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Schriftliche Reifeprüfung aus Mathematik
Klasse 8 a des Privatgymnasiums der Herz-Jesu-Missionare
Haupttermin Schuljahr 2008/09
1)
2)
Ein Heißluftballon schwebt in 2 km Höhe über einer Ebene, in der sich zwei Häuser
A und B befinden. Vom Ballon aus wird A unter dem Tiefenwinkel  = 10,8° gesehen, anschließend wird das Fernrohr um einen Horizontalwinkel  = 15,3° seitlich
geschwenkt und B anvisiert, das unter dem Tiefenwinkel  = 9,2° gesehen wird.
a)
Berechne den Abstand zwischen den Häusern A und B! Nimm dabei unter
Vernachlässigung der Erdkrümmung das gesamte Gelände wirklich als Ebene
an! Stelle zunächst die Situation in einer Schrägriss-Skizze dar!
b)
Berechne den Winkel zwischen den beiden Visierlinien, die vom Ballon aus
zu A bzw. B verlaufen!
c)
Berechne die Entfernung zu dem am weitest entfernt liegenden Punkt auf
der Erdoberfläche, der vom Ballon aus noch gesehen werden kann! Nimm
dazu einfacherweise die Erde als Kugel (r = 6 370 km) mit einer glatten Oberfläche an. Verdeutliche deine Überlegungen an Hand einer Skizze und leite
auch eine allgemeine Formel für die Sichtweite s aus der Höhe h her!
d)
Welche Argumente sprechen für bzw. gegen die Anwendbarkeit der in c)
ermittelten Formel in der Realität?
Von einem Medikament soll am Morgen, jeden Tag um die gleiche Zeit, eine Dosis
mit 16 mg Wirkstoff eingenommen werden. Im Verlauf der folgenden 24 Stunden
werden 8 % der im Körper befindlichen Wirkstoffmenge wieder abgebaut.
a)
xn sei die im Körper befindliche Wirkstoffmenge unmittelbar nach Einnahme
der n-ten Dosis. Gib für xn eine Rekursionsgleichung und eine möglichst
einfache explizite Darstellung an!
b)
Die Wirkung des Medikaments tritt erst ein, wenn im Körper mindestens
50 mg von dem Wirkstoff vorhanden sind. Nach der wievielten Dosis ist diese
Mindestmenge erreicht?
c)
Ab einer im Körper befindlichen Wirkstoffmenge von 150 mg tritt eine für den
Patienten gesundheitsschädliche Wirkung ein. Nach der wievielten Dosis wird
diese Gefahrengrenze erreicht?
d)
Ein Patient beachtet diese Gefahr nicht und nimmt das Medikament eine unbegrenzte Anzahl von Tagen weiter ein. Gibt es einen Fixwert, auf den sich die
im Körper befindliche Wirkstoffmenge einpendeln wird? Wenn ja,
berechne
diesen Wert!
e)
3)
4)
Ein gesundheitsbewusster Patient möchte nach Erreichen der nötigen Mindestwirkstoffmenge von 50 mg (siehe b) die tägliche Dosis so weit verringern, dass
das Medikament zwar weiterhin wirkt, aber möglichst weit von der Gefahrengrenze von 150 mg (siehe c) entfernt bleibt. Wie viel mg Wirkstoff muss er
dazu täglich etwa einnehmen? Gib auch eine Begründung für den von
dir gewählten Ansatz zur Lösung dieses Problems!
Ein Wasserspender besteht aus einem Zylinder (Durchmesser d = 80 cm, Höhe
h = 1 m) und einer daraufgesetzten, 30 cm hohen Kuppel in der Form eines Drehparaboloids.
a)
Ermittle eine Funktionsgleichung für die Parabel, durch deren Drehung die
Kuppel entsteht! Zeichne zunächst eine Skizze im Koordinatensystem!
b)
Berechne das Fassungsvermögen des Wasserspenders!
c)
Wie hoch steht die Flüssigkeit im Wasserspender, wenn er zu 90 % seines
Fassungsvermögens befüllt ist?
