Unterrichtsentwurf_Lineare Gleichungssysteme mit drei

Lineare Gleichungssysteme
mit drei Gleichungen und drei Variablen
Lage von drei Ebenen im Raum
1. Einheit: Einführung in das Thema
Die Einführung in das Thema „Lineare Gleichungssysteme mit drei Gleichungen und drei Variablen“
gestaltet sich prinzipiell sehr kurz, da sie auf das Kapitel „Lineare Gleichungssysteme mit zwei
Gleichungen und drei Variablen“ aufbaut und somit als weiterführender Themenbereich verstanden
werden kann. Auch zeitlich folgt die Bearbeitung von Gleichungssystemen mit drei Gleichungen auf
jene mit zwei Gleichungen, wodurch gleich an das Vorwissen der SchülerInnen angeschlossen wird.
Außerdem ist die Einführung ähnlich aufgebaut wie der Einstieg in das Kapitel mit den zwei
Gleichungen. Dadurch fällt es den SchülerInnen hier auch leichter, Verbindungen zu ziehen und
Zusammenhänge zu erkennen.
In unserem Unterrichtskonzept folgt die Einführung in dieses Thema auch direkt nach einer
Lernzielkontrolle zum Kapitel der Gleichungssysteme mit den zwei Gleichungen. Die Lernzielkontrolle
bietet nämlich die Möglichkeit zu überprüfen, ob die SchülerInnen das Prinzip der Lagebeziehungen
von Ebenen im Raum verstanden haben. Da das Kapitel über die drei Ebenen im Raum das gesamte
vorherige Kapitel thematisch abdeckt und das Verständnis der SchülerInnen darauf aufbauen sollte,
besteht hier die Chance, Verständnisschwierigkeiten der Klasse zu erkennen. Folglich könnte man bei
der Einführung des aufbauenden Themas nochmals auf Unklarheiten eingehen und Dinge, die beim
ersten Kapitel Schwierigkeiten bereiteten, erneut erklären.
Zur Einführung in das Thema „Lineare Gleichungssysteme mit drei Gleichungen und drei Variablen“
dient das Arbeitsblatt zum Thema Lösungsfälle. Ähnlich wie beim Arbeitsblatt über die Lage zweier
Ebenen im Raum sollen die SchülerInnen die Lagebeziehungen der Ebenen beschreiben. Bevor das
Arbeitsblatt jedoch ausgeteilt wird, sollte angemerkt werden, dass sich die SchülerInnen die Lage von
zwei Ebenen in Erinnerung rufen sollen. Sie sollen zuerst selbst überlegen, was passiert, wenn man
nun eine dritte Ebene zu den beiden Ebenen hinzufügen würde und welche Fälle sich hier ergeben
könnten. Erst wenn sie die SchülerInnen Gedanken über diese Fälle gemacht haben oder eine
konkrete Vorstellung darüber entwickelt haben, ist das Arbeitsblatt auszuteilen. So können die
SchülerInnen direkt einsehen, welche möglichen Lagebeziehungen sie vielleicht nicht bedacht haben.
Der Lerneffekt ist hier größer, da SchülerInnen dadurch selbst einige Fälle entdecken konnten.
Erste Aufgabe der SchülerInnen ist es nun, die verschiedenen Lagebeziehungen der Ebenen anhand
der Abbildung zu erkennen. Im nächsten Schritt sollten sie die Lösungsmenge angeben, die beim
Schnitt der drei Ebenen entsteht. Hier wird direkt an das Vorwissen der SchülerInnen angeknüpft und
das Wissen über die Lage von zwei Ebenen auf das Erkennen der Lage von drei Ebenen angewandt.
Im nächsten Schritt sollen die SchülerInnen verallgemeinern und herausfinden, welche Lösungsfälle
