Unterrichtsentwurf_Lineare Gleichungssysteme m 2 Glgen und 3

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Lineare Gleichungssysteme
mit zwei Gleichungen und drei Variablen
Lage von zwei Ebenen im Raum
1. STUNDE
 Wiederholung (Begriff, Bedeutung, konkretes Beispiel))
Den Einstieg in dieses Thema bildet eine kurze Wiederholung zu Gleichungssystemen. Fragen wie
„Was ist ein lineares Gleichungssystem?“ oder „Wie könnte ein solches System aussehen? Kann
jemand ein Beispiel nennen?“ sollten hier unbedingt behandelt werden. Nur so kann für die
Lehrperson ersichtlich werden was die SchülerInnen bereits wissen und wo noch Unklarheiten
bestehen. Durch diese Wiederauffrischung ist ein gutes Anknüpfen an die Vorkenntnisse der
SchülerInnen möglich.
In unserem Fall werden wir uns Gleichungssystemen mit zwei Gleichungen und drei Variablen
widmen. Dazu gehen wir im Folgenden davon aus, dass lineare Gleichungssysteme (mit zwei
Gleichungen und zwei Variablen) bereits Thema waren, ebenso ihre geometrische Betrachtung.
Daher sollten auch Begriffe wie eine Geraden- oder Ebenengleichung, sowie verschiedene
Darstellungsformen keine Probleme bereiten. Beispielsweise sollte es für die SchülerInnen bei
gegebener Ebenengleichung keine Herausforderung mehr sein, einen entsprechenden Normalvektor
herauszulesen, bzw. zu berechnen. Wäre dies jedoch der Fall müsste bei der Wiederholung natürlich
wo anders angesetzt werden, sodass die Einführung insgesamt ausgeweitet und noch zusätzliche Zeit
in diese Inhalte investiert wird.
Nach dem theoretischen Einstieg sollten sich die SchülerInnen ein beliebiges Beispiel für ein
Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Variablen notieren. Anschließend sollen gemeinsam
Rückschlüsse auf eine allgemeine Form gezogen und diese dann ebenfalls ins Heft aufgeschrieben
werden.
Bsp.
I. 2x + 3y + z = 0
II. 3x – y + z = 5
Allgemein:
I. a1x + b1y + c1z = d1
(a1, b1, c1, d1 
)
II. a2x + b2y + c2z = d2
(a2, b2, c2, d2 
)
 Geometrische Betrachtung
Das nächste Ziel wäre nun sich geometrisch Gedanken über ein Gleichungssystem zu machen. Was
stellt ein solches System von linearen Gleichungen dar? Wie sieht die geometrische Interpretation
einer linearen Gleichung mit drei Variablen aus?
Jede Ebene (im R3) lässt sich durch eine Koordinatengleichung erfassen. Durch ein Gleichungssystem
mit zwei Gleichungen werden daher zwei Ebenen dargestellt (jede Gleichung beschreibt eine Ebene).
Wie die SchülerInnen bereits wissen, kann man ein solches Gleichungssystem auch lösen. Auch
hierbei sollte unbedingt der Bezug zur geometrischen Bedeutung hergestellt werden. Dies ist vor
allem deshalb sehr wichtig, da ohne diesen Schritt das Lösen von Gleichungssystemen ohne jegliche
Vorstellung darüber, was eigentlich gemacht wird, rein mechanisch abläuft. Aus diesem Grund
wollen wir mit den SchülerInnen vorerst mit der geometrischen Betrachtung beginnen, ehe es um
das Lösen eines solchen Systems geht.
Die SchülerInnen sollen daher Überlegungen anstellen und anschließend kurz diskutieren, wie man
das Lösen eines linearen Gleichungssystems nun geometrisch deuten kann.
Das Lösen von zwei Gleichungen entspricht der Betrachtung der Lage dieser beiden Ebenen
zueinander.
Eine weitere, anschließende Frage wäre noch welche möglichen Lagen zwei Ebenen zueinander
überhaupt einnehmen können? Welche sind den SchülerInnen bekannt, bzw. welche fallen ihnen
ein? Ich denke, dass es den SchülerInnen nicht schwer fallen wird (wahrscheinlich sogar alle)