Laut einem Bericht der „Times“ vom 6. 8. 2008 geht bei 2,58 % der Passagiere von
British Airways das Gepäck verloren.
a)
Wie oft dürfte ich höchstens mit British Airways fliegen, damit mit
mindestens 50%iger Wahrscheinlichkeit mein Gepäck nicht verloren geht?
b)
Ein Flugzeug befördert 320 Passagiere. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
(1)
alle Passagiere ihr Gepäck wiederbekommen,
(2)
mindestens ein Passagier sein Gepäck nicht wieder bekommt,
(3)
höchstens zwei Passagiere ihres Gepäcks verlustig gehen?
Nimm für die folgenden Berechnungen an, dass die Anzahl der Passagiere, deren Gepäck bei einem Flug mit dem 320-Sitze-Jumbo verloren geht, normalverteilt ist mit
dem Erwartungswert  = 8 und der Standardabweichung  = 3.
c)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der Personen, deren
Gepäck verloren geht, größer als 10 ist.
d)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der Personen, deren
Gepäck verloren geht, um nicht mehr als 2 vom Erwartungswert abweicht?
e)
Gib den Streubereich um den Erwartungswert an, in dem mit 95%iger
Wahrscheinlichkeit die Anzahl der Personen, deren Gepäck verloren geht,
liegen wird!
Viel Erfolg!
Schriftliche Reifeprüfung aus Mathematik
Haupttermin Schuljahr 2008/09
Klasse 8 a
Schulform: Gymnasium
Fachprüfer: Dr. Wolfgang Hasiweder
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Fachprüfer
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Direktor
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Schriftliche Reifeprüfung aus Mathematik - Beurteilungsschlüssel
(Klasse 8 a des Privatgymnasiums der Herz-Jesu-Missionare,
Haupttermin Schuljahr 2008/09)
a)
Beurteilungsgrundsätze:
 4 Aufgaben zu je 25 Punkten; insgesamt also 100 Punkte
 Bei der Vergabe der Punkte wird ein Mischsystem aus Abzügen für Fehler und Auf=
bau für richtige Passagen angewandt. In der Fehlerbewertung wird zwischen groben
algebraischen oder Denkfehlern einerseits und leichteren Rechen- oder Flüchtig=
keitsfehlern andererseits unterschieden. Der Punkteabzug bei einem Fehler ist na=
türlich auch abhängig von der für den jeweiligen Aufgabenteil vorher festgesetzten
Höchstpunktezahl.
b)
Kennzeichnung von Fehlern:
FF ... Flüchtigkeitsfehler
RF ... Rechenfehler
DF ... Denkfehler
Ergebnisse, die ausgehend von falschen Zwischenergebnissen durch einen prinzipiell
richtigen Rechengang erzielt wurden, werden mit Wellenlinie unterstrichen.
c)
Grobeinteilung der Punktevergabe:
Aufgaben
1) 25 Punkte
2) 25 Punkte
3) 25 Punkte
4) 25 Punkte
d)
Teilaufgaben
a) 8 Punkte
b) 6 Punkte
c) 8 Punkte
d) 3 Punkte
a) 6 Punkte
b) 5 Punkte
c) 5 Punkte
d) 4 Punkte
e) 5 Punkte
a) 5 Punkte
b) 10 Punkte
c) 10 Punkte
a) 4 Punkte
b) 9 Punkte
c) 4 Punkte
d) 4 Punke
e) 4 Punkte
Aufschlüsselung der Punkte innerhalb einer Teilaufgabe
Skizze: 2 P., a, b: 4 P., x: 2 P.
y, z: 4 P., Winkel: 2 P.
Skizze: 2 P., Ansatz: 3 P., Formel: 2 P., einsetzen: 1 P.
rekursiv: 3 P., explizit: 3 P.
Ansatz: 2 P., lösen: 3 P.
Ansatz: 2 P., lösen: 3 P.
Skizze: 2 P., Gleichung: 3 P.
Vpar: 4 P. (Ansatz) + 4 P. (ausrechnen), Vges: 2 P.
Restmenge in Paraboloid: 2 P., Ansatz: 3 P., umf./lösen: 5 P.
Ansatz: 2 P., lösen: 2 P.
(1) - (3) je 3 P., davon 2 P. für Ansatz und 1 P. für Ber.
z: 2 P., : 1 P., Intervall: 1 P.
Notenschlüssel:
Note
Sehr gut
Gut
Befriedigend
Punkteanzahl
92 - 100
78 - 91
62 - 77
Genügend
Nicht genügend
48 - 61
0 - 47