 0 xBO = 7 LPU = Error!(7) = 30 Sättigungsmenge : p(x) = 0 x = 9,22 Gewinngrenzen: p(x) · x = K(x) Gewinn für x [0,62 / 5,67] c) Ein Prozess läuft im Bereich t [0 / 10] wie P(t) = a t . Berechnen Sie den Parameter a durch Regression aus: t 2 4 6 10 P(t) 9 17 25 40 P(t) = 4,08 t Lineare Regression mit Schnittpunkt = 0 d) Die Gleichungen für die Produktionsleistungen sollen: P 1(t) = 4t für t [0 / 10] und P2(t) = Error! für t [10 / 30]. Berechnen Sie die Gleichungen für die Gesamtproduktion G(t) mit G(0) = 0 G1(t) = Error! = 2t2 = G1(t) G2(t) = Error! = Error! + C mit G1(10) = G2(10) = 200 = – 400 + C C = 600 G2(t) = 600 – Error! = Error! 063 Ermitteln Sie eine möglichst gut passende Funktion der Form y = ax3 + b für folgende Daten: x 6 10 17 y 8.000 10.300 14.560 Um welchen Prozentsatz weicht der Wert an der Stelle 10 vom tatsächlichen ab? A a x6 + b x3 = x3y und a x3 + b 1 = y 25.184.225 a + 6.129 b = 83.561.280 und 6.129a + 3b = 32860 a = 1,3 b = 8.303 y = 1,3x3 + 8.303 Abweichung = Error! = – 6,8 % 064 Ermitteln Sie für den Ansatz: y = ax5 + bx2 + c und den Daten: x 2 4 5 6 y 4.500 6.000 2.400 300 eine möglichst gut passende Funktion der obigen Form. a x10 + b x7 + c x5 = yx5 und a x7 + b x4 + c x2 = yx2 und a x5 + b x2 + c 1 = y 71.281.401a + 374.573b + 11.957 c = 16.120.800 374.573a + 2.193b + 81 c = 184.800 11.957 a + 81 b + 4 c = 13.200 a = – 0,938 b = 75,6 c = 4.574 y = –0,938x5 + 75,6 x2 + 4.574 065 Der Zusammenhang zwischen den Größen R und s ist R = Error!. Ermitteln Sie eine möglichst gut passende Funktion aus den Daten: s 600 900 1.500 R 66 82 130 R(s) = a s a s2 = Rs 3.420.000 a = 308.400 a = 0,09017 Error! = 0,09017 k = 11,09 066 Ermitteln Sie für den nebenstehenden Funktionsgraph einen Ansatz und geben Sie die Bestimmungsgleichungen für die Methode der kleinsten Quadrate an. y = ax3 + bx2 a x6 + b x5 = yx3 und a x5 + b x4 = yx2 067 Die Produktionsleistung einer Synthese sei P(t) = 30 t2 – t3. t in Minuten und P in kg/min. Wann ist die Produktion zu Ende? Wie hoch ist die maximale Produktionsleistung und wann tritt sie auf? 30 t2 – t3 = 0 t1 = 0 und t2 = 30 Error! = 60t – 3t2 = 0 t = 20 P(20) = 4.000 kg/h 068 Die Produktionsleistung einer Synthese sei P(t) = 30 t2 – t3. t in Minuten und P in kg/min. Ermitteln Sie ein vernünftiges Defintionsintervall für t. Bestimmen Sie eine Gleichung für die produzierte Gesamtmenge. Wann ist die Produktion zu stoppen, wenn eine Menge von 50.000 kg reicht? t [0 / 30] M(t) = Error! = 10t3 – 0,25t4 + C mit M(0) = 0 C = 0 M(t) = 10t3 – 0,25t4 = 50.000 t = 22,5 (und t = 35,5) 069 Der wertmäßige Umsatz (Erlös) E eines Produktes hängt von den eingesetzten Werbemitteln w ab. Durch Regression ermittelt man den Zusammenhang: E(w) = w3 – 36w2 + 432w + 270 (E in € 1.000,-- , w in € 10.000). Berechnen Sie alle Extremwerte und Wendepunkte und skizzieren Sie den Funktionsverlauf in t [0 / 15] In welchem Bereich ist die Funktion ein vernünftiges Modell der Realität, wenn man annimmt, daß der Absatzzuwachs sich nicht über eine Marktsättigung hinaus durch Werbung steigern läßt. Error! = 3w2 – 72w + 432 = 0 w = 12 und Error! = 6w – 72 w = 12 TE (12/1.998) Welcher Erlös lässt sich mit einem Werbeaufwand von € 40.000,- erzielen? Wie hoch muß der Werbeaufwand sein, damit der Erlös 1 Mio. € beträgt? Der Betrieb hat momentan ein Werbebudget von € 40.000,--. Wie stark läßt sich der Absatz durch eine geringfügige Steigerung der Werbeausgaben vergrößern? Geben Sie den Wert in Erlös pro Werbemitteleinheit an. E(4) = 1.488 GE = 1.488.000 € E(w) = 1.000 w = 2,007 d. h. € 20.007,-Error!(4) = 192 d.h. Error! = 19,2 Jeder eingesetzte Werbeeuro erhöht den Erlös um € 19,2. 070 Beispiel 1: Abwasser a) Während eines Gewitters müssen die Abwasserrohre folgende Abflüsse bewältigen: Uhrzeit Abflussleistung 10:00 0 10:20 380 10:30 500 10:40 120 l/min Berechnen Sie eine möglichst gut passende Funktion der Form A(t) = at3 + bt2 für diese Daten. Verwenden Sie dabei die Transformation: 10:00 … t = 0, ein t-Intervall = 10 Minuten a t6 + b t5 = At3 und a t5 + b t4 = At2 4.889 a + 1.299b = 24.220 und 1.299 a + 353 b = 7.940 a = –45,93 und b = 191,5 A(t) = 191,5t2 – 45,93t3 b) Die Abflussleistung (in Liter pro Minuten) sei A(t) = 180t 2 – 45t3. (Skalierung wie im Punkt a)). Wann ist das Gewitter zu Ende? Wann ist der Höhepunkt des Gewitters? Wie hoch ist die maximale Abflussleistung? Gewitter zu Ende: A(t) = 0 t1 = 0 (Beginn) und t2 = 4 (10:40) Höhepunkt: Error! = 0 = 360 t – 135t2 = 0 t1 = 0 und t2 = 2,66… (10:27) l/min Amax(2,6…) = 426,7 c) Die Abflussleistung (in Liter pro Minuten) sei A(t) = 180t2 – 45t3. (Skalierung wie im Punkt a)). Wie hoch ist der gesamte Abfluss G(t)? Welche Menge Wasser ist zwischen 10:00 Uhr und 10:40 Uhr abzuführen? G(t) = Error! = 60t3 – Error! + C mit G(0) = 0 C = 0 G(t) = 60t3 – 11,25t4 G(4) = 960 d.h. 9.600 l d) Die Abwasserrohre können die Wassermengen W® = a r4 transportieren. Berechnen Sie den Parameter