lineare gleichungen in einer variablen

Lineare Gleichungen
1. Lernjahr
LINEARE GLEICHUNGEN IN EINER VARIABLEN
Quelle: http://www.mathe-online.at/mathint/gleich/i.html
Arbeiten Sie die Theorie durch, unterstreichen Sie wichtige Begriffe und füllen Sie
danach das Fragenblatt aus! Verwenden Sie auch das Buch S 73ff
ALLGEMEINES
Was sind Gleichungen?
Gleichungen sind ''Behauptungen''. Für manche Werte der Unbekannten stellen sie wahre
Aussagen dar. Diese Werte heißen Lösungen. Einfache Gleichungen können durch
Anwendung systematischer Methoden gelöst werden.
Eine Gleichung in einer Variablen (Unbekannten) x ist eine ''Behauptung'' der Form
LinkeSeite = RechteSeite,
wobei LinkeSeite und RechteSeite Terme sind, die von x abhängen. Dabei steht x für ein zunächst beliebiges - Element einer Menge G (Grundmenge), die zusätzlich zur Gleichung
angegeben sein muss. Wird die Grundmenge nicht eigens erwähnt, so wird üblicherweise
angenommen, dass sie gleich der Menge R der reellen Zahlen ist. (Wiederhole die
Zahlenmengen, welche gibt es, welche Zahlen enthalten sie?)
Eine Lösung der Gleichung ist ein Element x  G, für welches die ''Behauptung'' LinkeSeite =
RechteSeite eine wahre Aussage ist. Die Menge aller Lösungen einer Gleichung heißt
Lösungsmenge und wird üblicherweise mit L bezeichnet. Sie kann ein oder mehrere (sogar
unendlich viele) Elemente enthalten oder auch leer sein.
Achtung: Die Variable (Unbekannte) wird zwar oft x genannt, kann aber auch mit anderen
Buchstaben bezeichnet werden.
Beispiel:
x + 2 = 5 über G = R = Menge der reellen Zahlen.
Bedeutung: Diese ''Behauptung'' ist nur dann eine wahre Aussage, wenn x eine reelle Zahl
ist, deren Summe mit der Zahl 2 die Zahl 5 ergibt. Es gibt nur eine Zahl x, die diese
Eigenschaft hat, nämlich die Zahl 3. Sie ist daher die (einzige) Lösung. (Die kurze Schreiboder Sprechweise dafür ist: ''Die Lösung der Gleichung ist x = 3.'')
Die Lösungsmenge ist L = {3}.
Beispiel:
n + 1 = n über G = N = Menge der natürlichen Zahlen.
Bedeutung: Diese ''Behauptung'' ist nur dann eine wahre Aussage, wenn n eine natürliche
Zahl ist, deren Summe mit der Zahl 1 wieder sie selbst ist. Das ist natürlich für keine Zahl der
Fall: die ''Behauptung'' ist immer falsch. Folglich hat die Gleichung keine Lösung. Die
Lösungsmenge ist leer, L = { }.
Beispiel:
r2 = 4 über G = R.
Bedeutung: Diese ''Behauptung'' ist nur dann eine wahre Aussage, wenn r eine reelle Zahl
ist, deren Quadrat 4 ist. Das ist für die Zahl 2 der Fall, aber auch für die Zahl -2. Die
Gleichung hat zwei Lösungen, r = -2 und r = 2. (Das kann abgekürzt als r = 2 geschrieben
werden). Die Lösungsmenge ist L = {-2, 2}.
Beispiel:
2 ( x + 1 ) = 2 x + 2 über G = R.
Bedeutung: Nach Ausmultiplizieren der Klammer ist ersichtlich, dass diese "Behauptung"
immer, d.h. für alle x  G, eine wahre Aussage ist. Die Lösungsmenge ist gleich der
Grundmenge, L = G.
Beantworten Sie jetzt den ersten Frageblock!
Mag. Luise Bracher
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Lineare Gleichungen
1. Lernjahr
ÄQUIVALENZUMFORMUNGEN
Manche Gleichungen lassen sich leicht lösen. Die wichtigste Lösungstechnik besteht darin,
Gleichungen so verändern, dass die ''Behauptung'', die sie darstellen, bestehen bleibt.
Solche Veränderungen heißen Äquivalenzumformungen.
Eine Äquivalenzumformung besteht darin, die linke und die rechte Seite einer Gleichung
auf gleiche Weise abzuändern. Diese Änderung muss allerdings umkehrbar sein: es muss
möglich sein, die ursprüngliche Gleichung durch eine weitere Umformung zurück zu
gewinnen. Dann sind die ursprüngliche und die veränderte Gleichung zueinander
''äquivalent'' und haben dieselbe Lösungsmenge.
