Basics vom 29.07.2014

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Vorbereitung Mathematik Matura
Basics Teil 1
Rechenregel
Klammer, Punkt, Strich (Kla-Pu-Stri)
Zuerst wird die Rechnung in der Klammer gelöst, bevor man die Punktrechnung (Multiplikation,
Division) ausrechnet und erst zum Schluss rechnet man die Strichrechnung.
Beispiel - berechne: 8 - 2 * (15 - 12) =
1.Klammer (Kla):
8 - 2 * (15 - 12) =
8 - 2 * (3) =
2. Punkt (pu):
8 - 2 * (3)=
8 -6=
3. Strich (stri):
8-6=2
Rechengesetze
Kommutativgesetz (Addition, Multiplikation)
a+b=b+a
a*b=b*a
Bei Additionen und Multiplikationen kann man die Zahlen vertauschen wie man will, das Ergebnis
bleibt gleich.
Assoziativgesetz (Addition, Multiplikation)
a + (b + c) = (a + b) + c
a * ( b * c) = (a * b) * c
Ja logisch, wenn man die Zahlen vertauschen kann, kann man auch Klammern setzen wie man will,
Ergebnis bleibt gleich!
Distributivgesetz:
a * (b + c) = a * b + a * c
Ist eigentlich nur zum auflösen von Klammern praktisch. Der Multiplikator wird mit jedem einzeln
multipliziert.
Klammer auflösen („Ausklammern“)
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Nach einer Addition:
5 + (3+8) = 5 + 3 + 8 = 16
Bei einer Addition passiert nichts!
Nach einer Subtraktion:
15 – ( 8 + 3 ) = 15 – 8 – 3 = 4
Beim auflösen der Klammern ändern sich die Vorzeichen in der Klammer!
Nach einer Multiplikation:
5 * ( 3 – 2) = 5 * 3 – 5 * 2 = 15 – 10 = 5
Bei einer Multiplikation werden alle Zahlen in der Klammer mit dem Multiplikator multipliziert.
Achtung! Immer auf das Vorzeichen der Zahl achten (zum Beispiel wie oben -2!)
Klammer mal Klammer:
(5 + 3 ) * ( 5 – 2 ) = 5 * 5 – 5 * 2 + 3 * 5 - 3 * 2 = 25 – 10 + 15 – 6 = 24
Hier muss jede Zahl miteinander multipliziert werden. Wichtig dabei: Schritt für Schritt vorgehen!
Bruchrechnen
Ein Bruch ist nichts anderes als eine Division mit einen gewissen Style! Warum Style? Na was schaut
besser aus?
25
26
oder 0,9615384615384615 ?! Man kann aber, notfalls, jeden Bruch ausrechnen und
damit weiterrechnen. Nur wird das Ergebnis aufgrund der x-tausend Kommastellen natürlich nie so
genau, wie wenn man direkt mit dem Bruch rechnet.
Addition:
8 5
𝟏𝟔 𝟏𝟓
𝟑𝟏
+ =
+
=
3 2
𝟔
𝟔
𝟔
Zuerst auf einen gemeinsamen Nenner bringen!
Einfachster Weg: Die Nenner miteinander multiplizieren = 3 * 2 = 6
Dann die Zähler auch entsprechend erweitern:
8 * 2 (da man 2 mit 3 multiplizieren musste, um auf 6 zu kommen ) = 16
5 * 3 (da man 3 mit 2 multiplizieren musste, um auf 6 zu kommen) = 15
Dann die Zähler einfach zusammen zählen (aber nicht die Nenner!)
Subtraktion:
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8 5
𝟏𝟔 𝟏𝟓
𝟏
− =
−
=
3 2
𝟔
𝟔
𝟔
Zuerst auf einen gemeinsamen Nenner bringen!
Einfachster Weg: Die Nenner miteinander multiplizieren = 3 * 2 = 6
Dann die Zähler auch entsprechend erweitern:
8 * 2 (da man 2 mit 3 multiplizieren musste, um auf 6 zu kommen ) = 16
5 * 3 (da man 3 mit 2 multiplizieren musste, um auf 6 zu kommen) = 15
Dann die Subtraktion bei den Zählern durchführen (aber nicht bei den Nennern!)
Multiplikation:
8 5
𝟖∗𝟓
𝟒𝟎
∗ =
=
3 2
𝟑∗𝟐
𝟔
Bei Multiplikationen muss nicht auf den gleichen Nenner gebracht werden.
Man multipliziert Zähler * Zähler.
Und dann multipliziert man Nenner * Nenner.
Division:
𝟖 𝟓
𝟖 𝟐
𝟖∗𝟐
16
∶ =
∗
=
=
𝟑 𝟐
𝟑 𝟓
𝟑∗𝟓
15
„Um eine Division bei einem Bruch durchzuführen, muss man mit dem Kehrwert multiplizieren“
Übersetzt:
Der erste Bruch bleibt wie er ist.
Aus dem zweiten Bruch wird der Kehrwert gebildet: Zähler und Nenner werden vertauscht.
Dann wird der erste Bruch normal mit unserem zweiten (neuen) Bruch multipliziert.
Terme
Als Term wird in der Mathematik ein sinnvoller Ausdruck, der Ziffern, Variablen, Rechenzeichen und
Klammern enthält, verstanden.
In meiner Welt bedeutet das ganz einfach: Alles was einen Buchstaben hat oder eine Rechnung ist
(zum Beispiel 3x oder 80-12)
Warum ist es wichtig, Terme zu erkennen?
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Wenn in einer Gleichung Terme den gleichen Buchstaben haben und die gleiche Hochzahl, kann man
die addieren oder subtrahieren.
3x² + 5y + 6x² = 9x² + 5y
Selbst mit verschiedenen Hochzahlen, kann man zum Beispiel bei einer Division kürzen:
(𝒎 ∗ 𝒎 ) + (𝒎 ∗ 𝒎 ∗ 𝒎)
𝒎² + 𝒎³
𝒎∗𝒎 𝒎∗𝒎∗𝒎
𝑚 𝑚∗𝑚
𝑚 + 𝑚²
=
=
+
=
+
=
3𝑚
3𝑚
3𝑚
3𝑚
3
3
3
Gleichungen
Eine Gleichung ist da, um gelöst zu werden. Zum Beispiel:
9 + 5 = 14
Ganz ohne Taschenrechner !
Meistens muss man aber Variablen ausrechnen, zum Beispiel:
9 + x = 14 | - 9
x = 14 – 9
x=5
Und hier und da mal, sind die Gleichungen auch etwas aufwendiger und komplizierter:
4(y – 5) – 2y + 8 = 5 (-3y + 1)
| Klammer auflösen
4y – 20 – 2y + 8 = -15y + 1
| Terme zusammenfassen
4y – 2y – 20 + 8 = -15y + 1
| Terme rechnen
2y – 12 = -15y + 5
| y auf eine Seite bringen (+15y)
17y – 12 = 5
| +12
17y = 17
| : 17
y= 1
Eigentlich ist es nur wichtig, Ordnung in eine Gleichung zu schaffen, damit man in Ruhe seine
Variable ausrechnen kann. Die ersten Schritte sollten immer sein:
1.) Klammern auflösen
2.) Terme zusammenfassen
3.) Die Variable auf eine Seite bringen
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