a aus folgenden Werten: Radius in m 0,2 Wassermengen W in l/min 100 0,5 200 1 500 2 3.000 Welche Wassermengen kann ein Rohr mit dem Radius 0,7 m abtransportieren. Welchen Radius braucht ein Abwasserrohr, damit man 5.000 l/min abfließen lassen kann? W® = 188,76 r4 257 a = 48.512,66 a = 188,76 W® = 188,76 r4 W(0,7) = 45,3 l/min 5.000 = 188,76 r4 r = 2,27 m 071 Beispiel 2: Störfall a) In einer Kläranlage tritt um 10:00 ein Störfall auf. Die Verschmutzungsleistung steigt dadurch vom normalen Grundpegel 20 ml/h schlagartig auf einen erhöhten Wert und fällt dann durch Auswaschung exponentiell wieder auf den Grundpegel zurück. Die folgenden Werte wurden gemessen: A Uhrzeit 10:00 11:00 13:00 17:00 Verschmutzung in ml/h 350 120 80 40 Berechnen Sie durch Regression eine möglichst gut passende Gleichung für die Verschmutzungsleistung inklusive Grundpegel mit t = 0 … 10:00 Uhr. V(t) = 211,48 • e–0,36 t + 20 b) Die Verschmutzungsleistung für die Situation in a) sei V(t) = 200 · e–0,4t + 20 für t [0 / ). Wann erreicht die Verschmutzungsleistung wieder „normale“ Werte (soll heißen: 2 % über dem Grundpegel). Wie hoch ist die Halbierungszeit für den Teil über dem Grundpegel? 200 · e–0,4t + 20 = 1,02 · 20 = 20,4 t = 15,53, d.h. 1: 32 0,5 = e–0,4t t = 1,73 h c) Die Verschmutzungsleistung für die Situation in a) sei V(t) = 200 · e–0,4t + 20 für t [0 / ). Berechnen Sie die Gleichung der Gesamtverschmutzung ab 10:00 (d.h. G(0) = 0). Wie hoch ist die Gesamtverschmutzung um 24:00 Uhr? Wie hoch wäre die Gesamtverschmutzung ohne Störfall um 24:00 Uhr? Um welchen Prozentsatz ist die Gesamtverschmutzung mit Störfall höher als ohne? G(t) = Error! = 20t – 500 e–0,4t + C mit G(0) = 0 C = 500 G(t) = 20t – 500 (e–0,4t – 1) G(14) = 778,2 ml Go(14) = 20 · 14 = 280 ml Faktor = 778 = 2,78 also um 178 % 2;280 d) Die Gleichung für die Gesamtverschmutzung mit Störfall zum Zeitpunkt t = 0 in einem Klärbecken sei Gu(t) = 30t + 600 · (1 – e– 0,3t ), ohne Störfall Go(t) = 30t. Skizzieren Sie den Verlauf der beiden Funktionen. Gegen welchen Wert konvergiert die Differenz Gu – Go für t ? lim; t→∞ (600 (1 – e–0,3t) = 600 A 072 Beispiel 3: Kosten a) Ein Betrieb ermittelt folgende Kostenstruktur: Beschäftigungsgrad x in ME 10 15 20 Kosten in GE 600 700 720 Ermitteln Sie die Gleichung einer S-förmigen Kostenfunktion durch Regression. 25 800 30 900 K(x) = 0,0667x3 – 3,829x2 + 81,5x + 104 b) Nachfrage und Preise eines Produktes zeigen folgendes Verhalten: Nachfrage in ME 10 15 20 Preis in GE/ME 150 80 50 Berechnen Sie eine Nachfragefunktion p(x) durch quadratische Regression! 30 9 p(x) = 0,34x2 – 20,5x + 318,2 c) Für die Kostenfunktion K(x) = 0,07x3 – 3,8x2 + 80x + 100 für x [0 / 30] und p(x) = 0,3x2 – 20x + 300 berechnen Sie: das Betriebsoptimum und die langfristige Preisuntergrenze die Cournotmenge und den Cournotpreis den maximalen Gewinn – K; (x) = 0,07x2 – 3,8x + 80 + Error! – LPU = K; (28,05) = 32 GE/ME Error! = 0,14x – 3,8 – Error! = 0 x = 28,05 ME = BO G(x) = p(x) · x – K(x) Error! = 0,69x2 – 32,4x + 220 = 0 xc = 8,23 ME und pc = 155,7 GE/ME Gmax = G(8,23) = 741,5 GE d) Das linear-progressive Kostenmodell geht davon aus, dass bis zum Beschäftigungsgrad 10 ME die Kosten linear steigen und ab dieser Menge progressiv steigen. Berechnen Sie die Gleichungen dieser Teile der Kostenfunktion mit: Bis zum Beschäftigungsgrad 10 ME sind die Grenzkosten konstant mit 7 GE/ME und die Fixkosten 20 GE. Sowohl die Kosten als auch die Grenzkosten schließen stetig an der Stelle 10 an und K2(13) = 130 GE K1(x) = 7x + 20 K2(x) = ax2 + bx + c und Error!= 2ax + b K1(10) = 90 = K2(10) = 100a + 10b + c Error! = 7 = Error! = 20a + b K2(13) = 130 = 169a + 13b + c a = 2,11 b = –35,22 c = 231,11 K2(x) = 2,11x2 – 35,22x + 231,11 073 Beispiel 4: Chemische Synthese A a) Die Produktionsleistung einer Synthese läuft wie P(t) = Error!. t in Minuten, P in Liter/Minuten. Es werden folgende Werte gemessen: Zeit in min 10 20 30 40 Produktionsleistung in l/min 120 100 70 50 Rechnen Sie die Regression mit mindestens 5 Stellen nach dem Komma und erweitern Sie die Funktionsgleichung so, dass keine Dezimalzahlen in der Darstellung auftreten. Koordinatentransformation Error! = at + b liefert lineare Regression mit Error! = 0,00039t + 0,0033 daher P(t) = Error! b) Die Produktionsleistung (Einheiten wie in a)) sei P(t) = Error!. Gegen welchen Wert konvergiert die Produktionsleistung. Berechnen Sie die Gleichung für die Gesamtmenge. Wann erreicht die Gesamtmenge den Wert 3.000 Liter? Kann man jede beliebige Menge erreichen, wenn man nur genug Zeit hat (d.h. konvergiert die Funktion G(t), wenn ja, gegen welchen Wert?) G(t) = Error! = 2.500 ln(2t + 15) + C mit G(0) = 0 C = –6.770,12 G(t) = 2.500 ln(2t + 15) – 6.770,12 G(t) = 3.000 t = 17,4 G(17,4) = 3000 lim; t→∞ G(t) = konvergiert nicht, jeder Wert ist erreichbar. c) Ein zweiter Prozess läuft unter Erwärmung (10 Minuten lang) und späterer Abkühlung ab: Zeit in Minuten 0 5 