Verwandte Begriffe

Coulombsches Potential und Coulombsches Feld
von Metallkugeln
TEP
Verwandte Begriffe
Elektrisches
Feld,
Feldstärke,
elektrischer
Fluss,
elektrische
Ladung,
Gauß-Regel,
Oberflächenladungsdichte, Induktion, magnetische Feldkonstante, Kapazität, Gradient, Bildladung,
elektrostatisches Potential, Potentialdifferenz.
Prinzip
Leitende Kugeln mit verschiedenen Durchmessern werden elektrisch geladen. Die statischen Potentiale
und die dazugehörigen elektrischen Feldstärken werden durch ein Elektrofeldmeter mit einer
Potentialmesssonde in Abhängigkeit von Position und Spannung bestimmt.
Material
1 Elektrofeldmeter
1 Potentialmesssonde
1 Kondensatorplatte mit Bohrung, d = 55 mm
1 PHYWE Hochspannungsnetzgerät mit Digitalanzeige
1 Konduktorkugel, d = 20 mm
1 Konduktorkugel, d = 40 mm
1 Konduktorkugel, d = 120 mm
1 Widerstand mit 4-mm-Stecker und Buchse, 10 MΩ
2 Isolierstiel
1 PHYWE Netzgerät
1 Vielfachmessinstrument, analog
3 Tonnenfuß PHYWE
1 Klemmsäule
1 Dreifuß PHYWE
1 Maßstab, l = 1000 mm
1 Gummischlauch, Innen-d = 6 mm
1 Butan-Lötlampe Soudogaz X 2000
2 Butan-Kartusche C 206 GLS, ohne Ventil, 190 g
1 Verbindungsleitung, 30 kV, 500 mm
3 Verbindungsleitung, 32 A, 750 mm, rot
2 Verbindungsleitung, 32 A, 750 mm, blau
2 Verbindungsleitung, 32 A, 750 mm, grün-gelb
2 Verbindungsleitung, 32 A, 250 mm, grün-gelb
11500-10
11501-00
11500-01
13673-93
06236-00
06237-00
06238-00
07160-00
06021-00
13505-93
07028-01
02006-55
02060-00
02002-55
03001-00
39282-00
46930-00
47535-01
07366-00
07362-01
07362-04
07362-15
07360-15
Abb. 1a: Versuchsaufbau zur Bestimmung des Coulombschen Potentials.
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TEP
Coulombsches Potential und Coulombsches Feld
von Metallkugeln
Aufgabe
1. Für eine leitende Kugel mit einem Durchmesser von 2R = 12 cm ist das elektrostatische Potential in
Abhängigkeit von der Spannung mit einem konstanten Abstand von der Kugeloberfläche zu
bestimmen.
2. Für eine leitende Kugel mit einem Durchmesser 2R = 12 cm und 2R = 4 cm ist das elektrostatische
Potential bei konstanter Spannung in Abhängigkeit des Abstandes von der Kugeloberfläche zu
bestimmen.
3. Für beide leitende Kugeln ist die elektrische Feldstärke in Abhängigkeit von der Ladespannung in
drei verschiedenen Entfernungen von der Oberfläche der Kugel zu bestimmen.
4. Für die leitende Kugel mit einem Durchmesser von 2R = 12 cm ist elektrische Feldstärke in
Abhängigkeit des Abstandes von der Oberfläche der Kugel bei konstanter Ladespannung
zubestimmen.
Aufbau und Durchführung
Teil 1: Coulombsches Potential
Der Versuchsaufbau ist in Abb. 1a dargestellt. Den Spannungsmessvorsatz auf das Elektrofeldmeter
setzen, und die Potentialmesssonde anschließen. Der Spannungsmessvorsatz und das Elektrofeldmeter
müssen geerdet sein. Den Glasstab der Potentialmesssonde mit dem Brenner über den Gummischlauch
verbinden. Der Brenner ist so einzustellen, dass eine etwa 5 mm hohe Flamme an der Spitze der Sonde
brennt. Hierdurch wird die Luft um die Spitze der Sonde herum ionisiert und somit leitfähig.