Lagebeziehungen zu nennen. Trotzdem sollten diese nicht einfach von der Lehrperson angesagt,
sondern gemeinsam besprochen werden. Ansonsten käme es wahrscheinlich wieder viel eher dazu,
dass die SchülerInnen bald aufhören Dinge zu Hinterfragen und den Zusammenhang zwischen einem
linearen Gleichungssystem und den Lagebeziehungen von Ebenen nicht erkennen.
Anschließend bekommen die SchülerInnen ein Arbeitsblatt ausgeteilt, auf dem die möglichen Lagen
noch einmal bildlich dargestellt sind. Aufgabe wäre nun, dass die SchülerInnen anhand der
Abbildungen selbt Beobachtungen in Bezug auf die Normalvektoren, sowie (evt. gemeinsamen)
Punkte der beiden Ebenen anstellen. Dann sollen diese gemeinsam besprochen und auf dem
Arbeitsblatt notiert werden.
1. Lagebeziehungen zweier Ebenen im Raum (  Arbeitsblatt)
Diese gemachten Beobachtungen sollen den SchülerInnen nun dabei helfen auf die jeweiligen
Lösungsmengen zu schließen. Diese zu erkennen und aufschreiben zu können ist ein wesentlicher
Schritt, vor allem für das Lösen von Gleichungssystemen. Aus diesem Grund wird in der ersten
Einheit vermehrt Wert darauf gelegt an einem gegebenen Gleichungssystem herauslesen zu können,
wie die entsprechenden Ebenen zueinander liegen und wie dadurch die Lösung dieses
Gleichungssystems aussieht. Das bedeutet, dass hier noch kein Rechnen stattfindet. Erst in der
zweiten Einheit soll dann beispielsweise die zugehörige Schnittgerade berechnet werden.
2. Lösungsfälle eines linearen Gleichungssystems mit zwei Gleichungen und drei Variablen
Da wir drei verschiedene mögliche Lagebeziehungen von zwei Ebenen haben, kann auch die
Lösungsmenge einer von drei möglichen Lösungsfällen entsprechen.
Das lineare Gleichungssystem
I. a1x + b1y + c1z = d1
(a1, b1, c1, d1 
)
II. a2x + b2y + c2z = d2
(a2, b2, c2, d2 
)
besitzt für G=R3 folgende Lösungsfälle (mit Lösungsmenge L):
- L ist eine zweiparametrige Menge (= Punkte einer Ebene)
- L ist einparametrige Menge (= Punkte einer Geraden)
- L ist die leere Menge
Je nach Lagebeziehung der Ebenen, ist die Lösungsmenge unterschiedlich und kann entweder leer
sein, einer Geraden oder einer Ebene entsprechen.
Im Folgenden werden diese drei Lösungsfälle anhand von drei kurzen Beispielen behandelt. Diese
sollten von der Lehrperson auf die Tafel aufgeschrieben werden. Trotzdem ist es natürlich nicht
wünschenswert die Beispiele „vorzurechnen“, sondern sie gemeinsam mit den SchülerInnen zu
entwickeln und sich so dem Ergebnis schrittweise und langsam zu nähern. Durch die ausgewählten
Beispiele sollte den SchülerInnen klar werden, dass bei einem gegebenen Gleichungssystem nicht nur
durch direktes Lösen, sondern bereits durch genaueres Betrachten darauf geschlossen werden kann,
wie die zugehörige Lösungsmenge aussieht.
(In den folgenden Beispielen sind die Zwischenschritte möglichst genau aufgeschrieben. Was die
SchülerInnen davon genau mitschreiben sollen bleibt der Lehrperson selbst überlassen. Ich finde es
jedoch sehr ratsam besser mehr als zu wenig mitschreiben zu lassen, da vieles, dass nur von der
Lehrperson erwähnt und dann nicht direkt für die SchülerInnen im Heft nachzulesen ist, oft sehr
schnell vergessen wird.)
 Beispiele
Bestimme die gegenseitige Lage und den Durchschnitt der Ebene E1 und E2!
Dabei beginnen wir damit, die aus den gegebenen Ebenengleichungen die jeweiligen
Normalvektoren zu erkennen und genauer zu betrachten.
1)
E1: x + 3y – 5z = 4
E2: 3x + 9y – 15z = 4