In der Praxis werden Äquivalenzumformungen benützt, um Gleichungen Schritt für Schritt zu
vereinfachen, ohne die Lösungsmenge zu verändern.
Die wichtigsten Äquivalenzumformungen sind:


Zu beiden Seiten einer Gleichung denselben Term addieren.
(Spezialfall: auf beiden Seiten dieselbe Zahl addieren oder subtrahieren).
Beide Seiten mit demselben Term (der immer von Null verschieden sein muss)
multiplizieren.
(Spezialfall: beide Seiten mit einer von Null verschiedenen Zahl multiplizieren oder
durch eine solche zu dividieren).
All diese Umformungen können wieder rückgängig gemacht werden und verändern den
Informationsgehalt einer Gleichung nicht.
Zur Dokumentation des Lösungswegs ist es üblich, die Veränderungen, die an einer
Gleichung im nächsten Schritt vorgenommen werden, rechts davon, nach einem
senkrechten Strich, zu notieren.
Beispiel:
Gegebene Gleichung: 2 x - 3 = x
Lösungsweg:
2x-3=x
+3
(zu beiden Seiten wird die Zahl 3 addiert)
2x=x+3
-x
(von beiden Seiten wird der Term x subtrahiert)
x=3
(hier haben wir die Lösung!)
Dieser Lösungsweg fördert also zusätzlich zur gegebenen Gleichung noch zwei andere
Gleichungen zutage, die dieselbe Lösungsmenge besitzen. Alle drei Gleichungen sind
gewissermaßen nur ''Versionen'' voneinander. Die letzte Gleichung ist so einfach, dass sie
uns die Lösung direkt angibt. Damit haben wir die gegebene Gleichung gelöst. Die
Lösungsmenge ist L = {3}.
Warnung: Das Quadrieren beider Seiten einer Gleichung ist keine Äquivalenzumformung! Beispiel:
x = 2 ist eine sehr einfache Gleichung mit Lösungsmenge L = {2}. Werden beide Seiten quadriert,
ergibt sich die Gleichung x2 = 4. (Diese haben wir oben in der Form r2 = 4 bereits als Beispiel
angeführt). Sie hat die Lösungsmenge L = {-2, 2}. Also: die Gleichungen x = 2 und x2 = 4 haben nicht
dieselbe Lösungsmenge!
Warnung: Beide Seiten einer Gleichung mit Null zu multiplizieren ist keine Äquivalenzumformung,
denn dies macht aus jeder Gleichung die Aussage 0 = 0, woraus die ursprüngliche Gleichung nicht
wieder zurück gewonnen werden kann. Aus ihr kann auch keinerlei Rückschluss auf die Lösung(en)
der ursprünglichen Gleichung gezogen werden.
Beantworten Sie nun Fragenblock 2!
2 Mag. Luise Bracher
Lineare Gleichungen
1. Lernjahr
Textgleichungen:
Häufige Anwendung von Gleichungen: ein Problem wird mathematisch als Gleichung
formuliert, diese gelöst und die Lösung dann Problembezogen interpretiert.
Wie kann man noch vorgehen?
Herumprobieren
Raten
eigene Überlegungen anstellen…
Ein Beispiel:
Anna ist 24 Jahre. Sie ist doppelt so alt wie Maria war, als Anna so alt war, wie Maria
jetzt ist.
Wie alt ist Maria?
Was kann man aus der Angabe ablesen? Was kann man fragen?
1. Gegeben: Anna ist jetzt 24
2. Frage: Wie alt ist Maria jetzt? Bezeichnen mit x
3. Gegeben: Zu einem früheren Zeitpunkt war Maria 12 und sie so alt wie Maria
jetzt.
4. Frage: Wie alt war Anna damals? Laut Angabe war sie damals so alt wie
Maria jetzt, also wieder x Jahre alt.
5. Können das in eine Schema einzeichnen:
Anna
Maria
Alter „damals“
X
12
Alter heute
24
X
6. Wie hilft uns das weiter? Müssen die Frage stellen: Wie viel Zeit ist
vergangen? Immer die gleiche!
Also: 24 – x = x – 12
36 = 2x
18 = x
Also ist Maria heute 18!
Allgemeine Vorgangsweise:
Text genau durchlesen: Was ist gegeben, was ist gesucht?
Meine Unbekannte x festhalten.
Eventuell weitere unbekannte Größen als Term mit x ausdrücken
Gleichung aufstellen und lösen.
Antwort formulieren.
Mag. Luise Bracher
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