Stundenplanung_Vieta

Stundenplanung
Woche 2 – 1. Stunde – Satzgruppe von Vieta
2. Woche – 2. Stunde: Zerlegen einer Gleichung in Linearfaktoren und
Satzgruppe von Vieta
Diese Stunde dient der theoretischen und formalen Betrachtung von
quadratischen Gleichungen und ihren Eigenschaften im Zuge des Satzes
von Vieta.
Grundsätzlich ist die Satzgruppe von Vieta nicht nur für die Zentralmatura
wichtig, bei der sie immer noch Thema ist, sondern vor allem die
Tatsache, dass man jede quadratische Gleichung in ein Produkt aus
Linearfaktoren zerlegen kann, ist spätestens im Zuge von
Kurvendiskussionen und das Zeichnen von Graphen wichtig.
Wie kann man quadratische Gleichungen noch angeben? Wie sieht es mit
Gleichungen aus, die so gegeben sind (dargestellt an einem konkreten
Beispiel)
Löse diese Gleichungen nach x:
(x+7)(x-2)=0
(x-3)(x-9)=0
(x-4)(x+8)=0
Die SchülerInnen sollen diese Gleichungen nun lösen. Geht man davon
aus, dass keine SchülerInnen in der Klasse sind, die diesen Stoff bereits
einmal gehört haben, werden sie zunächst einmal die Gleichungen
ausmultiplizieren um dann die so entstehende Gleichung mit der kleinen
Lösungsformel nach x zu lösen.
Frage an die SchülerInnen: Was fällt euch auf?
Einige SchülerInnen werden dabei schon erkennen, dass die Lösungen
bereits in der Angabe versteckt vorhanden sind. Allerdings werden sie
auch feststellen, dass die Lösungen mit „dem verkehrten Vorzeichen“ in
der Angabe gegeben sind.
Satz von Vieta
Martina Graner, Nadine Pacher, Andrea Berger
Seite 1
In weiterer Folge ist natürlich die Frage, ob das immer und für jede
quadratische Gleichung gilt, dass man sie in dieser Form darstellen kann.
Dazu wird der Beweis angeführt.
Dieser Beweis ist einfach und für die SchülerInnen in der fünften Klasse
durchaus gut geeignet. Außerdem ist es eine Übung, sowohl zum
Beweisen an sich als auch zum Rechnen mit Unbekannten, die aber eine
fixe Größe darstellen.
Jede quadratische Gleichung der Form 𝑥 2 + 𝑝 ∙ 𝑥 + 𝑞 = 0 kann man in der
Form (𝑥 − 𝑥1 ) ∙ (𝑥 − 𝑥2 ) = 0 dargestellt werden.
𝑝
𝑝
𝑝2
2
2
4
Voraussetzungen: 𝑥1 = − + √𝐷, 𝑥2 = − − √𝐷 wobei 𝐷 =
−𝑞 ≥0
Beweis: (𝑥 − 𝑥1 ) ∙ (𝑥 − 𝑥2 ) = 0
⇔ 𝑥 2 − (𝑥1 + 𝑥2 ) ∙ 𝑥 + 𝑥1 ∙ 𝑥2 = 0
𝑝
𝑝
𝑝
𝑝
⇔ 𝑥 2 − ((− + √𝐷) + (− − √𝐷)) ∙ 𝑥 + (− + √𝐷) ∙ (− − √𝐷) = 0
2
2
2
2
⟺ 𝑥2 −
(−𝑝) ∙ 𝑥
+
𝑞
=0
⇔ 𝑥2 + 𝑝 ∙ 𝑥 + 𝑞 = 0
Allgemein bietet es sich an diesen Beweis gemeinsam mit den
SchülerInnen durchzuführen. Also ihn nicht nur vorzurechnen, sondern die
einzelnen Schritte die SchülerInnen „erraten“ zu lassen.
Die SchülerInnen sollen hier auch gleich einige Beispiele dazu rechnen.
Das erste wird zunächst gemeinsam an der Tafel gerechnet.
Zerlege den Term 3x2+3x-18 in ein Produkt aus Linearfaktoren!
3𝑥 2 + 3𝑥 − 18 = 3(𝑥 2 + 6 − 6)
Nun setzen wir die Term gleich Null um eine quadratische Gleichung zu
erhalten und uns die Lösungen dieser auszurechnen.