Die Konduktorkugeln, welche sich auf den Isolierstielen befinden, werden über das Hochspannungskabel und den 10-MΩ-Sicherheitswiderstand mit dem positiven Pol des Hochspannungsnetzgerätes
verbunden. Der negative Pol des Hochspannungsnetzgerätes wird geerdet.
Zunächst wird das elektrostatische Potential einer geladenen Kugel als Funktion der Spannung
bestimmt. Dazu werden Spannungen in Schritten von 1 kV bis maximal 5 kV an die Kugel mit einem
Durchmesser von 2R = 12 cm angelegt. Während der Messung sollte sich die Messsonde in einem
Abstand von ungefähr 25 cm zur Kugeloberfläche befinden.
Um das Potential als Funktion des Abstandes vom Kugelmittelpunkt zu bestimmen, wird an die Kugel mit
2R = 12 cm eine konstante Spannung von 1 000 V angelegt. Diese Spannung kann direkt mit dem
Elektrofeldmeter gemessen werden, indem die Sondenspitze die Kugeloberfläche berührt. Zunächst wird
die Höhe der Sondenspitze so eingestellt, dass sich diese auf derselben Höhe wie der Kugelmittelpunkt
befindet. Anschließend wird das Potential, beginnend in einem Abstand von 1 cm zur Kugeloberfläche, in
Schritten von 1 cm gemessen. Die Messung wird für die Konduktorkugel mit 2R = 4 cm wiederholt.
Teil 2: Coulombsches Feld
Den Versuch entsprechend Abb. 1b anpassen. Die Konduktorkugel (2R = 2 cm), welche zum Aufladen
der Testkugel dient, auf einen Isolierstiel setzen und wie oben beschrieben mit dem positiven Pol des
Hochspannungsnetzgerätes verbinden. Die Höhe des Elektrofeldmeters mit der angebrachten Kondensatorplatte mithilfe der Klemmsäule so einstellen, dass dessen Achse in einer Ebene mit dem Äquator
der Testkugel liegt. Den Stiel des Elektrofeldmeters wieder erden.
Um die Feldstärke als Funktion der Ladespannung zu bestimmen, die Oberfläche der Konduktorkugel
mit 2R = 12 cm nacheinander in den Abständen r1 = 25 cm, r2 = 50 cm und r3 = 75 cm zur Kondensatorplatte des Elektrofeldmeters positionieren.
Die Testkugel in 1-kV-Schritten bis zu einer maximalen Spannung von 10 kV aufladen. Nach jedem
Ladevorgang die Hochspannung wieder auf null Volt zurücksetzen. Nach jeder Messung die Testkugel
durch kurzes Berühren mit der geerdeten Leitung entladen. Die Messreihe für die Kugel mit 2R = 4 cm in
einem Abstand r = 25 cm wiederholen.
Um die Feldstärke als Funktion des Abstandes r vom Kugelmittelpunkt zu bestimmen, die Konduktorkugel mit 2R = 12 cm auf 10 kV laden und das Elektrofeldmeter in 5-cm-Schritten von der Kugeloberfläche aufstellen.
Nach dem Aufladen die Hochspannung auf Null zurückstellen um Störeinflüsse zu vermeiden.
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Coulombsches Potential und Coulombsches Feld
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Abb. 1b: Versuchsaufbau zur Bestimmung des Coulombschen Feldes.
Theorie und Auswertung
Das elektrische Potential φ einer geladenen Konduktorkugel in einem Abstand r ist
 (r ) 
1 Q
4   0 r
(1)
(mit Q = elektrische Ladung,  0 = magnetische Feldkonstante). Besitzt die Kugel die Kapazität C und ist
ihr Radius R, dann ist die Ladung Q bei einer Spannung U gegeben durch
Q  CU  40  R  U .
(2)
Einsetzen von Gl. (2) in Gl. (1) ergibt den Zusammenhang
 (r ) 
R
U .
r
(3)
Gemäß Gl. (3) zeigt Abb. 2 die Linearität des Potentials φ = φ(U) im Abstand r = const. = 18 cm,
gemessen an der Konduktorkugel mit 2R = 12 cm.