10 15 20 Temperatur 20 35 42 35 30 Sowohl Erwärmung als auch Abkühlung laufen linear ab. Berechnen Sie die Gleichungen für diese zwei Vorgänge durch Regression. T1(t) = 2,2t + 21,33 für t [0/10] und T2(t) = 53,67 – 1,2t für t [10/ 44,7] d) Die drei Parameter Temperatur T, Ausbeute A und Energieaufwand E werden gemessen: T 20 30 40 50 in °C A 320 300 200 120 in ME E 10 50 70 100 in kWh Berechnen Sie die linearen Zusammenhänge E(T) und A(E) und geben Sie die Korrelationskoeffizienten an. Wie hoch ist die Ausbeute bei einem Energieaufwand von 80 kWh und bei 200 kWh. Interpretieren Sie die Ergebnisse. E(T) = 2,9T – 44 r = 99,2 % gut A(E) = 367,5 – 2,3E r = – 93,6 % gut A(80) = 183,5 ME extrapolieren) 074 Eine Funktion hat einen Funktionsgraphen mit einer Dreifachnullstelle an der Stelle 0 und einer A(200) = –92,5 (Unsinn, nicht Doppelnullstelle an der Stelle n (n > 0). Skizzieren Sie fachlich richtig den Graph und erstellen Sie einen Ansatz für die Funktionsgleichung. Formen Sie diese Gleichung so um, dass sie die richtige Form für die Methode der kleinsten Quadrate hat. y(x) = kx3(a – x)2 = ax5 + bx4 + cx3 075 Ermitteln Sie für den Ansatz: y = ax5 + bx2 und den Daten: x 2 4 5 y 4.500 6.000 1.000 eine möglichst gut passende Funktion der obigen Form. a x10 + b x7 = yx5 und a x7 + b x4 = yx2 10.815.225a + 94.637b = 9.413.000 94.637a + 897b = 139.000 a = – 6,32 b = 822 y = 822x2 – 6,32x5 076 . Eine Größe K hängt von einer anderen Größe r so ab: K® = Error!. Ermitteln Sie den Parameter p so, dass die Gleichung die folgenden Daten möglichst gut darstellt: r 2 4 6 K 13 50 130 K® = a r2 a r4 = Kr2 1568a = 5532 a = 3,52806 Error! = 3,52806 a = 0,0945 077 Eine chemische Synthese funktioniert nach P(t) = at2 + b. P ist die Produktionsleistung in kg/h, t die Zeit in Stunden. Berechnen Sie eine möglichst gut passende Funktion dieser Form für die folgenden Daten: t 4 6 10 P 1.100 800 200 a t4 + b t2 = Pt2 und a t2 + b 1 = P 11.552 a + 152 b = 66.400 und 152 a + 3 b = 2.100 a = – 10,38781 und b = 1.226,3 P(t) = 1.226,3 – 10,4 t2 078 Die Produktionsleistung (Einheiten wie in 4.) sei P(t) = 86,7 – 0,3t2. Wann ist die Produktion zu Ende? Wie hoch ist die maximale Produktionsleistung und wann tritt sie auf? 86,7 – 0,3 t2 = 0 t = 17 Error! = 0,6 t = 0 t = 0 P(0) = 86,7 kg/h 079 Mit P(t) = 86,7 – 0,3 t2: Bestimmen Sie eine Gleichung für die produzierte Gesamtmenge. Wie hoch ist die Gesamtmenge nach 14 Stunden? M(t) = 86,7 t – 0,1 t3 M(14) = 934,4 kg 080 Die Gesamtmenge bei einer chemischen Synthese sei M(t) = 173,4t – 0,2t3 (M in kg, t in Stunden). Ermitteln Sie ein vernünftiges Intervall für diesen Vorgang, wobei M(t) in diesem Intervall nicht fallen darf. Wie hoch ist der Anteil der unbrauchbaren Menge, wenn die Produktion der letzten 2 Stunden unbrauchbar sind. Error! = 173,4 – 0,6 t2 = 0 t = 17 daher t [0 / 17] Anteil = Error! = Error! = 2 % 081 Der Schadstoffausstoß pro km ist proportional zum Quadrat der gefahrenen Geschwindigkeit, d.h. S(v) = av2. Berechnen Sie a aus: v 80 100 120 km/h S 30 50 80 Schadstoffeinheiten Um welchen Prozentsatz steigt der Schadstoffausstoß bei einer Erhöhung der Geschwindigkeit um 20 %? 348.320.000 a = 18.440 a = 0,00529 daher S(v) = 0,00529v2 Prozent 082 S v2 1,22 = 1,44 um 44 Wolkenbruch a) Bei einem Wolkenbruch verläuft die Regenmenge pro Stunde wie in der Skizze: Ermitteln Sie einen Ansatz für R(t), der diese Funktionsform liefert. R(t) = k t2 (t0 – t) = at3 + bt2 b) Ermitteln Sie für den Ansatz R(t) = at4 + bt3 + ct2 mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadrate eine möglichst gut passende Funktion für die folgenden Daten: Zeit in Minuten 5 10 15 20 Regenleistung in mm/min 3 7 25 4 Bestimmungsgleichungen: a t8 + b t7 + c t6 = t4R 28.263.281.250 a + 1.460.937.500 b + 76.406.250 c = 1.977.500 a t7 + b t6 + c t5 = t3R 1.460.937.500 a + 76.406.250 b + 4.062.500 c = 123.750 a t6 + b t5 + c t4 = t2R 76.406.250 a + 4.062.500 b + 221.250 c = 8.000 a = – 0,00211 b = 0,05462 c = –0,23956 R(t) = –0,00211 t4 + 0,05462 t3 – 0,23956 t2 c) Die Regenleistung sei R(t) = –0,002 t4 +0,04 t3. R in mm/min, t in Minuten. Wann ist der Wolkenbruch zu Ende (geben Sie ein vernünftiges Definitionsintervall an)? Wann und mit welcher Menge hat der Wolkenbruch sein Maximum? Wie hoch ist die Gesamtregenmenge? Ende R(t) = 0 = –0,002 t4 +0,04 t3 t = 20 vernünftiges Intervall t [0 / 20] Maximum Error! = 0 = –0,008 t3 + 0,12 t2 t = 15 R(15) = 33,75 mm/min Gesamtmenge = M(t) = Error! = 0,01 t4 – 0,0004 t5 und M(20) = 320 mm d) Die Gleichung für die Gesamtregenmenge sei M(t) = k (25t4 – t5) für t [0 / 20]. Welcher Anteil der Gesamtregenmenge fällt in den letzten 5 Minuten? Anteil = Error! = 083 Error! = 36,7 % Bakterien a) Bakterien vermehren sich in einem Lebensmittel zumindest am Anfang exponentiell. Es liegen folgende Daten vor: Zeit: 0 5 10 20 Stunden Bakteriendichte 80 300 2.400 8.000 Anzahl pro g Rechnen Sie für diese Werte eine exponentielle Regression. Wie hoch ist der Korrelationskoeffizient? Um welchen Prozentsatz unterscheiden sich der gerechnete und der wahre Wert bei t = 10 (Basis = wahrer Wert)? Trendanalyse in EXCEL ergibt: 106,69 · e0,23 t mit r = 96,7 % Fehler = Error! = Error! = 54 % A b) Die Bakterienzahl sei B(t) = 107 · e0,2 t t in Stunden, B in Anzahl pro Gramm. Berechnen Sie die Verdopplungszeit und die Wachstumsrate pro Stunde. Wann wird die Bakterienanzahl von 20.000 g–1 erreicht? 