denn bei drei Ebenen auftreten können bzw. ob es noch andere Lösungsfälle als die abgebildeten
gibt. Danach sollen sie eine Verbindung zwischen gegenseitiger Lage und Lösungsmenge der
1
Schnittes Ebenen ausmachen. Auch hier hilft das Vorwissen über Lineare Gleichungssysteme mit zwei
Gleichungen.
Sobald die SchülerInnen mit dem Arbeitsblatt fertig sind, sollten die Ergebnisse gemeinsam in der
Klasse diskutiert werden. Erst wenn alle Unklarheiten beseitigt sind und alle die richtige Lösung
nachvollziehen können, sollte die Lehrperson den allgemein gültigen Satz über Gleichungssysteme
mit drei Gleichungen an die Tafel schreiben. Dieser folgt nämlich unmittelbar aus den
vorhergehenden Überlegungen des Arbeitsblattes. Haben die SchülerInnen das Arbeitsblatt
verstanden, so bleibt auch der Satz keine theoretische Regel, sondern eine nachvollziehbare klare
Aussage. Diesen sollten die SchülerInnen auch alle in ihr SÜ-Heft schreiben.
Ein System mit drei linearen Gleichungen und drei Variablen
a1x + b1y + c1z = d1
a2x + b2y+ c2z = d2
a3x + b3y + c3z = d3
besitzt für ai, bi, ci, di  R, i = 1, 2, 3 und G= R3 folgende Lösungsfälle (Lösungsmenge L)
- L ist die leere Menge
- L ist einelementig, dh. es gibt genau einen Punkt, der allen drei Ebenen angehört
- L ist einparametrig (die Lösungsmenge bildet eine Gerade)
- L ist zweiparametrig (die Lösungsmenge bildet eine Ebene
2
Lineare Gleichungssysteme mit drei Gleichungen und
drei Variablen
Lösungsfälle
Betrachte die verschiedenen Lagebeziehungen dreier Ebenen (Abb. 1).
1. Bestimme die gegenseitige Lage der Ebenen (ohne Rechnung) und gib jeweils die
Lösungsmenge des zugehörigen linearen Gleichungssystems an!
E1, E2,E3 ident
L = E 1 = E2 = E3
2. Welche verschiedenen Fälle können auftreten? Überlege, welche Bedeutung dies für die
Lösungsmengen von drei linearen Gleichungen mit drei Variablen hat?
3
2. Einheit: Lösungsmethoden für lineare Gleichungssysteme mit drei
Gleichungen und drei Variablen
In der zweiten Einheit über Lineare Gleichungssysteme mit drei Gleichungen werden die
verschiedenen Lösungsmethoden, nämlich die Substitutionsmethode und die Eliminationsmethode,
vorgestellt. Die verschiedenen Methoden werden anhand eines Beispiels bearbeitet. Hier ist es
günstig, beide Methoden am selben Beispiel zu demonstrieren, da hier die verschiedenen Vorgänge
noch deutlicher werden. Außerdem ist es wichtig, Schritt für Schritt vorzugehen und dabei zu
erklären, was in jedem Schritt passiert. Auch die SchülerInnen sollten immer wieder beim Lösen der
Aufgabe eingebunden werden.
Die Substitutionsmethode (Einsetzungsmethode)
Gegeben ist das Gleichungssystem
𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = −1
2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 6
3𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 1
1. Schritt: Wir drücken beispielsweise aus der dritten Gleichung z durch x und y aus:
𝑧 = 1 − 3𝑥 + 2𝑦
2. Schritt: Wir setzen den Term 1 − 3𝑥 + 2𝑦 für z in die beiden anderen Gleichungen ein:
𝑥 − 2𝑦 + 3(1 − 3𝑥 + 2𝑦) = −1
2𝑥 + 𝑦 − (1 − 3𝑥 + 2𝑦) = 6


