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Schriftliche Reifeprüfung aus Mathematik
Klasse 8B des Privatgymnasiums der Herz-Jesu-Missionare
Haupttermin Schuljahr 2008/09
1)
Ein Heißluftballon schwebt in 2 km Höhe über einer Ebene, in der
sich zwei Häuser A und B befinden. Vom Ballon aus wird A unter dem
Tiefenwinkel  = 10,8° gesehen, anschließend wird das Fernrohr um
einen Horizontalwinkel  = 15,3° seitlich geschwenkt und B anvisiert,
das unter dem Tiefenwinkel  = 9,2° gesehen wird.
(8P)
a) Berechne den Abstand zwischen den Häusern A und B! Nimm
dabei unter Vernachlässigung der Erdkrümmung das gesamte
Gelände wirklich als Ebene an! Stelle die Situation in einer
Schrägriss-Skizze dar !
(6P)
b) Berechne den Winkel zwischen den beiden Visierlinien, die vom
Ballon aus zu A bzw. B verlaufen!
(8P)
c) Berechne die Entfernung zu dem am weitest entfernt liegenden
Punkt auf der Erdoberfläche, der vom Ballon aus noch gesehen
werden kann! Nimm dazu einfacher weise die Erde als Kugel
(r = 6 370 km) mit einer glatten Oberfläche an. Verdeutliche deine
Überlegungen an Hand einer Skizze und leite auch eine
allgemeine Formel für die Sichtweite s aus der Höhe h her! (3P)
d) Welche Argumente sprechen für bzw. gegen die Anwendbarkeit
der in c) ermittelten Formel in der Realität?
2)
Von einem Medikament soll am Morgen, jeden Tag um die gleiche
Zeit, eine Dosis mit 16 mg Wirkstoff eingenommen werden. Im Verlauf
der folgenden 24 Stunden werden 8 % der im Körper befindlichen
Wirkstoffmenge wieder abgebaut.
a) xn sei die im Körper befindliche Wirkstoffmenge unmittelbar nach
Einnahme der n-ten Dosis. Gib für xn eine Rekursionsgleichung und
eine möglichst einfache explizite Darstellung an!
(6P)
b) Die Wirkung des Medikaments tritt erst ein, wenn im Körper
mindestens 50 mg von dem Wirkstoff vorhanden sind. Nach der
wievielten Dosis ist diese Mindestmenge erreicht?
(5P)
c) Ab einer im Körper befindlichen Wirkstoffmenge von 150 mg tritt
eine für den Patienten gesundheitsschädliche Wirkung ein. Nach
der wievielten Dosis wird diese Gefahrengrenze erreicht? (5P)
d) Ein Patient beachtet diese Gefahr nicht und nimmt das
Medikament eine unbegrenzte Anzahl von Tagen weiter ein. Gibt es
einen Fixwert, auf den sich die im Körper befindliche
Wirkstoffmenge einpendeln wird? Wenn ja, berechne diesen Wert!
(4P)
e) Ein
gesundheitsbewusster Patient möchte nach Erreichen der
nötigen Mindestwirkstoffmenge von 50 mg (siehe b) die tägliche
Dosis so weit verringern, dass das Medikament zwar weiterhin wirkt,
aber möglichst weit von der Gefahrengrenze von 150 mg (siehe c)
entfernt bleibt. Wie viel mg Wirkstoff muss er dazu täglich
mindestens einnehmen? Gib auch eine Begründung für den von dir
gewählten
Ansatz
zur
Lösung
dieses
Problems!
(5P)
3) Um die Schwerelosigkeit zu simulieren macht
ein Airbus 300
folgendes Flugmanöver:
Die Maschine fliegt zuerst horizontal mit Höchstgeschwindigkeit. Sie
geht dann in einem Steigflug über und erreicht in 8700m Höhe mit
einem Bahnneigungswinkel von 50° den kritischen Punkt, ab dem die
Triebwerke gedrosselt werden.
Die Maschine steigt weiter, indem sie nun einer Wurfparabel folgt. Sie
erreicht den höchsten Punkt in 10 000m Höhe. Dann fällt die
Maschine nach unten, bis sie wieder in 8700 m Höhe abgefangen wird
und die Triebwerke wieder hochgefahren werden. Dabei wird in der
„Parabola-Phase“ für 25 Sekunden Schwerelosigkeit erzeugt.
a) Bestimme die Parabelgleichung für die Flugbahn nur in der
„Parabola-Phase“ in der 25 Sekunden Schwerelosigkeit herrscht!
(10P)
b) Berechne die Länge des Weges, das das Flugzeug während der
Schwerelosigkeit in der „Parabola-Phase“ zurücklegt!
(10P)
c) Welche Durchschnittsgeschwindigkeit hatte das Flugzeug während
dieses Flugabschnittes in der „Parabola-Phase“ ?
(5P)
4)
Laut einem Bericht der „Times“ vom 6. 8. 2008 geht bei 2,58 % der
Passagiere von British Airways das Gepäck verloren.
a) Wie oft dürfte ich höchstens mit British Airways fliegen, damit mit
mindestens 50%iger Wahrscheinlichkeit mein Gepäck nicht
verloren geht?
(4P)
b) Ein Flugzeug befördert 320 Passagiere. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass
(1) alle Passagiere ihr Gepäck wiederbekommen,
(2) mindestens ein Passagier sein Gepäck nicht wieder
bekommt,
(3) höchstens zwei Passagiere ihres Gepäcks verlustig gehen?
Nimm für die folgenden Berechnungen an, dass die Anzahl der
Passagiere, deren Gepäck bei einem Flug mit 320-Sitzen verloren
geht, normalverteilt ist mit dem Erwartungswert  = 8 und der
Standardabweichung

=
3.
(9P)
c)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der
Personen, deren Gepäck verloren geht, größer als 10 ist.
(4P)
d) Wie
groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der
Personen, deren Gepäck verloren geht, um nicht mehr als 2 vom
Erwartungswert
abweicht?
(4P)
e) Gib
den Streubereich um den Erwartungswert an, in dem mit
95%iger Wahrscheinlichkeit die Anzahl der Personen, deren
Gepäck verloren geht, liegen wird!
(4P)
Give your best!!!