2 = e0,2 t Verdopplungszeit t = 3,5 h 20.000 = 107 · e0,2 t t = 26,2 h c) Die Bakterienanzahl in einem gekühlten Nahrungsmittel wächst mit B(t) = 107 · e0,2t. t bedeutet dabei die Zeit in Stunden. Das Nahrungsmittel ist bei einer Bakteriendichte von 20.000 g –1 verdorben. Die Kühlkette am Beginn des Prozesses wird für zwei Stunden unterbrochen. Ungekühlt vermehren sich die Bakterien mit einer Verdopplungszeit von nur 30 Minuten. Berechnen Sie die Gleichungen für die Bereiche [0 / 2) und [2 / ) für die Bakteriendichte. Wann ist das Nahrungsmittel jetzt verdorben? B1(t) = 107 · 22t = 107 · 4t = 107 · e 1,386 t für t [0 / 2) B1(2) = 1.712 neue Zeitkoordinate u B 2(u) = 1.712 · e0,2 u (mit u = t – 2, daher B2(t) = 1147,6 · e0,2t ) 1.712 · e0,2 u = 20.000 u = 12,3 h t = 14,3 h, also um 11,9 h kürzer d) Der finanzielle Aufwand für die Kühlung liefert folgende Werte: K 5 10 15 20 Kühlung um °C F 400 1.200 1.800 3.200 finanzieller Aufwand in EUR/Monat Rechnen Sie eine möglichst einfache (polynomische) Regression für F(K). Berücksichten Sie dabei, dass keine Kühlung natürlich kein Geld kostet und dass der Zusammenhang progressiv ist. progressiv quadratisch F(0) = 0 F(K) = aK2 + bK (polynomische Regression mit Schnittpunkt = 2 0) F(K) = 5,03 K + 56,1 K 084 Autos a) Der Bremsweg ist proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit, also s(v) = k v 2. Rechnen Sie für folgende Versuchsserie eine Regression: Geschwindigkeit in km/h 20 40 60 80 Bremsweg in m 2 10 30 50 Unter Berücksichtigung der Bremswirkung a ist s(v) = Error!. Berechnen Sie a. Um welchen Prozentsatz ändert sich der Bremsweg, wenn die Geschwindigkeit um 20 % höher ist? 4 F(k) = ; ; (kvi2 – si)2 Minimum Error! = Error!2 (kvi2 – si) vi2 = 0 k vi4 = sivi2 i=1 56.640.000 k = 444.800 k = 0,00785 k = Error! a = Error!= 63,7 s v2 daher 1,22 = 1,44 also um 44 % b) Um den Erlös beim Verkauf eines PKW-Modells zu steigern, wird ein Werbebugdet eingeplant. Durch Marketingmaßnahmen weiß man, dass der Zusammenhang zwischen Erlös E und Werbebudget w wie E(w) = aw2 + bw + c läuft. Ermitteln Sie aus folgenden Daten einen möglichst gut passenden Zusammenhang. w 200.000 300.000 500.000 700.000 € E 50 80 90 100 Mio. € Benutzen Sie die Skalierung: w in € 100.000,-- , E in Mio. € E(w) = –2,4 w2 + 30,4 w + 2,8 c) Der Zusammenhang zwischen Erlös E(w) und Werbebudget w sei E(w) = –2,5w2 + 50 w + 5 (w in € 100.000,-- , E in Mio. €). In welchem Bereich ist diese Gleichung ein vernünftiges Modell für die Realität, wenn man annimmt, dass Erlöse bei sich erhöhenden Werbebudgets zumindest nicht abnehmen? Wie hoch ist der Grenznutzen (also der Zuwachs des Erlöses pro eingesetztem Werbeeuro) bei w = 2 und w = 9? Error! = – 5w + 50 = 0 w = 10 also für w [0 / 10]. Error!(2) = 40, d. h. 400 in € Error!(9) = 5, d.h. 50 in € d) Die Fehleranzahl f in der Produktion, abhängig von der Kontrollzeit t läuft wie f(t) = eine Regression für folgende Daten: Kontrollzeit t Fehler 10 300 20 250 30 200 40 150 Error!. Rechnen Sie in Minuten Wie lange muss man kontrollieren, damit die Fehlerzahl auf 50 fällt? Wie viele Fehler treten bei 0 Kontrollminuten auf? lineare Regression für Error! = at + b liefert f(t) = Error! = Error! f(0) = 500 50 = Error! t = 181,8 085 Kosten A a) Die Kosten eines Produkts laufen wie K(x) = ax2 + b. Ermitteln Sie durch Regression eine möglichst gut passende Funktion dieser Form für: Menge x in ME 5 10 15 20 Kosten K in GE 30 50 110 200 4 F(a,b) = ; ; (ax2 + b – K)2 Min. i=1 Error! = 2 Error!((ax2 + b – K) x2 ) = 0 0 4 4 Error! = 2 Error!((ax2 + b – K) 1 ) = und 4 a; ; xi4 + b ; ; xi2 = ; ; Ki xi2 i=1 i=1 i=1 4 und 4 a; ; xi2 + b ; ; 1= i=1 i=1 4 ; ; Ki i=1 221.250 a + 750 b = 110.500 10,581 K(x) = 0,464x2 + 10,58 und 750 a + 4 b = 390 a = 0,464 und b = b) Berechnen Sie für die Kostenfunktion K(x) = 0,5 x2 + 5x + 10 und die Nachfragefunktion p(x) = 20 – x die langfristige Preisuntergrenze die Gewinngrenzen mit den zugehörigen Preisen den maximalen Gewinn und den Cournotpreis die Sättigunsmenge und den maximalen Erlös. – K; (x) = 0,5 x + Error! Error! = Error! = 0 x = 4,47 = Betriebsoptimum LPU = Error! (4,47) = 9,47 GE/ME K(x) = E(x) = p(x) · x x1 = 0,72 ME und x2 = 9,28 ME mit p1(0,72) = 19,3 GE/ME und p2(9,28) = 10,7 GE/ME Error!= 15 – 3x = 0 x = 5 mit p(5) = 15 Gmax = G(5) = 27,5 GE Sättigungsmenge p(x) = 0 x = 20 ME max. Erlös Error!