Berechnen des Logarithmus aus Gl. (3) ergibt
log φ = − log r + log R + log U = − log r + k
(4)
falls U und R konstant sind (entspricht einer Geraden mit der Steigung m = −1).
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Coulombsches Potential und Coulombsches Feld
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Abb. 2: Potential φ als Funktion der Spannung U an der Konduktorkugel mit
2R = 12 cm.
Abb. 3 zeigt φ gegen r in einer doppelt-logarithmischen Auftragung, wobei r vom Zentrum der Kugel aus
gemessen wurde. Abb. 3a zeigt das Ergebnis der Messung an der Konduktorkugel mit dem
Durchmesser 2R = 12 cm, Abb. 3b das entsprechende Ergebnis der Kugel mit dem Durchmesser
2R = 4 cm. Die an die Kugeln angelegte Spannung beträgt jeweils 1 000 V. In beiden Fällen ist die
Steigung der Geraden m  −1, was mit Gl. (4) übereinstimmt und somit der experimentelle Nachweis
der 1/r-Abhängigkeit des elektrischen Potentials ist. Für Punkte nahe an der Kugeloberfläche wurden
nicht-lineare Messwerte gefunden, was auf die Beeinflussung durch die Flamme an der Sondenspitze
zurückzuführen ist.
Ist das elektrische Potential φ(r) bekannt, so ergibt sich das Coulombsche Feld E einer Ladung Q aus
dem negativen Gradienten des Potentials:
E  grad   d / dr 
1
Q
.
40 r 2
(5)
Zur Bestimmung der Feldstärke wird eine Kondensatorplatte vor dem Elektrofeldmeter platziert, um eine
räumlich unverzerrte Feldverteilung zu erhalten. Dies ist schematisch in Abb. 4 gezeigt. Mithilfe der
Platte wird eine Bildladung so induziert, dass sich die Platte zentral zwischen der realen und der
virtuellen Ladung befindet. Die Ladung Q in Gl. (5) muss deshalb mit 2 multipliziert werden.
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Coulombsches Potential und Coulombsches Feld
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Abb. 3: Potential φ als Funktion des Abstandes r in doppelt-logarithmischer Darstellung.
Abb. 3a: Kugel mit 2R = 12 cm;
Abb. 3b: Kugel mit 2R = 4 cm.
Nach Einsetzen der Ladung Q aus Gl. (5) in Gl. (2) unter Beachtung der Ladungsverdopplung gilt somit:
E
2R
U .
r2
(6)
Die gemessene Feldstärke E ist in Abb. 5 gegen die Spannung U aufgetragen.
Ein Vergleich der Steigungen ΔE/ΔU der Geraden mit den zugehörigen Quotienten 2R/r2 ergibt die
folgenden Wertepaare, welche zufriedenstellend übereinstimmen:
Graph 1:
Graph 2:
Graph 3:
Graph 4:
ΔE/ΔU = 1,44 m–1,
ΔE/ΔU = 0,44 m–1,
ΔE/ΔU = 0,18 m–1,
ΔE/ΔU = 0,58 m–1,
2R/r2 = 1,25 m–1
2R/r2 = 0,38 m–1
2R/r2 = 0,18 m–1
2R/r2 = 0,55 m–1.
Abb. 6 zeigt die Feldstärke E, gemessen an der auf 10 kV geladenen Kugel mit dem Radius 2R = 12 cm,
auf einer doppelt-logarithmischen Skala als Funktion des Abstandes r. Die Steigung der Geraden beträgt
m = −2,06. Dies bedeutet, dass die Feldstärke umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstandes ist.
Abb. 4: Feld-Geometrie mit induzierter Bildladung.
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Coulombsches Potential und Coulombsches Feld
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Abb. 5: Feldstärke E als Funktion der Spannung U.
Graphen 1–3: Kugel mit 2R = 12 cm; r1 = 25 cm, r2 = 50 cm, r3 = 75 cm;
Graph 4: Kugel mit 2R = 4 cm; r1 = 25 cm.
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Coulombsches Potential und Coulombsches Feld
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Abb. 6: Feldstärke E als Funktion des Abstandes r in
doppelt-logarithmischer Darstellung.
Kugel mit 2R = 12 cm.
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