𝑥2 + 𝑥 − 6 = 0
1
1
𝑥1,2 = − ± √ + 6
2
4
Satz von Vieta
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Seite 2
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=− ±
2 2
⇒ 𝑥1 = −3,
𝑥2 = 2
Daraus ergibt sich insgesamt: 3𝑥 2 + 3𝑥 − 18 = 3(𝑥 + 3)(𝑥 − 2)
Danach sollen die SchülerInnen zwei bis drei weitere Aufgaben lösen, in
denen sie ebenfalls Terme in ein Produkt aus Linearfaktoren zerlegen
muss (Aufgabe 195)



x2 + x -15
15x2 + 45x – 150
x2 – 4x -21
Die Satzgruppe von Vieta
Die Satzgruppe von Vieta dient als Ergänzung zur kleinen Lösungsformel
und ihre Herleitung als Wiederholung derselben. Sie bietet sich im
Unterricht vor allem dazu an die zweite Gleichung einer quadratischen
Gleichung zu berechnen, wenn die erste Gleichung bereits bekannt ist und
in weiterer Folge quadratische Gleichungen zu gegeben Lösungen zu
finden.
Das Herleiten der Formeln:
Frage an die SchülerInnen: Wenn man nur die beiden Lösungen einer
Gleichung hat, was könnte man dann damit tun?
Die Antworten auf diese Frage können vielfältig sein und bei manchen
SchülerInnen auch nur aus Schulterzucken bestehen. Aber einige werden
zumindest einmal beginnen die Grundrechenarten auf die Lösungen x1 und
x2 anzuwenden. Sobald x1∙x2 oder x1+x2 zur Sprache kommt kann man
nun die SchülerInnen dazu auffordern auszuprobieren, ob dabei etwas
Interessantes herauskommt. Die SchülerInnen sollen dies nun zuerst
selbstständig in ihrem Heft probieren. Zwei SchülerInnen sollen dann das
Ergebnis an der Tafel festhalten.
𝑝
𝑝
𝑝
𝑝 𝑝
𝑥1 + 𝑥2 = (− + √𝐷) + (− − √𝐷) + (− − √𝐷) = − − = −𝑝
2
2
2
2 2
𝑝
𝑝
𝑝2
𝑝2
𝑝2
𝑥1 ∙ 𝑥2 = (− + √𝐷) ∙ (− − √𝐷) =
−𝐷 =
− ( − 𝑞)
2
2
4
4
4
2
2
𝑝
𝑝
=
− +𝑞 =𝑞
4
4
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Findige SchülerInnen werden hier sehen, dass diese Rechnungen bereits
im obigen Beweis durchgeführt wurden, aber sicherlich nicht alle. Sieht
dies aber die Mehrheit der SchülerInnen, so wäre es unnötig sie dies
selbst ausrechnen zu lassen. Für das spätere Lernen ist es aber sicher
nützlich diese Rechnung noch einmal aufzuschreiben.
Schlussendlich wird dann folgendes an der Tafel festgehalten:
Satzgruppe von Vieta:
Seien x1 und x2 Lösungen einer quadratischen Gleichung der Form
x2+px+q=0, so gilt:
𝑥1 + 𝑥2 = −𝑝 und 𝑥1 ∙ 𝑥2 = 𝑞
Verwendung:
 Um die zweite Lösung einer quadratischen Gleichung zu berechnen,
wenn die
erste bereits bekannt ist
 Finden von Gleichungen bei gegebenen Lösungen
Die SchülerInnen sollen nun auch gleich Aufgaben lösen. Die erste wird
dabei gemeinsam an der Tafel gerechnet.
Quadratische Gleichung zu gegebenen Lösungen finden:
Gib eine quadratische Gleichung an, die 2 und -7 als Lösungen besitzt!
Lösungsweg 1)
(x – x1)(x – x2)  (x – 2)(x – (-7)) = (x – 2)(x + 7)=x2 +5x – 14
Lösungsweg 2)
x1 + x2 = -p  2+(-7)=-5=-p  p=5
x1 ∙ x2 = q  2∙(-7)=-14
 x2 +5x – 14 = 0
Wie viele derartige Gleichungen gibt es?
Lösung: Es gibt unendlich viele quadratische Gleichungen mit diesen
beiden Lösungen.
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z.B. 2x2 + 10x – 28 = 0 oder 3x2 + 15x – 42 = 0 etc.
Weitere Aufgaben (die Seite ist im Anschluss eingescannt):
196. f) und g)
197. b) und c)
198. und 199. Diese beiden Aufgaben sind vor allem auf Grund der neuen
Zentralmatura vollständig zu machen, da sie die Begründungsfähigkeit der
SchülerInnen schult. Sind diese beiden zur Hausaufgabe gegeben, sollten
sie außerdem in der darauffolgenden Stunde vollständig besprochen
werden.
201. f)
202. a) und 203.c)
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Die Aufgaben die in der Stunde nicht mehr erledigt werden können, sollen
die SchülerInnen als Hausaufgabe machen.
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