= 20 – 2x = 0 x = 10 E(10) = 100 GE c) Nachfrage n(x) und Angebot a(x) eines Produktes liefern folgende Werte: x 10 20 30 40 Menge in ME n(x) 300 120 80 30 Preis in GE/ME a(x) 50 80 120 200 Preis in GE/ME Rechnen Sie für beide Funktionen je eine lineare Regression. Wie hoch ist der Gleichgewichtspreis. Wie hoch ist der Angebotsüberhang bei einem um 20 % höheren Preis? n(x) = 345 – 8,5x und a(x) = 4,9x – 10 Gleichgewicht bei 345 – 8,5x = 4,9x – 10 355 = 13,4x x = 26,5 ME n(26,5) = a(26,5) = 119,8 GE/ME 119,8 · 1,2 = 143,8 = 345 – 8,5x xn = 23,7 ME 143,8 = 4,9x – 10 xa = 31,4 ME x = 7,7 ME d) Der Erlös eines Produktes sei E(x) = Error!. Berechnen Sie die Parameter a und b aus: der Erlös bei einer Menge von 10 ME beträgt 100 GE. Verdreifacht man die Menge, dann steigt der Erlös um 80 %. Skizzieren Sie den Funktionsgraph. Gegen welchen Wert strebt E(x)? 100 = Error! 1000 + 100b = 10a 10a – 100b = 1000 und 180 = Error! 5400 + 180b = 30a 30a – 180b = 5400 a = 300 und b = 20 E(x) = Error! Error!E(x) = 300 086 a) Nach einem Störfall in einem Kernkraftwerk (2010) werden folgende Dosisleistungen registriert (Zahlen fiktiv): Jahr 2008 2009 2010 2011 2012 2013 Dosisleistung 1.000 1.000 31.000 13.500 8.100 7.400 Bereinigen Sie die Werte um die Grundaktivität (Jahre vor 2010) und rechnen Sie eine exponentielle Regression für den „künstlichen Anteil“. Wie lautet die Gleichung für die Gesamtdosisleistung? Benützen Sie 2010 … t = 0. Wie groß ist der Korrelationskoeffizient? R = 24.925 · e – 0,52 t + 1.000 r = – 95 % b) Die künstliche Dosisleistung (rem/a) sei R(t) = 25.000 · e – 0,05 t (Zeitskala wie in a) ). Die natürliche Basisradioaktivität sei 1.000 rem/a. Wie hoch ist die Halbwertszeit der künstlichen Radioaktivität? Wie lange dauert es, bis die Gesamtdosisleistung nur mehr um 1 % über der natürlichen Aktivität liegt? Um welchen Prozentsatz nimmt die künstliche Aktivität jedes Jahr ab? 0,5 = e – 0,05 = 13,9 Jahre 10 = 25.000 · e – 0,05 t t = 156 Jahre e – 0,04 = 0,95 (um 5 % weniger) c) Für die gesundheitlichen Schäden ist die Gesamtmenge (die Dosis) entscheidend. Berechnen Sie die Gleichung für die Gesamtdosis für einen Menschen, der im Jahr 2010 20 Jahre alt war. Beachten Sie dabei die bis dahin schon bestehende Dosis (natürliche Radioaktivität). Wie hoch ist die Gesamtdosis für diesen Menschen im Jahr 2070. Wie hoch wäre sie ohne Störfall gewesen? Wie hoch ist die Differenz? Benutzen Sie: natürliche Dosisleistung Rn(t) = 1.000 für t ( – / + ) künstliche Dosisleistung Rk(t) = 25.000 · e – 0,05 t t in Jahren mit t = 0 … 2010 G = Error! Gmit(t) = Gohne (t) = 1.000 t + C mit Gohne(0) = 20.000 Error! = C – 500.000 · e – 0,05 t Gohne(t) = 1..000 t + 20.000 Gohne(60) = 80.000 + 1000 t mit Gmit(0) = 20.000 C = 520.000 und Gmit(t) = 520.000 – 500.000 · e – 0,05 t + 1000 t für t [0 / ) G = Gmit(60) – Gohne(60) = 555.106 – 80.000 = 475.106 087 Ermitteln Sie mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadrate eine möglichst gut passende Funktion der Form f(x) = ax2 + b für folgende Daten: x 5 7 10 f(x) 1.000 800 200 Geben Sie die Bestimmungsgleichungen allgemein und in Zahlen an. a x4 + b x2 = x2y und a x2 + b 1 = y 13.026 a + 174 b = 84.200 und 174 a + 3 b = 2000 a = – 10,84 und b = 1.295,3 f(x) = 1.295,3 – 10,84 x2 088 a) Die Syntheseleistung eines Produktes läuft in den ersten Stunden wie eine Funktion mit einer Doppelnullstelle an der Stelle 0 und einer Einfachnullstelle an der Stelle t0. Erstellen Sie einen Ansatz für dieses Funktion und rechnen Sie eine Regression für folgende Daten: t 2 8 10 P 2.000 5.000 200 P(t) = k t2 (t – t0) = a t3 + b t2 a t6 + b t5 = Pt3 und a t5 + b t4 = Pt2 1.262.208 a + 132.800 b = 2.776.000 und 132.800 a + 14.112 b = 348.000 P(t) = 400,1 t2 – 39,9 t3 b) Sei P(t) = 400 t2 – 40 t3 für t [0 / 10]. t in Stunden, P(t) in m3/h. Berechnen Sie die Gleichung für die Gesamtproduktionsmenge. Wie hoch ist der Anteil der in den letzten zwei Stunden produzierten Menge an der Gesamtmenge? G(t) = Error! = Error!– 10 t4 + C mit Anteil = Error! = Error! = 18 % G(0) = 0 = C daher G(t) = Error!– 10 t4 c) P(t) = 400 t2 – 40 t3 für t [0 / 10]. t in Stunden, P(t) in m3/h. Wie hoch ist die maximale Produktionsleistung? Error!= 800 t – 120 t2 = 0 t = 6,6… Pmax = P(6,6…) = 5.926 m3/h 089 Die Größe R ist von s mit R(s) = Error! abhängig. Berechnen Sie den Parameter k aus: s R 50 120 Ansatz R(s) = a s2 090 60 250 100 480 a x4 = x2y 119.210.000 a = 60.000 a = Error! = 0,05033 k = 19,9 Wegzeiten a) Die Schulwegzeiten der Schülerin Gabriela Toolate sind normalverteilt mit dem Mittelwert 20 Minuten 15 %. Die Fehlerrate beruht auf einem 1-Sigma-Intervall. Fr. Toolate muss ca. 200 mal in die Schule kommen. Wie oft wird ihr Schulweg kürzer als 16 Minuten sein, wie oft mehr als 22 Minuten? Geben Sie ein zum Mittelwert symmetrisches Intervall an, in dem 90 % aller Werte liegen. Welche Schulwegzeit muss Fr. Toolate einplanen, wenn sie in nicht mehr als 10 % aller Fälle zu spät kommen will? W(x 16) = (16, 20, 3) = 0,091 daher 0,091 · 200 = 18,2 W(x 22) = 1 – (22, 20, 3) = 0,252 daher 0,252 · 200 = 50,5 symmetrisches Intervall = (20 + d, 20, 3) – (20 – d, 20, 3) = 0,9 d = 4,9 Intervall = [15,1 / 24,9] W(zu spät) = W(x c) = 1 – (c, 20, 3) = 0,1 (c, 20, 3) = 0,9 c = 23,8 b) In einer Schule (bzw. Firma) werden an 50 Tagen Stichproben für die Anzahl der Zuspätkommenden erhoben. Es ergibt sich, dass im Durchschnitt 200 von 800 SchülerInnen zu spät kommen. Ermitteln Sie ein Konfidenzintervall für den Prozentsatz der Zuspätkommenden auf dem Signifikanzniveau 80 %. Wie groß ist das Signifikanzniveau für z = 2,5? 