−8𝑥 + 4𝑦 = −4
5𝑥 − 𝑦 = 7
3. Schritt: Löse nun das Gleichungssystem in zwei Variablen:
−8𝑥 + 4𝑦 = −4
5𝑥 − 𝑦 = 7 / 4
−8𝑥 + 4𝑦 = −4
20𝑥 − 4𝑦 = 28
12𝑥
= 24

𝑥=2
20 ∙ 2 − 4𝑦 = 28

𝑦=3
4. Schritt: Setze für z ein:
𝑧 = 1−3∙2+2∙3

𝑧=1
Die Lösung des Gleichungssystems lautet daher (2|3|1).
4
Eliminationsmethode (Gauß’sches Eliminationsverfahren)
Gegeben ist das Gleichungssystem
𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = −1
2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 6
3𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 1
1. Schritt: Addiere geeignete Vielfache der 1. und der 2. Gleichung sowie passende Vielfache der 1.
und der 3. Gleichung so, dass die Glieder mit x in der 2. und 3. Gleichung wegfallen.
𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = −1
2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 6
3𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 1
|( - 2)
−2𝑥 + 4𝑦 − 6𝑦 = 2

2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 6
5𝑦 − 7𝑧 = 8

𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = −1
2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 6
3𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 1
|( - 3)
−3𝑥 + 6𝑦 − 9𝑧 = 3

3𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 1
4𝑦 − 8𝑧 = 4
𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = −1
5𝑦 − 7𝑧 = 8
4𝑦 − 8𝑧 = 4
2. Schritt: Addiere geeignete Vielfache der neuen 2. und neuen 3. Gleichung so, dass die Glieder mit y
in der 3. Gleichung wegfallen.
𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = −1
5𝑦 − 7𝑧 = 8
4𝑦 − 8𝑧 = 4
|( - 4)
| 5
−20𝑦 + 28𝑧 = −32
20𝑦 − 40𝑧 = 20
−12𝑧 = −12

𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = −1
5𝑦 − 7𝑧 = 8
−12𝑧 = −12
3. Schritt: Aus diesem System (Dreiecksform, Zeilenstufenform) können nun die Unbekannten leicht
von unten nach oben ermittelt werden.
𝑧=1

5𝑦 − 71 = 8
 𝑦=3

𝑥 − 23 + 31 = −1
 𝑥=2
Die Lösung des Gleichungssystems lautet also (2|3|1).
Im Folgenden wird es nun um das nähere Verständnis der Anwendung der verschiedenen Methoden
gehen. Dabei soll verständlich gemacht werden, wann welche Methode besser geeignet ist und
schneller ans Ziel führt. Bevor die Beispiele rechnerisch gelöst werden, soll also verständlich gemacht
werden, welche Methode angewandt wird und warum.
5
Gegeben sei das Gleichungssystem
𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = 0
𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = −2
𝑥+𝑦−𝑧 = 2
𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = 0
𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = −2
𝑥+𝑦−𝑧 =2
| ( - 1)
𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = 0
−𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 2
2𝑧 = 2


𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = 0
𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = −2
𝑥+𝑦−𝑧 =2
𝑧 =1


|  ( - 1)
𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = 0
−𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = −2
−3𝑦 + 4𝑧 = −2
−3𝑦 + 4 ∙ 1 = −2  𝑦 = 2

𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = 0
−3𝑦 + 4𝑧 = −2
2𝑧 = 2
𝑥−2∙2+3∙1= 0
 𝑥=1
Die Lösung des Gleichungssystems lautet also (1|2|1).
Nun lösen wir Aufgabe 11.80 e aus dem Schulbuch „Mathematik verstehen 6“. (Anmerkung: Die
gesamte Unterrichtsplanung liegt dem Schulbuch zugrunde. Nach diesem Konzept wird dieses Buch
auch im Unterricht verwendet.) Auch hier sollte thematisiert werden, die welche Lösungsmethode
mit nur wenigen Schritten zur Lösung führt.
Gegeben sei das Gleichungssystem
2𝑧 = 16
−4𝑦 + 2𝑧 = 8
3𝑥 − 4𝑦 + 2𝑧 = −4
2𝑧 = 16
𝑧 =1
−4𝑦 + 2𝑧 = 8
 −4𝑦 + 16 = 8
 𝑦=2
3𝑥 − 4𝑦 + 2𝑧 = −4