Zuerst betrachten wir die Normalvektoren n 1 und n 2 der beiden Ebenen: n 1 = (1|3|-5),

n 2 = (3|9|-15). Könnt ihr hier bereits etwas erkennen, bzw. was kann man über die beiden
Normalvektoren sagen?


Wir stellen fest: n 2 ist ein Vielfaches von n 1. Was bedeutet das? Die Normalvektoren der beiden
Ebenen haben dieselbe Richtung. Daraus erkennen wir, dass die beiden Ebenen entweder zueinander
parallel oder ident sind. Da jedoch E2 kein Vielfaches von E1 ist, sind die beiden Ebenen parallel (und
nicht ident). Es gilt: E1  E2 = leere Menge.
2)
E1: x + 3y – 5z = 4
E2: 3x + 9y – 15z = 12


Beim Betrachten der Normalvektoren n 1 = (1|3|-5) und n 2 = (3|9|-15) erkennen wir, dass


wiederum n 2 ein Vielfaches von n 1 ist und die beiden Ebenen somit entweder zueinander parallel
oder ident sind. Betrachten wir die beiden Ebenengleichungen, können wir feststellen, dass auch E2
ein Vielfaches von E1 ist, dh. die beiden Gleichungen beschreiben dieselbe Ebene. E1 und E2 sind somit
ident. Es gilt: E1  E2 = E1 = E2
3)
E1: x + 3y – 5z = 4
E2: 2x + 3y – z = -7


Anhand der Normalvektoren n 1 = (1|3|-5) und n 2 = (2|3|-1) erkennen wir, dass die beiden Ebenen
weder parallel noch ident sind. Somit schneiden sie sich in einer sogenannten Schnittgeraden und es
gilt: E1  E2 = g.
Die Schnittgerade kann auch noch berechnet werden, dem werden wir uns allerdings in der nächsten
Stunde widmen.
Beispiele zum Rechnen in der Unterrichtsstunde, bzw. als Hausübung:
Die SchülerInnen bekommen jeweils zu zweit zwei Aufgaben zur Lagebeziehung von zwei Ebenen, die
sie gemeinsam lösen sollen. Dabei sollen alle Überlegungen, bzw. Zwischenschritte notiert werden.
Insgesamt stehen dreimal zwei Aufgaben zur Auswahl. In der nächsten Stunde sollen manche von je
einem/einer SchülerIn präsentiert und kurz gemeinsam durchbesprochen werden.
Wiederum geht es beim Lösen der folgenden Aufgaben nur darum, die zugehörige Lösungsmenge
ohne jegliches Rechnen zu bestimmen. Dies soll somit einerseits eine Wiederholung, bzw. Festigung
des eben besprochenen für die SchülerInnen und andererseits auch ein Wechsel der Sozialform sein.
Beispiele (Buch S. 188, 11.53: b) – g)):
Bestimme die gegenseitige Lage der Ebenen. Notiere dabei genau deine Vorgehensweise und
Rechenschritte.
Gruppe 1:
b) + f)
Gruppe 2:
c) + d)
Gruppe 3:
e) + g)
Bsp. 11.53:
b) E1: x + y – 3z = 1
E2: 2x + 2y – 6z = 2
c) E1: 3x + 5y – 8z = 3
E2: 6x + 10y – 16z = 3
d) E1: x + 3y – 7z = 1
E2: x + 2y – 6z = 1
e) E1: x + 3y – 7z = 1
E2: x + 3y – 7z = 2
f) E1: x + 3y = 1
E2: z = 0
g) E1: x – z = 0
E2: x + z = 0
Die anderen, in der Zweiergruppe nicht bearbeiteten Aufgaben werden als Hausübung aufgegeben.
2. STUNDE
 Wiederholung
Den Einstieg der Unterrichtsstunde stellt eine kurze Wiederholung der letzten Stunde dar. Was ist ein
lineares Gleichungssystem, welches haben wir letzte Stunde besprochen? Was bedeutet eine lineare
Gleichung mit drei Variablen? Was bedeutet das Lösen eines solchen Gleichungssystems
geometrisch? Welche verschiedenen Lagebeziehungen können zwei Ebenen zueinander einnehmen
und wie sieht die entsprechende Lösungsmenge aus? Eventuell die möglichen Lagen auch kurz an der
Tafel skizziert werden.
Diese Wiederholung zu Beginn ist meiner Meinung nach eine gute Möglichkeit, um die SchülerInnen
zum Thema zu führen, sowie zur Festigung des Stoffes.
 Kurzpräsentationen
Im Anschluss soll gleich mit den Kurzpräsentationen zu den in der letzten Stunde, bzw. als Hausübung
aufgegebenen Beispielen begonnen werden. Gedacht wäre, dass die Lehrperson einzelne
SchülerInnen, die sich freiwillig melden drannimmt oder aufruft. Wie viele Beispiele auf diese Weise
besprochen werden richtet sich nach dem Verständnis oder Nicht-Verständnis bei womöglich
auftretenden Unklarheiten von Seiten der SchülerInnen, sowie nach vorhandener Zeit.
Im Zuge der Kurzpräsentationen soll vor allem besprochen werden, bzw. als „wichtige Essenz“ für die
SchülerInnen klar sein, woran man an zwei vorgegebenen Gleichungen mit drei Variablen erkennt, ob
die Lösung einparametrig, zweiparametrig oder leer ist, also welche Lage die beiden Ebenen
zueinander einnehmen.
Zur Festigung sollte dazu noch ein Beispiel mit etwas abgeänderter Fragestellung diskutiert werden.
Ähnliche Aufgaben dieser Art werden den SchülerInnen auch noch zur Hausübung für die in der
nächsten Einheit stattfindende Lernzielkontrolle aufgegeben.
Beispiel:
Ergänze die fehlenden Koeffizienten so, dass das entstehende Gleichungssystem
(1) eine zweiparametrige Lösung, (2) die leere Menge als Lösung besitzt.
2x - y + z = 5
4x ......... = ....
Einen dritten, wichtigen Punkt dieser Einheit stellt dann noch das Berechnen einer Schnittgeraden
dar, auf das in der ersten Einheit ja noch gänzlich verzichtet wurde.
 Berechnung einer Schnittgeraden
Die Bestimmung einer Schnittgeraden soll von der Lehrperson anhand eines Beispiels demonstrieren
werden. Dazu wird das Beispiel 3 aus der letzten Einheit verwendet.
Zudem sind im folgenden Beispiel zwei mögliche Lösungswege vorgestellt. Ich denke mir, dass es
durchaus sinnvoll sein kann den SchülerInnen auch beide Wege zu zeigen. Dadurch, dass sie sehen,
dass es nicht nur eine richtige Lösung gibt, versteifen sich die SchülerInnen vielleicht nicht so rasch
auf einen bestimmten Lösungsweg. Gleichzeitig kann ich mir gut vorstellen, dass verschiedene
Zugänge das Verständnis bei den SchülerInnen erhöht. So können die SchülerInnen bei der
aufgegebenen Hausübung den Rechenweg wählen, der für sie verständlicher ist und somit leichter
fällt.
Beispiel 3):
Berechne die zugehörige Schnittgerade
E1: x + 3y – 5z = 4
E2: 2x + 3y – z = -7
Die Schnittgerade kann nun über 2 verschiedene Lösungswege berechnet werden:
1. Lösungsweg
Die Gerade g besteht aus allen Punkten (x|y|z), die die beiden Ebenen gemeinsam haben. Die Punkte
von g erfüllen daher beide Ebenengleichungen E1: x + 3y – 7z = 1 und E2: x + 3y – 15z = -7.
Wir setzten y = t (y 
, beliebig):
x + 3t – 7z = 1
x + 3t – 15z = -7
Durch Lösen des Gleichungssystems erhält man folgende Lösungen:
x = 8 – 3t
(x = 8 – 3t)
y=t
(y = 0 + t)
z=1
(z = 1 – 0t)
Daraus kann eine Parameterdarstellung der Schnittgeraden g erstellt werden.
g: X = (x|y|z) = (8 – 3t|t|1) = (8|0|1) + t  (-3|1|0)
2. Lösungsweg