0,8 = 2 (z, 0, 1) – 1 z = 1,282 h = Error!= 0,25 1p2 = 0,25 1,282 · Error! p [17,2 % / 32,8 %] SN = 2 (2,5, 0, 1) = 0,988 also 98,8 % c) Für die Schulwege wird eine Verteilung der Form S(x) = ax 3 + bx2 vorgeschlagen. Es werden folgende Werte ermittelt (x in km und F(x) ist Anteil der Schulwege x km in Prozent): x 5 10 15 20 S(x) 10 40 60 95 Ermitteln Sie mit der Methode der kleinsten Quadrate eine möglichst gut passende Funktion F(x) der obigen Form. n F(a,b) = ; ; (axi3 + bxi2 – Si)2 Minimum i=1 Error! = 2 Error!(axi3 + bxi2 – Si) xi3 = 0 a Error! xi6 + b Error! xi5 = Error! Sixi3 und Error! = 2 Error!(axi3 + bxi2 – Si) xi2 = 0 a Error! xi5 + b Error! xi4 = Error! Sixi2 daher 76.406.250 a + 4.062.500 b = 1.003.750 und 4.062.500 a + 221.250 b = 55.750 a = – 0,01098 und b = 0,45368 daher S(x) = 0,45368x2 – 0,011x3 d) Die Funktion S(x) von Punkt c) sei S(x) = 0,45x2 – 0,01x3. Berechnen Sie die lokalen Maxima dieser Funktion. In welchem Intervall kann S(x) eine Verteilungsfunktion sein. Welchen Wert sollte sie dann am rechten Rand annehmen? (Achtung: S in Prozent!) Welchen Wert hat S(x) tatsächlich am rechten Rand des Definitionsintervalls? Skizzieren Sie S(x). Error! = 0,9x – 0,03x2 = 0 x1 = 0 und x2 = 30 weil S(x) als Verteilungsfunktion monoton wachsen muss ist x [0 / 30]. S(30) = 135, sollte aber 100 sein. S(x) = 100 x = 20 als relevante Lösung, daher x [0 / 20] 091 Lieferungen a) Ein Konsument akzeptiert eine Ausschusswahrscheinlichkeit von 8 % in einer Lieferung. Ermitteln Sie die Gleichungen der Prüfplankurve für n = 50 und n = 200 und skizzieren Sie beide möglichst genau in einem Koordinatensystem. Wie groß ist das Konsumentenrisiko bei einem wahren Fehleranteil von 16 %? W50(Annahme) = Error! bzw. W200(Annahme) = Error! W50(Annahme) = 6,1 % W200 (Ann.) = 0,1 %, also praktisch 0. b) Die Lieferkosten hängen von der Entfernung ab. Eine Firma ermittelt folgende Daten: Entfernung in km 10 30 Kosten in Ge 80 300 60 500 100 700 Ermitteln Sie vorerst durch lineare Regression eine möglichst gut passende Funktion für K(x) und dann eine quadratische Regression. Welche passt Ihrer Meinung nach besser zu den Daten und warum?. Was ist der Nachteil der quadratischen Funktion? Wie hoch ist der Kostenzuwachs pro Kilometer bei der Entfernung 100 km? linear K(x) = 6,7x + 60,2 quadratisch K(x) = –0,04x2 + 11,5x – 22,5 besser passt die quadratische Funktion, Nachteil: K(0) ist negativ und nach dem relativen Maximum sinkt der Funktionswert wieder (ist wohl in der Realität nicht der Fall.) Error!(100) = – 0,08 · 100 + 11,5 = 3,5 GE/km c) Der Tarif für die Lieferung T(x), abhängig von der Entfernung x geht wie T(x) = Error!mit folgenden Eigenschaften: Für 80 km 640 GE verrechnet. Für 180 km werden 720 GE verrechnet. Berechnen Sie die Parameter a und b. Gegen welchen Wert konvergiert der Tarif und wann werden 90 % des Höchsttarifes verrechnet? 640 = Error! und 720 = Error! 640(80 + b) = 80a und 720(180 + b) = 180a a = 800 b = 20 T(x) = Error! Error!T(x) = 800 0,9 · 800 = Error! x = 180 d) Ermitteln Sie für den Ansatz T(x) = 4 + Error! durch geeignete Koordinatentransformation eine möglichst gut passende Funktion für folgende Daten. Transformieren Sie die Daten so, dass letztlich eine lineare Regression entsteht. x 10 50 100 200 T 0,7 2,6 3 3,5 T(x) = 4 + Error! T(x) – 4 = Error! x y 10 –0,303 liefert 092 50 –0,714 y = –0,0088x – 0,2149 Error! = ax + b = y 100 –1 daher T(x) = 4 – 200 –2 Error! = Error! Schadstoffe a) In ein Wasserbecken fließen Abwässer mit einem Verschmutzungsgrundpegel von 10 ME/h. Um 10:00 tritt ein Störfall ein und der Verschmutzungsgrad steigt sprunghaft an um dann exponentiell wieder auf den Wert 10 ME/h abzufallen. Die gemessenen Werte sind: Uhrzeit 8:00 9:00 10:00 11:00 12:00 13:00 Verschmutzung 10 10 200 70 40 12 Berechnen Sie eine möglichst gut passende Gleichung für die Verschmutzungsrate V(t). Benutzen Sie die Skalierung 10:00 sei t = 0 und t in Stunden. Grundpegel 10 abziehen und exp. Regression liefert V(t) = 10 + 247,7 e–1,44t b) Mit der Situation und der Skalierung von Punkt a): Die Gleichung für die Verschmutzungsrate (in ME/h) sei V(t) = 10 + 250 e –1,4t mit t [0 / ). Wie groß ist die Halbierungszeit des außerordentlichen Teils von V (also über dem Grundpegel). Wie lange dauert es, bis die Verschmutzungsrate nur mehr um 1 % über dem Grundpegel liegt? 