 3𝑥 = −12
3𝑥 + 8 = −4
 𝑥 = −4
Die Lösung des Gleichungssystems lautet also (-4|2|1).
6
Aufgabe 11.80 f aus dem Schulbuch
Gegeben sei das Gleichungssystem
𝑥+𝑦 =5
𝑦+𝑧 =2
𝑥+𝑦+𝑧 = 4
𝑥+𝑦+𝑧 =4
𝑥+𝑦+𝑧 =4
𝑦+𝑧 =2
𝑥+𝑦
=5
|. (-1)
−𝑥 − 𝑦 = −5
𝑧 = −1
𝑦 − 1 = 2 𝑦 = 3
𝑥 + 3 − 1 = 4 𝑥 = 2
Die Lösung des Gleichungssystems lautet somit (2|3|-1).
HÜ: Löse die folgenden Gleichungssysteme. Überlege zuerst, welche Methode schneller zur Lösung
der Aufgabe führt.
11.78 e), 11.79 f), 11.80 g)
Ziel dieser Hausübung ist es, die verschiedenen Lösungsmethoden einzuüben und den Umgang mit
ihnen vertraut zu machen.
3. Einheit: Zusammenhang von linearen Gleichungssystemen und Ebenen im
Raum
In dieser Stunde soll ein Grundverständnis davon erarbeitet werden, die lineare Gleichungssysteme
und Ebenen im Raum zusammenhängen. Zur Einleitung dieser Fragestellung wird am Beginn der
Stunde nochmals auf das Arbeitsblatt über die Lösungsfälle eingegangen, wo der Zusammenhang von
Ebenen und Gleichungssystemen ja bereits sichtbar gemacht wurde. Wir sehen uns daher nochmal
unser allgemeines Gleichungssystem an:
a1x + b1y + c1z = d1
a2x + b2y+ c2z = d2
a3x + b3y + c3z = d3
Die drei Gleichungen entsprechen geometrisch jeweils drei Ebenen im Raum, E1, E2 und E3 im R3 und
die Koeffizienten entsprechen jeweils den Normalvektoren a= (a1|a2|a3), b= (b1|b2|b3) und c=
(c1|c2|c3). Jede Lösung der Art (x|y|z) des Gleichungssystems entspricht einem Punkt, den alle
7
Ebenen gemeinsam haben. Die Lösungsmenge des Gleichungssystems entspricht also dem
Durchschnitt von E1E2E3.
Beim Aufschreiben dieses Merksatzes muss nochmal auf das Arbeitsblatt verwiesen werden und die
Aussage des Satzes begründet werden. Denn erst wenn die Aussage des Satzes von den SchülerInnen
nachvollzogen werden kann, hat dieser für sie auch Gültigkeit. Nachdem dieser Satz aufgeschrieben
wird, muss jedoch auch thematisiert werden, dass die Lösungsmenge auch etwas anderes als ein
Punkt sein kann. Sie kann nämlich auch eine Gerade, eine Ebene oder eine leere Menge sein. Hier
muss nochmals auf das Arbeitsblatt verwiesen werden. Wenn die Lösungsmenge leer ist, dann
treffen die Lösungsfälle der rechten Spalte des Arbeitsblattes ein. Wenn die Lösung eine Ebene ist,
dann sind alle Ebenen ident. Wenn die Lösung eine Gerade ist, treffen die beiden Fälle in der Mitte
ein. Nachdem wir dies wieder wiederholt haben, können wir uns ansehen, wie man die
Lagebeziehung rechnerisch ermitteln kann.
Gegeben sei nun das Gleichungssystem
3𝑥 − 4𝑦 − 𝑧 = 4
6𝑥 − 8𝑦 − 2𝑧 = 8
−3𝑥 + 4𝑦 + 𝑧 = 3
Wir interpretieren nun die erste Gleichung als Ebene E1, die zweite als E2 und die dritte als E3. Wie
wir aus der ersten Gleichung ablesen können, ist der Normalvektor von E1 (3|-4|-1). Der
Normalvektor von E2 lautet (6|-8|-2) und der der dritten Ebene ist (-3|4|1). Hier können wir sehen,
dass die Normalvektoren zueinander parallel sind. Da E2 das 2-fache der ersten Ebene ist, fallen diese
beiden Ebenen zusammen, und sind sogar ident. Wir daher den Fall 1 Ebene parallel, zwei ident, alle
drei Ebenen haben keinen Punkt gemeinsam, daher ist die Durchschnittsmenge leer, die Lösung ist
daher die leere Menge. Dies können die SchülerInnen auch anhand ihrer Arbeitsblätter
nachvollziehen.
N1= (3|-4|-1), N2 = (6|-8|-2), N3 = (-3|4|1)
 N1 || N2 || N3; E1 = E2
Daher L= ∅
Ich ändere nun das Beispiel ein bisschen ab und schreibe in der zweiten Gleichung statt der 8 eine 7.
Gegeben sei nun
3𝑥 − 4𝑦 − 𝑧 = 4
6𝑥 − 8𝑦 − 2𝑧 = 7
−3𝑥 + 4𝑦 + 𝑧 = 3
Nun sind die ersten beiden Ebenen nicht mehr ident, sondern nur parallel. Wieder haben die Ebenen
keinen gemeinsamen Punkt, die Lösung ist also die leere Menge.
 N1 || N2 || N3, daher L= ∅
8
Nun zum nächsten Beispiel. Hier werden wir einen anderen Lösungsfall kennen lernen.
Gegeben seien die drei Ebenen
𝐸1 : 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 4
𝐸2: − 4𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = −8
𝐸3: − 2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = −4
Wir deuten die drei Gleichungen nun wieder als Ebenen und erkennen, dass die Normalvektoren alle
parallel sind, da die Gleichungen Vielfache voneinander sind, sind die Ebenen ident. Somit fallen alle
drei Ebenen zusammen. Die Lösungsmenge ist somit die Ebene E1=E2=E3.
N1 = (2|-1|-1), N2 = (-4|2|2), N3 = (-2|1|1)  N1 || N2 || N3,
E1 = E2 = E 3
daher L= ∅
Nun zum nächsten Beispiel. Erneut wird ein neuer Fall bearbeitet.
Gegeben sei das Gleichungssystem:
𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = −1
2𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = −1
−2𝑥 + 2𝑦 + 5𝑧 = 8
Überprüfen wir am Beginn wieder, ob, die Normalvektoren der Ebenen parallel sind. Anhand der
Normalvektoren können wir ablesen, dass keine zwei der drei Ebenen zueinander parallel sind. Daher
können nur drei mögliche Lösungsfälle als Lösung in Frage kommen; dies können wir auch an
unserem Arbeitsblatt ablesen: Entweder haben wir einen Schnittpunkt, eine Schnittgerade oder die
leere Menge als Lösungsmenge. Wir rechnen also wie gewohnt und wenden ein Verfahren zur
Lösung an. Dabei überlegen wir bevor wir rechnen, welches Verfahren geeignet ist.
Geeignet ist das Eliminationsverfahren, da alle Glieder mit x und y in der zweiten und in der dritten
Gleichung wegfallen, wenn man die erste Gleichung mit passenden Vielfachen multipliziert und
addiert.
𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = −1 |∙(-2)
2𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = −1
−2𝑥 + 2𝑦 + 5𝑧 = 8