Um einen Richtungsvektor g der Schnittgeraden g zu erhalten, stellen wir folgende Überlegungen



(über den Zusammenhang von g und den Normalvektoren n 1, n 2 der Ebenen E1, E2) an:

Der Vektor g ist Richtungsvektor von E1 und E2. Dh. er schließt mit dem Normalvektor von E1 und


dem Normalvektor der E2 einen rechten Winkel ein. ( n 1 = (1|3|-7) und n 2 = (1|3|-15))

 g
(1|3|-7)  (1|3|-15)

 g
(-45+21|15-7|3-3)  g


(-24|8|0)  g
(-3|1|0)
Einen Punkt P der Schnittgeraden g erhalten wir folgendermaßen:
Da ein Punkt der Schnittgerade g beide Ebenengleichungen erfüllen muss, erhalten wir P, indem man
für eine der drei Koordinaten x, y oder z eine konkrete Zahl einsetzt und das damit erhaltene
Gleichungssystem löst.
Setze (z.B.) y = 1:
x + 3 – 7z = 1
x + 3 – 15z = -7
Lösen des Gleichungssystems  x = 5, z = 1
 P = (5|1|1)  g
Eine Parameterdarstellung von g ist somit: X = (x|y|z) = (5|1|1) + t  (-3|1|0)
(Ist zu der des 1. Lösungsweges äquivalent!)
Hausübung:
Als Hausübungen sollen die zugehörigen Schnittgeraden aus den Beispielen berechnet werden, die
bei der Gruppenarbeit aufgegeben wurden.

Buch S. 188, 11.53: d), f), g)

Beispiel 1.: Ergänze die fehlenden Koeffizienten so, dass das entstehende Gleichungssystem
(1) eine zweiparametrige Lösung, (2) die leere Menge als Lösung besitzt.
a.) -x + 2y - 3z = 6
............. 6z = ....
b.) 6x - 2y - 4z = 8
-x ............. = ....
Mit dieser Einheit ist geplant das Thema „lineare Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und drei
Variablen“ abzuschließen. Um den Wissensstand der SchülerInnen zu ermitteln und somit zu
gewährleisten, dass auf dieses Kapitel somit wirklich aufgebaut werden kann, wird am Beginn der
nächsten Einheit eine Lernzielkontrolle stattfinden.
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