0,5 = e-1,4t t = 0,5 Stunden 10,1 = 10 + 250 e–1,4 t t = 5,6 Stunden c) Mit der Situation und der Skalierung von Punkt a): Die Gleichung für die Verschmutzungsrate (in ME/h) sei V(t) = 10 + 250 e –1,4t mit t [0 / ). Berechnen Sie die Gleichungen für die Gesamtverschmutzung G(t) ab 8:00. Wie groß ist die Gesamtverschmutzung um 17:00? G1(t) = Error!= 10 t + C1 mit G1(–2) = 0 C1 = 20 G1(t) = 10t + 20 für t [–2 / 0]. G2(t) = Error! = C2 + 10t – 178,6 e–1,4 t mit G1(0) = 20 = G2(0) = C2 – 178,6 C2 = 198,6 G2(t) = 198,6 + 10t – 178,6 e–1,4 t für t (0 / ). G2(7) = 268,6 ME d) Bestimmen Sie die Parameter in y(x) = ax2 + bx + c für x [10 / ) so, dass die Funktion y(x) an der Stelle x = 10 die Funktion r(x) = 40x + 1.200 mit x [0 / 10] stetig fortführt und an dieser Stelle auch stetig differenzierbar ist. Die Nullstelle von y(x) soll bei x = 50 auftreten. y(10) = 100a + 10b + c = r(10) = 1.600 und Error!(10) = 20a + b = Error!(10) = 40 2500a + 50b + c = 0 a = –2 b = 80 c = 1.000 daher y(x) = –2x2 + 80x + 1.000 093 Produktion und y(50) = a) Ein Produkt mit einem S-förmigen Kostenverlauf und einer linearen Nachfragefunktion zeigt folgende Daten: Menge x in ME 10 20 30 40 50 Kosten K in Ge 14.000 17.000 18.000 20.000 25.000 p in GE/ME 1.800 1.500 1.000 700 300 Berechnen Sie durch geeignete Regressionen die Gleichungen für die Kostenfunktion und die Nachfragefunktion. K(x) = 0,42x3 –33,9x2 + 1019x + 6.800 p(x) = 2.200 – 38x b) Ermitteln Sie für K(x) = 0,4x3 – 34x2 + 1020x + 6.800 und p(x) = 2.200 – 40x die Gewinngrenzen das Betriebsoptimum und die langfristige Preisuntergrenze den Cournotpunkt und den maximalen Gewinn die Sättigungsmenge und den Maximalpreis. Gewinngrenzen heißt K(x) = p(x) · x x1 = 6,0 und x2 = 43,7 Betriebsoptimum heißt minimale Durchschnittskosten, also Error! = 0 = 0,8x – 34 – Error! x = 46,4 = BO – langfristige Preisuntergrenze = K; (BO) = 450,1 GE/ME maximaler Gewinn bei Error! = Error! x = 26,8 Gmax(28,2) = 31.821 – 17496 = 14.325 GE SM = 55 MP = 2.200 Cournotpunkt (26,6 / 1130) c) In einer Produktion mit dem Sollwert 200 ME gibt es eine Toleranz von 10 ME nach oben und unten. Die Produktionsmenge pro Periode beträgt 500.000 Stk. Ein Stück Ausschuss verursacht Kosten von € 0,10. Wie hoch sind die Ausschusskosten, wenn die Produktion mit 7 ME um den Mittelwert 198 ME streut? Welchen Prozentsatz am Ausschuss macht der zu große Ausschuss aus? Ausschussanteil = (190, 198, 7) + 1 – (210, 198, 7) = 0,127 + 1 – 0,957 = 0,127 + 0,043 = 0,17 Kosten = 500.000 · 0,17 · 0,1 = 8.500 EUR 4 Anteil = = 25 % 3;17 d) Ermitteln Sie mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadrate den Koeffizienten r in y(x) = folgenden Daten: x 10 20 30 y 4 19 45 Error! aus y(x) = ax2 mit a = Error! Ansatz: 3 F(a) = ; ; (axi2 – yi)2 Minimum i=1 Error! = Error!(2 (axi2 – yi) xi2 = 0 a Error!xi4 = 3 ; ; xi2 yi i=1 980.000 a = 48.500 a = Error! = 0,04949 = Error! r = 20,2 094 Beispiel 1: Klima und Wetter a) Bei einem Wolkenbruch verläuft die Regenmenge pro Stunde wie in der Skizze: daher y(x) = Error! Ermitteln Sie einen Ansatz für R(t), der diese Funktionsform liefert. R(t) = k t3 (t0 – t) = at4 + bt3 b) Ermitteln Sie für den Ansatz R(t) = at4 + bt3 + ct2 mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadrate eine möglichst gut passende Funktion für die folgenden Daten: Zeit in Minuten 5 10 15 20 Regenleistung in mm/min 2 8 20 5 Bestimmungsgleichungen: a t8 + b t7 + c t6 = t4R 28.263.281.250 a + 1.460.937.500 b + 76.406.250 c = 1.893.750 a t7 + b t6 + c t5 = t3R 1.460.937.500 a + 76.406.250 b + 4.062.500 c = 115.750 a t6 + b t5 + c t4 = t2R 76.406.250 a + 4.062.500 b + 221.250 c = 7.350 a = – 0,00141 b = 0,03444 c = –0,11317 R(t) = –0,00141 t4 + 0,0344 t3 – 0,11317 t2 c) Die Regenleistung sei R(t) = –0,002 t4 +0,04 t3. R in mm/min, t in Minuten. Wann ist der Wolkenbruch zu Ende (geben Sie ein vernünftiges Definitionsintervall an)? Wann und mit welcher Menge hat der Wolkenbruch sein Maximum? Wie hoch ist die Gesamtregenmenge? Ende R(t) = 0 = –0,002 t4 +0,04 t3 t = 20 vernünftiges Intervall t [0 / 20] Maximum Error! = 0 = –0,008 t3 + 0,12 t2 t = 15 R(15) = 33,8 mm/min Gesamtmenge = M(t) = Error! = 0,01 t4 – 0,0004 t5 und M(20) = 320 mm d) Die Gleichung für die Gesamtregenmenge sei M(t) = k (25t4 – t5) für t [0 / 20]. Welcher Anteil der Gesamtregenmenge fällt in den letzten 10 Minuten? Anteil = Error! = Error! = 81,25 % 095 Beispiel 2: Bakterien A a) Bakterien vermehren sich in einem Lebensmittel zumindest am Anfang exponentiell. Es liegen folgende Daten vor: Zeit: 0 5 10 20 Stunden Bakteriendichte 60 200 2.400 8.000 Anzahl pro g Rechnen Sie für diese Werte eine exponentielle Regression. Wie hoch ist der Korrelationskoeffizient? Um welchen Prozentsatz unterscheiden sich der gerechnete und der wahre Wert bei t = 10 (Basis = wahrer Wert)? Trendanalyse in EXCEL ergibt: 76,34 · e0,2521 t mit r = 96,1 % Fehler = Error! = Error! = 60 % b) Die Bakterienzahl sei B(t) = 87 · e0,3 t t in Stunden, B in Anzahl pro Gramm. Berechnen Sie die Verdopplungszeit und die Wachstumsrate pro Stunde. Wann wird die Bakterienanzahl von 20.000 g–1 erreicht? 