-2 𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 2
2𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = −1
𝑧=
1
3
Setze y = t
Einsetzen in die erste Ebene:
1
2
= −1  𝑥 = 3 + 𝑡
3
2
1
= ⟨3 |0| 3⟩ + t ∙ ⟨1|1|0⟩
𝑥−𝑡−
 g: X
9
Für z ergibt sich 1/3, dann setze ich y=t, wie wir es schon mit zwei Ebenen gelernt haben und es
ergibt sich eine Gerade.
Nun zum letzten Beispiel dieser Art. Ich habe das Gleichungssystem
2𝑥 − 2𝑦 + 2𝑧 = −1
2𝑥 − 2𝑦 − 𝑧 = 4
3𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = −5
Keine der Normalvektoren sind parallel, folglich müssen wir rechnen. Wir haben also dieselbe
Situation wie gerade eben, entweder gibt es einen Schnittpunkt, eine Schnittgerade oder die leere
Menge als Lösungsmenge. Wieder eignet sich Gauß Elimination, nun erhalte ich aber
2𝑥 − 2𝑦 + 2𝑧 = −1
3𝑧 = 3
4𝑧 = 7
L=Ø
Die beiden letzten Gleichungen widersprechen sich einander, daher hat das Gleichungssystem keine
Lösung und der Durchschnitt der Ebenen ist leer.
Der einzige Fall, der nun noch fehlen würde, wäre ein Punkt als Lösungsmenge. Da wir dies aber
schon so oft bei der Verwendung der Verfahren geübt haben, lasse ich diesen Fall hier weg und gebe
ihn nur mehr als Hausübung. Auf den ersten Blick scheinen die Beispiele ziemlich viel Stoff für eine
einzige Stunde zu sein. Man muss aber bedenken, dass die SchülerInnen dasselbe Prinzip ja schon mit
zwei Ebenen im Raum gelernt haben und die ersten beiden Beispiele mit den parallelen und identen
Ebenen daher sehr schnell zu lösen sind, da im Prinzip ja nicht gerechnet werden muss.
Prinzipiell sollen die SchülerInnen bei diesen Aufgaben lernen, dass sie die Lösungsmenge von einem
Gleichungssystem auch ohne zu rechnen ermitteln, bloß bei näherer Betrachtung des Systems lösen
können. Viele Beispiele, die die Grundkompetenzen abdecken, zielen nämlich nur darauf ab, dass die
SchülerInnen ein Gleichungssystem vor sich haben und ankreuzen müssen, ob die Lösungsmenge
leer, eine Gerade oder eine Ebene ist.
Daher sollte auch gleich noch auf die Grundkompetenzen eingegangen werden. Sollte in dieser
Stunde also noch Zeit bleiben, dann sollte man auch gleich mit den Beispielen zu den
Grundkompetenzen beginnen. Dies würde hier eben sehr gut zum Thema passen, weil man die
Fragestellung der Beispiele einfach nur umstellt. Man soll nicht die Lösung eines Gleichungssystems
herausfinden, sondern eine Lösung ist vorgegeben und man soll einfach ein passendes
Gleichungssystem finden, das eine solche Lösung besitzt. Hier soll eine Umkehrung der vorherigen
Beispiele geschehen, so können die SchülerInnen die Beispiele auch leichter miteinander in
Verbindung setzen. Beginnen sollte man aber mit einem sehr einfachen Beispiel:
Vervollständige die 3. Gleichung so, dass die Lösungsmenge 1.) zweiparametrig 2) die leere Menge
ist.
𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 4
10
−𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = −4
… . −2𝑦 … . = …
Wir interpretieren das System als Ebenen. Im ersten Fall will man also eine Ebene als Lösungsmenge.
Zuerst sieht man sich die Normalvektoren an und erkennt dabei schon, dass die Ebenen ident sind.
Man braucht also eine Ebene, die mit den anderen ident ist, das ist zum Beispiel ein Vielfaches der
ersten Ebene. Wegen -2y sehen wir, dass wir mit 2 multiplizieren müssen und erhalten 2x-2y+4z=8.
Im Fall der leeren Menge brauche ich eine Ebene, die parallel ist, also zum Beispiel x-2y+4z=9.
1. 𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 4 | ∙ 2
 E3 = 2𝑥 − 2𝑦 + 4𝑧 = 8
2. Gesucht ist eine parallele Ebene, z.B. 2𝑥 − 2𝑦 + 4𝑧 = 9
Ähnlich funktioniert auch das nächste Beispiel
Ergänze eine dritte Gleichung so, dass die Lösungsmenge einparametrig ist.
2𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = 4
3𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 1
Die Normalvektoren sind nicht parallel, d.h. sie schneiden einander, es existiert daher bereits eine
Schnittgerade. Um eine Gerade als Lösung zu erhalten, brauche ich nur eine Ebene hinzufügen, die
mit einer anderen ident ist. Diese kann man sehr leicht finden, zB ein Vielfaches der ersten Ebene,
nämlich 4x-6y+2z=8.
Gesucht ist eine idente Ebene, also zum Beispiel
E1: 2𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = 4 | ∙2
Daher E3: 4𝑥 − 6𝑦 + 2𝑧 = 8
Zum Lösen der Aufgaben aus dem Grundkompetenzen-Kapitel ist ein Grundverständnis vom
Zusammenhang von linearen Gleichungssystemen und Ebenen notwendig. So sollten die
SchülerInnen von dieser Stunde vor allem mitnehmen, welche Bedeutung das Lösen der Gleichungen
geometrisch hat.
HÜ: Aufgaben 1.a), 1.b) und 2.) vom Übungszettel „Lineare Gleichungssysteme mit drei Gleichungen
und drei Variablen
11
4. Einheit: Übungsstunde
In der 4. Einheit werden schließlich Aufgaben von dem Übungszettel gemeinsam gerechnet. Dabei ist
es egal, ob die SchülerInnen diese alleine, in Gruppen oder im Plenum rechnen oder die Lehrkraft an
der Tafel vorrechnet. In dieser Stunde geht es vor allem um die Vertiefung und des Kapitels sowie um
die Vorbereitung auf die Schularbeit bzw. auf die Zentralmatura. Vor allem die Grundkompetenzen
sollen dabei geschult werden, wobei schwierigere Aufgaben gestellt werden. Zu diesen Vertiefungen
gehören auch Textaufgaben zum Thema Lineare Gleichungssysteme mit drei Gleichungen und drei
Variablen. In dieser Stunde sollte auch die BIFI Aufgabe aus dem Aufgaben Pool gelöst werden. Hier
wäre es ratsam, dass die Lehrkraft das Beispiel auf der Tafel vorrechnet. Würden die SchülerInnen
die Aufgabe alleine angehen und Unklarheiten auftreten, so wären sie verunsichert, was wiederum
Angst vor der Zentralmatura auslöst. Daher ist es wichtig, dass die Lehrperson erklärt, welches
Prinzip hinter diesen Aufgaben steckt, damit die SchülerInnen ein Gefühl für diesen Typ von
Aufgaben bekommen. Schließlich ist die Übungsstunde vor der Schularbeit auch dazu gedacht, den
SchülerInnen explizit die Möglichkeit zu geben, Fragen zu stellen und bestimmte von ihnen
gewünschte Aufgaben gemeinsam durchzurechnen, um mögliche Unklarheiten zu klären. So
bekommen schließlich auch die SchülerInnen das Gefühl, gut auf die Schularbeit und die
Zentralmatura vorbereitet zu sein.
12
Übungsblatt
zu Lineare Gleichungssysteme mit drei Gleichungen und drei Variablen
1. Bestimme die gegenseitige Lage und den Durchschnitt der Ebenen E1, E2 und E3.
a) 𝐸1: − 𝑦 + 4𝑧 = −2
𝐸2: − 2𝑥 + 2𝑦 − 8𝑧 = 4
𝐸3: 3𝑥 − 3𝑦 + 12𝑧 = −6
b) 𝐸1: 2𝑥 + 2𝑦 − 10𝑧 = 5
𝐸2: 2𝑥 + 2𝑦 = 5
𝐸3: 2𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 5
2. Gegeben sind die Ebenen
𝐸1: 2𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 7
𝐸2: − 𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = −2
𝐸3: 4𝑥 − 2𝑦 + 6𝑧 = 8
𝐸4: 𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 = −1
𝐸5: 3𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 6
𝐸6: − 3𝑥 + 3𝑦 + 6𝑧 = 3
Welche der folgenden Durchschnittsmengen sind leer?
 𝐸1 ∩ 𝐸2 ∩ 𝐸3
 𝐸4 ∩ 𝐸5 ∩ 𝐸6