2 = e0,3 t Verdopplungszeit t = 2,3 h WR = e0,3 – 1 = 35 % 20.000 = 87 · e0,3 t t = 18,1 h c) Die Bakterienanzahl in einem gekühlten Nahrungsmittel wächst mit B(t) = 87 · e0,2t. t bedeutet dabei die Zeit in Stunden. Das Nahrungsmittel ist bei einer Bakteriendichte von 20.000 g –1 verdorben. Die Kühlkette am Beginn des Prozesses wird für zwei Stunden unterbrochen. Ungekühlt vermehren sich die Bakterien mit einer Verdopplungszeit von nur 30 Minuten. Berechnen Sie die Gleichungen für die Bereiche [0 / 2) und [2 / ) für die Bakteriendichte. Wann ist das Nahrungsmittel jetzt verdorben? B1(t) = 87 · 22t = 87 · 4t = 87 · e 1,386 t für t [0 / 2) B1(2) = 1.392 neue Zeitkoordinate u B 2(u) = 1.392 · e0,2 u (mit u = t – 2, daher B2(t) = 933 · e0,2t ) 1.392 · e0,2 u = 20.000 u = 13,3 h t = 15,3 h, also um 11,9 h kürzer d) Der finanzielle Aufwand für die Kühlung liefert folgende Werte: K 5 10 15 20 Kühlung um °C F 500 1.200 1.800 3.200 finanzieller Aufwand in EUR/Monat Rechnen Sie eine möglichst einfache (polynomische) Regression für F(K). Berücksichten Sie dabei, dass keine Kühlung natürlich kein Geld kostet und dass der Zusammenhang progressiv ist. progressiv quadratisch F(0) = 0 F(K) = aK2 + bK (polynomische Regression mit Schnittpunkt = 2 0) F(K) = 4,58 K + 64,3 K 096 Beispiel 3: Autos A a) Der Bremsweg ist proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit, also s(v) = k v2. Rechnen Sie für folgende Versuchsserie eine Regression: Geschwindigkeit in km/h 20 40 60 80 Bremsweg in m 2 10 30 70 Unter Berücksichtigung der Bremswirkung a ist s(v) = Error!. Berechnen Sie a. Um welchen Prozentsatz ändert sich der Bremsweg, wenn die Geschwindigkeit um 20 % höher ist? 4 F(k) = ; ; (kvi2 – si)2 Minimum Error! = Error!2 (kvi2 – si) vi2 = 0 k vi4 = sivi2 i=1 56.640.000 k = 572.800 k = 0,0101 k = Error! a = Error!= 49,5 s v2 daher 1,22 = 1,44 also um 44 % b) Um den Erlös beim Verkauf eines PKW-Modells zu steigern, wird ein Werbebugdet eingeplant. Durch Marketingmaßnahmen weiß man, dass der Zusammenhang zwischen Erlös E und Werbebudget w wie E(w) = aw2 + bw + c läuft. Ermitteln Sie aus folgenden Daten einen möglichst gut passenden Zusammenhang. w 200.000 300.000 500.000 700.000 € E 50 70 80 100 Mio. € Benutzen Sie die Skalierung: w in € 100.000,-- , E in Mio. € E(w) = –0,54 w2 + 14,03 w + 27,1 c) Der Zusammenhang zwischen Erlös E(w) und Werbebudget w sei E(w) = –5w2 + 100 w + 10 (w in € 100.000,-- , E in Mio. €). In welchem Bereich ist diese Gleichung ein vernünftiges Modell für die Realität, wenn man annimmt, dass Erlöse bei sich erhöhenden Werbebudgets zumindest nicht abnehmen? Wie hoch ist der Grenznutzen (also der Zuwachs des Erlöses pro eingesetztem Werbeeuro) bei w = 2 und w = 9? Error! = – 10w + 100 = 0 w = 10 also für w [0 / 10]. Error!(2) = 80, d. h. 800 in € Error! (9) = 10, d.h. 100 in € d) Die Fehleranzahl f in der Produktion, abhängig von der Kontrollzeit t läuft wie f(t) = eine Regression für folgende Daten: Kontrollzeit t Fehler 5 300 10 250 15 200 20 170 Error!. Rechnen Sie in Minuten Wie lange muss man kontrollieren, damit die Fehlerzahl auf 50 fällt? Wie viele Fehler treten bei 0 Kontrollminuten auf? lineare Regression für Error! = at + b liefert f(t) = Error! = Error! f(0) = 418 50 = Error! t = 103,6 A 097 Beispiel 4: Getreide a) Der Zuwachs von Getreideerträgen ist g(t) = Error!. (t in Jahren) Berechnen Sie eine möglichst gut passende Gleichung für g(t) für folgende Zahlen: Jahr 2000 2001 2002 2003 2004 Zuwachs in 1.000 t/a2 700 500 300 300 200 Skalieren Sie die Zeitachse mit Jahr 2000 … t = 0 Rechnen Sie mit einer genügend hohen Anzahl von Stellen und erweitern Sie den Bruch so, dass keine Dezimalzahlen im Zähler und Nenner vorkommen. Koordinatentransformation Error! = at + b führt das Problem auf eine lineare Regression zurück g(t) = Error! b) Der Zuwachs von Getreideerträgen sei g(t) = Error!mit der Zeitskalierung von a). Berechnen Sie die Gleichung für die jährliche Getreideernte G(t), wenn Error!= g(t) und G(0) = 9.000 ME/a (Mengeneinheiten pro Jahr). Wie hoch ist die Getreideernte im Jahr 2010? G(t) = Error!= 2.000 ln(t + 2) + C mit 9.000 = 2.000 ln(2) + C G(t) = 2.000 ln(t + 2) + 7613,7 = 2000 ln Error!+ 9.000 G(10) = 12.584 ME c) Die jährliche Getreideernte kann nicht beliebig gesteigert werden. G(t) sei eine Funktion, die zum Idealwert 15.000 konvergiert und die Form G(t) = Error! annimmt. Sie soll unstetig an der Stelle – 20 sein. Berechnen Sie die Parameter a, b und c so, G(10) = 7.000 ist. lim; G(t) = 15.000 = a t + c = 0 für t = –20 c = 20 und 7.000 = Error! b = 60.000 t→∞ daher G(t) = Error! d) Berechnen Sie den Grenzwert von G(t) = Error!. Wie lange dauert es, bis der Funktionswert 95 % des Grenzwertes groß ist? lim; G(t) = 40 38 = G(t) t =47 t→∞