𝐸1 ∩ 𝐸3 ∩ 𝐸5
 𝐸2 ∩ 𝐸4 ∩ 𝐸6
 𝐸2 ∩ 𝐸3 ∩ 𝐸5
 𝐸1 ∩ 𝐸4 ∩ 𝐸5
 𝐸1 ∩ 𝐸2 ∩ 𝐸5
 𝐸3 ∩ 𝐸5 ∩ 𝐸6
3. Gegeben sind die Ebenen 𝐸1: 2𝑥 + 4𝑦 − 𝑧 = 8 und 𝐸2: 3𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 12. Gib eine Gleichung
einer Ebene E3 an, die zu E1 und E2 schneidend liegt und für die 𝐸1 ∩ 𝐸2 ∩ 𝐸3 der Punkt P (5|y|z)
ist.
4. Gegeben seien die Ebenen E1, E2, E3, E4 und E5 aus Bsp. 2 oben. Der Richtungsvektor (-5|-7|1) ist
der Richtungsvektor der Schnittgeraden von
 𝐸1 ∩ 𝐸2
 𝐸3 ∩ 𝐸4
 𝐸2 ∩ 𝐸5
 𝐸1 ∩ 𝐸4
 𝐸1 ∩ 𝐸5
 𝐸2 ∩ 𝐸4
Welche Kombination sind parallel, welche sind ident?
5. Eine dreistellige Zahl hat die Ziffernsumme 12. Vertauscht man die Einer- und Zehnerziffer dieser
Zahl, erhalt man eine um 63 kleinere Zahl. Vertauscht man in letzterer die Einer und Hunderterziffer,
ist die auf diese Weise gebildete Zahl um 39 kleiner als das 5-fache der ursprünglichen Zahl. Wie
lautet die ursprüngliche Zahl? (Man wähle die Ziffern der ursprünglichen Zahl als Variable)
6. Eine Arbeit soll von den Arbeitern A, B und C fertig gestellt werden. A und B brauchen
zusammen 36 Tage, A und C 45 Tage und B und C 60 Tage zur Fertigstellung. Wie lange
braucht jeder Arbeiter allein?
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BIFIE-Aufgabe
zu Lineare Gleichungssysteme mit drei Gleichungen drei Variablen
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